Zestaw I I. Niech symbol (n ) oznacza liczb¦ ró»nych podzbiorów k
Transkrypt
Zestaw I I. Niech symbol (n ) oznacza liczb¦ ró»nych podzbiorów k
Zestaw I I. Niech symbol n k oznacza liczb¦ ró»nych podzbiorów k -elementowych zbioru n-elementowego. nij prawdziwo±¢ poni»szych równo±ci nie odwoªuj¡c si¦ do wzorów opisuj¡cych warto±¢ Uzasad- n k , a jedynie w oparciu o powy»sz¡ denicj¦. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) n 0 + n 0 + n 1 + n 2 + 0 n k = n k + n n n n 1 + 2 + ... + n = 2 n n n−1 2 + 4 + ... = 2 n n n−1 3 + 5 + ... = 2 2 2 n 2 + n2 + . . . + nn = 1 n n−k n n+1 k+1 = k+1 2n n II. Uzasadnij wzory na liczb¦ permutacji zbioru zbioru n-elementowego, liczb¦ podzbiorów k -elementowych n-elementowego. A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An . Uzasadnij wzór X X X #A = #Ai − #(Ai ∩ Aj ) + #(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − . . . − (−1)n #(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ). III. Niech 1≤i≤n IV. Rozkªadamy w 1≤i<j≤n n 1≤i<j<k≤n rozró»nialnych szuadach k elementów. Na ile sposobów mo»na to zrobi¢, je±li (a) elementy s¡ rozró»nialne; (b) elementy s¡ nierozró»nialne; (c) elementy s¡ rozró»nialne i »adna z szuad nie mo»e pozosta¢ pusta; (d) elementy s¡ nierozró»nialne i »adna z szuad nie mo»e pozosta¢ pusta; Spróbuj znale¹¢ odpowied¹ dla analogicznego zadania, w którym szuady równie» s¡ nierozró»nialne. Zestaw II I. Ile jest permutacji liczb (a) liczby 1i2 (b) liczby 1, 2, 3 1, 2, . . . , n w których nie s¡siaduj¡ ze sob¡, nie tworz¡ trzech kolejnych wyrazów (niezale»nie od porz¡dku). II. Linie równolegªe do boków prostok¡ta dziel¡ jego boki odpowiednio na k i l cz¦±ci. Iloma drogami, id¡c bokami lub tymi liniami w prawo lub w gór¦, mo»na przej±¢ od lewego dolnego wierzchoªka do prawego górnego? III. Iloma sposobami mo»na podzieli¢ m·n przedmiotów na m zbiorów, z których ka»dy zawiera n ele- mentów? IV. Mamy szachownic¦ o wymiarach 5 × 5. W prawym górnym polu szachownicy znajduje si¦ mysz, w lewym dolnym polu kot. Mysz mo»e si¦ porusza¢ jedynie w dóª lub w lewo (o jedno pole), za± kot jedynie w gór¦ lub w prawo (te» o jedno pole). Gdy które± ze zwierz¡t ma mo»liwo±¢ wyboru jednego z dwóch posuni¦¢, dokonuje go z prawdopodobie«stwem 1 2 . Zwierz¦ta wykonuj¡ ruchy jednocze±nie. Kot zjada mysz, gdy stan¡ razem na jednym polu. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e mysz zostanie po»arta? V. Kostk¦ rzucamy 10 razy. Tak otrzymany zbiór liczb (nieuporz¡dkowany) nazywamy losowaniem. (a) Ile jest ró»nych losowa«? (b) W ilu losowaniach nie wyst¦puje 6? (c) W ilu losowaniach 6 wyst¦puje dokªadnie 3 razy? (d) W ilu losowaniach 6 wyst¦puje co najwy»ej 3 razy? (e) W ilu losowaniach 6 wyst¦puje parzyst¡ liczb¦ razy? VI. Na ile sposobów mo»na ustawi¢ 8 wie» na szachownicy? Na ile sposobów mo»na ustawi¢ 8 wie» na szachownicy tak, aby nie atakowaªy si¦ wzajemnie? VII. Na ile sposobów da si¦ uªo»y¢ z liczb 1, 2, 3, 4 i 5 ci¡g o dªugo±ci 10, tak aby: ka»da liczba wyst¦powaªa dokªadnie dwa razy i dwie takie same liczby nie znajdowaªy si¦ w ci¡gu obok siebie. VIII. Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr podzielnej przez 5? IX. Jaka jest szansa, »e w 14-osobowej grupie dwie maj¡ urodziny tego samego dnia? X. Na póªce stoi 12 ksi¡»ek. Na ile sposobów mo»na wybra¢ 5 ksi¡»ek z póªki, tak aby nie zabiera¢ »adnych dwóch stoj¡cych wcze±niej obok siebie? XI. Przy okr¡gªym stole stoi 6 krzeseª. Na ile sposobów da si¦ na nich posadzi¢ 2 Anglików, 2 Francuzów i 2 Turków, tak aby osoby tej samej narodowo±ci nie siedziaªy obok siebie? XII. Niech RpM = p X M +1 , s s=0 dla 0 ≤ p ≤ M , p, M ∈ N. M X q=0 Udowodnij równo±¢ 2M M RqM RM = (2M + 1) −q M i podaj jej interpretacj¦ kombinatoryczn¡. Metoda funkcji tworz¡cych (schemat) (an ) speªniaj¡cego pewn¡ zale»no±¢. Zakªadamy, »e P i F (x) = ∞ a x i=0 i . Zauwa»my, »e pewne operacje na funkcji F zmieniaj¡ te wspóªczynniki w znany sposób, np: xF (x) ma 0 te same wspóªczynniki, ale przesuni¦te o 1 i uzupeªnione na pocz¡tku o 0; F (x) ma ci¡g wspóªczynników P n 2 w postaci ((n + 1) · an+1 ); F (x) ma ci¡g wspóªczynników w postaci ( i=0 ai · an−i ), itp. Naszym celem jest Zaªó»my, »e poszukujemy pewnego ci¡gu liczbowego wyrazy tego ci¡gu s¡ wspóªczynnikami w rozwini¦ciu pewnej funkcji w szereg pot¦gowy: znalezienie funkcji, której wspóªczynniki b¦d¡ speªniaªy zadan¡ zale»no±¢, co sprowadza si¦ do rozwi¡zania pewnego równania algebraicznego, ró»niczkowego, lub innego typu. Przykªad 1. Szukamy ci¡gu speªniaj¡cego zale»no±¢ dzie zale»no±¢ F (x) = P∞ i i=0 ai x . przy zerowej pot¦dze równy 0, przy pierwszej: si¦ zeruj¡, wi¦c F (x) − xF (x) − Po znalezieniu funkcji F an = an−1 +an−2 , a0 = 0, a1 = 1. Niech speªniona b¦F (x) − xF (x) − x2 F (x) b¦dzie miaªa wspóªczynnik Zauwa»my, »e funkcja x2 F (x) = x. 1, za± przy pozostaªych wyrazach wszystkie wspóªczynniki To znaczy, »e musi by¢ F (x) = x . 1 − x − x2 pozostaje znale¹¢ jej wspóªczynniki. Dla niektórych funkcji mo»na czasem je zgadn¡¢, znale¹¢ w tablicach lub wyliczy¢ korzystaj¡c ze wzoru Taylora. Przykªad 2. W przykªadzie 1 mo»emy rozpisa¢ x (1 − 1 1− √ = √15 1+ 5 − 2 ) √ = 1 + 1+2 5 x + √ 1− 5 2 )(1 √ 1+ 5 2 x F (x) = √1 5 √ 1+ 5 2 − 1 F 1 jako sum¦ uªamków prostych: ! F (x) = x = 1 − x − x2 √ √ − . Ze wzoru na sum¦ szeregu geometrycznego mamy 1+ 5 1 − 1−2 5 x 2 x √ √ √ 1 √ ( 1+2 5 )2 x2 + . . . oraz = 1 + 1−2 5 x + ( 1−2 5 )2 x2 + . . . a zatem 1− 5 1 − 2 x √ √ √ 2 2 1− 5 1+ 5 1− 5 2 x+ − x + . . . co znaczy, »e szukanym wzorem jest 2 2 2 1− 1 an = √ 5 √ !n 1+ 5 − 2 √ !n ! 1− 5 . 2 Zestaw III I. Znajd¹ ogólny wyraz ci¡gu okre±lonego rekurencyjnie: (a) x0 = 0, x1 = 1, xn+2 = 7xn+1 − 12xn ; (b) x0 = x1 = x2 = 1, xn+3 = 2xn+2 − xn+1 + 2xn . II. W ilu permutacjach liczb 1, . . . , n »adna z liczb nie stoi na swoim miejscu? III. Na ile sposobów mo»na szachownic¦ wymiaru n×2 pokry¢ kostkami domina o wymiarach IV. Ile jest liczb caªkowitych dodatnich mniejszych od 1000 oraz niepodzielnych przez 1 × 2? 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 i 11? 7 × 7. W lewym dolnym rogu szachownicy znajduje si¦ mysz, za± (3, 3), (3, 5), (5, 3) i (5, 5) siedz¡ i cierpliwie czekaj¡ cztery koty. Mysz mo»e V. Mamy szachownic¦ o wymiarach na polach o numerach porusza¢ si¦ jedynie w gór¦ lub w prawo, w ka»dym ruchu o jedno pole. Mysz ginie, gdy stanie na polu zaj¦tym przez kota. Ile jest ró»nych dróg, którymi mysz mo»e dotrze¢ szcz¦±liwie do prawego górnego rogu szachownicy? VI. W szae znajduje si¦ 10 par butów. Losujemy z niej 4 buty. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w±ród wylosowanych butów znajdzie si¦ przynajmniej jedna para? VII. Ile jest ci¡gów dªugo±ci n o wyrazach 0 i 1 oraz tej wªasno±ci, »e »adne 3 kolejne wyrazy ci¡gu nie s¡ takie same? VIII. Ile jest ci¡gów suma Pk {ai }ni=1 dªugo±ci n o wyrazach 1, 2, 3 oraz tej wªasno±ci, »e dla »adnego k = 1, 2, . . . , n i=1 ai nie jest podzielna przez 3? IX. Na ile sposobów da si¦ rozmie±ci¢ nawiasy w iloczynie a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 w taki sposób, aby ich ukªad okre±laª jednoznacznie sposób wykonywania mno»enia? Przykªadowe rozmieszczenia nawiasów: ((a1 a2 )(a3 a4 ))(a5 (a6 a7 )); (((a1 a2 )a3 )(a4 (a5 a6 )))a7 , X. Na ile sposobów da si¦ rozmie±ci¢ nawiasy w wyra»eniu a1 : a2 : a3 : a4 : a5 : . . . : an uzyskuj¡c wyra»enia opisuj¡ce ró»ne funkcje n zmiennych? XI. Na póªce stoi 20 ksi¡»ek. Na ile sposobów mo»na wybra¢ pewn¡ liczb¦ ksi¡»ek z póªki, tak aby »adne dwie z nich nie staªy obok siebie? XII. Przez pustyni¦ idzie karawana zªo»ona z pi¦ciu wielbª¡dów. Na ile sposobów mo»na zmieni¢ kolejno±¢ wielbª¡dów w karawanie tak, aby przed »adnym wielbª¡dem nie szedª ten co poprzednio. XIII. Dany jest odcinek AB o dªugo±ci l. Wybieramy na nim losowo poªo»enie dwóch punktów: Znale¹¢ prawdopodobie«stwo, »e punkt XIV. Dany jest patyk o dªugo±ci a. C b¦dzie bli»ej punktu A ni» punktu C i D. D. amiemy go losowo na trzy cz¦±ci. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e da si¦ z tych cz¦±ci uªo»y¢ trójk¡t? XV. Wybieramy losowo trzy odcinki o dªugo±ci nie wi¦kszej od a. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e da si¦ z tych odcinków uªo»y¢ trójk¡t? XVI. Dany jest okr¡g o promieniu R. Wybieramy losowo trzy punkty. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e trójk¡t przez nie zadany jest ostrok¡tny? Zestaw IV I. [E2005] Angielski pisarz Samuel Pepys napisaª w roku 1693 dªugi list do Isaaka Newtona, w którym poprosiª go o rozwi¡zanie pewnego problemu zwi¡zanego z zakªadem, którego si¦ podj¡ª. Pepys zapytaª mianowicie Newtona, które z nast¦puj¡cych trzech zdarze« jest najbardziej, a które najmniej prawdopodobne: • wyrzucenie przynajmniej jednej szóstki przy rzucie sze±cioma sze±cienn¡ ko±ci¡, • wyrzucenie przynajmniej dwóch szóstek przy rzucie dwunastoma ko±¢mi, • wyrzucenie przynajmniej trzech szóstek przy rzucie osiemnastoma ko±¢mi. Jakiej odpowiedzi powinien byª udzieli¢ (i udzieliª) Newton? II. Ci¡gniemy dwie kolejne karty z talii 52 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e druga karta jest wy»sza od pierwszej? III. W wyborach wzi¦ªo udziaª dwóch kandydatów: przy czym p > q. ci¡gu obliczania gªosów IV. Niech (Ω, Σ, P ) (a) Je±li P i Q. P otrzymaª p gªosów, za± Q otrzymaª q P stale prowadziª? b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, A, B, C ∈ Σ. Wyka» nast¦puj¡ce twierdzenia: A ∪ B ∪ C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A ∩ B) = P (B ∩ C) 1 1 6 oraz P (A ∩ C) = 24 , to 1 1 1 (c) Je±li (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B , P (B) = 8 i P (C) = 6 , to P (B ∪ C) ≥ 4 . 1 1 0 0 (d) Je±li B ∩ C = A ∪ (A ∩ B ) i P (B) = , to P (C) ≥ . 2 3 (b) Je±li gªosów, Gªosy obliczaªa jedna osoba w jednej komisji. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = B , P (A) = 1 8, P (C) = to 1 6 ≤ P (A) ≤ P (B) ≤ 1 4. 1 4. V. Rozpatrujemy rodziny o dwóch dzieciach. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e rodzina ma dwóch synów, je»eli wiadomo, »e (a) starsze dziecko jest synem, (b) co najmniej jedno dziecko jest chªopcem. VI. Zaªó»my, »e zdarzenia AiB AiC s¡ niezale»ne oraz, »e zdarzenia si¦ wykluczaj¡. Poka», »e zdarzenia A∪B i C BiC s¡ niezale»ne, natomiast zdarzenia s¡ niezale»ne. VII. W czasie lotu z Warszawy do Auckland pasa»erowie trzykrotnie zmieniaj¡ samolot. Prawdopodobie«stwa zagini¦cia baga»u w trzech kolejnych miejscach przesiadki wynosz¡ odpowiednio: 10%. 