Zbiór liczb naturalnych Podzbiorami liczb
Transkrypt
Zbiór liczb naturalnych Podzbiorami liczb
Zbiór liczb naturalnych Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i złożonych. LICZBA PIERWSZA – każda liczba naturalna n większa od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n. LICZBA ZŁOŻONA – każda liczba n większa od 1, która nie jest liczbą pierwszą. Liczby „0” oraz „1” nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi! NAJWIĘKSZY WSPÓLNY DZIELNIK liczb a i b – największa z liczb naturalnych, przez którą dzieli się bez reszty każda z liczb a i b. NAJMNIEJSZA WSPÓLNA WIELOKROTNOŚĆ liczb a i b – najmniejsza liczba naturalna różna od 0, która dzieli się bez reszty przez a i przez b. Przykład. Znajdź największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 84 i 36. W tym celu rozkładamy liczby 84 i 36 na czynniki pierwsze. Największy wspólny dzielnik jest iloczynem tych czynników pierwszych, które występują jednocześnie w obu rozkładach. 84 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 NWD 84,36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 Najmniejsza wspólna wielokrotność jest liczbą będącą iloczynem wszystkich czynników występujących w rozkładzie jednej z liczb i tych czynników występujących w rozkładzie drugiej, które nie wystąpiły w rozkładzie pierwszej. 84 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 NWW 84,36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 3 = 252 Dla dowolnych liczb naturalnych a i b zachodzi równość: a ⋅ b = NWD(a, b) ⋅ NWW(a, b) Zbiór liczb całkowitych W polskiej literaturze można spotkać się z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez , lecz nie jest to znane, międzynarodowe oznaczenie. Liczba całkowita jest PODZIELNA przez liczbę całkowitą b ≠ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba całkowita k, że a = k ⋅ b. Zbiór liczb wymiernych Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie i . Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez . Przykład. Wyznacz ułamek zwykły o rozwinięciu dziesiętnym 0,23232323… 0,23232323 … = x| ⋅ 100 23,232323 … = 100x 23 + 0,232323 … = 100x 23 + x = 100x 23 = 99x 23 x= 99 23 Szukaną liczbą jest 99. W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez . Zbiór liczb niewymiernych Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne. Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: . Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie . Przykładem liczby niewymiernej może być liczba 𝜋 𝑙𝑢𝑏 2. Zbiór liczb rzeczywistych Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez przez . , a ujemnych Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki: