Zadanie projektowe: Niezawodność i diagnostyka układów

Bartłomiej Piekarski
171160
Łukasz Tkacz
171032
Łukasz Przywarty
171018
Data utworzenia: 01.06.2010r.
Zadanie projektowe:
Niezawodność i diagnostyka układów cyfrowych
Temat: „Ocena niezawodności systemu pomiarowego typu '2z3' z zawodnym układem diagnostyki”
Prowadzący:
dr inż. Kazimierz Kapłon
Strona 1
Spis treści
I. Szczegółowy opis zadania projektowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
II. Koncepcja symulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
a) Wykresy czasowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
b) Tabela stanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
c) Graf stanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
d) Schemat blokowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III. Implementacja programowa modelu symulacyjnego w środowisku Matlab . . . . . . . . . . . . 9
a) Listing kodu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
b) Wyniki symulacji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV. Szacowanie charakterystyk niezawodnościowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
V. Podsumowanie i wnioski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
VI. Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Strona 2
I. Szczegółowy opis zadania projektowego
W projekcie należy określić charakterystyki niezawodnościowe systemu pomiarowego,
który składa się z trzech elementów pomiarowych (czujników) i układu diagnostyki i przełączania.
Czujniki są funkcjonalne i niezawodnościowo takie same. Do poprawnej pracy systemu
pomiarowego konieczna jest sprawność co najmniej dwóch czujników. System wykonuje swoją
pracę w sposób ciągły. W ujęciu niezawodnościowym wszystkie elementy są zawodne i naprawialne. Znane są: rozkład prawdopodobieństwa czasu poprawnej pracy czujnika do uszkodzenia
Fc(t) i układu diagnostyki F d(t) oraz rozkłady Gc (t) i odpowiednio Gd(t) czasu do zakończenia
naprawy. Elementy systemu są naprawiane przez K ekip remontowych. Ponadto:
•
układ diagnostyki i przełączania czujników w stanie uszkodzenia nie zakłóca pracy
czujników (tzn. następuje utrata zdolności do wykrywania uszkodzeń i przełączania
elementów, ale jeśli co najmniej 2 z 3 czujników są w stanie sprawności, to system nadal
poprawnie wykonuje pomiary),
•
czasy do uszkodzenia elementu τc, τd mają rozkłady wykładnicze o parametrach λc, λd
•
czasy naprawy Θc, Θd mają rozkłady normalne obcięte (Θ > 0) o parametrach μ c, σc, μd, σd
(wartości dobrać indywidualnie)
W ramach projektu należy:
•
opracować model symulacyjny działania systemu uwzględniający występowanie uszkodzeń
i napraw elementów (przedstawić ten model w postaci schematu blokowego)
•
opracować implementację programową modelu symulacyjnego w środowisku Matlab,
•
dla wybranych wartości parametrów wykonać na modelu niezbędną liczbę eksperymentów
•
na podstawie otrzymanych wyników oszacować charakterystyki niezawodności badanego
systemu
II. Koncepcja symulacji
Zadanie polega na utworzeniu modelu symulacyjnego systemu '2z3' z zawodnym układem
diagnostyki. Szczegółowe założenia projektowe zawarte są w punkcie I. niniejszej pracy.
Na samym początku należy przyjrzeć się zachowaniu systemu w poszczególnych chwilach czasu.
Zakładając, że dostępny jest jeden konserwator, w jednej chwili czasu może on naprawiać tylko
jeden element systemu. W momencie gdy uszkodzi się inny element, a konserwator będzie zajęty,
element pozostaje uszkodzony i czeka na naprawę. Szczególnie traktujemy układ diagnostyki:
naprawiamy go w pierwszej kolejności (gdy jest dostępny konserwator, który taką naprawę może
Strona 3
wykonać. W przeciwnym razie układ naprawiany jest zaraz po ukończeniu naprawy innego
elementu).
