Wykªad 13 (ci¡gi i szeregi funkcji) Ci¡gi funkcji Def. 13.1 Def. 13.2

Wykªad 13 (ci¡gi i szeregi funkcji)
Ci¡gi funkcji
Def. 13.1
n
Je±li ka»dej liczbie naturalnej
wamy
przyporz¡dkowano funkcj¦
fn ,
to takie przyporz¡dkowanie nazy-
ci¡giem funkcji.
Przykªadami ci¡gów funkcji s¡
fn (x) = xn , fn (x) =
1
1−xn lub
fn (x) = sin(nx).
Def. 13.2
Je±li wszystkie funkcje
x ∈ [a, b] istnieje
funkcji f (x).
fn
granica
maj¡ t¦ sam¡ dziedzin¦ (na przykªad przedziaª
lim fn (x) = f (x)
to mówimy, »e
n→∞
Oznacza to, »e dla ka»dego
ε>0
i dla ka»dego
x ∈ [a, b]
ci¡g
[a, b])
i dla wszystkich
fn (x) jest (punktowo) zbie»ny do
istnieje takie
N,
»e je±li tylko
n > N,
|fn (x) − f (x)| < ε.
Zauwa»my, »e (przy ustalonym
wybrane
takie same
ε)
liczb¦
dla wszystkich
x,
N
to
(13.1)
dobiera si¦ dla ka»dego
x
z osobna. Je±li
N
mo»e by¢
to mówimy o silniejszej wªasno±ci:
Def. 13.3
O ci¡gu funkcji
fn : X → Y
mówimy, »e jest
jednostajnie zbie»ny do funkcji
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ X :
f (x),
n > N ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε .
Geometrycznie warunek ten mo»emy opisa¢ jako »¡danie, aby dla wszystkich
fn (x)
mie±ciª si¦ w caªo±ci w pasie mi¦dzy
je±li
n>N
wykres funkcji
f (x) − ε i f (x) + ε.
f(x)+e
f(x)-e
f(x)
a
Rozwa»my dla przykªadu ci¡g funkcji
oznaczaj¡c
f (x) = lim fn (x)
n→∞
b
fn (x) = xn
dla
x ∈ [0, 1].
mamy
f (x) =

