-1- dr inz˙. Krzysztof Kulpa Materiały pomocnicze TRA luty 1997

-1dr inż. Krzysztof Kulpa
luty 1997
Materiały pomocnicze TRA
Metody Realizacji Algorytmów CPS
Szumy w stałoprzecinkowych realizacjach filtrów cyfrowych NOI z zastosowaniem
procesorów sygnałowych
Przy stałoprzecinkowej realizacji filtrów cyfrowych NOI z zastosowaniem procesorów
sygnałowych (lub układów mnoża˛co-akumuluja˛cych MAC) źródłem szumów cyfrowych nie
jest operacja mnożenia (jak to zwykle jst zakładane w klasycznej analizie szumowej) lecz
operacja kwantowania sygnału wyjściowego filtru (sekcji). Wynika to z faktu, iż w n-bitowym
procesorze sygnałowym (układzie MAC) wynik mnożenia jest 2n bitowy. Wyniki mnożeń
cze˛ściowych sa˛ naste˛pnie dodawane w arytmetyce 2n bitowej (zwykle jeszcze z kilkoma
bitami nadmiaru). Wyjście 2n bitowego sumatora musi zostać obcie˛te do n bitow w celu
podania go dalszym mnożeniom ba˛dź w naste˛pnej sekcji, ba˛dź w torze sprze˛żenia.
Rozważmy filtr o transmitancj danej wzorem
N
Bi z
i
i 0
H(z)
(1)
M
1
Ai z
i
i 1
Struktura filtru w
realizacji bezpośredniej
(wraz z kwantyzerem)
pokazany jest na rys 1.
J e ż e l i k w a n t y z e r
zasta˛ pimy we˛ złem
sumacyjnym z szumem
( r y s . 2 ) t o ,
transmitancja od
wejścia szumowego do
wyjścia filtru (2n
bitowego, przed
kwantyzerem) ma
postać:
Rys 1. Struktura filtru - realizacja bezpośrednia
-2M
Ai z
i
i 1
M
Hs(z)
1
(2)
Ai z
i
i 1
W wielu zastosowaniach wymaga sie˛ , by wyjście filtru było n bitowe (po kwantyzerze). W
takim przypadku transmitancja od wejścia szumowego do wyjścia filtru (po kwantyzerem) ma
postać
1
Hs(z)
M
1
Ai z
i
(3)
i 1
Dla filtrów o biegunach położonych blisko
siebie (co ma miejsce przy dużej
selektywności oraz dla małej cze˛ stotliwości
w/g cze˛ stotliwości próbkowania) wyrażenia
(2) i (3) przyjmuja˛ duże wartości, co oznacza,
że uzyskuje sie˛ filtry o dużym poziomie
szumów.
Korzystaja˛ c z faktu, że wynik zarówno
operacji mnożenia jak i operacji dodawania
jest 2n bitowy możemy, kosztem zwie˛ kszenia
nakładów obliczeniowych na filtracje˛ uzyskać
zwie˛ kszenie dokładności obliczeń, a co za tym
idzie, zmniejszenie poziomu szumów.
Pierwsza metoda zmniejszenia poziomu
szumów na wyjściu filtru bazuje na Rys 2. Zasta˛ pienie kwantyzera we˛ złem
spostrzeżeniu, że w filtrach o dużej sumacyjnym
selektywności współczynniki licznika (jak i
mianownika) transmitancji szumowej (2) sa˛ bliskie liczbom całkowitym. Współczynniki
licznika Ai można przedstawić w postaci sumy cze˛ ści całkowitej Aci (be˛ da˛ cej zaokra˛ gleniem
do najbliższej liczby całkowitej) i cze˛ ść ułamkowej Aui.
Ai
Ac i
Au i
(4)
Jeżeli zmodyfikujemy strukture˛ filtru tak, by operacje mnożenia przez cze˛ ść całkowita˛
zasta˛ pić operacja˛ sumowania (2n bitowego), to transmitancja szumowa ulegnie zmianie, gdyż
szum be˛ dzie mnożony przez współczynniki zawsze mniejsze od 1/2. Struktura filtru z torem
całkowitoliczbowym (mnożenia przez współczynniki całkowite (FIX) realizowane sa˛ jako
sumowania z przesunie˛ ciami bitowymi) przedstawiona jest na rys 3.
-3-
Transmitancja od wejścia Rys 3. Struktura filtru z torem całkowitoliczbowym
szumowego przybierze postać
M
Au i z
i
i 1
Hs(z)
(5)
M
1
Ai z
i
i 1
W przypadku wyjścia po kwantyzerze transmitancja szumowa ma postać
M
M
Au i z
i
1
i 1
Hs(z) 1
M
1
Ac i z i
i 1
M
Ai z
i
1
i 1
(6)
Ai z
i
i 1
W obydwu wyżej rozważanych przypadkach na wejście szumowe podawany jest sygnał błe˛ du
n
i wartość skuteczna˛ 2 . Przy
3
analizie stasunku sygnał/szum na wyjściu filtru przyjmiemy założenie, że analizowany filtr
jest filtrem o dużej selektywności normalizowanym sygnałem sinusoidalnym. Maksymalna
amplituda mie˛ dzyszczytowa sygnału wejściowego/wyjściowego wynosi 2, zaś wartośc
kwantyzera, który ma amplitude˛ mie˛ dzyszczytowa˛ 2
skuteczna
1 .
