Od eksperymentu kwantowego do krat i logik ortomodularnych

Od eksperymentu kwantowego
do krat i logik ortomodularnych
Jacek Malinowski
Wprowadzenie.
Celem tej pracy jest pokazanie, w jaki sposób wychodząc od pewnego typu eksperymentów fizycznych można skonstruować semantykę algebraiczną
dla zdaniowej logiki klasycznej oraz kwantowej. Zaprezentowane w pierwszej części pojęcia i wyniki pochodzą od C. Pirona [64], [77], (patrz też M.
Majewski [78]). Pozostałe części pracy poświęcone są prezentacji własności
systemów logicznych wyznaczonych semantycznie przez kraty układu liniowej polaryzacji światła. W szczególności, w części drugiej omawiamy pewne
zaawansowane wyniki algebry uniwersalnej dotyczące pewnych klas modularnych ortokrat wyznaczonych przez kraty M On (patrz rysunek 2). Część
ta ma wyłącznie charakter informacyjny i stanowi swego rodzaju bazę danych dla ostatniego paragrafu, którego zadaniem jest prezentacja logicznych
i filozoficznych konsekwencji tych rezultatów. Czytelnik nie zainteresowany
algebrą może tę część bez straty pominąć. W części trzeciej prezentowane
są podstawowe pojęcia teorii operacji konsekwencji logicznej. Spośród tych
pojęć najważniejsze dla niniejszej pracy jest pojęcie kraty wzmocnień danej logiki (logik silniejszych niż dana logika). Naszym celem jest powiązanie
wyrafinowanych technicznie wyników prezentowanych w części drugiej z klarownymi filozoficznie pojęciami ważnymi dla logiki. Ostatnie twierdzenie tej
części wiąże techniczne pojęcie algebry uniwersalnej – pojęcie quasirozmaitości z ważną z punktu widzenia logiki binarną relacją wyznaczającą siłę
dedukcyjną danego systemu logicznego. Wyniki tutaj zawarte są znane matematykom. Ich uogólnieniom poświęcona jest obszerna literatura (patrz na
przykład Blok, Font, Pigozzi [?]). Jednakże, jak się wydaje, filozoficzne konsekwencje tych wyników dla logiki pozostają mało znane. Część czwarta ma
charakter logiczno-filozoficzny. Poświęcona jest szczegółowemu omówieniu
logicznych i filozoficznych konsekwencji wyników prezentowanych w części
0
Pierwsza wersja tej pracy była prezentowana podczas III Warsztatów Logiczno - Filozoficznych, Górzno, 3 – 7 września 1997.
1
drugiej w oparciu o prezentowane w części trzeciej pojęcia i wyniki dotyczące dualności między algebrą uniwersalną a teorią operacji konsekwencji.
Podobnie jak poprzedniej, wyniki tej części mają istotne konsekwencje filozoficzne. Niestety, o ile wiadomo autorowi, również w tym przypadku, prace
na ten temat nie były nigdy publikowane.
Fizyka: eksperyment kwantowy.
Przyjmijmy realistyczny punkt widzenia. Fizyk bada układ fizyczny. Własności układu nie zależą od tego czy są komuś znane czy też nie – są realne. Przeprowadzając eksperyment fizyk stara się dowiedzieć czegoś więcej
o układzie. Eksperyment dostarcza informacji o własnościach układu. Interesować nas będą wyłącznie eksperymenty, które potwiedzają lub obalają
zadaną z góry hipotezę. Są one w gruncie rzeczy pytaniami zadawanymi
naturze, przy tym takimi pytaniami, których jedynymi możliwymi odpowiedziami są “tak” oraz “nie”. Dowolny eksperyment tego typu nazywać
będziemy pytaniem. Powiemy, że pytanie jest prawdziwe, gdy jego wynik
(jako eksperymentu) jest pozytywny oraz fałszywe, gdy jest on negatywny.
