Wykład 3

Wykład 3
Przekształcenia izometryczne w sieci
krystalicznej
1. Przekształcenia izometryczne
2. Operacje symetrii możliwe w sieci
3. Iloczyn przekształceń
4. Symbole elementów symetrii
Struktura naturalnego klatrasilu
(melanoflogit)
Pseudokryształy - Daniel Shechtman Nagroda
Nobla 2011
Icosahedron
srebro/aluminium quasicrystal
Przekształcenia izometryczne
Przekszta łcenie izometryczne (z grec. izo- ten sam, metri –
odległość;) to przekształcenie, które w wyniku jego
zastosowania nie powoduje zmian odległości między dwoma
dowolnymi, przekształcanymi punktami:


 r = T(r)
gdzie:

 r - odległość między dowolnymi dwoma punktami,

T(r) - odległość między tymi samymi punktami po przekształceniu T
Translacja i operacje symetrii
Zamknięte
Otwarte
1. oś śrubowa (obrót +
1. oś obrotu
translacja)
2. centrum inwersji (symetrii)
2. płaszczyzna poślizgowa
3. płaszczyzna symetrii
(odbicie + translacja)
4. oś inwersyjna (obrót i
odbicie w centrum)
Obrót wokół osi
Osie obrotu w sieci
CD = k·AB
gdzie:
k - liczba całkowita,
CD = CE + EF + FD
natomiast:
EF = AB
z definicji funkcji cosinus oraz ujemnej
wartości tej funkcji w przedziale kątowym
180-270o:
CE = FD = -AB·cos
z powyższych równań można
wyprowadzić zależność:
k·AB = AB + 2·(-AB·cos)
co łatwo można przekształcić w:
k·AB = AB(1-2cos)
skąd:
cos = (1-k)/2
Właściwa oś symetrii X
= 360o
= 180o
= 120o
= 90o
= 60o
Projekcja stereograficzna
ściany
(hkl)
Działanie właściwej osi bieguna
symetrii X na element „R”
przekształcanego względem
właściwej osi symetrii X
Krotność osi
dozwolona w sieci
k
cos

krotność osi
3
-1
180o
2
2
-½
120o
3
1
0
90o
4
0
½
60o
6
-1
1
3600
1
Współistnienie osi w sieci
Centrum inwersji (symetrii)
Płaszczyzna symetrii
Iloczyn operacji symetrii
iloczyn dwóch operacji symetrii jest również operacją symetrii
Projekcja stereograficzna bieguna
(hkl)
przekształcanego
Działanie inwersyjnej osi symetrii X ściany
na element „R”
względem inwersyjnej osi symetrii X
Inwersyjne
osie symetrii
Zamknięte operacje symetrii
Operacje symetrii
Elementy symetrii
PROSTE
obrót
obrót o 360o
obrót o 180o
obrót o 120o
obrót o 90o
obrót o 60o
oś jednokrotna
oś dwukrotna
oś trójkrotna
oś czterokrotna
oś sześciokrotna
odbicie względem płaszczyzny
odbicie
względem
inwersji (inwersja)
płaszczyzna symetrii
centrum
centrum inwersji
ZŁOŻONE
obrót z
inwersją
obrót o 360o i inwersja
obrót o 180o i inwersja
obrót o 120oi inwersja
obrót o 90o i inwersja
obrót o 60o i inwersja
oś jednokrotna inwersyjna  centrum
inwersji
oś dwukrotna inwersyjna  płaszczyzna
symetrii
oś trójkrotna inwersyjna
oś czterokrotna inwersyjna
oś sześciokrotna inwersyjna
Symbole elementów symetrii
występujących w sieci przestrzennej
Element symetrii
Oś jednokrotna- identyczność
(obrót o 360o)
Oś jednokrotna inwersyjna
(obrót o 360o i inwersja)
Oś dwukrotna
(obrót o 180o)
Oś dwukrotna inwersyjna –
płaszczyzna zwierciadlana
(obrót o 180o i inwersja)
Oś trójkrotna
(obrót o 120o)
Oś trójkrotna inwersyjna
(obrót o 120o i inwersja)
Oś czterokrotna
(obrót o 90o)
Oś czterokrotna inwersyjna
(obrót o 90o i inwersja)
Oś sześciokrotna
(obrót o 60o)
Oś sześciokrotna inwersyjna
(obrót o 60o i inwersja)
Symbol
Kreutza –
Hermanna Schoenfliesa
graficzny: Zaremby
Mauguina
◦
L1= E
C1
1
C
i
1
L2z
C2
2
Py
Cs
m
L3z ,L3111
C3
3
A3
S3
3
L4z
C4
4
A4z
S4
4
L6z
C6
6
A6z
S6
6