2. Wybór optymalnego planu (asortymentu) produkcji przy

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
1
2. Wybór optymalnego planu (asortymentu) produkcji przy ograniczonej
dostępności środków produkcji
Firma może produkować n rodzajów wyrobów. Zakładamy, że wszystkie wyprodukowane wyroby można
sprzedać ze stałymi zyskami jednostkowymi tzn. nie zależącymi od wielkości sprzedaży. Do produkcji
wyrobów zużywane są różne środki produkcji (surowce, energia, maszyny, siła robocza, powierzchnia
magazynowa etc.), z których część lub wszystkie (w liczbie m) jest dostępna w ograniczonych ilościach w
pewnym ustalonym okresie czasu. Dane są:
•
•
•
normy zużycia środków produkcji na jednostkę każdego wyrobu (liczone np. w g/kg, mg/l, kg/m3, kWh/t,
h/t itp.);
maksymalne dostępne zasoby środków produkcji w rozważanym okresie czasu (liczone np. w kg, l, hl, t, m,
m2, m3, kWh itp.);
zyski jednostkowe dla każdego z wyrobów (liczone w PLN/m3, PLN/kg, PLN/m2, PLN/t itp. – zamiast PLN
może być oczywiście dowolna inna waluta, ale dla wszystkich wyrobów jednakowa).
a zatem parametrami w modelu matematycznym zagadnienia są:
•
aij - zużycie i-tego środka produkcji na wytworzenie jednej jednostki wyrobu j-tego rodzaju (i= 1,...,m;
j = 1,...,n),
bi - maksymalne dostępne zasoby i-tego środka produkcji (i= 1,...,m),
•
c j -zysk jednostkowy dla j-tego wyrobu (j = 1,...,n).
•
Należy określić, które wyroby i w jakich ilościach produkować, aby nie przekraczając zużycia posiadanych zasobów środków produkcji, zmaksymalizować zysk ze sprzedaży tych wyrobów w pewnym ustalonym okresie
czasu.
Zmiennymi decyzyjnymi w tym zagadnieniu są zatem wielkości produkcji wyrobów:
x j - wielkość produkcji j-tego wyrobu,
a ogólny model zagadnienia można zapisać następująco:
c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n → max - łączny zysk ze sprzedaży wyrobów
przy ograniczeniach
rzeczywiste zużycie
środków produkcji
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n
⋮
maksymalne dostępne zasoby
środków produkcji
≤
b1
≤
b2
⋮
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n
≤
bm
x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 ,...., x n ≥ 0 ilości wyrobów nie mogą być ujemne
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
2
Zadanie - optymalny plan produkcji
Zakład przetwórstwa owocowo-warzywnego produkuje z pulpy jabłkowej dżem, mus oraz sok. Ze względów
technologicznych dzienne zużycie zarówno samej pulpy, jak i niektórych innych środków produkcji jest
limitowane. Należy znaleźć plan produkcji w/w trzech wyrobów maksymalizujący dzienny zysk z uwzględnieniem dziennych limitów. Dane liczbowe znajdują się w tabeli.
Dżem (kg DŻ)
Wyroby
Mus (kg M)
Sok (l S)
Maksymalne
dzienne
zużycie środków
produkcji
Zyski jednostkowe
0,50 PLN/kg M
0,10 PLN/l S
0,40 PLN/kg DŻ
(PLN/ jedn. wyrobu finalnego)
Środki produkcji
Jednostkowe zużycia środków produkcji
pulpa jabłkowa
0,4
0,6
0,05
(kg/ jedn. wyrobu finalnego)
(kg PJ/kg DŻ)
(kg PJ/kg M)
(kg PJ/l S)
16000 kg PJ
cukier
0,25
0,2
0,08
(kg/ jedn. wyrobu finalnego)
(kg C/kg DŻ)
(kg C/kg M)
(kg C/l S)
7000 kg C
pektyny
0,022
0
0
(kg/ jedn. wyrobu finalnego)
(kg P/kg DŻ)
(kg P/kg M)
(kg P/l S)
250 kg P
kwas cytrynowy
2
1,7
2,5
(g/ jedn. wyrobu finalnego)
(g/kg DŻ)
(g/kg M)
(g/l S)
80000 g
woda
0,35
0,2
0,92
(l/ jedn. wyrobu finalnego)
(l W/kg DŻ)
(l W/kg M)
(l W/l S )
20000 l
energia elektryczna
0,03
0,02
0,006
(kWh/ jedn. wyrobu finalnego)
(kWh/kg DŻ)
(kWh/kg M)
(kWh/l S)
1200 kWh
Uwaga. Jednostki, w których są mierzone zarówno niektóre wyroby jak i środki produkcji, czyli kilogramy oraz litry,
zostały opatrzone dodatkowymi skrótami dla rozróżnienia, do czego się odnoszą. Oznaczenia te są wykorzystane przy
„skracaniu” w formułach „rozpisanych” z jednostkami.