40%, 20% i W Auckland okazaªo si¦ »e mój baga» nie dotarª ze mn¡ do miejsca przeznaczenia. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e utkn¡ª w drugim z portów lotniczych? VIII. Losujemy niezale»nie dwie liczby z odcinka [0, 1]. Je»eli mniejsza z nich jest mniejsza ni» prawdopodobie«stwem wi¦ksza z nich jest wi¦ksza ni» 3 4. 1 4 , to z jakim IX. Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono 20 helikopterów. Ka»dy z nich mo»na skierowa¢ do jednego z dwóch rejonów, w których mo»e, z prawdopodobie«stwem odpowiednio 1 1 3 i 6 , znajdowa¢ si¦ poszukiwany rozbitek. Ka»dy helikopter wykrywa znajduj¡cego si¦ w rejonie poszukiwania rozbitka z prawdopodobie«stwem q = 1− √ 10 0, 5 i dokonuje tego niezale»nie od pozostaªych helikopterów. Rozstrzygnij, jak nale»y rozdzieli¢ helikoptery pomi¦dzy rejony poszukiwa«, »eby prawdopodobie«stwo znalezienia rozbitka byªo jak najwi¦ksze. X. ona ma grup¦ krwi 0, a m¡» AB. Maj¡ oni bli¹ni¦ta dwóch chªopców o grupie krwi B. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e s¡ to bli¹ni¦ta jednojajowe, wiedz¡c, »e 32% par wszystkich bli¹ni¡t stanowi¡ bli¹ni¦ta ró»nopªciowe? XI. W dwóch urnach znajduj¡ si¦ po trzy kule, przy czym w jednej jest jedna kula biaªa, za± w drugiej dwie biaªe. Mo»emy wylosowa¢ ze zwracaniem czterokrotnie jedn¡ kul¦ z dowolnej urny (niekoniecznie za ka»dym razem z tej samej). Nie wiedz¡c która urna zawiera jakie kule, zaproponuj sposób losowania, który pozwoli z mo»liwie du»ym prawdopodobie«stwem okre±li¢ w której urnie jest wi¦cej kul biaªych. Zestaw V x2 + 2ax + b = 0 s¡ rzeczywiste, je»eli warto±ci wspóªczynników s¡ jednakowo mo»liwe dla warto±ci z prostok¡ta |a| ≤ n, |b| ≤ m. Jakie I. Znajd¹ prawdopodobie«stwo, »e pierwiastki równania kwadratowego jest prawdopodobie«stwo, »e przy wskazanych warunkach pierwiastki b¦d¡ dodatnie? II. W urnie znajduje si¦ n m kul biaªych i czarnych. Dwaj gracze, po kolei, wyci¡gaj¡ z urny po jed- nej kuli bez zwracania (ze zwracaniem). Wygra ten, który pierwszy wyci¡gnie kul¦ biaª¡. Znale¹¢ prawdopodobie«stwo, »e wygra pierwszy gracz. III. W pewnej grupie ¢wiczeniowej prowadz¡cy zadaª 6 zada«, z których ka»dy ze studentów zrobiª 2 losowo wybrane. Studenci przedstawiaj¡ po kolei po jednym rozwi¡zaniu. (a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e zadania studenta poproszonego do tablicy jako n-tego z kolei zostaªy ju» rozwi¡zane? (b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e pierwszy student, którego zadania zostaªy ju» rozwi¡zane wcze±niej zostaª poproszony jako n-ty (Prosz¦ zrobi¢ dla wybranych warto±ci z kolei? n.) IV. Informacje przekazuje si¦ za pomoc¡ telegrafu, nadaj¡c sygnaªy kropka i kreska. sno±ci przeszkód s¡ takie, »e ±rednio Statystyczne wªa- 1 2 5 sygnaªów kropka i 3 sygnaªów kreska zostaje znieksztaªconych. Wiadomo, »e w±ród przekazanych sygnaªów kropka i kreska wyst¦puj¡ w stosunku 5 : 3. Oblicz praw- dopodobie«stwo, »e odebrane sygnaªy kropka i kreska w rzeczywisto±ci byªy te» nadane odpowiednio jako kropka i kreska. V. Gracz A gra kolejno z dwoma graczami, dla których prawdopodobie«stwa wygrania w pierwszej partii wynosz¡ odpowiednio 0,5 i 0,6 i zwi¦kszaj¡ si¦ po ka»dej rozegranej partii o 0,1. Pierwsze dwie partie wygraª gracz A. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo przegranej gracza A w trzeciej partii, je»eli nie wiadomo, z którym graczem byªa rozegrana pierwsza partia (remisy s¡ wykluczone). VI. W urnie znajduj¡ si¦ dwie kule biaªa i czarna. Wyci¡gamy po jednej kuli dot¡d, dopóki nie pojawi si¦ czarna kula, przy czym po wyci¡gni¦ciu biaªej kuli zwracamy j¡ z powrotem do urny i dodatkowo wkªadamy do niej dwie biaªe kule. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e przy pierwszych 50 ci¡gni¦ciach nie wyci¡gniemy czarnej kuli. VII. Prawdopodobie«stwo traenia do celu przy ka»dym strzale dla trzech strzelców s¡ równe odpowiednio 2 4 3 5 , 4 i 3 . Wszyscy trzej strzelcy równocze±nie strzelili i dwóch z nich traªo do celu. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e chybiª trzeci strzelec. VIII. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e suma dwóch losowo wybranych dodatnich liczb rzeczywistych niewi¦kszych ni» 1 jest niewi¦ksza od 1, je±li iloczyn jest niewi¦kszy od 2 9? IX. S¡ dwie kostki symetryczne i jedna obci¡»ona, na której szóstka wypada z prawdopodobie«stwem 1/10, a pozostaªe wyniki maj¡ równe szanse. Wybrano losowo kostk¦ i w 7 rzutach nie uzyskano ani jednej szóstki. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e kostka jest obci¡»ona. X. Pewien egzamin sklada si¦ z czterech kolejnych testów. pierwszy test wynosi p (0 < p < 1), poprzedni, czy te» nie. za± »e zda kolejny Prawdopodobie«stwo, »e pan Brown zda p lub p 2 , w zale»no±ci od tego czy zdaª Pan Brown zda egzamin je»eli zda co najmniej trzy testy; zda na ocen¦ A, je»eli zda co najmniej trzy testy pod rz¡d. Wiemy ju», »e pan Brown zdaª egzamin. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e otrzymaª ocen¦ A? XI. W Kole Matematyków Studentów Pewnej Uczelni odbywaªy si¦ wybory Prezesa. Kandydatów byªo dwóch: student A ust¦puj¡cy Prezes i student B . Wiadomo byªo, »e ka»dy z nich b¦dzie gªosowaª na siebie. Pozostali czªonkowie Zarz¡du (w liczbie pi¦ciu) do ko«ca wahali si¦ i prawdopodobie«stwo, »e popr¡ którego± z kandydatów wynosiªo okazaªo si¦, »e student dobie«stwa. B 1 2 . Wybory wygraª student B. Jednak»e miesi¡c po wyborach zataiª przed kolegami fakt niezaliczenia egzaminu z rachunku prawdopo- W tej sytuacji S¡d Kole»e«ski zarz¡dziª nowe wybory, które maj¡ si¦ odby¢ wkrótce. Studenci, którzy gªosowali na kandydata A zamierzaj¡ poprze¢ go powtórnie, za± B zmieni¡ zdanie wynosi dla ka»dego z stwo, »e ci którzy gªosowali na kandydata studentów ma wi¦ksze szanse na zwyci¦stwo w powtórzonych wyborach? prawdopodobie«nich 1 3 . Który ze Zestaw VI I. Z talii licz¡cej sobie 24 karty (po cztery: asy, króle, damy, walety, dziesi¡tki i dziewi¡tki) ci¡gniemy pojedynczo cztery karty. Czy fakt, »e pierwsze dwie wyci¡gni¦te karty to: a. dwie damy, b. dama i walet zwi¦ksza czy zmniejsza szans¦ wyci¡gni¦cia w±ród czterech kart dwóch ró»nych par? II. Wicemarszaªek parlamentu w pewnym egzotycznym kraju w ka»dym ze swoich niezale»nych wyst¡pie« na forum izby popeªnia gaf¦ z prawdopodobie«stwem 1 2 . Zniecierpliwieni parlamentarzy±ci postanowili odwoªa¢ go z peªnionej funkcji, je»eli popeªni dwie gafy pod rz¡d. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e zostanie on odwoªany dokªadnie po pi¦tnastu wyst¡pieniach? III. W pewnym mie±cie ogªaszana rano przez radio prognoza pogody sprawdza si¦ ±rednio dwa razy na trzy. Pan Smith zwykª bra¢ parasol, gdy zapowiedziano, »e b¦dzie pada¢, i ±rednio raz na trzy razy, gdy zapowiedziano, »e nie b¦dzie. Oblicz: (i) Prawdopodobie«stwo, »e nie we¹mie parasola, gdy pada, (ii) Prawdopodobie«stwo, »e we¹mie parasol, gdy nie pada. IV. Dzie« przed meczem ostatniej decyduj¡cej kolejki I ligi piªkarskiej azienki Warszawa-Dªubnia Kraków odbyª sie bankiet w hotelu Sheraton z okazji 10-lecia prezesury Michaªa L. Poniewa» atmosfera w przeciwie«stwie do serwowanych napojów byªa gor¡ca, mo»na si¦ byªo dowiedzie¢ tego i owego. Tak wiec wieloletni trener Dªubni, Werner L., tu» nad ranem podsªuchaª jak trener azienek chwaliª si¦, »e przekupiª jednego z dwóch czoªowych napastników Dªubni. I chocia» podaª jego nazwisko, Werner L., gdy sie przebudziª, z przera»eniem wi¦kszym ni» jego ból gªowy stwierdziª, ze nie pami¦ta, którego z jego napastników przekupiono. Mógª wiec w równym stopniu podejrzewa¢ zarówno Macieja Brusznic¦, jak i Franciszka Tomaszewskiego. Dªubnia, aby zdoby¢ mistrzostwo Polski musiaªa mecz wygra¢. Pi¦¢ minut przed ko«cem meczu, przy stanie 0:0, s¦dzia podyktowaª rzut karny dla Dªubni. Wyznaczony do jego wykonania Brusznica nie zdobyª bramki. Chwil¦ pó¹niej s¦dzia podyktowaª drugi rzut karny dla Dªubni. Kogo powinien byª wyznaczy¢ jako egzekutora drugiego rzutu karnego Werner L., Macieja Brusznic¦, czy Franciszka Tomaszewskiego, je»eli wiadomo, ze skuteczno±¢ egzekwowania rzutów karnych (w normalnych warunkach) wynosi odpowiednio 0, 8 dla Brusznicy 0, 8? i 0, 4 dla Tomaszewskiego, za± prawdopodobie«stwo, »e przekupiony piªkarz chybi jest równe V. Komandos l¡duje na wyspie na bagnach. Wiadomo ponad wszelk¡ w¡tpliwo±¢, »e dokªadnie jedna z dwóch dróg prowadz¡cych z wyspy jest zaminowana. Wywiad doniósª, »e to lewa droga jest zaminowana. Wywiad jednak»e myli si¦ ±rednio 2 na 3 razy. W przypadku przechodzenia zaminowan¡ drog¡ prawdopodobie«stwo, 1 »e uda si¦ jednak przej±¢ bez szwanku wynosi 2 . Po wyl¡dowaniu na wyspie, komandos zastaje pas¡c¡ si¦ tam koz¦. Postanawia wykorzysta¢ jej obecno±¢ aby zoptymalizowa¢ szanse swego prze»ycia. Rozwa»a cztery mo»liwo±ci: a) posªa¢ koz¦ w lewo, jak wybuchnie to sam rusza w prawo, je±li nie, to sam za ni¡, b) posªa¢ koz¦ w prawo, jak wybuchnie to sam rusza w lewo, je±li nie, to sam za ni¡, c) posªa¢ koz¦ w prawo, jak wybuchnie to sam rusza w lewo, je±li nie, to sam te» w lewo, d) posªa¢ koz¦ w lewo, jak wybuchnie to sam rusza w prawo, je±li nie, to sam te» w prawo, Która ze strategii jest najlepsza? VI. Dziaªaj¡ca na jednej z uczelni ameryka«skich organizacja feministyczna stwierdziªa, »e kobieta, która tam rozpoczyna studia ma mniejsze szanse ich uko«czenia ni» m¦»czyzna. Feministki przeprowadziªy bardziej dokªadne badania, aby znale¹¢ wydziaª, na którym kobiety s¡ prze±ladowane. Okazaªo si¦ jednak, »e na wszystkich wydziaªach kobiety maj¡ wi¦ksze szanse uko«czenia studiów, ni» m¦»czy¹ni. Czy popeªniono bª¡d w badaniach, czy w rozumowaniu, a je»eli tak, to jaki? VII. Adam i Ewa graj¡ ze sob¡ w nast¦puj¡c¡ gr¦. Rozgrywaj¡ ci¡g partii, w których maj¡ równe szanse. Zwyci¦zca ka»dej partii dostaje od pokonanego »eton. Adam ma na pocz¡tku m »etonów, Ewa n »etonów. Gra si¦ ko«czy, gdy które± z nich zostaje bez »etonów. Oblicz prawdopodobie«stwa wygranej Adama i Ewy. Zrobi¢ zadanie, gdy szansa wygranej Adama w jednej partii wynosi A oznacza w pierwszym rzucie wypadª orzeª, za± Ak w n rzutach wypadªo dokªadnie k orªów. k, n, p zdarzenia A i Ak s¡ niezale»ne? (0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ k ≤ n, k, n ∈ N) VIII. Rzucamy monet¡ rzenie jakich n-krotnie. p. Prawdopodobie«stwo wypadni¦cia orªa wynosi p. Niech zdaDla IX. Dwóch graczy rzuca monet¡ symetryczn¡. Je»eli w ci¡gu wyników pierwsza pojawi si¦ seria orzeª, orzeª, reszka wygrywa pierwszy, je»eli za± seria reszka, orzeª, orzeª to drugi. Oblicz prawdopodobie«stwo wygranej ka»dego z graczy. X. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w niesko«czonym ci¡gu rzutów symetryczn¡ monet¡ liczba orªów i reszek zrówna si¦ niesko«czenie wiele razy? Jakie, »e niesko«czenie wiele razy b¦dzie dokªadnie dwa (trzy, cztery itd.) razy tyle orªów co reszek? XI. Opisz zmienne losowe odpowiadaj¡ce poni»szym do±wiadczeniom losowym. Podaj ich rozkªady i dystrybuanty. Dla zmiennych o rozkªadach absolutnie ci¡gªych znajd¹ g¦sto±¢. (A) W rzucie dwiema kostkami interesuje nas (nieujemna) ró»nica oczek na kostkach. (B) W rzucie dwiema kostkami interesuje nas reszta z dzielenia wi¦kszej z wyrzuconych liczb przez mniejsz¡. (C) W grze w ruletk¦ interesuje nas wygrana w jednej grze przy ró»nych sposobach obstawiania. (D) W sze±ciokrotnym rzucie monet¡ patrzymy na dªugo±¢ najdªu»szej serii takich samych wyników. (E) Losujemy z kwadratu [0, 1]2 punkt zgodnie z miar¡ Lebesgua. Niech X i Y b¦d¡ wspóªrz¦dnymi wylosowanego punktu. Jaki rozkªad ma (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) X; min{X, Y }; max{X, Y }; X +Y; XY ; X/Y . (F) Losujemy niezale»nie dwie liczby zgodnie z rozkªadami wykªadniczymi. Jaki rozkªad ma suma tych liczb? Maksimum z nich? Minimum? Zestaw VII I. Urna zawiera 2 czarne i 3 biaªe kule. Wyjmujemy losowo z urny po jednej kuli tak dªugo, dopóki nie wyjmiemy kuli czarnej. Niech bie«stwa zmiennej losowej ξ oznacza liczb¦ kul wyj¦tych z urny. Wyznaczy¢ rozkªad prawdopodo- ξ. II. Trzej chªopcy Adam, Bolek i Cezary graj¡ w nast¦puj¡c¡ gr¦: zªo»yli si¦ po jednej monecie, po czym Adam podrzuca te monety do góry, a gdy spadn¡ zabiera te, które spadªy orªami do góry. Nast¦pnie Bolek zbiera pozostaªe monety, podrzuca je i zabiera te, które spadªy orªami do góry. monety zabiera Cezary. Niech Pozostaªe ξ1 oznacza liczb¦ monet wygranych przez Adama, ξ2 oznacza liczb¦ ξ3 oznacza liczb¦ monet, które przypadªy Cezaremu. Wyznaczy¢ zmiennych losowych ξ1 , ξ2 , ξ3 . monet wygranych przez Bolka, rozkªady prawdopodobie«stwa ABC o przyprostok¡tnych AB = l i BC = k rzucany losowo punkt M . Niech ξ1 oznacza odlegªo±¢ M od boku AB , a ξ2 oznacza miar¦ kata M AB . Znale¹¢ dystrybuant¦ i g¦sto±¢ rozkªadu wektora losowego ξ = (ξ1 , ξ2 ). III. W trójk¡t prostok¡tny IV. Rzucamy jedn¡ kostk¡ do gry. Niech zmienna losowa X przyjmuje warto±¢ 0, gdy wyrzucimy parzyst¡ liczb¦ oczek, a 1 gdy nieparzyst¡. Niech zmienna losowa Y przyjmuje warto±¢ 1, gdy liczba oczek jest podzielna przez 3, w przeciwnym razie warto±¢ 2. Zbada¢ niezale»no±¢ zmiennych losowych X1 i X2 s¡ niezale»ne i maj¡ obie rozkªad geometryczny Z = max(X1 , X2 ). Znajd¹ rozkªad zmiennej losowej Z . V. Zmienne losowe Niech VI. Niech X1 i X2 i Y. p (0 < p < 1). b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªadzie wykªadniczym z g¦sto±ci¡ dan¡ wzorem: f (t) = exp(−t) dla t > 0 prawdopodobie«stw warunkowych lim P (min(X1 , X2 ) > R|X1 + X2 > 2R)? R→∞ o parametrze X i f (t) = 0 dla t ≤ 0. Ile wynosi granica ci¡gu Zestaw VIII I. Policz oczekiwan¡ warto±¢ zysku i odchylenie standardowe dla gracza graj¡cego w ruletk¦ i obstawiaj¡cego (a) pojedynczy numer; (b) numery parzyste; (c) kolor czerwony; (d) liczby od 1 do 12; (e) w wybrany, bardziej skomplikowany sposób. II. Policz oczekiwan¡ wygran¡ w dowolnej grze losowej Lotto. Informacje o zasadach prosz¦ znale¹¢ samodzielnie. Wysoko±¢ wygranych tam, gdzie nie s¡ one podane wprost (jak traenie szóstki przy skre±laniu 6 liczb), prosz¦ oszacowa¢. III. Policz oczekiwan¡ warto±¢ wygranej w grze w ko±ci w Przykªadzie 2.2 z wykªadu. IV. Jeden z pracowników Instytutu Matematyki UJ zadaje na egzaminie trzy pytania. Ocenia ka»de z nich z osobna w skali: 1, 2, 3, 4, 5 i skre±la najwy»sz¡ oraz najni»sz¡ ocen¦. Ta, która zostanie jest ocen¡ ko«cow¡. Je»eli prawdopodobie«stwo otrzymania dowolnej oceny jest w przypadku ka»dego z pyta« takie same i równe 1 5 oraz oceny z poszczególnych pyta« s¡ niezale»ne, to jak w takim razie wygl¡da rozkªad oceny ko«cowej i ile wynosi jej warto±¢ oczekiwana? V. Pewien czªowiek ma dwa pudeªka zapaªek, w lewej i prawej kieszeni po jednym. W ka»dym z nich s¡ cztery zapaªki. Wyci¡gaj¡c zapaªki na chybiª traª z jednej lub drugiej kieszeni, stwierdza w pewnym momencie, »e pudeªko do którego si¦gn¡ª jest puste. Niech zmienna losowa w drugim pudeªku. Znajd¹ ξ oznacza liczb¦ zapaªek Eξ . Spróbuj znale¹¢ odpowied¹, gdy pocz¡tkowa liczba zapaªek w obu pudeªkach jest dowolna, ale równa. VI. Wzdªu» prostej drogi znajduje si¦ n miejscowo±ci rozmieszczonych w równych odlegªo±ciach. W losowo wybranej jednej z nich znajduje si¦ karetka, która po wezwaniu przemieszcza si¦ do miejscowo±ci, z której ono przyszªo i pozostaje tam do nast¦pnego wezwania. Znajd¹ oczekiwan¡ drog¦ jak¡ przeb¦dzie karetka po m wezwaniach. VII. Kacper