Niech 1 i 0 oznaczają pytania (stałe), na które odpowiedźbrzmi odpowiednio: “tak” i “nie”. Przymijmy ponadto, że dla dowolnych pytań α, β
α ¬ β wtedy i tylko wtedy, gdy pytanie β ma odpowiedź“tak”, jeśli tylko α
ma odpowiedź“tak”. Pytania α i β nazywamy równoważnymi α ≡ β wtedy i
tylko wtedy, gdy α ¬ β oraz β ¬ α. Oczywiście pytania równoważne mają te
same odpowiedzi. Relacja ≡ jest relacją kongruencji na zbiorze wszystkich
pytań. Jej klasy równoważności a = [α] = {β : α ≡ β}, nazywać będziemy
sądami. Sąd jest prawdziwy, gdy jedno (równoważnie każde) odpowiadające
mu pytanie jest prawdziwe, w przeciwnym wypadku jest on fałszywy. Sądy
prawdziwe w danym układzie odpowiadają aktualnym własnościom układu,
zaś inne sądy – własnościom potencjalnym. Negacją pytania α nazywamy
pytanie ¬α takie, że ¬α jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy α jest fałszywe. Negacją sądu a = [α] nazywamy nazywamy sąd a0 = [¬α].
Twierdzenie 1. (Piron [78]) Relacja ¬ wyznacza na zbiorze wszystkich sądów strukturę kraty zupełnej L, którą nazywać będziemy kratą układu. Niech
∧ i ∨ oznaczają odpowiednio kratowy kres dolny i górny. Mamy:
a) a ∧ b jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy a jest prawdziwe i b jest
prawdziwe.
b) a ∨ b jest prawdziwe jeśli a jest prawdziwe lub b jest prawdziwe.
c) Na to aby zachodził warunek a ∨ b jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy
2
a jest prawdziwe lub b jest prawdziwe potrzeba i wystarcza, aby L była kratą
dystrybutywną.
d) Jeśli dla dowolnego a a jest prawdziwe lub a0 jest prawdziwe to L jest
zupełną i atomową algebrą Boole’a.
Przykład 1. Układ klasyczny – ważenie. Ważymy przedmioty i przypisujemy każdemu jedną z trzech kategorii, lekki (lżejszy niż 1 kg.), średni, ciężki
(cięższy niż 10 kg.) Rozważmy natępujące pytania-eksperymenty:
α1 : Czy (przedmiot) jest lekki? α2 : Czy jest średni? α3 : Czy jest ciężki?
Zauważmy, że sądy wyznaczone przez powyższe pytania spełniają warunki:
a1 ∧ a2 ∧ a3 ≡ 0,
a1 ∨ a2 ∨ a3 ≡ 1,
(a1 ∧ a2 )0 ≡ a3 .
Krata tego układu jest ośmioelementową algebrą Boole’a (patrz rysunek na następnej stronie). W konsekwencji, na mocy twierdzenia 1 a, c, d
operacje kratowe kresu dolnego i kresu górnego odpowiadają klasycznym
spójnikom koniunkcji i alternatywy, dopełnienie zaś – klasycznej negacji.
α ∧ β ma zatem odpowiedź“tak” dokładnie wtedy, gdy tak α jak i β mają odpowiedź“tak”, zaś α ∨ β ma odpowiedź“tak” dokładnie wtedy, gdy co
najmniej jedno ze zdań α, β ma odpowiedź“tak”.
1
r
¡@
¡
@
r a3 @r a2
@ ¡@ ¡
@
¡
¡
@
@r¡a03 @r a01
a02 ¡
r
@
¡
@
¡
@r¡
a1 r¡
rys. 1
0
Przykład 2. Układ kwantowy – liniowa polaryzacja światła. Wysyłamy
wiązkę fotonów w kierunku polaryzatora nachylonego pod kątem α względem płaszczyzny polaryzacji. Niech Z ⊆ [0, π) oznacza zbiór dopuszczalnych
kątów nachylenia. Może to być zbiór wszystkich liczb z przedziału [0, π) lub
dowolny jego podzbiór, w tym również skończony. Pytaniami układu są dowolne pytania postaci:
αφ : Czy foton przechodzi przez polaryzator nachylony pod kątem φ, gdzie
φ ∈ Z.