 0
dla x ∈ [0, 1),
 1
dla x = 1.
1
Je±li
x < 1,
to
lim xn = 0
n→∞
wi¦c
Zbie»no±¢ tego ci¡gu nie jest jednostajna: dla dowolnego
ε
i dowolnego ustalonego
N
znajdziemy
N +1
»e x
x ∈ [0, 1),
> ε (czyli wykres funkcji fN +1 (x) nie b¦dzie si¦ mie±ci¢ w pasie o
szeroko±ci ε wokóª wykresy funkcji f (x)). Jak ªatwo wida¢, funkcja ta nie jest ci¡gªa: dla dowolnego
ci¡gu nale»¡cych do przedziaªu [0, 1) liczb xn , takiego, »e lim xn = 1 mamy
takie
n→∞
f ( lim xn ) = f (1) = 1,
n→∞
podczas gdy
lim f (xn ) = 0
n→∞
(dla ka»dego
n
mamy
xn < 1,
wi¦c
f (xn ) = 0).
fn (x) do przedziaªu [0, q], gdzie q < 1 (na przykªad
1
q = 2 ), to zbie»no±¢ stanie si¦ jednostajna i granic¡ ci¡gu funkcji fn (x) na tym przedziale b¦dzie
1
x ∈ [0, 12 ] mamy x 6 12 . Dla
ci¡gªa funkcja zerowa. Istotnie, niech q =
2 , czyli dla dowolnego
1 N
dowolnego, ustalonego ε mo»emy dobra¢ takie N aby
< ε, a st¡d dla ka»dego n > N i dla
2
1
ka»dego x ∈ [0, ] mamy:
2
Je±li jednak ograniczymy dziedzin¦ funkcji
fn (x) = x
Tw. 13.1
n
N
n
1
1
<
< ε.
6
2
2
Granic¡ jednostajnie zbie»nego ci¡gu funkcji ci¡gªych jest funkcja ci¡gªa.
Dowód
Niech
fn : X → Y
lim fn (x) = f (x). Zgodnie z zaªo»eniem,
ε > 0 istnieje taka warto±¢ N, »e je±li tylko n > N,
b¦d¡ funkcjami ci¡gªymi i niech
zbie»no±¢ jest jednostajna, czyli dla dowolnego
n→∞
to
|f (x) − fn (x)| < 31 ε
dla wszystkich
x ∈ X.
Z ci¡gªo±ci funkcji
oraz
a)
(13.2)
fn
wynika, »e dla dowolnych
taka warto±¢ parametru
δ,
x, a ∈ X
istnieje (by¢ mo»e zale»na od warto±ci
»e
|x − a| < δ ⇒ |fn (x) − fn (a)| < 31 ε.
Dla ka»dej warto±ci
n
x
(13.3)
mamy (z wªasno±ci warto±ci bezwzgl¦dnej):
|f (x) − f (a)| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (a) + fn (a) − f (a)|
6 |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (a)| + |fn (a) − f (a)|.
Korzystaj¡c dodatkowo z równania (13.2) dla
x=a
dostajemy st¡d
|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
Z uwagi na dowolno±¢
εia
wnioskujemy, »e
f (x)
jest ci¡gªa w ka»dym punkcie swojej dziedziny.
Istotno±¢ zaªo»enia o jednostajnej zbie»no±ci (z którego w oczywisty sposób skorzystali±my w dowodzie powy»ej) ilustruje tak»e dyskutowany na poprzednim wykªadzie przykªad ci¡gu funkcji
fn (x) = xn , 0 6 x 6 1 :
ci¡g ten nie jest zbie»ny jednostajnie, a jedynie punktowo i funkcja
b¦d¡ca jego granic¡ nie jest ci¡gªa.
2
Aproksymowanie funkcji ci¡gªych
Rozwa»my ograniczon¡ funkcj¦ ci¡gª¡
f (x)
okre±lon¡ w przedziale
a ≤ x ≤ b.
Podzielmy ten
b−a
n . Punkty podziaªu oznaczymy
n maªych odcinków o równej dªugo±ci h gdzie h =
przez x0 , x1 , x2 , ...xn gdzie x0 = a, x1 = x0 +h, x2 = x1 +h = x0 +2h, ..., xi = xi−1 +h = x0 +ih oraz
xn = b = x0 + nh. Nast¦pnie w tych punktach wyznaczamy warto±ci funkcji: f (x0 ), f (x1 ), ..., f (xn )
przedziaª na
(tabelka warto±ci funkcji).
Podajemy dwa twierdzenia bez dowodu (ze wzgl¦du na brak czasu; dowód patrz Kuratowski ,
paragraf 6.4).
Tw. 13.2
fn (x)
Ka»da funkcja ci¡gªa w przedziale
a≤x≤b
jest granic¡ jednostajnie zbie»nego ci¡gu
funkcji ci¡gªych, przedziaªami liniowych.
fn (x) o której mowa w tym twierdzeniu to linia ªamana poprowadzona przez punkty wyst¦puj¡ce w naszej tabelce, tzn. odcinek prostej od punktu x0 , f (x0 ) do punktu x1 , f (x1 ), poª¡czony w
punkcie x1 , f (x1 ) z odcinkiem drugiej prostej od punktu x1 , f (x1 ) do punktu x2 , f (x2 ), poª¡czona
z odcinkiem trzeciej prostej od punktu x2 , f (x2 ) do punktu x3 , f (x3 ), itd.
Funkcja
Intuicyjnie zrozumienie twierdzenia jest jasne. Je»eli wykres
o grubo±ci
2ε
to niezale»nie od warto±ci wybranego
wewn¡trz pasa je»eli tylko
Tw. 13.3
n
ε
f (x) pogrubimy
wykres ka»dej lini ªamanej
b¦dzie wi¦ksze od jakiego± progowej warto±ci
(Weierstrassa) Ka»da funkcja ci¡gªa w przedziale
zbie»nego ci¡gu wielomianów
tak aby dosta¢ pas
a ≤ x ≤ b
fn
zmie±ci si¦
n0 .
jest granic¡ jednostajnie
wn (x)
Dowód jest analogiczny jak dla linii ªamanej.
Wielomiany
wn (x)
o których mowa w twierdzeniu w punktach z naszej tabelki pokrywaj¡ si¦ z
3
wykresem funkcji
f (x)
i zdeniowane s¡ (wzór Lagrange'a) jako






n
Y x − xj 


wn (x) =
.
f (xi )

