Egzamin z algebry i analizy matematycznej Szkoła Główna - E-SGH

Komentarze

Transkrypt

Egzamin z algebry i analizy matematycznej Szkoła Główna - E-SGH
Egzamin z algebry i analizy matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
13 czerwca 2016
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr albumu

1. Dana jest macierz A = 

√
√
2
√2
− 22
2
√2
2
2
0
0
0 1


.
0
a) Wykazać, że A jest macierzą ortogonalną.




−1
2




b) Obliczyć cosinus kąta między wektorami a = Ax i b = Ay, gdzie x =  1  , y =  1 .
1
1
2. Niech
n
o
X = x ∈ R4 : x1 − 3x2 − x3 − 2x4 = 0 ∧ −x1 + x2 + x4 = 0 .
a) Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni X.




b) Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x = 
1
1
1
1



 na podprzestrzeń X.

c) Obliczyć odległość wektora x od podprzestrzeni X.
3. Dana jest funkcja f : h0, ∞) → h0, ∞), f (x) = arc tg
1
2x
.
a) Wykazać, że f jest odwzorowaniem zwężającym.
b) Wyznaczyć punkt stały x0 odwzorowania f
c) Dla jakich a > 0 funkcja f : h0, ∞) → h0, ∞), f (x) = arc tg (ax) jest odwzorowaniem
zwężającym? Odpowiedź uzasadnić.
4. Dane jest równanie różniczkowe
2y + 3xy 3 dx + x + 3x2 y 2 dy = 0.
a) Wykazać, że równanie nie jest zupełne.
b) Wyznaczyć czynnik całkujący µ = µ(x).
c) Rozwiązać równanie.
5. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne niejednorodnego układu równań
(
y10 = y1 − 4y2 + 4,
y20 = −2y1 + 3y2 + 5x.

Podobne dokumenty