a) Wykresy czasowe
Przedstawimy teraz przykładowe wykresy czasowe, zakładając, że korzystamy z usług jednego
konserwatora a stany elementów systemu oznaczone są następująco:
•
0 – sprawny
•
1 - uszkodzony w naprawie
•
2 – uszkodzony bez naprawy
Na rysunku poniżej c1, c2, c3, oznaczają kolejne czujniki, natomiast D – układ diagnostyki
Rysunek 1: Wykresy czasowe dla rozpatrywanego systemu
Jak można zauważyć na Rys. 1 uzyskaliśmy wstępne wyniki symulacji dla konkretnych zdarzeń
Strona 4
(uszkodzeń i napraw). Oznaczyliśmy literą Q czasy naprawy, natomiast literą τ – czasy między
uszkodzeniami.
b) Tabela stanów
Pomocne będzie rozpatrzenie wszystkich kombinacji stanów poszczególnych elementów wraz
z uwzględnieniem stanu całego systemu. Niestety, wiele z kombinacji jest niemożliwych, tzn., że
nie spełniają warunków określonych w treści zadania projektowego. Kombinacje stanów
przedstawimy w postaci tabeli. Kolorem szarym zaznaczono niemożliwe kombinacje stanów
poszczególnych elementów., wyróżniono natomiast stany możliwe. Zakładamy, że K = 1.
Stan Ssys
Stan elementu
Stan
systemu
D
S1
S2 S3
S0000
0
0
0
0
0
S0001
0
0
0
1
0
S0002
0
0
0
S0020
0
0
S0021
0
S0022
Stan Ssys
Stan elementu
D
S1 S2 S3
S0010
0
0
1
0
S0011
0
0
1
1
2
S0012
0
0
1
2
2
0
S1121
1
1
2
1
0
2
1
S1122
1
1
2
2
0
0
2
2
S1200
1
2
0
0
S0100
0
1
0
0
S1201
1
2
0
1
S0101
0
1
0
1
S1202
1
2
0
2
S0102
0
1
0
2
S1210
1
2
1
0
S0110
0
1
1
0
S1211
1
2
1
1
S0111
0
1
1
1
S1212
1
2
1
2
S0112
0
1
1
2
S1220
1
2
2
0
S0120
0
1
2
0
S1221
1
2
2
1
S0121
0
1
2
1
S1222
1
2
2
2
S0122
0
1
2
2
S2000
2
0
0
0
S0200
0
2
0
0
S2001
2
0
0
1
S0201
0
2
0
1
S2002
2
0
0
2
S0202
0
2
0
2
S2010
2
0
1
0
S0210
0
2
1
0
S2011
2
0
1
1
S0211
0
2
1
1
S2012
2
0
1
2
S0212
0
2
1
2
S2020
2
0
2
0
S0220
0
2
2
0
S2021
2
0
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Strona 5
Stan
systemu
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
Stan Ssys
Stan elementu
Stan
systemu
Stan Ssys
1
S2022
2
0
2
2
S2100
2
1
0
0
S2101
2
1
0
1
S2102
2
1
0
2
S2110
2
1
1
0
Stan elementu
S0221
0
2
2
1
S0222
0
2
2
2
S1000
1
0
0
0
S1001
1
0
0
1
S1002
1
0
0
2
S1010
1
0
1
0
S2111
2
1
1
1
S1011
1
0
1
1
S2112
2
1
1
2
S1012
1
0
1
2
S2120
2
1
2
0
S1020
1
0
2
0
S2121
2
1
2
1
S1021
1
0
2
1
S2122
2
1
2
2
S1022
1
0
2
2
S2200
2
2
0
0
S1100
1
1
0
0
S2201
2
2
0
1
S1101
1
1
0
1
S2202
2
2
0
2
S1102
1
1
0
2
S2210
2
2
1
0
S1110
1
1
1
0
S2211
2
2
1
1
S1111
1
1
1
1
S2212
2
2
1
2
S1112
1
1
1
2
S2220
2
2
2
0
S1120
1
1
2
0
S2221
2
2
2
1
0
0
0
1
Stan
systemu
0
1
1
1
1
1
1
1
S2222
2
2
2 2
Tabela 1: Tabela stanów systemu
Okazuje się, że większość kombinacji jest niepoprawna. Możliwe zestawienia stanów elementów są
mniej liczne. Nasz system, przy założeniu, że korzystamy z usług jednego konserwatora przez
większa część czasu pozostaje niesprawny. Stan sprawności systemu zachodzi tylko w 11
przypadkach.
c) Graf stanów
Aby lepiej zobrazować zachowanie systemu w momencie naprawy lub uszkodzenia elementu
przedstawimy graf stanów. Graf stanów przedstawia tylko możliwe stany systemu, oznaczone
kółkiem, w którym widnieje nazwa stanu. Poszczególne przejścia między stanami oznaczone są
strzałkami. Adnotacje przy strzałkach (ni lub ui) oznaczają naprawę lub uszkodzenie
poszczególnych elementów. Stan sprawności całego systemu wyróżniono pogrubieniem stanów.
