Untitled

Transkrypt

Untitled

Arkusz 01
Egzamin maturalny z matematyki
3
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna˛ odpowiedź
Zadanie 1. (0-1)
Liczba˛ wi˛eksza˛ od 2 jest:
A.
√
√6+2
6−2
B.
√
√5−1
5+1
√
C. 3 − 2 2
√
D. −1 + 2 3
C. 9
D. 12
Zadanie 2. (0-1)
Ilość dzielników liczby 48 wynosi:
A. 4
B. 8
Zadanie 3. (0-1)
Jeśli x + 1 > 0 to:
C. 12 x2 + 2x + 1 > − 12
D. 9x2 + 2x + 8 < 0
A. x2 − 8 < 4
B. 3x2 − 2x − 15 > −13
Zadanie 4. (0-1)
√
Trójkat
˛ równoboczny o polu powierzchni 4 3 ma bok o długości:
√
A. 5
B. 2 3
C. 4
√
D. 3 2 + 1
Zadanie 5. (0-1)
Ci˛eżarówka z ładunkiem jest o 58 procent ci˛eższa niż gdy jest pusta. Jeśli mas˛e pustej ci˛eżarówki oznaczymy jako x a mas˛e ładunku jako y wówczas:
A. y = 0, 42x
B. x = 1, 58y
C. y = 0, 58x
D. x + y = 1, 58y
Zadanie 6. (0-1)
√
Jeśli sinα =
2
5
oraz α h 0◦ , 90◦ i to cosα jest równy:
√
A.
23
5
B.
√3
2
C.
23
25
√
D.
2
8
Zadanie 7. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
równania 3|x| − 12 = 3 jest:
A. 3 i 4
B. 5 i −5
C. 5 i −6
D. 8 i −5
Zadanie 8. (0-1)
Prosta y przechodzaca
˛ przez punkt A(1, 1) i B(2, 4) jest postaci:
A. y = 2x + 3
B. y = 3x + 2
C. y = 2x − 3
D. y = 3x − 2
Zadanie 9. (0-1)
Ci˛eciwa okr˛egu ma długość 4πcm i jest 5 razy mniejsza od obwodu koła. Pole tego okr˛egu wynosi:
A. 48 cm2
B. 100π cm2
C. 124π cm2
D. 314 cm2
Zadanie 10. (0-1)
Wielomian W (x) = x8 − 4x4 + 4 można przedstawić w postaci iloczynowej:
√
√
A. (x4 + 2)(x4 − 2)
B. (x4 + 2)2
C. (x2 − 2)2 (x2 + 2)2 D. (x4 − 2)(x + 1)
Akcja MATURA 2015
3/312
4
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Zbiór rozwiazań
˛
nierówności −2x(x − 16) < 0 jest postaci:
A. (−16, 0)
B. (0, 16)
C. (−∞, −16) ∪ (0, +∞) D. (−∞, 0) ∪ (16, +∞)
Zadanie 12. (0-1)
Prostokat
˛ o polu powierzchni 12cm2 i boku a o 1cm dłuższym od boku b ma przekatn
˛ a˛ o długości :
√
√
A. 5 2cm
B. 4cm
C. 3 2cm
D. 5cm
Zadanie 13. (0-1)
Suma pierwszych 100 dodatnich liczb całkowitych jest równa:
A. 3500
B. 5050
C. 4970
D. 3870
Zadanie
√ 14. (0-1)
√
Ciag
˛ (5 3, a, 375 3) jest geometryczny. Wówczas:
√
√
A. a = 25
B. a = 75 3
C. a = 25 3
Zadanie 15. (0-1) √
Dziedzina˛ równania
A. xh −2, 6i
D. a = 75
√
x2 − 4x − 12 + 4 3 = 5 jest:
B. x < −2 oraz x > 6
C. x < 6 oraz x > 8
D. xh6, +∞i
Zadanie 16. (0-1)
Adam otrzymał z testów 16, 25 i 30 punktów przy czym test za który otrzymał 20 punktów miał dwukrotnie wi˛eksza˛ wag˛e niż pozostałe 2 testy. Średnia ważona ilości jego punktów za testy jest równa:
A. a = 24
B. a = 25
C. a = 23 32
D. a = 32
Zadanie 17. (0-1)
Adam rzucił jednocześnie moneta˛ i kostka˛ sześcienna.˛ Prawdopodobieństwo, że wyrzucił orła i parzysta˛
liczb˛e oczek na kości wynosi:
A.
1
5
B.
1
4
C.
1
6
D.
1
3
Zadanie 18. (0-1)
Z koła o promieniu 6 wyci˛eto styczne wewn˛etrznie koło o promieniu 2. Pole powstałej figury po wyci˛eciu wynosi:
A. 36π
B. 48
C. 32π
D. 40π
Zadanie 19. (0-1)
Maksymalna ilość sześcianów o boku długości 2, która zmieści si˛e w prostopadłościanie o wymiarach
8 ∗ 10 ∗ 10 jest równa :
A. 100
B. 800
C. 60
D. 340
Zadanie 20. (0-1)
Prostokat
˛ o bokach o długościach równych 5 i 7 obracamy wokół dłuższego boku. Pole powierzchni
