Egzamin z algebry i analizy matematycznej Szkoła Główna - E-SGH
Transkrypt
Egzamin z algebry i analizy matematycznej Szkoła Główna - E-SGH
Egzamin z algebry i analizy matematycznej Szkoła Główna Handlowa 13 czerwca 2016 Imię i Nazwisko Grupa Nr albumu 1. Dana jest macierz A = √ √ 2 √2 − 22 2 √2 2 2 0 0 0 1 . 0 a) Wykazać, że A jest macierzą ortogonalną. −1 2 b) Obliczyć cosinus kąta między wektorami a = Ax i b = Ay, gdzie x = 1 , y = 1 . 1 1 2. Niech n o X = x ∈ R4 : x1 − 3x2 − x3 − 2x4 = 0 ∧ −x1 + x2 + x4 = 0 . a) Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni X. b) Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x = 1 1 1 1 na podprzestrzeń X. c) Obliczyć odległość wektora x od podprzestrzeni X. 3. Dana jest funkcja f : h0, ∞) → h0, ∞), f (x) = arc tg 1 2x . a) Wykazać, że f jest odwzorowaniem zwężającym. b) Wyznaczyć punkt stały x0 odwzorowania f c) Dla jakich a > 0 funkcja f : h0, ∞) → h0, ∞), f (x) = arc tg (ax) jest odwzorowaniem zwężającym? Odpowiedź uzasadnić. 4. Dane jest równanie różniczkowe 2y + 3xy 3 dx + x + 3x2 y 2 dy = 0. a) Wykazać, że równanie nie jest zupełne. b) Wyznaczyć czynnik całkujący µ = µ(x). c) Rozwiązać równanie. 5. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne niejednorodnego układu równań ( y10 = y1 − 4y2 + 4, y20 = −2y1 + 3y2 + 5x.