Stany niesprawności zaznaczono przerywaną linią.
Strona 6
Rysunek 2: Graf stanów
Zależności między stanami są dość skomplikowane, ale jednoznaczne. W momencie uszkodzenia
lub naprawy elementu przechodzimy do kolejnego stanu. Procedura ta powtarza się przez cały czas
trwania symulacji.
c) Schemat blokowy algorytmu symulacji
W tym miejscu możemy skupić się na algorytmie symulacji w postaci schematu blokowego.
Schemat blokowy zawiera wyczerpujące dane na temat działania systemu.
Strona 7
Rysunek 3: Model symulacyjny systemu - schemat blokowy
Strona 8
Legenda:
•
Fc(t) oraz Fd(t) - rozkład prawdopodobieństwa czasu poprawnej pracy do uszkodzenia
czujnika oraz układu diagnostyki
•
Gc(t) oraz Gd(t) -
rozkład prawdopodobieństwa czasu naprawy czujnika i układu
diagnostyki
•
K – liczba konserwatorów
•
Tsym – całkowity czas symulacji
•
Lsym – liczba symulacji
•
T1, T2, T3
oraz Td – moment uszkodzenia poszczególnych czujników oraz układu
diagnostyki
•
Tx – czas najbliższego uszkodzenia (wydarzenia)
•
Sx oraz Sd – stany czujników i układu diagnostyki
•
L0 – liczba oczekujących na naprawę
Opiszemy pokrótce algorytm działania systemu. Na samym początku określamy niezbędne
parametry, takie jak rozkłady prawdopodobieństw, liczba symulacji itd. Losujemy czasy poprawnej
pracy i wybieramy minimum z tych czasów. W momencie gdy uszkodzeniu uległ konkretny
element systemu naprawiamy go, zakładając, ze są dostępni konserwatorzy. Priorytet (jeśli chodzi
o kolejność wykonywanych napraw) ma układ diagnostyki. Czas naprawy jest również parametrem
losowym. Gdy nie ma dostępnych konserwatorów zwiększamy liczbę oczekujących na naprawę
i staramy się o rozpoczęcie naprawy w innym momencie czasu. Jeśli wszystkie elementy zostały
naprawione zwiększamy czas od startu symulacji i zmniejszamy czasy uszkodzeń. Wyniki
poszczególnych prób zapisujemy w postaci plików wyjściowych
o konkretnym numerze.
Wszystkie kroki powtarzamy do momentu aż przekroczymy maksymalny czas symulacji
i maksymalną ilość symulacji.
Dokładny opis działania symulatora znajduje się w punkcie IV niniejszej pracy.
IV. Implementacja programowa modelu symulacyjnego w środowisku Matlab
Program symulacyjny oprócz tego, że generuje losowe zdarzenia (uszkodzenia, naprawy)
będzie także obliczał następujące miary niezawodnościowe:
•
TTF – czas do uszkodzenia,
•
TTR – czas do naprawy,
•
MTBF – średni czas między uszkodzeniami,
Strona 9
•
MTTF – średni czas do uszkodzenia,
•
MTTR – średni czas do naprawy.
a) Listing kodu
Opiszemy działanie symulatora na podstawie dołączonych fragmentów kodu. Na samym początku
ustalamy maksymalny czas symulacji oraz liczbę tych symulacji. Dobieramy również rozkłady
prawdopodobieństwa dla czasów poprawnej pracy i czasów naprawy.
clear
Tsym = 500;
Lsym = 1000;
F = 13;
G = 10;
Listing 1: Podstawowe parametry
Ustalamy ścieżki zapisu plików zawierających czasy do uszkodzenia – TTF oraz czasy do naprawy
TTR. W tych plikach przechowywać będziemy obliczone w dalszej części programu wartości.
