1 Lista 4 (programowanie liniowe) Zadanie 1 Przedsiębiorstwo
Transkrypt
1 Lista 4 (programowanie liniowe) Zadanie 1 Przedsiębiorstwo
badania operacyjne, USM dzienne, sem. zimowy 2008/2009, lista 4 1 Lista 4 (programowanie liniowe) Zadanie 1 Przedsiębiorstwo produkuje cztery mieszanki A, B, C i D. Mieszanki A i B są produktami podstawowymi, powstającymi z trzech surowców: S1, S2 i S3. Poniższa tabela pokazuje, w jaki sposób surowce te mają być wymieszane a także ceny zbytu produktów A i B. Zakładamy, że firma może sprzedać po podanych cenach tyle wyrobów ile wytworzy. Produkt A B Specyfikacja co najmniej 20% S1 co najmniej 40% S2 nie więcej niż 10% S3 co najmniej 10% S1 nie więcej niż 30% S3 Cena jednostkowa 3 $/kg 2.5 $/kg W celu zagwarantowania terminowych dostaw surowców przedsiębiorstwo zgodziło się na to, że w rozpatrywanym okresie planowania zakupi pewne, minimalne ilości surowców. Natomiast fizyczne uwarunkowania urządzeń produkcyjnych ograniczają z góry ilość każdego z surowców jaką można przetworzyć. Oba rodzaje ograniczeń oraz jednostkowe ceny surowców są podane w poniższej tabeli. Surowiec S1 S2 S3 Minimum 2000 kg 3000 kg 4000 kg Maksimum 6000 kg 5000 kg 7000 kg Cena jedn. 2.1 $/kg 1.6 $/kg 1.1 $/kg Z natury procesu produkcji wynika, że tylko pewna część każdego z surowców zużytych do produkcji produktów A i B wchodzi w skład tych produktów. Reszta (odpady), których ilość wyraża się każdorazowo poprzez znany współczynnik strat (patrz poniższa tabela), może być albo zużyta do produkcji wyrobów C i D albo zniszczona na koszt firmy. S1 S2 S3 A 0.1 0.2 0.4 B 0,2 0.2 0.5 Drugorzędny wyrób C otrzymuje się poprzez zmieszanie dowolnych ilości odpadów z surowców S1, S2 i S3 otrzymanych przy produkcji wyrobu A z oryginalnym surowcem S1. Przy czym, oryginalny surowiec S1 musi stanowić (wagowo) dokładnie 20% mieszanki. Podobnie, drugorzędny produkt D otrzymuje się poprzez wymieszanie dowolnych ilości odpadów z surowców S1, S2 i S3 otrzymanych przy produkcji wyrobu B z oryginalnym surowcem S2. Przy czym, oryginalny surowiec S2 musi stanowić (wagowo) dokładnie 30% mieszanki. Przy produkcji produktów C i D nie powstają żadne odpady. Ceny rynkowe produktów C i D wynoszą odpowiednio 0.6 $/kg i 0.5 $/kg. Poniższa tabela zawiera koszty zniszczenia odpadów nie zużytych do produkcji wyrobów C i D. Koszty te są różne w zależności od pochodzenia odpadów. S1 S2 S3 A 0.1 $/kg 0.1 $/kg 0.2 $/kg B 0.05 $/kg 0.05 $/kg 0.40 $/kg badania operacyjne, USM dzienne, sem. zimowy 2008/2009, lista 4 2 Przedsiębiorstwo chce znaleźć odpowiedź na następujące pytania. Ile zakupić surowców S1, S2 i S3? Jaką część każdego z surowców przeznaczyć na produkcję każdego produktu? Jaką część odpadów z produkcji A i B zniszczyć a jaką przeznaczyć do produkcji wyrobów drugorzędnych? S1C C S1A S2A S3A SUROWCE S1,S2,S3 A OS1C OS2C OS3C Odpady niezużyte S1B S2B S3B B LIKWIDACJA OS1D OS2D OS3D S2D D Zadanie 2 Pan X zarabia na życie kupując i sprzedając kukurydzę. Na dzień 1 stycznia ma 50 ton kukurydzy i 10000$ gotówki. Pierwszego dnia każdego miesiąca pan X może kupić kukurydzę po następujących cenach za tonę: styczeń 300$, luty 350$, marzec 400$ i kwiecień 300$. W ostatnim dniu każdego miesiąca pan X może sprzedać kukurydzę po następujących cenach za tonę: styczeń 250$, luty 400$, marzec 350$ i kwiecień 550$. Pan X przechowuje kukurydzę w magazynie, który może pomieścić co najwyżej 100 ton. Musi również mieć gotówkę na pokrycie każdego zakupu kukurydzy na początku miesiąca. Skonstruuj i rozwiąż model liniowy maksymalizacji gotówki pana X na koniec kwietnia. Zadanie 3 W hali fabryki znajdują się 4 maszyny M1 , M2 , M3 , M4 zlokalizowane w punktach o współrzędnych: M1 : (3, 0); M2 : (0, −3); M3 : (−2, 1) i M4 : (1, 4). Należy wyznaczyć miejsce lokalizacji nowej maszyny M , której współrzędne lokalizacji oznaczymy przez x1 , x2 , w następujących przypadkach: a) Minimalizuje się sumę odległości nowej maszyny od czterech istniejących maszyn. Wykorzystać metrykę odległości typu Manhattan np. odległość od punktu (x1 , x2 ) lokalizacji nowej maszyny do punktu (3, 0) lokalizacji maszyny M1 wynosi: |x1 − 3| + |x2 − 0|. b) Ponieważ między nową maszyną a maszynami M1 , M2 , M3 , M4 występują przepływy materiałów o zróżnicowanej wielkości, zmodyfikować problem tak, aby zminimalizować sumę ważononych odległości. Za wagi dla maszyn M1 , M2 , M3 , M4 przyjąć odpowiednio liczby: 5, 7, 3, 1. c) Załóżmy, że nowa maszyna ma być zlokalizowana w prostokącie {(x1 , x2 ) : −1 ≤ x1 ≤ 1, −1 ≤ x2 ≤ 1}. Sformułować model z a), b) oraz tym dodatkowym ograniczeniem. d) Założyć, że nowa maszyna ma być zlokalizowana tak, aby odległość od pierwszej maszyny nie była większa niż 23 . Sformułuj model przy tym dodatkowym ograniczeniu.