K1. Zakres wymagań do pracy klasowej z liczb rzeczywistych cz. 1
Transkrypt
K1. Zakres wymagań do pracy klasowej z liczb rzeczywistych cz. 1
K1. Zakres wymagań do pracy klasowej z liczb rzeczywistych cz. 1 na poziomie podstawowym i rozszerzonym (materiał dla ucznia) Zadanie 1 sprawdza: • Umiejętność wykonywania działań na zbiorach. • Umiejętność rozwiązywania problemów z wykorzystaniem wiadomości o zbiorach. Zadanie 1.1 Dla jakich liczb a, b, c, d zachodzą poniższe równości? a) {2, 3, 5} ∩ {a, 1, 2, 3} = {2, 3} b) {–1, –4, 2} ∪ {b, 7} = {–1, –4, 2, 7} c) {–1, –4, 2} \ {c, 2} = {–1} d) {–1, –4, 2} \ {d, –4} = {–1, 2} Zadanie 1.2 Uczestnicy wycieczki zdecydowali się na grzybobranie. Każdy uczestnik wycieczki znalazł co najmniej jednego grzyba. Prawdziwki znajdowały się w koszykach 20 osób, podgrzybki miało 15 osób, kurki 12 osób. Prawdziwki i podgrzybki znajdowało 5 zbieraczy, prawdziwki i kurki 7 zbieraczy, podgrzybki i kurki 4 zbieraczy. Tylko 3 grzybiarzy mogło pochwalić się zebraniem aż trzech rodzajów grzybów. Ile osób zbierało grzyby? Zadanie 2 sprawdza: • Umiejętność oceniania zdań logicznych prostych i złożonych wymagających: −−tworzenia i rozwiązywania równań lub nierówności, −−przekształcania wyrażeń, −−biegłości w wykonywaniu działań na liczbach rzeczywistych, −−biegłości w stosowaniu własności związanych z podzielnością liczb i z dzieleniem z resztą. Zadanie 2.1 Oceń prawdziwość zdań a, b, c, d, a ∧ b, c ∨ d, a ⇒ d, b ⇔ c. a: Zbiór wszystkich wielokrotności liczby 5 nie mniejszych od 0 i jednocześnie mniejszych od 65 ma 13 elementów. b: Liczb naturalnych nie większych niż 100, dających przy dzieleniu przez 6 resztę 3, jest 16. c: −1 = 3 + 2. 3−2 d: Notacją wykładniczą liczby 0,00001 ⋅ 0,24 jest liczba 2,4 ⋅ 10–5. Zadanie 2.2 Oceń zdania p, q, p ⇒ q. p: Zbiór liczb natuarlnych mniejszych od liczby 234, dających przy dzieleniu przez 7 reszty 5, ma 33 elementy. q: Można wskazać dokładnie dwie liczby całkowite k, dla których ułamek 45 jest liczbą całkowitą 4k + 3 ujemną. www.wsip.pl 1 Matematyka dla liceum i technikum – zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela – klasa 1 Zadanie 3 sprawdza: • Stopień sprawności w wykonywaniu działań w zbiorze liczb rzeczywistych, a w szczególności działań na potęgach i pierwiastkach. • Znajomość i stosowanie własności działań na liczbach, potęgach, pierwiastkach. Zadanie 3.1 Oblicz. 9 −7 −2 −1 3,04 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10 a) (810,5 ⋅ 9 −2 ) 4 b) 0,125 3 ⋅ 0,25−2 c) 0,6 − ( 23 − 23 ⋅ 0,125) d) 5 2 ⋅ 10 Zadanie 3.2 Oblicz (0,125 −2 3 ⋅ 0,25 1 −2 3 ) −1 + (810,5 ⋅ 9 −2 ) 4 . Zadanie 4 sprawdza: • Znajomość i sprawność w posługiwaniu się wzorami skróconego mnożenia. Zadanie 4.1 Usuń niewymierność z mianownika ułamka. a) 2− 3 2+ 3 b) 3 2 3 −1 c) 30 5+ 3+2 2 Zadanie 4.2 Uprość wyrażenie 23 ⋅ 5 − 2 ⋅ 5 + 2 . Zadanie 5 sprawdza: • Umiejętność prowadzenia prostych rozumowań uzasadniających fakty dotyczące liczb całkowitych. • Umiejętność zapisywania z użyciem liter liczb całkowitych mających dane własności. • Umiejętność wykorzystywania własności liczb do rozwiązywania nieschematycznych zadań. Zadanie 5.1 Uzasadnij, że suma czterech kolejnych liczb całkowitych parzystych jest podzielna przez 4. Zadanie 5.2 Liczba przekątnych wielokąta o n wierzchołkach wyraża się wzorem n(n2− 3). Wielokąt wypukły ma 75 przekątnych. Ile boków ma ten wielokąt? Zadanie 5.3 Wykaż, że liczba n3 – n jest podzielna przez 6 dla każdej liczby naturalnej. Odpowiedzi 1.1 a ∈ R \ {1, 2, 3, 5}, b ∈ {–1, –4, 2}, c = –4, d ∈ R \ {–1, –4, 2} 1.2 20 + 4 + 1 + 9 = 34 2.1 a → prawda, b → fałsz, c → prawda, d → fałsz, a ∧ b → fałsz, c ∨ d → prawda, a ⇒ d → fałsz, b ⇔ c → fałsz 2.2 p → prawda, q → fałsz, p ⇒ q → fałsz 3.1 a) 3, b) 64, c) 1 , d) 0,00456 60 3.2 4 + 3 4.1 a) 2 6 − 5, b) 3 9 + 3 3 + 1, c) 5 3 + 3 5 − 2 30 4.2 23 5.1 (2n – 2) + 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 8n + 4 = 4(2n + 1) – postać liczby podzielnej przez 4 5.2 Nie istnieje taki wielokąt, bo żadna liczba n nie spełnia warunku n(n – 3) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75 ⋅ 2 = = 50 ⋅ 3 = 25 ⋅ 6 = 15 ⋅ 5 = 15 ⋅ 10. Jeden z czynników musi być o 3 mniejszy od drugiego. 5.3 n3 – n = (n – 1)n(n + 1) – jedna z dwóch kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 2 i jedna z trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3, stąd wynika, że liczba n3 – n jest podzielna przez 2 i 3, więc jest również podzielna przez 6. 2