xi − xj 
i=0 

j=0


j 6= i
n 
X
(Jak ªatwo sprawdzi¢ przez podstawienie
wn (xi ) = f (xi ) dla
ka»dego
wizualizacj warto jest wypisa¢ wzór dla jakiego± prostego przykªadu,
x0 , x1 , x2
i odpowiadaj¡ce im
w2 (x) = f (x0 )
i = 0, 1, 2, ...n. Dla ªatwiejszej
np. dla n = 2 gdy mamy dane
f (x0 ), f (x1 ), f (x2 )):
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 )
+ f (x1 )
+ f (x2 )
.
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
Szeregi funkcji
Niech
Ci¡g
fn (x)
sn (x)
b¦dzie ci¡giem funkcji i niech
uto»samiamy z
mówimy, »e szereg funkcji
sn (x) =
n
P
fk (x) b¦dzie ci¡giem jego sum cz¦±ciowych.
k=1
+ f2 (x) + . . . Je±li istnieje granica lim sn (x) to
n→∞
szeregiem funkcji
f1 (x)
f1 (x) + f2 (x) + . . . jest zbie»ny
lim sn (x) =
n→∞
∞
X
i stosujemy zapis
fn (x).
n=1
Adaptuj¡c do szeregów funkcji wprowadzone wcze±niej dla ci¡gów poj¦cie zbie»no±ci jednostajnej
b¦dziemy mówi¢, »e szereg
f1 (x)+f2 (x)+. . . jest jednostajnie zbie»ny, gdy ci¡g jego sum cz¦±ciowych
b¦dzie ci¡giem jednostajnie zbie»nym. Twierdzenie 13.1. i fakt, »e suma sko«czonej ilo±ci funkcji
ci¡gªych o tej samej dziedzinie jest funkcj¡ ci¡gª¡ daj¡ jako wniosek
Tw. 13.4
Suma jednostajnie zbie»nego szeregu funkcji ci¡gªych jest funkcj¡ ci¡gªa.
u1 + u2 + . . . b¦d¡ liczbami nieujemnymi i niech
dziedziny funkcji fn (x) zachodzi |fn (x)| 6 un . Ci¡g
Niech wyrazy zbie»nego szeregu
dla ka»dego
x
ze wspólnej
dla ka»dego
n
i
tn (x) = |f1 (x)| + |f2 (x)| + . . . + |fn (x)|
dla ka»dego
x
niemalej¡cy i ograniczony,
tn (x) 6
∞
X
un
n=1
jest wi¦c ci¡giem zbie»nym. Z denicji zbie»no±ci szeregu funkcji wnioskujemy wi¦c, »e szereg funkcji
f1 (x) + f2 (x) + . . .
jest bezwzgl¦dnie zbie»ny (a wi¦c i zbie»ny) dla ka»dego
x.
Mo»na tak»e (dowód
pominiemy) pokaza¢, »e zbie»no±¢ jest jednostajna. Prowadzi to do kolejnego twierdzenia:
4
Tw. 13.5
Je±li szereg
∞
P
to szereg
∞
P
un
jest zbie»ny i dla ka»dego
x
speªniona jest nierówno±¢
|fn (x)| < un ,
n=1
fn (x)
jest zbie»ny jednostajnie i bezwzgl¦dnie.
n=1
Szereg, w którym ka»da z funkcji
od
x
fn (x)
jest postaci
fn (x) = an xn ,
przy czym
an
s¡ niezale»nymi
liczbami, t.j. szereg postaci
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . .
nazywamy
szeregiem pot¦gowym. Przykªadami szeregów pot¦gowych s¡:
(2)
x2 x3
+
+ ...,
2!
3!
1 + x + x2 + x3 + . . . ,
(3)
1 + x + 2! x2 + 3! x3 + . . . .
(1)
1+x+
Korzystaj¡c z kryterium d'Alemberta otrzymujemy, »e szereg (1) jest zbie»ny dla dowolnego
szereg (2) jest zbie»ny dla
|x| < 1,
Def. 14.4 Promieniem zbie»no±ci
za± szereg (3) jest zbie»ny jedynie dla
szeregu pot¦gowego
górny zbioru warto±ci bezwzgl¦dnych
Innymi sªowy: je±li przez
R
x−ów,
x = 0.
s(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .
x
nazywamy kres
dla których szereg ten jest zbie»ny.
s(x), to R jest najmniejsz¡
|x| < R szereg s(x) jest zbie»ny.
oznaczymy promie« zbie»no±ci szeregu
liczb¡ rzeczywist¡, »e dla wszystkich
x ∈ R,
speªniaj¡cych
tak¡
Zgodnie z t¡ denicj¡ promie« zbie»no±ci szeregu (1) powy»ej jest niesko«czony, promie« zbie»no±ci