3
Doświadczenie pozwala stwierdzić, że jeśli niemożliwe jest otrzymanie
serii fotonów przechodzących równie dobrze przez polaryzator nachylony pod
kątem φ jak przez polaryzator nachylony pod innym kątem. Na podstawie
twierdzenia 1 b) dla φ 6= ψ mamy αφ ∧ αψ = 0. Można również wykazać, że
¬αφ = αφ+ π2
W kracie układu operacja dopełnienia definiowana jest jako αφ0 = αφ+ π2 .
Ostateczna postać kraty układu zależy od liczności zbioru Z. Gdy jest on
dwuelementowy, kratą układu jest niżej przedstawiona krata MO2, gdy ma
on n elementów – krata MOn (dla n=3 jest to krata MO3 z rysunku poniżej).
Gdy Z zawiera wszystkie liczby z przedziału [0, π) krata układu zawiera
kontinuum atomów (będących jednocześnie ko-atomami).
Zwróćmy uwagę, iż kraty te nie są dystrybutywne. W konsekwencji operacja kresu górnego nie odpowiada klasycznej alternatywie, mamy tu jedynie
wynikanie (twierdzenie 1 b, c). Również operacja dopełnienia, na podstawie
twierdzenia 1 d), nie odpowiada klasycznie rozumianej negacji.
MO2
1
pH
©
©¡@H
0 HH 0
¡
©©
¡
@
a p©
b
p
b@
p H
©p a
H
H @
¡©©
H@
¡
©
HH
@p©
¡
0
MO3
1
pH
P
³
©
PP
³¡@H
©
³³
©¡
HPPP
³p©
@
©
³
¡
@p c0 H
P
³
H
p
p
p b0³
³p a0
aP
bH
c
PP
©³
©
H
@
¡
PH
©
³
@
¡
PH
PP
³³
³©
@p©
H
¡
0
rys. 2
Algebra: kraty ortomodularne.
Algebrę A = (A, ∨, ∧,0 ) z dwoma działaniami dwuargumentowymi ∨ i ∧ oraz
jednym działaniem jednoargumentowym 0 nazywać będzimy ortokratą wtedy
i tylko wtedy, gdy (A, ∨, ∧) jest kratą ograniczoną (to znaczy kratą posiadającą element najmniejszy 0 i największy 1), a 0 jest anty-monotonicznym
operatorem na A (to znaczy operatorem spełniającym warunek a ¬ b wtedy
i tylko wtedy, gdy b0 ¬ a0 , warunek ten jest rówoważny prawu de Morgana:
(a∧b)0 = a0 ∨b0 ). Ortokratę, która spełnia identyczność x∨(x0 ∧(x∨y)) = x∧y
nazywać będziemy kratą ortomodularną. Rodzina wszystkich krat ortomodularnych jest rozmaitością (a więc także quasirozmaitościa 1 ), oznaczać
ją będziemy przez OM L. Ortokrata jest modularna, jeśli spełnia warunek
x ¬ y, x ∨ (y ∧ z) = y ∧ (x ∨ z). Klasę wszystkich modularnych ortokrat
1
Definicje tych pojęć znaleźć można w S. Burris R. Shankapanavar [81]. Dla potrzeb
naszych rozważań istotne jest jedynie to, iż są to pewne klasy algebr, powiązane z pojęciami
logicznymi przez twierdzenie z następnego paragrafu.
4
oznaczać będziemy przez M OL. Każda algebra Boole’a jest modularną ortokratą, zaś każda modularna ortokrata jest kratą ortomodularną. Pełny
wykład przedmiotu zawierają Beran [84] oraz Kalmbach [83].
Kraty układu liniowej polaryzacji opisane w pierwszej części pracy są
modularnymi ortokratami. Co więcej są to modularne ortokraty szczególnie
ważne z punktu widzenia algebry. Przypomnijmy: M On dla n ∈ ω and M Oω
oznaczają odpowiednio modularne ortokraty 2n (odpowiednio ω) parami
nieporównywalnych elementów (plus kresy).
Gudrun Kalmbach w [74] udowodniła że każda nietrywialna rozmaitość
krat ortomodularnych zawiera kratę M O2 × M O1 (patrz rysunek poniżej).