sciezka_ttf = sprintf('wyniki\\ttf.txt');
[file_ttf, message] = fopen(sciezka_ttf,'w');
%Sprawdzenie poprawności otwarcia
if file_ttf == -1
disp(wiadomosc)
return;
end;
sciezka_ttr = sprintf('wyniki\\ttr.txt');
[file_ttr, wiadomosc] = fopen(sciezka_ttr,'w');
if file_ttr == -1
disp(wiadomosc)
return;
end;
Listing 2: Ścieżki zapisu plików ttf i ttr
W tym miejscu możemy zaimplementować schemat blokowy działania systemu – w postaci kilku
zagnieżdżonych pętli 'for'. Definiujemy zmienne i losujemy momenty uszkodzenia
for L = 1:Lsym
%Inicjalizacja zmiennych.
K = 1; %liczba konserwatorów
Strona 10
T = 0; %czas symulacji
tx = 0; %bieżąca chwila (minimum z wylosowanych momentów)
LO = 0; %liczba oczekujących na naprawę
S = [0,0,0,0]; %stany poszczególnych elementów systemu - pierwszy układ
%diagnostyki, następnie czujniki
Tx = [1,2,3,10]; %czasy uszkodzenia (najbliższego wydarzenia)
%Losowanie momentów uszkodzenia
for i = 1:4
Tx(i) = exprnd(F);
end
Listing 3: Zmienne i momenty uszkodzenia
Sprawdzimy również czy system jest sprawny. Wykorzystamy do tego celu dodatkową zmienną
sprawne, która będzie przechowywała liczbę elementów sprawnych.
%Zmienna przechowująca ilość elementów sprawnych
sprawne = 0;
for i = 2:4
%Jeśli stan elementu jest równy 0 (jest sprawny) zwiększamy
%zmienną sprawne o 1
if S(i) == 0
sprawne = sprawne + 1;
end
end
%W przypadku gdy liczba czujników sprawnych jest równa
przynajmniej 2
%cały system jest sprawny (zasada '2z3')
if sprawne > 1
stan = 0;
%w przeciwnym wypadku układ jest niesprawny
else
stan = 1;
end
Listing 4: Sprawdzenie stanu systemu
Mając stany poszczególnych elementów jak i całego systemu możemy zapisać wyniki do pliku.
Definiujemy ścieżkę zapisu pliku i wpisujemy do niego wartości:
Strona 11
%Ustalenie ścieżki zapisu dla plików wynikowych symulacji
sciezka_proba = sprintf('wyniki\\sym%d.txt',L);
[file_proba, wiadomosc] = fopen(sciezka_proba,'w');
if file_proba == -1
disp(wiadomosc)
return;
end;
%Zapisujemy wyniki do pliku w postaci: stan systemu, stan układu
%diagnostyki, stany czujników, czas od momentu startu symulacji.
fprintf(file_proba,'%d\t%d\t%d\t%d\t%d\t%f\r\n', stan, S(1), S(2), S(3),
S(4),T);
Listing 5: Zapis stanów elementów i systemu do pliku
Dochodzimy do najważniejszej części programu – symulacji. Dopóki czas jest mniejszy od
maksymalnego czasu symulacji wykonujemy procedury zobrazowane w schemacie blokowym.
Rozpoczynamy od wyszukania minimum z czasów uszkodzeń.
while T < Tsym
%zwiększamy bieżącą chwilę
tx = 2 * Tsym;
%Szukamy minimum z czasów uszkodzeń
for i = 1:4
if Tx(i) < tx
x = i;
tx = Tx(i);
end
end
Listing 6: Szukanie minimum z czasów uszkodzeń
Następnie sprawdzamy czy urządzenie w chwili tx_ było sprawne. Jeśli tak – sprawdzamy czy
układ diagnostyki był sprawny i czy liczba konserwatorów jest większa od 0. W przypadku
uzyskania twierdzącej odpowiedzi wiemy, że urządzenie uległo uszkodzeniu, musimy je więc
naprawić. Zmniejszamy liczbę dostępnych konserwatorów i losujemy czas naprawy. Zaznaczamy
stan elementu jako 1 (w naprawie). W przeciwnym razie zwiększamy liczbę oczekujących na
naprawę i oznaczamy stan elementu jako 2 (czekający na naprawę).