i Melchior graj¡ w nast¦puj¡c¡ gr¦: losuj¡ z odcinka [0, 1] liczby zgodnie z rozkªadem jednostajnym - Kacper dwie niezale»nie od siebie, za± Melchior jedn¡, równie» niezale»nie od liczb, które wylosowaª Kacper. Nast¦pnie Kacper mno»y swoje dwie liczby przez siebie, za± Melchior podnosi swoj¡ do kwadratu, a pó¹niej obaj podaj¡ uzyskane wyniki. Zwyci¦»y ten, który poda wi¦ksz¡ liczb¦. Który z nich ma wi¦ksze szanse na zwyci¦stwo? VIII. Suªtanat Sestercji, nazywany przez niektórych rajem podatkowym, czeka w tym roku kolejna reforma podatków. Rok temu, wzorem niektórych pa«stw wysoko rozwini¦tych, Suªtan wprowadziª podatek liniowy ka»dy z obywateli pªaciª do skarbu pa«stwa (to»samego zreszt¡ ze skarbcem suªtana) póª procent swoich dochodów. Suªtan, który lubiª rzeczy proste, byª wyj¡tkowo zadowolony, gdy» roczne dochody ludno±ci miaªy rozkªad o g¦sto±ci b¦d¡cej równie» funkcj¡ liniow¡ (to jest dan¡ wzorem postaci: f (x) = ax + b ) na przedziale od 0 do 12 talentów. Poza tym przedziaªem g¦sto±¢ rozkªadu dochodów wynosiªa zero; w szczególno±ci nikt nie zarabiaª wi¦cej ni» 12 talentów, z wyj¡tkiem suª- tana, który rzecz jasna podatków nie pªaciª, za± ±redni roczny dochód mieszka«ca Sestercji wynosiª 4 talenty. Cz¦±¢ obywateli Sestercji nie byªa jednak zadwolona z istniej¡cych obci¡»e« podatkowych. Wspaniaªomy±lny suªtan postanowiª zatem w tym roku caªkowicie zwolni¢ z podatku a» trzy czwarte swoich poddanych o najni»szym dochodzie. Jednocze±nie jednak, aby dokªadnie zrównowa»y¢ wpªywy podatkowe, zamierza on podnie±¢ podatek wszystkim pozostaªym mieszka«com o jednakow¡ staª¡ i niezale»n¡ od dochodu kwot¦. Zakªadaj¡c, »e ani liczba mieszka«ców, ani te» ich dochody nie ulegn¡ w tym roku zmianie, zbadaj: a. Ile wynosiª ±redni podatek w ubiegªym roku, a ile b¦dzie wynosiª w bie»¡cym? b. Jaka powinna by¢ dodatkowa kwota, któr¡ zapªac¡ najbogatsi, aby wpªywy do bud»etu pozostaªy na tym samym poziomie? c. Ile najwi¦cej mo»e zyska¢ obywatel Sestercji na wprowadzeniu reformy podatkowej? Zestaw IX ξ I. Zmienna losowa Eξ = ∞ X przyjmuje tylko warto±ci naturalne. Wyka», »e P ({ω ∈ Ω : ξ(ω) ≥ k}). k=1 X II. Zmienne losowa ma rozkªad dany wzorem P (X = n) = 2−n dla n = 1, 2, . . . Wyznacz rozkªad zmiennej losowej 1 Y = sin( πX). 2 X III. Zmienna losowa ma rozkªad Poissona P (X = k) = e−λ λk k! dla k = 0, 1, 2, . . . Wyznacz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej Y = X(X − 1). (pk )∞ k=0 . Niech EX = a a EX 2 = b. IV. Dany jest ci¡g geometryczny k = 0, 1, . . . Wiadomo, »e V. Niech zmienna losowa η2 = 2ξ/(1 − VI. Niech ξ (Ω, Σ, P ) samym parametrze P (Z = 1) = 1 − p, X i P (X = k) = pk a oraz b. ma rozkªad za pomoc¡ liczb ma rozkªad Cauchy'ego. Jaki rozkªad maj¡ zmienne losowe η1 = 1/ξ dla oraz ξ : Ω → R zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie η = min(ξ, 1 − ξ). Ile wynosi Eη , a ile E(η/(1 − η))? b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, za± VII. Niech zmienne losowe powiednio, pk Wyznacz X ξ 2 )? jednostajnym na przedziale VIII. Niech zmienna losowa λ, (0, 1). X, Y , Z Niech b¦d¡ niezale»ne. Zaªó»my, »e Z 0 < p < 1. natomiast gdzie Y b¦d¡ niezale»nymi (n, 12 ) i (k, 12 ). X i Y maj¡ rozkªad wykªadniczy o tym ma rozkªad dwupunktowy Bernoulliego, to jest Wyznacz rozkªad zmiennej losowej P (Z = 0) = p i X X+Y Z . zmiennymi losowymi o rozkªadach Bernoulliego z parametrami, od- X +Y. X + Y i |X − Y | a) Znajd¹ rozkªad zmiennej losowej b) Sprawd¹ czy zmienne losowe s¡ niezale»ne? (Ω, Σ, P ) b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, za± ξ : Ω → R zmienn¡ losow¡ na tej przestrzeni. Przy ka»dym zaªo»eniu a), b), c) z osobna poka», »e zachodzi: n · P (ξ ≥ n) → 0 (n → ∞), gdzie: a) P (ξ ∈ N) = 1 i E|ξ| < ∞, b) E|ξ| < ∞, 2 c) D ξ < ∞. IX. Niech X. Niech (Ω, Σ, P ) b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, za± wymi na tej przestrzeni. Czy zmienne losowe XI. Rozkªad zmiennej losowej XII. Wektor losowy f (x, y) = (X, Y ) η min(ξ, η) ma ci¡gª¡ dystrybuant¦ F. ξ, η : Ω → R niezale»nymi zmiennymi max(ξ, η) musz¡ by¢ niezale»ne? oraz Znajd¹ rozkªad zmiennej F (η). ma rozkªad normalny o g¦sto±ci 1 x2 + y 2 1 exp[− ( )] 2πσ 2 2 σ2 Wyznacz g¦sto±¢ Wyznacz g¦sto±¢ g g wektora losowego wektora losowego (U, V ), gdzie U = X + Y , V = X − Y . Y . (U, V ) takiego, »e U 2 = X 2 + Y 2 i V = arctg X loso- Zestaw X I. Zastanów si¦ nad mo»liwo±ci¡ zmetryzowania zbie»no±ci zmiennych losowych. II. Prosz¦ zrobi¢ ¢wiczenia z 6 cz¦±ci wykªadu. III. Prosz¦ udowodni¢ twierdzenie 6.3 w wersji dla zbie»no±ci stochastycznej. IV. Czy ci¡g zmiennych o rozkªadzie absolutnie ci¡gªym mo»e by¢ zbie»ny do zmiennej o rozkªadzie dyskretnym niejednopunktowym? Czy ci¡g zmiennych o rozkªadzie dyskretnym mo»e by¢ zbie»ny do zmiennej o rozkªadzie absolutnie ci¡gªym? Odpowiedzi udziel dla ró»nych zbie»no±ci. V. Niech (ξi )i∈N 0) = 1/2. b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadach: Czy szereg ∞ X ξi 2i P (ξi = 1) = 1/2, P (ξi = jest zbie»ny sªabo? stochastycznie? prawie na pewno? w sensie Lp ? i=1 VI. Niech (ξi )i∈N −1) = 1/2. b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadach: Czy szereg ∞ X ξn n=1 VII. Niech Xi n P (ξi = 1) = 1/2, P (ξi = jest zbie»ny w jakim± sensie? Jakim? b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o tych samych rozkªadach. Przy jakich zaªo»eniach o rozkªadzie ci¡g ten mo»e by¢ zbie»ny w ka»dym poznanym sensie? VIII. Niech An (ε) = {|Xn − X| > ε}, Bm (ε) = [ An (ε). n≥m Poka», »e wtedy: (a) 1 Xn −→ X P n P (An (ε)) (b) Je»eli IX. Wyka» równowa»no±¢: E( P (Bm (ε)) → 0 przy m → ∞ 1 dowolnego ε > 0, to Xn −→ X ; wtedy i tylko wtedy, gdy <∞ dla s Xn −→ 0 dla dowolnego ε > 0; wtedy i tylko wtedy, gdy |Xn | ) → 0. 