Greechie pokazał (patrz Kalmbach [83]), że miedzy rozmaitością algebr Boole’a a rozmaitością wyznaczoną przez kratę M O2 nie ma innych rozmaitości.
p
©H
©
¡
@
HH
©¡
@p H
©
Hp
p © p¡
p @
©
H
©H
HH@©
H¡
¡
¡@
©©
@
H
©
¡
@
©
H
H
©
p
p¡ H
© @p Hp
@p¡
©
©
H
H @
¡©©
H@
¡
©
H@
p
¡
H©
M O2 × 2
rys. 3
Roddy w [86] udowodnił, że rozmaitości wyznaczone przez ortokraty M On
dla n ∈ {0, 1, ..., ω} tworzą początkowy łańcuch w kracie rozmaitości krat
ortomodularnych. Rezultat ten istotnie wzmocnił J. Malinowski w [90] dając pełny opis kraty podquasirozmaitości kraty M Oω. Okazuje się że jej
struktura jest stosunkowo przejrzysta, a każda taka pod quasirozmaitość
generowana jest przez produkt dwóch różnych krat postaci M On. Krata
ta przedstawiona jest na rysunku poniżej. Dla przejrzystości wprowadzono skrótowe oznaczenia. I tak pojedyncze liczby 0, 1, 2, ... odpowiadają logikom (strukturalnym operacjom konsekwencji) wyznaczonym przez odpowienie kraty. 0 oznacza (quasi)rozmaitość wyznaczoną przez M O0 – kratę
jednoelementową. 1 odpowiada (quasi)rozmaitości wyznaczonej przez M O1
– cztero-elementową algebrę Boole’a. Jest to klasa wszystkich algebr Boole’a. 2 odpowiada (quasi)rozmaitości wyznaczonej przez kratę M O2 i tak,
dalej. Ogólnie w całym rysunku, im wyżej położona jest dana quasirozmaitość tym jest ona większa (w sensie relacji inkluzji). Zwróćmy uwagę, że
(quasi)rozmaitości omawiane w pracy Roddy’ego [86] to właśnie te oznaczone na rysunku przez 0, 1, 2, .... Obok nich krata zawiera jednak wiele innych
quasirozmaitości, oznaczonych parami liczb n, m. Każda z nich jest wyznaczona przez iloczyn kartezjański krat M On i M Om (rysunek powyżej to
5
własnie iloczyn kartezjański krat M O2 i M O1). Opis ten pozwala również
na oceny ilościowe. Na przykład quasirozmaitości zawartych w quasirozma.
itości wyznaczonej przez M On jest dokładnie n(n+1)
2
rω
..
.
.
..
Λ(MOω)
@r ω,5
@
.
@ ..
@ r ω,4
r
@
@
6,5¡
@
.
¡ @
.
.
@
@ r ω,3
r¡
r
6,4¡@
@
@
@
¡ @
@
.
.
@ r¡
@r
@ r ω,2
@
6,3¡@
5,4¡
@
¡ @
.
¡ @
@
.
.
.
@ r¡
@r
@r
r¡
ω,1
7,2¡@
5,3 ¡
@
@
¡
@
¡ @
.
@
..
@ r¡
@r¡
@r
6,2 ¡
4,3¡@
@
¡ 6,1
¡
¡ @
@
¡
@ r¡
@r ¡
r¡
¡ 5,1
5,2 ¡@
@
¡
¡
@
@
@ r¡
@r¡
4,2¡@
¡ 4,1
¡
¡
@
@r¡
r¡
¡ 3,1
@
¡
@
@r¡
r
6 @
@
5
4
3
2
r ω,6
@
@
@
2,1
r
1
r
0
rys. 4
Logika: operacja konsekwencji.