if S(x) == 0
if S(1) == 0 && K>0
Strona 12
K = K-1;
Tx(x) = exprnd(G) + tx;
S(x) = 1;
else
Tx(x) = 5 * Tsym;
LO = LO + 1;
S(x) = 2;
end
Listing 7: Sprawdzenie sprawności w chwili tx_
Jeśli element w chwili tx_ był uszkodzony losujemy czas poprawnej pracy, zwiększamy liczbę
konserwatorów i oznaczamy stan elementu jako 0 (sprawny)
else
K = K+1;
Tx(x) = exprnd(F) + tx;
S(x) = 0;
end
Listing 8: Sprawdzenie sprawności w chwili tx_ c.d.
Szczególnie traktujemy układ diagnostyki. Jeśli układ ten oczekuje na naprawę i są dostępni
konserwatorzy naprawiamy go w pierwszej kolejności.
if S(1) == 2 && K > 0
K = K - 1;
Tx(1) = exprnd(G) + tx;
S(1) = 1;
LO = LO - 1;
end
Listing 8: Próba naprawy układu diagnostyki
Nie tylko układ diagnostyki ulega uszkodzeniu. Podobnie dzieje się z czujnikami, dopóki liczba
oczekujących na naprawę czujników jest większa od 0, układ diagnostyki jest sprawny i są dostępni
konserwatorzy, naprawiamy poszczególne elementy w kolejności 1-wszy, 2-gi, 3-ci czujnik.
i = 2;
while LO > 0 && S(1) == 0 && K > 0
if S(i) == 2
K = K - 1;
Tx(i) = exprnd(G) + tx;
S(i) = 1;
Strona 13
LO = LO - 1;
end
i = i + 1;
end
Listing 9: Naprawa poszczególnych czujników systemu
Możemy teraz zwiększyć czas od startu systemu a także zmniejszyć czasy najbliższego wydarzenia
i kolejny raz policzyć ile elementów jest sprawnych. Określenie liczby sprawnych elementów
systemu wygląda identycznie jak w Listingu 4, więc pominiemy ten fragment kodu. Wyniki
zapisujemy do pliku w sposób zaprezentowany w końcowej części Listingu 5.
%Zwiększamy czas od startu systemu
T = T + tx;
%Zmniejszamy czasy najbliższego wydarzenia
for i = 1:4
Tx(i) = Tx(i) - tx;
end
Listing 10: Korekta czasów
Nasz symulator wygenerował do tej pory uszkodzenia i naprawy a także czasy tych zdarzeń. Mając
do dyspozycji te dane jesteśmy w stanie obliczyć parametry TTF oraz TTR. Rezultaty zapisujemy
do plików tekstowych.
%Otwieramy plik z wynikami konkretnej próby
[file_proba, wiadomosc] = fopen(sciezka_proba,'r');
if file_proba == -1
disp(wiadomosc)
return;
end
%Z pliku zczytujemy wartości do tablicy
tab = fscanf(file_proba,'%d%d%d%d%d%f',[ 6 inf ]);
fclose(file_proba);
tab = tab';
rozmiar = size(tab,1);
ostatniStan = tab(1,1); %Pierwszy stan systemu
ostatniRazSprawny = 0;
%Moment ostatniej sprawności
ostatniRazUszkodzony = 0;%Moment ostatniego uszkodzenia
%W tym miejscu obliczymy poszczególne czasy do uszkodzenia i czasy do
Strona 14
%naprawy - TTF oraz TTR
for i = 2:rozmiar
%Zczytujemy czas od momentu startu symulacji
czas = tab(i,6);
%oraz stan systemu
stan = tab(i,1);
%Jeśli ostatni odczytany stan różni się od bieżącego sprawdzamy czy
%jest równy 1 jeśli tak zapisujemy do pliku obliczoną wartość TTF.