szeregu (2) wynosi 1, za± promie« zbie»no±ci szeregu (3) jest zerowy.
Ko«cz¡c t¦ cz¦±¢ wykªadu podamy bez dowodu:
Tw. 13.6
W ka»dym przedziale domkni¦tym, poªo»onym wewn¡trz przedziaªu zbie»no±ci, szereg
pot¦gowy jest zbie»ny
jednostajnie i bezwzgl¦dnie.
Ci¡gi i szeregi funkcji ró»niczkowalnych
Tw. 13.7
Je±li w przedziale
a6x6b
speªnione s¡ równo±ci
lim fn (x) = f (x)
n→∞
przy czym funkcje
fn0 (x)
oraz
lim f 0 (x)
n→∞ n
s¡ ci¡gªe i zbie»ne jednostajnie do
f 0 (x) = g(x)
czyli
g,
= g(x)
to
d
dfn (x)
lim fn (x) = lim
.
n→∞ dx
dx n→∞
Dowód
5
c z dziedziny szacujemy ró»nic¦
fn (c + h) − fn (c)
0
= fn (c + θh) − g(c) 6 |fn0 (c + θh) − g(c + θh)| + |g(c + θh) − g(c)|.
−
g(c)
h
Dla dowolnego punktu
Dla dostatecznie du»ych
n,
z jednostajnej zbie»no±ci ci¡gu
fn0 (x)
mamy
ε
|fn0 (c + θh) − g(c + θh)| < .
2
Podobnie, z ci¡gªo±ci funkcji
g(x)
dostajemy istnienie takiej
δ,
»e dla
h<δ:
ε
|g(c + θh) − g(c)| < .
2
Otrzymana nierówno±¢
fn (c + h) − fn (c)
− g(c) < ε
h
jest wi¦c, dla
h<δ
Wobec dowolno±ci
ε
n > N. Bior¡c granic¦ n → ∞
f (c + h) − f (c)
− g(c) < ε
h
prawdziwa dla wszystkich
mamy
dostajemy
f 0 (c) = g(c).
Tw. 13.8
Dla szeregu pot¦gowego mamy
d
(a0 + a1 x + a2 x2 + . . .) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . . .
dx
wewn¡trz promienia zbie»no±ci
Dowód:
Najpierw pokazujemy, »e promienie zbie»no±ci s¡ takie same. Niech
n|an |cn−1 =
Poniewa»
lim
√
n
n→∞
n=1
c < C < r.
n
|an | √
n
nc
c
wi¦c dla dostatecznie du»ego
n
i dla dowolnego
C>c
mamy
√
n
n Cc < 1.
W drug¡ stron¦:
|an xn | = |x||an xn−1 | 6 |x||nan xn−1 |
Wniosek: bezwzgl¦dna zbie»no±¢ obu szeregów jest równowa»na.
Oznaczmy
fn (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn
gdzie
x
jest wewn¡trz przedziaªu zbie»no±ci. Speªnione s¡
zaªo»enia poprzedniego twierdzenia, prawdziwa jest wi¦c tak»e jego teza.
•
Przykªad:
1
= 1 + x + x2 + . . . + xn + . . .
1−x
sk¡d
1
= 1 + x + 2x2 + . . . + nxn + . . .
(1 − x)2
6
•
Inne przykªady rozwini¦¢ w szereg funkcji:
1
d
log(1 + x) =
= 1 − x + x2 − x3 + . . .
dx
1+x
sk¡d
x2 x3 x4
+
−
+ . . . , |x| < 1.
2
3
4
log(1 + x) = C + x −
x=0
Wyliczaj¡c dla
•
dostajemy
C = 0.
d
1
arctan x =
= 1 − x2 + x4 − x6 + . . .
dx
1 + x2
sk¡d
arctan x = x −
Lemat: Je±li wszystkie pochodne f (n)
M
(n) (θx)|
»e |f
<M
dla ka»dego
n
x3 x5
+
− . . . , |x| < 1.
3
5
s¡ wspólnie ograniczone w przedziale
i ka»dego
x,
to funkcja
f (x)
[0, x], czyli istnieje takie
ma rozwini¦cie Maclaurina.
Dowód
Zgodnie z wzorem Maclaurina
Rn =
dla pewnego
θ ∈ (0, 1).
xn (n)
f (θx)
n!
Korzystaj¡c z zaªo»enia dostajemy
n
n
x (n)
x |Rn | = f (θx) < M → 0
n!
n!
dla
n → ∞.
Przykªady: rozwini¦cia
•
Dla
f (x) = ex
ex , (1 + x)a .
mamy
f (n) (θx) = eθn x < ex ≡ M.
•
Dla
f (x) = (1 + x)a
mamy
f (n) (x) = a(a − 1) . . . (a − n + 1)(1 + x)a−n ,
wi¦c
a(a − 1) . . . (a − n + 1) n
x (1 + θn x)a−n .
n!
1 < 1 + θn x < 1 + x wi¦c
Rn =
Poniewa» (dla
x > 0)
mamy
1 < (1 + θn x)a < (1 + x)a
dla
a>0
oraz
(1 + x)a < (1 + θn x)a < 1
i dodatkowo
(1+θn x)−n < 1. Czynnik (1+θn x)a−n jest wi¦c ograniczony przez max{1, (1+x)a }
a
a(a − 1) . . . (a − n + 1) n
x =0
n→∞
n!
lim
dla ka»dego
x.
7