1 + |Xn | X. Dla jakich zbie»no±ci prawdziwe jest twierdzenie: Je»eli ? Xn −→ X i g:R→R jest ci¡gªa, to ? g(Xn ) −→ g(X). Xn : Ω → R, n ∈ N, X : Ω → R b¦d¡ zmiennymi losowymi, za± {δn }n∈N ci¡giem liczb s s Xn −→ X przy n → ∞, za± δn → 0 (n → ∞), to δn · Xn −→ 0 przy n → ∞. XI. Niech rzeczywistych. Poka», »e je»eli XII. Udowodnij twierdzenie Skorohoda: Je±li (Ω, Σ, P ) jest przestrzeni¡ probabilistyczn¡, a X, Xn : Ω → R styczna Ω, Σ, P ) oraz okre±lone na niej zmienne losowe PYn = PXn , PY = PX , oraz 1 Yn −→ Y. d Xn −→ X , to istnieje Y, Yn : Ω → R takie, »e s¡ okre±lonymi na niej zmiennymi losowymi takimi, »e przestrze« probabili- a«cuchy Markowa W tej cz¦±ci prawdopodobie«stwo b¦dzie oznaczane przez Niech I b¦dzie co najwy»ej przeliczalnym zbiorem. b¦dziemy dowolny ukªad liczb nieujemnych I z pocz¡tkowym podzbiorem N lub z P. Rozkªadem prawdopodobie«stwa na λ = {λi }i∈I taki, »e P i λ i = 1. I nazywa¢ Cz¦sto mo»na uto»samia¢ i wtedy rozkªad prawdopodobie«stwa jest po prostu wektorem N liczbowym. Nazywa¢ b¦dziemy go wektorem stochastycznym. pij b¦dzie prawdopodobie«stwem, »e system przejdzie ze stanu i do stanu j w jednostce czasu, P( system przejdzie do stanu j|system przejdzie do stanu i). Oczywi±cie pij ≥ 0 i dla dowolnego i ∈ I P jest j∈I pij = 1. Macierz P = (pij )i,j∈I nazywa¢ b¦dziemy macierz¡ stochastyczn¡ lub macierz¡ przej±cia. Niech czyli (k) pij = (P k )ij . Dla uproszczenia zapisu przyjmiemy konwencj¦ P P pij = 1 dla dowolnego j . Jest ona, natomiast, nazywana substochastyczn¡, gdy i∈I pij ≤ 1 dla dowolnego j . Poka», »e je»eli P n te» jest jest stochastyczna (podwójnie stochastyczna; substochastyczna), to dla dowolnego n macierz P Zadanie 1. Macierz stochastyczn¡ nazywamy podwójnie stochastyczn¡, gdy i∈I P stochastyczna (podwójnie stochastyczna; substochastyczna). Czy je»eli dwie ró»ne macierze s¡ stochastyczne (podwójnie stochastyczne; substochastyczne) to ich iloczyn tak»e? λ i macierzy przej±cia P a«cuchem Markowa o stanie pocz¡tkowym nazywa¢ b¦dziemy ci¡g zmiennych (Xn )n∈N o warto±ciach w I takich, »e X0 ma rozkªad λ, czyli P(X0 = i) = λi . P(X0 = i0 , X1 = i1 , . . . Xn = in ) = λi0 pi0 i1 pi1 i2 . . . pin−1 in . losowych 1. 2. Zadanie 2. (Wªasno±¢ braku pami¦ci.) Poka», »e P(Xn+1 = in+1 |X0 = i0 , X1 = i1 , . . . Xn = in ) = P(Xn+1 = in+1 |Xn = in ). Poka», »e P(Xn = j) = (λP n )j . Znajd¹ wzór na Uzasadnij, »e Zadanie 3. Dla P(Xn1 = j1 , Xn2 = j2 , . . . , Xnk = jk ) (k) P(Xn+k = j|Xn = i) = pij P, macierzy stochastycznej dla n1 < n2 < . . . < jk . . 2 × 2, znajd¹ ogóln¡ posta¢ P n. Poka», »e 1 jest warto±ci¡ wªasn¡ dowolnej macierzy stochastycznej oraz pozostaªe warto±ci wªasne na moduª nie s¡ wi¦ksze od 1. Czy mo»liwe jest, aby 1 byªa wielokrotn¡ warto±ci¡ wªasn¡? Czy mog¡ by¢ warto±ci wªasne o module 1 inne ni» 1? Zadanie 4. W stawku znajduj¡ si¦ dwa wystaj¡ce kamienie, jeden du»y i drugi maªy. W chwili t=0 »aba znajduje si¦ na maªym kamieniu. Wiemy, »e po jednostce czasu »aba skacze z du»ego kamienia (je±li, rzecz oczywista siedzi wªa±nie na du»ym) na maªy z prawdopodobie«stwem prawdopodobie«stwem 1/5 [bo na du»ym jest jej wygodniej]; za± z maªego na du»y z 3/5. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e po 1; 2; 3; 4; jednostkach czasu »aba b¦dzie si¦ znajdowa¢ na du»ym kamieniu? Jakie jest przybli»one prawdopodobie«stwo, »e w danej chwili t = 100 jednostek czasu, »aba b¦dzie siedziaªa na maªym kamieniu? Zadanie 5. Wielokrotnie rzucamy kostk¡ do gry. Które z poni»szych ci¡gów zmiennych losowych s¡ ªa«cuchami Markowa? Dla tych, które s¡ ªa«cuchami Markowa napisz macierze przej±cia. a) Najwi¦kszy numer Xn , w n jaki si¦ pojawiª a» do n-tego rzutu. Nn szóstek rzutach. r, czas Cr od ostatniej szóstki. chwili r , czas Br do nast¦pnej szóstki. b) Liczba c) W chwili d) W Zadanie 6. Cz¡stka bª¡dzi losowo po wierzchoªkach sze±cianu. W ka»dym kroku zostaje w danym wierz- choªku z prawdopodobie«stwem 1 1 4 , lub przechodzi do którego± z s¡siednich z prawdopodobie«stwem 4 . v Niech i w b¦d¡ dwoma ustalonymi wierzchoªkami sze±cianu le»¡cymi na tej samej przek¡tnej tego sze- v, v; w; ±cianu. Je±li bª¡dzenie rozpoczyna si¦ w wierzchoªku (i) ±redni numer kroków do pierwszego powrotu do (ii) ±redni numer kroków do pierwszego osi¡gni¦cia znajd¹: (iii) ±redni¡ liczb¦ wizyt w w Zadanie 7. Trzech graczy, A, B , C , gra w tenisa. W ka»dej grze gra zwyci¦zca poprzedniej z osob¡ pauzuX , gdzie sA , sB , sC > 0 s¡ siªami poszczególnych X przeciwko Y wynosi sXs+s Y przed pierwszym powrotem do v. j¡c¡. Szansa wygranej gracza graczy. Poka», »e skªady kolejnych pojedynków