2
(n 1)
-4Dalsza˛ poprawe˛ stosunku
sygnał/szum na wyjściu filtru
można uzyskać stosuja˛ c tor
korekty szumowej. Bazuje on
na fakcie, że kwantyzer
zastosowany na wyjściu filtru
zamienia dana˛ 2n bitowa˛ na
dana˛ n bitowa˛ daja˛ c n bitowy
( z n a n y ) s y g n a ł b ł e˛ d u
kwantyzacji. Sygnał błe˛ du
m o ż n a p r z e t w o r z y ć
analogicznie jak sygnał po
kwantyzacji, i w wyniku
przetworzenia uzyskać 2n
bitowy sygnał korekty (który
jest przesunie˛ ty w stosunku do
sygnału wyjściowego filtru o n
bitów). Dosumowuja˛ c 2n
bitowy sygnał korekty
przesunie˛ ty o n bitów (a wie˛ c
3n bitowy) musimy zastosować
kwantyzacje˛ sygnału korekty do postaci 2n bitowej (bez
przesunie˛ cia), a wie˛ c musimy
Rys 4. Struktura filtru z torem korekcji szumowej
wprowadzić sygnał szumowy
do we˛ zła sumacyjnego filtru na
poziomie 2
(2n 1)
(o wartości skutecznej 2
2n
). Schemat filtru z korekcja˛ szumowa˛
3
przedstawiony jest na rys 4. Przesuwanie bitowe zasta˛ piono tu kwantyzacja˛ i mnożeniem
przez odpowiedni współczynnik. Transmitancja szumowa filtru z torem korekcji szumowej
jest opisana równaniem (2) (do wyjścia przed kwantyzerem) przy założeniu kwantyzera 2n
bitowego (szumy kwantyzera doła˛ czonego do wyjścia filtru zostały całkowicie
skompensowane, pozostały jedynie szumy wnoszone przez kwantyzer w torze korekty).
W przypadku korzystania z n-bitowego wyjścia filtru (po kwantyzerze wyjściowym)
nie można już operować pojedyńcza˛ transmitancja˛ szumowa˛ , gdyż mamy w filtrze dwa
niezależne źrodła szumów. Drugie źrodło szumów jest kwantyzerem n-bitowym, a
transmitancja od źródła szumów do wyjścia jest jednostkowa.
Omówienia wymaga we˛ zeł różnicowy wyznaczaja˛ cy bła˛ d kwantyzacji. W realizacji
procesorowej nie zachodzi konieczność wykonywania operacji odejmowania a jedynie
pobranie młodszych n bitów sumy (akumulatora). Sposób trtaktowania tych bitow zależy od
sposobu kwantowania.
W przypadku stosowania kwantyzacji z obcie˛ ciem bitowym sygnał błe˛ du ma składowa˛
stała˛ . Młodsze n bitów sumy (akumulatora) jest sygnałem błe˛ du, przy czym należy go
traktować jako liczbe˛ bez znaku (dodatnia˛ ). Zwykle wprowadza to dość duże
komplikacje w procesie dalszych obliczeń, ponieważ wyste˛ puje konieczność mieszania
-5-
liczb ze znakiem z liczbami bez znaku.
W przypadku stosowania kwantyzacji z zaokra˛ glaniem sygnał błe˛ du nie ma składowej
stałej. Młodsze n bitów sumy (akumulatora) jest sygnałem błe˛ du ze znakiem, który
można bezpośrednio podać na tor korekcji szumowej.
Rys 5. Charakterystyka filtru i widmowe ge˛ stości mocy szumu
Na rys. 5 przedstawiona jest charakterystyka przykładowego filtru 6 rze˛ dy zrealizowanego
jako kaskada 3 sekcji bikwadratowych w trzech realizacjach: bezpośredniej, z torem
całkowitoliczbowym i z torem korekcji szumowej. Na rysunku na tle charakterystyki filtru
pokazane sa˛ charakterystych widmowej ge˛ stości mocy szumu cyfrowego filtru oraz ła˛ czny
poziom szumu (przy arytmetyce 24 bitowej).
-6Na rys 6 przedstawione sa˛ charakterystyki mocy na wyjściu filtru w funkcji cze˛ stotliwości
sygnału sinusoidalnego o poziomie odpowiednio 0, -40, -80 i -120 dB
Rys 6. Moc na wyjściu filtru