TeX: Święs Wojciech

2.2. Peªno±¢.
2.2.
38
Peªno±¢.
Niech G b¦dzie lokalnie sko«czonym hipergrafem zwartym, którego kraw¦dzie s¡ co najmniej dwuelementowe. Powiemy, »e formuªa jest prawdziwa w hipergrae G wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona prawdziwa
w algebrze KG . Tzn. H () = 1, dla dowolnego homomorzmu H algebry j¦zyka rachunku zda« f^; _; !; :g
w algebr¦ KG . Poniewa», jak stwierdzili±my w poprzednim ust¦pie, algebra ta jest algebr¡ Heytinga, wszystkie tezy intuicjonistycznego rachunku zda« s¡ prawdziwe w ka»dym hipergrae rozwa»anej klasy. Gªównym
celem tego ust¦pu jest wykazanie implikacji przeciwnej. Otó», jak si¦ okazuje, formuªa nie b¦d¡ca tez¡ intuicjonistycznego rachunku zda« jest nieprawdziwa w pewnym hipergrae. W istocie wykazane zostanie to dla
klasy grafów, tj. hipergrafów o kraw¦dziach dwuelementowych.
Zanim przejdziemy jednak do szczegóªów, rozwa»my kilka przykªadów pokazuj¡cych ªatwo±¢ z jak¡ mo»na
obala¢ nieintuicjonistyczne tezy przy u»yciu hipergrafów.
Przykªad 2.10.
1. W hipergrae G = (V ; E ) z V = fa; b; cg i E = ffa; b; cgg
a) a + :a = a + bc 6= 1,
b) (a ! b) + (b ! a) = (ac + b) + (bc + a) = a + b 6= 1.
2. W hipergrae G = (V ; E ) z V = fa; b; c; dg i E = ffa; b; cg; fb; dgg
a) ::a ! a = :(bc) ! a = a + d ! a = (a ! a)(d ! a) =
d ! a = b + a 6= 1,
b) (:a ! :c) ! (c ! a) = (bc ! ab) ! (ab + a) =
(bc ! a) ! a = a + d ! a = d ! a = b + a 6= 1.
3. W hipergrae G = (V ; E ) z V = fa; b; cg i E = ffa; bg; fb; cgg:
((a ! b) ! a) ! a) = (b + b ! a) ! a = ((b ! a) ! a) =
a + c ! a = c ! a = b + a 6= 1:
Przypomnimy teraz kilka poj¦¢.
Struktur¡ Kripkego b¦dziemy nazywa¢ struktur¦ F = (F; ; 1), w której jest cz¦±ciowym porz¡dkiem
na zbiorze F , a 1 jest elementem najmniejszym w sensie relacji w F . Element 1 b¦dziemy nazywa¢
2.2. Peªno±¢.
39
korzeniem struktury F . Relacj¡ wymuszania na strukturze F nazywamy ka»d¡ relacj¦ k pomi¦dzy elementami
F , a formuªami zdaniowymi, która speªnia nast¦puj¡ce warunki:
Je±li ak i a b
; to
bk ak ^ wtw., gdy ak i ak ak _ wtw., gdy ak lub ak ak ! wtw., gdy bk6 lub bk a k :
wtw., gdy bk6 gdzie a; b 2 F , a ; s¡ formuªami zdaniowymi.
dla ka»dego b a;
dla ka»dego b a:
Niech [ ] = fa 2 F : ak g. Na podstawie wy»ej wymienionych warunków, mamy:
a 2 [ ] i a b ) b 2 [ ]
Fakt 2.11.
Niech teraz F b¦dzie sko«czon¡ struktur¡ Kripkego. Hipergrafem wyznaczonym przez F nazywamy nast¦puj¡cy hipergraf G = (V ; E ), gdzie
V = F n f1g;
E = ffa; bg : a 6 b i b 6 a ; a; b 2 Vg:
Zauwa»my, i» G jest w istocie grafem.
Rozwa»my teraz krat¦ KG . Poniewa» jest ona wolno generowana, mo»emy uto»sami¢ korze« struktury F
z jedynk¡ algebry KG . Mamy:
Fakt 2.12.
Fakt 2.13.
V [ f1g:
a b = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a; b nie s¡ porównywalne w F .
a!
P
b =
n
j =1 j
P fb 2 V : a b =
0
g+
P
b , dla ró»nych elementów a; b1; : : :; bn zbioru
n
j =1 j
Mamy nast¦puj¡ce:
Funkcja H ze zbioru formuª zdaniowych w krat¦ KG dana wzorem H () =
jest homomorzmem wzgl¦dem operacji :; _; ^; oraz !.
Twierdzenie 2.14.
P [ ]