opisywane s¡ przez ªa«cuch Markowa. Poka», »e prawdopodobie«stwo tego, »e skªad czwartego meczu b¦dzie taki sam jak pierwszego nie zale»y od tego kto graª w pierwszym. {Sn : n ≥ 0} b¦dzie losowym bª¡dzeniem po osi (tzn. dla dowolnego n ≥ 0: Sn+1 −Sn = 1 z prawdopodobie«stwem p ∈ (0, 1) oraz Sn+1 −Sn = −1 z prawdopodobie«stwem q = 1−p). Niech S0 = 0. Pokaza¢, »e Xn = |Sn | jest ªa«cuchem Markowa: znale¹¢ jego macierz przej±cia. Niech Zadanie 8. Niech Mn = max{Sk : 0 ≤ k ≤ n}. Pokaza¢, »e Yn = Mn − Sn jest ªa«cuchem Markowa. X b¦dzie ªa«cuchem Markowa o przestrzeni stanów S . Niech h : S → T b¦dzie bijekcj¡. Yn = h(Xn ) jest ªa«cuchem Markowa o przestrzeni stanów T . Czy konieczna do tego jest Zadanie 9. Niech Pokaza¢, »e bijekcja? Zadanie 10. Niech X oraz Y b¦d¡ ªa«cuchami Markowa o przestrzeni stanów Z. Czy ci¡g Zn = Xn + Yn musi/mo»e by¢ ªa«cuchem Markowa? X b¦dzie ªa«cuchem Xm+r dla r ≥ 0; (ii) X2m dla m ≥ 0; (iii) ci¡g par (Xn , Xn+1 ) dla n ≥ 0. Zadanie 11. Niech Markowa. Które z poni»szych ci¡gów s¡ ªa«cuchami Markowa? (i) Stan j jest osi¡galny ze stanu i, je±li istnieje Stany i, j i ↔ j. Stan i Stan i jest powracaj¡cy, je±li istnieje k≥0 nazywamy komunikuj¡cymi, je±li istniej¡ jest absorbuj¡cy, je±li takie, »e k, k 0 ≥ 0 (k) pij > 0. Zapisujemy to jako (k) (k0 ) takie, »e pij , pji > 0. i → j. Zapisujemy to jako pii = 1. k≥0 takie, »e (k) pii > 0. Zadanie 12. Poka», »e relacja bycia stanami komunikuj¡cymi jest równowa»no±ci¡. Klas¦ równowa»no±ci C ze wzgl¦du na komunikowalno±¢ nazwiemy zamkni¦t¡, je±li zachodzi: i ∈ C, i → j =⇒ j ∈ C. a«cuch Markowa nazwiemy nieredukowalnym, je±li ma jedn¡ klas¦ komunikowalno±ci obejmuj¡c¡ wszystkie mo»liwe stany. Zadanie 13. Ka»da jednoelementowa klasa równowa»no±ci skªada si¦ ze stanu absorbuj¡cego lub stanu niepowracaj¡cego. W ªa«cuchu Markowa o sko«czonej liczbie stanów jest co najmniej jedna zamkni¦ta klasa komunikowalno±ci. Je±li i nie jest w »adnej zamkni¦tej klasie komunikowalno±ci w ªa«cuchu Markowa o sko«czonej liczbie stanów, to limn→∞ (λP n )i = 0 dla dowolnego pocz¡tkowego stanu Czy podobnie jest dla dowolnego ªa«cucha Markowa? λ. Zestaw XI 1. 60% ludzi woli czekolad¦ gorzk¡ od mlecznej. Osoba organizuj¡ca przyj¦cie dla ka»da ma otrzyma¢ jako prezent pudeªeczko czekoladek, przygotowuje gorzkimi i 45 z mlecznymi. 70 100 osób, z których pudeªeczek z czekoladkami Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e ka»dy z go±ci b¦dzie mógª sobie wybra¢ taki rodzaj czekoladek, jaki mu odpowiada? 2. Prawdopodobie«stwo wyprodukowania wadliwego detalu wynosi kowa¢ fabryka, aby z prawdopodobie«stwem równym co najmniej 0, 05. Ile detali powinna wyprodu0, 9 przynajmniej 100 spo±ród nich nie byªo wybrakowanych. a) Podaj oszacowanie w oparciu o nierówno±¢ Czebyszewa. b) Podaj oszacowanie w oparciu o centralne twierdzenie graniczne. Pomocnicza tabela: p = 0, 95, ζn = √np−100 np(1−p) : n 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 ζn 0, 31 0, 73 1, 15 1, 56 1, 97 2, 37 2, 77 3, 17 3, 57 3, 96 3. Okres obiegu planetoidy Swaro»yc wokóª Sªo«ca (rok swaro»ycja«ski) podlega rocznym (licz¡c lata swaro»ycja«skie) losowym wahaniom wokóª warto±ci wi¦ksz¡ od zera. x sekund (ziemskich), gdzie x jest du»¡ liczb¡ Wahania te s¡ zmiennymi losowymi niezale»nymi maj¡cymi rozkªad jednostajny (w sekundach) na odcinku [(x − 1), (x + 1)]. Czy z prawdopodobie«stwem wi¦kszym ni» 0,95 mo»na stwierdzi¢, »e w ci¡gu tysi¡ca lat swaro»ycja«skich caªkowite odchylenie sumy okresów obiegu od spodziewanej warto±ci 1000x nie przekroczy minuty? 4. Chªopcy radarowcy. Przy pewnej niezbyt ruchliwej trasie (w godzinach szczytu 15 samochodów/min), na której obowi¡zuje ograniczenie pr¦dko±ci do 70 km/ h, policja umie±ciªa nowoczesny fotoradar. Ka»dy samochód, przeje»d»aj¡cy monitorowany odcinek drogi z pr¦dko±ci¡ wi¦ksz¡ ni» pr¦dko±¢ v na jak¡ zostaª zaprogramowany radar, zostaje sfotografowany. Niestety, ze wzgl¦du na ograniczenia technologiczne, fotoradar mo»e wykona¢ i przesªa¢ do centrum obróbki danych jedynie 90 zdj¦¢ w ci¡gu godziny w przypadku wi¦kszej liczby zdj¦¢ aparatura blokuje si¦. Policja przekonaªa si¦ o tym, gdy ustawiªa pr¦dko±¢ krytyczna v = 75km/ h radar blokowaª si¦ kilka razy dziennie. W oparciu o centralne twierdzenie graniczne oce«, czy radar nastawiony na pr¦dko±¢ krytyczn¡ v = 85km/ h b¦dzie dziaªaª w szczycie bezawaryjnie przez godzin¦ z prawdopodobie«stwem wi¦kszym ni» 0, 99. Zakªadamy, »e pr¦dko±ci samochodów s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi, maj¡cymi rozkªad normalny o parametrach N (70 km/h, 10 km/h). Wskazówka: je»eli 5. Referendum. 0<p< 1 10 , to p p(1 − p) ≤ 3 10 . W gªosowaniu nad przyj¦ciem Traktatu Konstytucyjnego Oceanii padªo w Australii dokªadnie tyle samo gªosów za, co i przeciw. Zapytano po wyj±ciu z lokali wyborczych 750 obywateli losowo wybranych sposród kilkunastu milionów uczestnicz¡cych w referendum, jak gªosowali (exit poll). Zakªadaj¡c, »e wszyscy oni mówi¡ prawd¦, oce« wykorzystuj¡c centralne twierdzenie graniczne, czy szansa na to, aby przeszªo 53% z nich odpowiedziaªo, »e gªosowali za przyj¦ciem Traktatu jest mniejsza czy wi¦ksza ni» 5%?