%W przeciwnym razie - wartość TTR
if ostatniStan ~= stan
if stan == 1
czasSprawnego = (czas - ostatniRazSprawny);
ostatniRazUszkodzony = czas;
fprintf(file_ttf,'%f\r\n', czasSprawnego);
else
czasUszkodzonego = (czas - ostatniRazUszkodzony);
ostatniRazSprawny = czas;
fprintf(file_ttr,'%f\r\n', czasUszkodzonego);
end
end
ostatniStan = stan;
end
end
fclose(file_ttf);
fclose(file_ttr);
Listing 11: Obliczenie parametrów TTF i TTR
Aby umożliwić późniejszą analizę wyników umieścimy wartości TTF oraz TTR w tablicach:
%Otwieramy pliki z wartościami TTF oraz TTR
sciezka_ttf = sprintf('wyniki\\ttf.txt');
[file_ttf, wiadomosc] = fopen(sciezka_ttf,'r');
if file_ttf == -1
disp(wiadomosc)
return;
end;
sciezka_ttr = sprintf('wyniki\\ttr.txt');
[file_ttr, wiadomosc] = fopen(sciezka_ttr,'r');
if file_ttr == -1
disp(wiadomosc)
Strona 15
return;
end;
%Zapisujemy wartości TTF oraz TTR w tablicy
ttf = fscanf(file_ttf,'%f', [ 1 inf ]);
ttf = ttf';
ttr = fscanf(file_ttr,'%f',[ 1 inf ]);
ttr = ttr';
fclose(file_ttf);
fclose(file_ttr);
Listing 12: Zapis wartości TTF i TTR w tablicach
Na samym końcu obliczamy pozostałe parametry MTBF, MTTF, MTTR
fprintf('MTBF: %f\n',mean(ttf) + mean(ttr));
fprintf('MTTF: %f\n',mean(ttf));
fprintf('MTTR: %f\n',mean(ttr));
Listing 13: Obliczenie pozostałych parametrów niezawodnościowych.
b) Wyniki symulacji
Uruchamiając program uzyskaliśmy pliki wynikowe, których fragmenty przedstawiono w Tabeli 2.
Stan
Stan Stan 1. Stan 2. Stan 3.
układu diagno- czujni- czujni- czujnistyki
ka
ka
ka
Czas od
początku
symulacji
0
0
0
0
0
0.000000
0
1
0
0
0
7.687255
0
0
0
0
0
8.781624
0
0
0
1
0
9.834445
0
2
0
1
0
9.864509
1
2
2
1
0
17.490966
0
1
2
0
0
29.341057
0
0
1
0
0
32.566749
1
0
1
0
2
37.286037
1
0
1
2
2
37.961525
1
0
0
1
2
44.649317
0
0
0
0
1
55.324184
1
0
2
0
1
56.910808
1
2
2
0
1
58.083068
1
2
2
2
1
66.521111
1
1
2
2
0
70.361735
Tabela 2: Fragment plików wynikowych
TBF
MTBF
MTTF
MTTR
17.490966
36.870919 8.776564 28.094354
19.795071
0.675488
6.687792
12.261491
1.172260
8.438043
3.840624
Strona 16
IV. Szacowanie charakterystyk niezawodnościowych
Podsumujmy nasze dotychczasowe działania: analizując treść zadania projektowego
utworzyliśmy schemat blokowy działania systemu. Na tej podstawie napisaliśmy program
w środowisku Matlab. Program symuluje działanie systemu, zapisuje wyniki do poszczególnych
plików i oblicza wartości TTF oraz TTR. Wykorzystamy je do szacowania charakterystyk
niezawodnościowych.
Aby ukazać z jaką częstością pojawiają się kolejne wartości TTF i TTR wykorzystamy histogramy.
Histogram w programie Matlab można utworzyć wydając polecenie: hist(dane). Jeśli
w miejsce danych podstawimy ttf uzyskamy wykres:
Rysunek 4: Histogram częstości wystąpień wartości TTF
Postępując podobnie w przypadku ttr wyświetlimy drugi histogram:
Rysunek 5: Histogram częstości wystąpień wartości TTR
Strona 17
Z Rys. 4 oraz Rys. 5 wynika, że zdecydowanie częściej występują małe wartości TTF oraz TTR. Im
większa wartość tym rzadziej ona występuje. Wiedząc jak wyglądają histogramy wartości TTF
i TTR możemy przystąpić do właściwej części zadania – dopasowywania rozkładów.