Pojęcia i wyniki zawarte w tej części są częścią naukowego dorobku Polskiej
Szkoły Logicznej. Pochodzą one zatem od wielu autorów. Najpełniejszą mo6
nografią przedmiotu jest książka R.Wójcicki [87], tam też znaleźć można
pełną bibliografię przedniotu. Najważniejsze z prezentowanych poniżej wyników pochodzą z J.Czelakowski [81] (patrz też J.Malinowski [89]). Niech L
oznacza język zdaniowy ze spójnikami ∨, ∧, 0 i zmiennymi zdaniowymi p,
q, r,.... Algebraicznie nastawieni logicy często utożsamiają język zdaniowy
z algebrą absolutnie wolna. Nie jest to jedynie sposób wyrażania się. Konsekwencją takiej definicji są ważne własności języka. Jedna z nich mówi, iż
identyczne są tylko te zdania języka, które są takie same jako napisy. Inne,
spotykane w literaturze przedmiotu, definicje języka nie gwarantują takiej
jego własności. Są i inne, być może nawet ważniejsze konsekwencje przyjęcia definicji języka jako algebry absolutnie wolnej. Chyba najważniejsza jest
tutaj definicja wartościowania jako jedynego rozszerzenia danej (dowolnej)
funkcji określonej na zbiorze wszystkich zmiennych zdaniowych. Pamiętając o powyższych zastrzeżeniach, dla uniknięcia przeładowania pojęciowego,
traktować będziemy język jako zbiór poprawnie zbudowanych zdań.
Operację, która zbiorom zdań przyporządkowuje zbiory zdań spełniającą
warunki:
X ⊆ C(X),
jeśli X ⊆ Y , to C(X) ⊆ C(Y ),
CC(X) = C(X)
nazywać będziemy operacją konsekwencji. Jeśli C spełnia ponadto następującą zasadę strukturalności: e(C(X)) ⊆ C(e(X)) dla dowolnego podstawienia e 2 oraz dowolnego zbioru X ⊆ S, to C nazywamy strukturalną operacją
konsekwencji lub też logiką. Operację konsekwencji C nazywać będziemy
finitarną, jeśli dla dowolnego zbioru zdań X ⊆ S oraz zdania α z tego,
że α ∈ C(X) wynika, że istnieje skończony podzbiór Y zbioru X taki, że
α ∈ C(Y ).
Pojęcie logiki jako strukturalnej operacji konsekwencji jest jednym z
najważniejszych pojęć logicznych. Stwarza ono ogólne ramy pojęciowe, w
których możliwe jest badanie najbardziej ogólnych własnści systemów logicznych. Rozważania tego rodzaju są charakterystyczne dla Polskiej Szkoły
Logicznej. Takie podejście pozwala na formułowanie i rozwiązywanie problemów, których nie da się badać w innych ujęciach. Ważne przykłady pytań i
problemów tego typu to: Jakie własności mają rachunki logiczne, w których
można zdefiniować spójnik implikacji? Pełną analizę tego problemu zawiera
monografia H. Rasiowej [74]. Inny ważny problem tego typu dotyczy charakteryzacji logik, w których można zdefiniować spójnik równoważności – logik
2
Podstawienie można tutaj rozumieć w zwykły sposób. W ujęciu algebraicznym defniuje się je jako homomorfizm e języka (jako algebry) w siebie.
7
równoważnościowych. (J.Czelakowski [81], J. Malinowski [89]). Ta właśnie
klasa logik okazuje się szczególnie ważna dla rozważań tej pracy.
Zbiór X zdań nazywać będziemy C-teorią wtedy i tylko wtedy, gdy X =
C(X). Zbiór wszystkich C-teorii oznaczać będziemy przez T hC .
Warto zwrócić uwagę na dwa konkurujące ze sobą sposoby rozumienia
słowa logika. Pierwsze z nich to podejście traktujące logikę jako zbiór zdań
logicznie prawdziwych. Najważniejszym przykładem logiki w tym ujęciu jest
zbiór tautologii klasycznego rachunku zdań. W tym ujęciu system logiczny
to dowolny zbiór zdań zamknięty na podstawianie. Pojęcie strukturalnej
operacji konsekwencji pozwala na inne podejście do zagadnień logicznych.