Model matematyczny do zadania
x1 , x2 , x3 - ilości wyrobów (odpowiednio dżemu i musu w kg oraz soku w l)
0,4 x1 + 0,5 x 2 + 0,1x3 → max (funkcja celu – łączny zysk ze sprzedaży wyrobów)
przy ograniczeniach
maksymalne dzienne
rzeczywiste zużycie
środków produkcji
zużycie środków produkcji
0,4 x1 + 0,6 x2 + 0,05 x3 ≤ 16000
0,25 x1 + 0,2 x2 + 0,08 x3 ≤ 7000
0,022 x1 + 0 x2 + 0 x3
≤ 250
2 x1 + 1,7 x2 + 2,5 x3
≤ 80000
0,35 x1 + 0,2 x2 + 0,92 x3 ≤ 20000
0,03 x1 + 0,02 x2 + 0,006 x3 ≤ 1200
x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 - ilości wyrobów nie mogą być ujemne
Funkcja celu i pierwszy z warunków ograniczających „rozpisane” z jednostkami.
PLN
PLN
PLN
x1 kg DŻ + 0,5
x2 kg M + 0,1
x3 l S
kg DŻ
kg M
lS
kg PJ
kg PJ
kg PJ
0,4
x1 kg DŻ + 0,6
x2 kg M + 0,05
x3 l S ≤ 16000 kg PJ
kg DŻ
kg M
lS
0,4
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
3
Rozwiązywanie zadania
Wprowadzanie danych do komórek arkusza
Podstawowa zasada tworzenia modeli optymalizacyjnych w Excelu, które następnie są rozwiązywane przy
pomocy dodatku Solver jest następująca.
Użytkownik MUSI ZDECYDOWAĆ, KTÓRE KOMÓRKI ARKUSZA BĘDĄ PEŁNIĆ ROLĘ
ZMIENNYCH DECYZYJNYCH („iksów”).
Wszystkie formuły opisujące funkcję celu oraz warunki ograniczające muszą być Excelowymi odpowiednikami
formuł z zapisu matematycznego, gdzie w miejscu zmiennych decyzyjnych pojawiają się referencje do
komórek pełniących rolę zmiennych decyzyjnych. Komórki te będą również zadeklarowane w odpowiednim
polu dodatku Solver jako tzw. „komórki zmieniane”.
W rozwiązywanym właśnie zadaniu komórkami pełniącymi rolę zmiennych decyzyjnych będą B2, C2, D2 –
w skrócie: zakres (tablica) B2:D2. Odpowiedniość pomiędzy komórkami a zmiennymi jest następująca:
B2 - x1 , C2 - x 2 , D2 - x3 .
Ponieważ współczynniki funkcji celu znajdują się w komórkach B4, C4 i D4, zatem odpowiednikiem funkcji
celu
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,1x3
będzie formuła
=B4*B2+C4*C2+D4*D2
Zastosujemy jednak równoważną formułę, jednakże prostszą we wprowadzaniu, zwłaszcza, jeżeli użyty
zostanie kreator funkcji (w Excelu 2003 i starszych menu Wstaw-Funkcja, w Excelu 2007 i nowszych wstążka
Formuły-Wstaw funkcję).
=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B2:D2).