W trakcie poszukiwań informacji na temat dopasowywania rozkładów do zmiennych losowych
natrafiliśmy na bardzo pomocne narzędzie zaimplementowane w programie Matlab – dfittool.
Na podstawie danych (w naszym przypadku tablic z wartościami TTF oraz TTR) generuje
histogramy, do których można dopasować funkcje rozkładu np. Weibulla, gamma, normalnego.
Narzędzie korzysta z odrębnego graficznego interfejsu użytkownika, wszystkie operacje
wykonujemy za pomocą dostępnych przycisków. Dfittool automatycznie generuje wykresy
oraz potrzebne parametry np. dla rozkładu Weibulla – parametr skali oraz kształtu (odpowiednio
a i b w programie Matlab). Użycie narzędzia jest bardzo proste wystarczy wpisać (np. w oknie
poleceń): dfittool(dane) w naszym przypadku: dfittool(ttf) lub dfittool(ttr)
Po uruchomieniu narzędzia otwiera się osobne okno przedstawione na Rys. 6. Okno to zawiera
kilka
ważnych
Najistotniejsze
elementów.
dla
nas
są
przyciski znajdujące się nad
wykresem. Aby zaimportować
zbiór danych należy skorzystać
z przycisku Data. Kolejny
raz wyświetli się nowe okno,
które pozwala wybrać, do których zmiennych dopasowywać
będziemy rozkłady. Operacje
dodawania
jemy
danych
akceptu-
przyciskiem
Create
data set.
Przycisk New Fit... poRysunek 6: Główne okno narzędzia dfittool
zwala dodać nowe dopaso-
wanie. Podobnie jak w przypadku tworzenia zbioru zmiennych korzystamy z odrębnego okna
wyboru, które umożliwia nazwanie konkretnego dopasowania (Fit name) oraz zdefiniowanie pożądanego rozkładu (Distribution). Warto zaznaczyć, że do jednego wykresu możemy dodać
wiele dopasowań, pozwala to łatwiej określić, który rozkład jest najbardziej odpowiedni.
Przyciski Manage fits... służą do zarządzania dopasowaniami, natomiast Evaluate...
Strona 18
oraz Exclude... kolejno do badania konkretnych zmiennych oraz wykluczania wartości,
których nie chcemy obejmować dopasowywaniem.
Ważnym elementem okna narzędzia dfittol jest również pole Display type. Pozwala ono
wybrać sposób wyświetlania wykresów np. Density oznacza wyświetlanie w postaci funkcji
gęstości prawdopodobieństwa natomiast
Cumulative probability – funkcji rozkładu
prawdopodobieństwa.
Spróbujemy teraz dopasować histogram wartości TTF oraz TTR do kilku rozkładów. Uznaliśmy,
że najodpowiedniejsze będą rozkłady:
•
normalny,
•
eksponencjalny,
•
Weibulla.
Uzyskaliśmy następujące rezultaty (w postaci funkcji gęstości prawdopodobieństwa):
Rysunek 7: Dopasowania rozkładów do wartości TTF
Z analizy przeprowadzonego doświadczenia (Rys. 7 oraz Rys. 8) wynika , że najlepiej dopasowany
do histogramu jest rozkład eksponencjalny. Rozkład normalny kompletnie nie pasuje, natomiast
rozkład Weibulla osiąga zbyt duże gęstości.
Strona 19
Rysunek 8: Dopasowania rozkładów do wartości TTR
Narzędzie dfittol wygenerowało dla rozkładów następujące parametry:
•
dla rozkładu normalnego:
– mu (średnia μ) – 8.77656
– sigma (odchylenie standardowe σ) – 9.48085
•
dla rozkładu Weibulla
– a (parametr skali λ)– 8.45563
– b (parametr kształtu k) - 0.92366
•
dla rozkładu eksponencjalnego
– mu (parametr λ) – 8.77656
Niestety – tylko na podstawie dopasowań do histogramów nie możemy jednoznacznie określić,
który rozkład najlepiej pasuje do naszych wartości. Przedstawimy więc te same dane i rozkłady na
wykresie funkcji prawdopodobieństwa. W tym celu w polu
dfittol wybieramy opcję Probability plot.