To ujęcie stanowi formalizację nie zbioru prawd logicznych, lecz reguł wnioskowania. Podejścia te na ogół nie są sobie równoważne. Wychodząc od
strukturalnej operacji konsekwencji łatwo otrzymamy zbiór zdań logicznie
prawdziwych jako zbiór tych zdań, które są konsekwencją pustego zbioru
przesłanek. Biorąc za punkt wyjścia system logiczny na ogół nie zdołamy
jednoznacznie odtworzyć operacji konsekwencji. Dokładniej dla dowolnego
systemu logicznego istnieje operacja konsekwencji dla której system ten jest
zbiorem konsekwencji pustego zbioru przesłanek. Niestety na ogół systemow
takich istnieje wiele. Zbiór prawd logicznych na ogół nie wyznacza jednoznacznie zbioru reguł wnioskowania.
Zwróćmy jeszcze uwagę na istotne rozróżnienie pomiędzy C-teorią a systemem logicznym. W poszczególnych przypadkach system logiczny definiuje
się zwykle za pomocą aksjomatów i regół wnioskowania. Reguły te umożliwiają dowodzenie, że pewne zdania są prawdami logicznymi. Podobnie strukturalna operację konsekwencji definiuje się często za pomocą zbioru aksjomatów i reguł wnioskowania. Dana C-teoria jest wtedy zbiorem zdań wywiedlnych z określonego zbioru przesłanek. Mimo powierzchownego podobieństwa system logiczny i C-teoria mają zupełnie inny status. System logiczny
zawiera wyłacznie zdania logicznie prawdziwe, natomiast C-teoria zawiera
również zdania kontyngentne (to znaczy takie, które zależnie od interpretacji mogą być prawdziwe lub fałszywe). Reguły dowodzenia mają w obu
tych przypadkach inny charkter i w żadnym razie nie należy ich utożsamiać.
Wyjątkowo sugestywnym przykładem jest modalna operacja konsekwencji
i, w jej ramach, reguła reguła konieczności: “Z α wnioskuj ¤α”. Reguła ta
jest uznawana za ważną we wszystkich normalnych modalnych systemach
logicznych. Pozwala poprawnie wywodzić prawdę logiczną z prawdy logicznej. Zastosowana do zdań kontyngentnych daje paradoksalne konsekwencje.
Przykład: z “Pada deszcz” wywnioskowalibyśmy “Jest konieczne, że pada
deszcz”, z czym raczej trudno się zgodzić.
Logikę C 0 nazywamy wzmocnieniem logiki C, co zapisujemy jako C ¬ C 0 ,
8
jeśli dla dowolnego zbioru zdań X ⊆ S, mamy C(X) ⊆ C(Y ). Tak zdefiniowana relacja ¬ na zbiorze wszystkich wzmocnień ustalonej logiki C jest
relacją częściowego porządku, co więcej rodzina wszystkich wzmocnień logiki
C tworzy względem tego porządku kratę zupełną, którą nazywać będziemy
kratą wzmocnień logiki C. Jeśli C ¬ C 0 , to będziemy często mówili, że C jest
słabsza od C 0 , a C 0 silniejsza od C. Im silniejsza logika tym mniej ma ona
teorii bowiem dla dowolnych logik C1 oraz C2 na to, aby C1 ¬ C2 potrzeba
i wystarcza, aby T hC2 ⊆ T hC1 .
Logika jest zatem silniejsza niż inna logika, gdy z danego (dowolnego)
zbioru przesłanek pozwala wywnioskować więcej. Oczywście często bywa tak,
że dwie logiki są nieporównywalne w tym sensie. Za pierwszy i gdy chodzi o
zastosowania chyba najważniejszy z wyników dotyczących wzmocnień danej
logiki neleży uznać twierdzenie o maksymalności klasycznego rachunku zdań.
Otóż klasyczna logika zdaniowa ma tę własność, że jedyną logiką od niej
silniejszą jest logika sprzeczna. Krata wzmocnień logiki klasycznej ma zatem
dwa elementy. Przykład ten omówimy dokładniej w ostatniej części pracy
przy okazji omawiania znacznie bardziej skomplikowanej kraty wzmocnień.