Jak widać, funkcja celu jest podobna do formuł w lewych stron warunków ograniczających (wszystkie one są
sumami iloczynów liczb i zmiennych). Dzięki temu formuła reprezentująca w arkuszu funkcję celu zostanie
wykorzystana do stworzenia, przy pomocy kopiowania, formuł reprezentujących lewe strony warunków
ograniczających W tym celu formuła ta musi być wpisana w postaci
=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$2:D$2)
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
4
Informacja na temat formuł: wprowadzanej i kopiowanych
Formuły „dosłowne” tzn. takie które
należałoby wpisać przy literalnym
„przełożeniu” zapisu matematycznego
na składnię Excela
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,1x3
=B4*B2+C4*C2+D4*D2
0,4 x1 + 0,6 x2 + 0,05 x3
=B6*B2+C6*C2+D6*D2
0,25 x1 + 0,2 x2 + 0,08 x3
=B7*B2+C7*C2+D7*D2
0,022 x1 + 0 x2 + 0 x3
=B8*B2+C8*C2+D8*D2
2 x1 + 1,7 x2 + 2,5 x3
=B9*B2+C9*C2+D9*D2
0,35 x1 + 0,2 x2 + 0,92 x3
=B10*B2+C10*C2+D10*D2
0,03 x1 + 0,02 x2 + 0,006 x3
=B11*B2+C11*C2+D11*D2
Komórka
Zapis matematyczny
Formuły z SUMA.ILOCZYNÓW
odpowiadające formułom „dosłownym”
Uwagi
E4
=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$2:D$2)
Wprowadzona przez
użytkownika
E6
=SUMA.ILOCZYNÓW(B6:D6;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
E7
=SUMA.ILOCZYNÓW(B7:D7;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
E8
=SUMA.ILOCZYNÓW(B8:D8;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
E9
=SUMA.ILOCZYNÓW(B9:D9;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
E10
=SUMA.ILOCZYNÓW(B10:D10;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
E11
=SUMA.ILOCZYNÓW(B11:D11;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
5
Kolejnym etapem jest skopiowanie komórki E4 na zakres E6:E11. Dzięki właściwościom kopiowania nie trzeba bowiem
wprowadzać 7 formuł (funkcja celu + 6 formuł na lewe strony warunków ograniczających). Wystarczy wpisać formułę
(odpowiadającą funkcji celu) jeden raz, a pozostałe formuły „wygenerować” poprzez kopiowanie.
Widok po skopiowaniu. Zrzut ekranu powyżej nie ilustruje żadnych czynności, a jedynie służy do kontroli
poprawności wprowadzenia danych!!!
To samo, co powyżej, ale zamiast wyników formuł (które to wyniki na tym etapie są, jak już wiadomo,
zerami) są wyświetlone same formuły.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
6
Ustawienia Solvera
Na tym etapie zakończyło się wprowadzanie danych bezpośrednio do komórek arkusza.
Mamy następujące związki między zapisem matematycznym a zapisem w Excelu:
B2 C2 D2
(B2:D2)
x1 , x2 , x3 - ilości wyrobów (odpowiednio dżemu i musu w kg oraz soku w l)
E4 0,4 x1 + 0,5 x 2 + 0,1x3 → max (funkcja celu – łączny zysk ze sprzedaży wyrobów)
przy ograniczeniach
rzeczywiste zuż .środ. prod.
maks. dzienne zuż. środ. prod.
E6
0,4 x1 + 0,6 x2 + 0,05 x3 ≤ 16000
F6
E7
0,25 x1 + 0,2 x2 + 0,08 x3 ≤ 7000
F7
E8
0,022 x1 + 0 x2 + 0 x3
≤ 250
F8
E9
2 x1 + 1,7 x2 + 2,5 x3
≤ 80000
F9
E10
0,35 x1 + 0,2 x2 + 0,92 x3 ≤ 20000
E11
0,03 x1 + 0,02 x2 + 0,006 x3 ≤ 1200 F11
(E6:E11)
F10
(F6:F11)
B2
C2
D2
(B2:D2)
x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 - ilości wyrobów nie mogą być ujemne
Należy teraz otworzyć okno główne Solvera (Excel 2003 i starsze menu Narzędzia-Solver, Excel 2007 i nowsze
wstążka Dane-Solver; nazewnictwo używane poniżej jest dostosowane do interfejsu Solvera do wersji Excela
do 2007 włącznie), a następnie zadeklarować ustawienia:
Komórka celu: E4
Równa: Maks (funkcja celu jest maksymalizowana – jest to ustawienie domyślne i nie trzeba go zmieniać)
Komórki zmieniane: B2:D2
Warunki ograniczające:
B2:D2>=0
E6:E11<=F6:F11.
Uwaga 1
Jeżeli adresy komórek w polach okien Solvera są wskazywane myszą lub klawiszami strzałek, są one „wzbogacone” o znaki $. Również w przypadku adresów komórek podawanych z klawiatury po ich zatwierdzeniu (tzn.
po zamknięciu i ponownym otwarciu okna) pojawią się w nich znaki $. Znaki te nie mają żadnego praktycznego znaczenia. a ich pojawianie się jest uwarunkowane względami techniczno-programistycznymi. Nie ma
potrzeby wprowadzania znaków $ przez użytkownika. Niemniej dopisywanie znaków $ jest wskazane
w starszych wersjach Excela (do 2002), ponieważ przy braku tychże niekiedy warunki ograniczające są
zatwierdzane nieprawidłowo.