Strona 20
Display type
narzędzia
Rysunek 9: Wykres probabilistyczny dla wartości TTF i rozkładu eksponencjalnego
Rysunek 10: Wykres probabilistyczny dla wartości TTR i rozkładu eksponencjalnego
Widzimy, że o ile dla wartości TTF rozkład eksponencjalny jest dość dobrze dopasowany to dla
wartości TTR – nie (linia czerwona oznacza dopasowanie idealne). Porównamy więc wyniki
z pozostałymi rozkładami.
Strona 21
Rozkład normalny:
Rysunek 11: Wykres probabilistyczny dla wartości TTF i rozkładu normalnego
Rysunek 12: Wykres probabilistyczny dla wartości TTR i rozkładu normalnego
Podobnie jak w przypadku dopasowania do histogramu rozkład normalny odrzucamy, ze względu
na to, że zdecydowanie odbiega od ideału (Rys. 11 oraz Rys 12)
Strona 22
Rozkład Weibulla:
Rysunek 13: Wykres probabilistyczny dla wartości TTF i rozkładu Weibulla
Rysunek 14: Wykres probabilistyczny dla wartości TTR i rozkładu Weibulla
W tym momencie pojawia się problem. Z analizy dopasowań do histogramu wynika, że nasz
rozkład
najlepiej
przybliża
rozkład
eksponencjalny.
Strona 23
Zaprzeczeniem
tego
są
wykresy
probabilistyczne, na których jednoznacznie widać, że najbardziej dopasowany jest rozkład Weibulla
(Rys. 12 oraz Rys. 13). Uznajemy więc, że rozkład Weibulla będzie najlepszym wyborem.
V. Podsumowanie i wnioski
W ramach projektu opracowaliśmy model symulacyjny systemu uwzględniający
występowanie uszkodzeń i napraw elementów. Model ten został przedstawiony w postaci
schematu blokowego. Na tej podstawie utworzyliśmy implementację programową modelu
w środowisku Matlab. Poszczególne zdarzenia – uszkodzenia i naprawy wygenerowaliśmy
funkcjami programu Matlab. Symulator tworzy pliki wynikowe z rezultatami, które są
następnie
opracowywane
w
postaci
histogramów
i
wykresów
a
także
miar
niezawodnościowych – TTF, TTR, MTBF, MTTF, MTTR. Szacowanie charakterystyk
niezawodnościowych pozwoliło określić, że najlepiej dopasowanym rozkładem jest rozkład
Weibulla. Funkcje rozkładów prawdopodobieństwa liczone są według następujących
wzorów:
•
dla rozkładu eksponencjalnego:
f  x = e− x ,
f  x =0,
•
dla rozkładu normalnego
1
f  x =
e
  2
f  x =0,
•
dla x 0
gdzie: λ - parametr
dla x0
− x−
2 2
2
,
dla x0
gdzie μ – średnia, σ – odchylenie standardowe
dla x0
dla rozkładu Weibulla
k
f  x = k  x p−1 e− x ,
f  x =0,
dla x0
gdzie λ – parametr skali, k – parametr kształtu
dla x0
Uwaga 1: W pracy często pojawia się pojęcie 'uszkodzenia' systemu. Przypominamy:
system jest niesprawny gdy nie działa więcej niż jeden czujnik lub układ diagnostyki jest
niesprawny. Niesprawność systemu oznaczaliśmy zawsze cyfrą 1, sprawność – 0.
Uwaga 2: Kod w postaci pliku Matlab`owego oraz sprawozdanie w wersji elektronicznej są
zawarte na dołączonej do projektu płycie CD.
Strona 24
VI. Bibliografia
Podczas tworzenia niniejszego projektu korzystaliśmy z następujących źródeł:
1. Jarnicki J. „Wykład o estymacji rozkładów zmiennych losowych”
2. Praca zbiorowa, „Niezawodność i eksploatacja systemów”, pod redakcją W. Zamojskiego, Wrocław 1981
3. Pratap R., „Matlab 7 dla naukowców i inżynierów”, Warszawa 2006
Miejsce na płytę CD
Strona 25