Matrycą logiczną nazywamy parę: M = (A, D), gdzie A jest algebrą z
takimi samymi operacjami jak rozważany język, a D jej podzbiorem zwanym
zbiorem elementów wyróżnionych. Język i matrycę łączy pojęcie wartościowania. 3
Dla dowolnej klasy matryc K operacja CnK zdefiniowaną następująco:
α ∈ CnK (X) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej
matrycy z klasy K i dowolnego wartościowania jeśli
wszystkie zdania zbioru X przyjmują wartość wyróżnioną, to α też przyjmuje wartość wyróżnioną.
jest logiką – strukturalną operacją konsekwencji. Można udowodnić, że dowolna logika daje się przedstawić w taki sposób.
Niech C będzie logiką, matrycę M nazywać będziemy C-matrycą, jeśli
C ¬ CnM . Matrycę M nazywamy prostą wtedy i tylko wtedy, identyczność jest jej jedyną kongruencją matrycową. Niech C będzie logiką, klasę
wszystkich prostych C-matryc oznaczać będziemy przez M atr? (C). Każda
logika C jest wyznaczona w jednoznaczny sposób przez M atr? (C). Logika
jest skończenie równoważnościowa, gdy pewien skończony zbiór zdań dwóch
zmiennych spełnia w niej naturalne własności równoważności: zwrotność,
symetryczność, przechodniość, uogólonione odrywanie, zgodność z pozostałymi spójnikami.
3
W ujęciu algebraicznym wartościowaniami nazywamy homomorfizmy języka (jako algebry) w algebrę A.
9
Twierdzenie 2. Niech C będzie standardową logiką skończenie równoważnościową. Wtedy krata wszystkich finitarnych wzmocnień logiki C jest dualnie izomorficzna z kratą pod quasirozmaitości quasirozmaitości M atr? (C).
Twierdzenie powyższe ustala pomost pomiędzy logiką i algebrą. Sprowadza ono badanie kraty wzmocnień danej logiki do badania kraty quasirozmaitości (i odwrotnie). Po odwróceniu porządku – największa quasirozmaitość odpowiada najsłabszej logice – struktury obydwu krat są identyczne.
Kres górny dwóch logik odpowiada przekrojowi odpowiadających im quasirozmaitości, kres dolny – kresowi górnemu quasirozmaitości. Fakt ten pozwoli nam wykorzystać wyniki poprzedniego paragrafu dla opisu kraty logik
ortomodularnych
Konsekwencje filozoficzne: logiki ortomodularne.
Każdą kratę ortomodularną, w tym oczywiście kraty eksperymentów,
można traktować jako matrycę. Przyjmujemy, że jedynym elementem wyróżnionym jest 1 – największy element kraty. Dowolna klasa krat ortomodularnych wyznacza logikę w sposób opisany w poprzednim paragrafie. Co
ważne, okazuje się, że każda taka logika jest skończenie równoważnościowa.
Spełnione są zatem założenia twierdzenia 2. W konsekwencji struktura kraty
quasirozmaitości opisanej powyżej odzwierciedla strukturę kraty logik.
Spójrzmy raz jeszcze na rysunek 4, tym razem traktując go jako kratę
wzmocnień logiki wyznaczonej przez kratę M Oω. Odwrócenie porządku powoduje, że najniżej położony element 0 odpowiada najsilniejszej logice – logice sprzecznej. 1 odpowiada logice klasycznej, zaś fakt iż pomiędzy nimi nie
ma żadnej innej logiki jest niczym innym jak twierdzeniem o maksymalności
wspominanym w poprzednim paragrafie. Omówimy je tutaj dokładniej.
Niech T aut oznacza zbiór wszystkich tautologii klasycznego rachunku
zdań. Niech Z będzie zbiorem zdań zamkniętym na podstawienia i regułę
odrywania, istotnie szerszym niż T aut. Istnieje wtedy zdanie α, które nie
jest tautologią ale należy do Z. Zatem przy pewnym wartościowaniu α daje
wartość logiczną 0. Niech α0 będzie zdaniem, które powstaje z przez podstawienie p ∧ ¬p w miejsce tych zmiennych, na których wartościowanie to
ma przyjmuje wartość, 0 oraz p ∨ ¬p tam, gdzie przyjmuje ona wartość 1.
α0 jest podstawieniem α, a Z jest zamknięte na podstawienia, zatem α0 ∈ Z.