Uwaga 2
Warunki ograniczające w oknie Solvera są sortowane alfabetycznie niezależnie od kolejności ich wprowadzania. Cyfry są traktowane jak litery tzn. w sortowaniu np. A13 jest wcześniejsze niż A2, a znaki relacji
wiążących obie strony ograniczenia są sortowane w kolejności <=, = , >=.
Uwaga 3
B2:D2>=0 jest skróconym zapisem dla B2>=0, C2>=0, D2>=0 (czyli x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 )
E6:E11<=F6:F11 jest skróconym zapisem dla E6<=F6, E7<=F7, E8<=F8, E9<=F9, E10<=F10, E11<=F11
(warunki związane ze zużyciem środków produkcji)
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
7
Szczegółowe zasady wprowadzania definiowania zadania w Solverze w tym w szczególności warunków
ograniczających ukazane na przykładzie rozwiązywanego zadania.
W Komórka celu wpisujemy E4, w Komórki zmieniane B2:D2. Opcję Równa zostawiamy jako domyślną
(Maks). Dolary w adresach komórek są dostawiane automatycznie przez Excela przy wskazywaniu zakresów
komórek myszą albo po zatwierdzeniu danych poprzez przejście do innego pola. Dolary te do niczego nie służą,
a ich pokazywanie jest prawdopodobnie uwarunkowane względami technicznymi.
Główne okno Solvera (Solver - Parametry) przed dodaniem warunków ograniczających. W samym polu Warunki ograniczające nic nie wpisujemy, ponieważ jest to NIEMOŻLIWE. Aby dodać warunki, klikamy
w Dodaj
Otwiera się nowe okno Dodaj warunek ograniczający
Wprowadzamy pierwszą grupę warunków czyli warunki nieujemności zmiennych (B2:D2>=0) i klikamy Dodaj
Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania"
Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania"
okienek do w prow adzania adresów komórek.
okienek do w prow adzania adresów komórek.
Pojawia się znowu okno Dodaj warunek ograniczający. Wprowadzamy analogicznie warunki ograniczeń
funkcyjnych (E6:E11<=F6:F11). Ponieważ nie ma już więcej warunków do dodania, klikamy OK. Następuje
powrót do okna Solver - Parametry
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
8
Po dodaniu warunków ograniczających okno Solver – Parametry powinno wyglądać jak niżej
Ustawienia Solvera dla rozwiązywanego zadania
Teraz trzeba tylko kliknąć w Rozwiąż i zaczekać (bardzo krótko), aż pojawi się następujące okno:
Pozostaje już tylko kliknąć w OK, aby zaakceptować wynik.
Rozwiązanie zadania
Odpowiedź „słowna”.
Maksymalny dzienny zysk wynosi 14547,10556 PLN. Jest on osiągnięty dla planu produkcji:
x1* = 7877,412 kg dżemu,
x 2* = 20431,33 kg musu,
x 3* = 11804,77 l soku
Uwagi do rozwiązania
Jak widać, w rozwiązaniu optymalnym zużycie 1, 2 oraz 4 środka produkcji jest równe zużyciu maksymalnemu, natomiast zużycie pozostałych środków produkcji tzn. 3, 4 oraz 6 jest mniejsze niż maksymalne. Innymi
słowy, dla rozwiązania optymalnego 3 warunki ograniczające związane ze zużyciem środków produkcji są
spełnione z równością, a 3 z nierównością ostrą. Oznacza to, iż ewentualne zmniejszenie któregokolwiek z
limitów środków produkcji 3, 4 oraz 6 do poziomów odpowiednio nawet 173,3030647, 17703,74574 oraz
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
9
715,7775255 nie wpłynie w jakikolwiek sposób na plan produkcji, a zatem i na osiągnięty zysk. Ewentualne
zwiększenie któregokolwiek z limitów środków produkcji 3, 4 oraz 6 oczywiście tym bardziej nie wpłynie na
plan produkcji. Z kolei zmniejszenie któregokolwiek z limitów zużycia środków produkcji 1, 2 oraz 4 będzie
skutkować zmniejszeniem wielkości produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zmniejszeniem
zysku. Z drugiej strony, zwiększenie któregokolwiek z limitów zużycia środków produkcji 1, 2 oraz 4 może
skutkować (ale nie musi) zwiększeniem wielkości produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zwiększeniem zysku.
Liczba warunków ograniczających związanych ze zużyciem środków produkcji, które są spełnione z równością
zależy od konkretnego zadania. Mogą to być nawet wszystkie z nich, a na pewno będzie to przynajmniej jeden
z nich.