Łatwo zauważyć, że zdanie α0 jest kontrtautologią – przyjmuje wartość 0 na
każdym wartościowaniu. Niech β będzie dowolnym zdaniem. Zdanie α0 → β
przyjmuje wartość jeden na dowolnym wartościowaniu, bowiem poprzednik
10
implikacji ma zawsze wartość 0. W konsekwencji α0 → β jest tautologią, a
zatem należy też do Z. Stosująć regułę odrywania do α0 i α0 → β mamy
β ∈ Z. β z zalożenia jest dowolnym zdaniem, zatem do Z należy dowolne
zdanie – Z jest więc zbiorem wsztystkich zdań języka.
Rozumowanie powyższe przeprowadziliśmy dla logiki klasycznej jako zbioru tautologii. Przebiegałoby ono podobnie jeśli logikę klasyczną definiować
jako strukturalną operację konsekwencji Cl. Zakładając, że logika C jest
istotnie silniejsza niż Cl można takim sposobem dowieść, że C jest logiką
sprzeczną. Krata wzmocnień logiki klasycznej jest zatem bardzo prosta. Ma
ona dwa elementy: logikę klasyczną i logikę sprzeczną. Stanowi ona początkowy fragment omawianej przez nas kraty.
Następną (w porządku od logik słabszych do silniejszych) jest logika
wyznaczona przez kratę M O2 × 2. Tu kończy się liniowy charakter kraty.
Wyżej zdarzają się logiki nieporównywalne. Takimi są na przykład logika
wyznaczona przez M O2 i przez M O3 × 2. Wyżej krata komplikuje się.
Która z logik z rysunku 4 jest właściwą logiką ortomodularną, a może
właściwa nie mieści się na rysunku jako nieporównywalna z M Oω? Badanie kraty wzmocnień nie da odpowiedzi na to pytanie. Odpowiedźdać może
jedynie badanie konkretnych krat eksperymentów.
Podziękowania. Bardzo dziękuję Adamowi Kolanemu oraz Andrzejowi
Pietruszczakowi za uwagi, ktore pozwoliły mi na istotne ulepszenie pierwotnej wersji pracy.
Bibliografia.
L.Beran [84], Orthomodular Lattices an Algebraic Approach, Academia, Praha.
W.Blok, J.M. Font, Don Pigozzi [?], Algebraic Logics, A special issue of
Studia Logica, w przygotowaniu.
S. Burris R. Shankapanavar [81], A Course in Universal Algebra, SpringerVerlag, New York-Heidelberg-Berlin, (1981).
J.Czelakowski [81], Equivalential Logics, Part I Studia Logica, vol.40, no.3,
pp. 227-236; Part II Studia Logica vol.40 no.4, pp.353-370.
G.Kalmbach [74], Orthomodular logics, Zeitschrift für Mathematischen Logik und Grundlagen der Mathematik, vol.20, pp.395-406.
G.Kalmbach [83], Orthomodular Lattices, Academic Press, London.
M. Majewski [78], Logiki pośrednie pomiędzy logiką kwantową Birkhoffa i
von Neumanna a klasycznym rachunkiem zdań, Preprint 2//78, Instytut
Matematyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń.
11
J.Malinowski [89], Equivalence in Intensional Logics, Institute of Philosophy
and Sociology Polish Academy of Sciences, Warszawa 1989.
J.Malinowski [90], Quasivarieties of modular ortholattices, Bulletin of the
Section of Logic, vol. 20 (1991), no. 3-4, pp. 138-142.
C. Piron [64], Axiomatique Quantique, Helvetia Physica Acta, 37.
C. Piron [77], On the logic of quantum logic, Journal of Philosophical Logic,
vol. 6, nr. 4, str 481-484.
H.Rasiowa [74] An Algebraic approach to Non-Classical Logic, PWN-NorthHolland, Warszawa-Amsterdam.
M. Roddy [86], Varieties of modular Ortholattices, Order, vol. 3 (1986), pp.
405-426.
R.Wójcicki [87], Theory of Sentential Calculi — An Introduction, Reidel,
Dordrecht.
Zakład Logiki, Języka i Działania
Instytut Filozofii i Socjologii
Polskiej Akademii Nauk
Katedra Logiki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika
12