całkowitej powstałego walca jest równe:
A. 168π
4/312
B. 148π
C. 314
D. 120π
Akcja MATURA 2015
5
Poziom podstawowy
Zadanie 21. (0-1)
Pierwsza rata, która stanowi 3% wartości samochodu, jest równa 984 zł. Samochód jest warty:
A. 36000 zł
B. 32800 zł
C. 29400 zł
D. 40800 zł
Zadanie 22. (0-1)
√
Miejscem zerowym funkcji f (x) = −3 2x + 12 jest liczba:
√
√
A. 3 2
√
C. −2 2
B. 2 2
√
D. −
2
2
Zadanie 23. (0-1)
Maszyna wykonuje cała˛ prac˛e w czasie t a robotnik w czasie 2t. Razem wykonaja˛ cała˛ prac˛e w czasie:
B. 12 t
A. 23 t
C. 34 t
D. 1 12 t
Zadanie 24. (0-1)
Wielomian W (x) = x3 +5x2 −x−5 jest podzielny przez wielomian Q(x) = x2 −1. Miejscem zerowym
W(x) nie jest liczba:
B. −1
A. 5
C. 1
D. −5
C. −2
D. 8
Zadanie 25. (0-1)
Iloczyn liczb a = log 1 25 i b = log 1 16 jest równy:
5
A. 2
Akcja MATURA 2015
4
B. 4
5/312
6
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
6/312
Akcja MATURA 2015
7
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
zadań 26-33 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścia˛ zadania.
Zadanie 26. (0-2)
Rozwia˛ż równanie: x3 − 4x2 + 3x − 12 = 0
Zadanie 27. (0-2)
Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a nierówność a +
Akcja MATURA 2015
4
a
4 jest prawdziwa.
7/312
8
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-3)
Punkty A(2, 3) i B(−1, 3) wyznaczaja˛ dolna˛ podstaw˛e trapezu, natomiast punkty C(5, 9) i B(−5, 9)
jego górna˛ podstaw˛e. Oblicz obwód trapezu ABCD.
Zadanie 29. (0-3)
Wykaż, że rozwiazaniem
˛
równania 3213 − 1616 − 3x = 431 jest liczba 262 .
8/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
9
Zadanie 30. (0-3)
Koszt paliwa na stacji benzynowej zmalał w tygodniu dwukrotnie, za pierwszym razem o 6% a za drugim
o 4%. Po obniżkach cena za litr benzyny wyniosła 4, 72 zł. Ile kosztowała benzyna przed obniżkami?
Akcja MATURA 2015
9/312
10
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-4)
W koło A wpisano trójkat
˛ równoboczny B. Nast˛epnie w trójkat
˛ B wpisano koło C a w koło C kwadrat
D o boku długości 1.
a) Wyznacz promień koła C.
b) Oblicz wysokość trójkata
˛ B.
c) Znajdź pole powierzchni koła A.
10/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
11
Zadanie 32. (0-4)
Z urny zawierajacej
˛ 3 kule białe, 3 czarne i 3 czerwone losujemy jedna˛ kul˛e. Nast˛epnie z urny zawierajacej
˛ kul˛e czarna˛ i biała˛ losujemy kolejna˛ kul˛e. Oblicz prawdopodobieństwo:
a) A-wylosowane kule sa˛ czarne.
b) B-wylosowane kule sa˛ rożnych kolorów.
Akcja MATURA 2015
11/312
12
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
Michał jechał samochodem z średnia˛ szybkościa˛ 140 km
e 53 razy dłuższa˛ niż Artur, który
h i przejechał tras˛
km
jechał rowerem z średnia˛ szybkościa˛ 24 h o 60 minut dłużej niż Michał. Ile kilometrów przejechał Artur,
a ile Michał?
12/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
13
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
13/312
Arkusz 02
15
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Spodnie w sklepie zostały dwukrotnie przecenione - raz o 10% ceny pierwotnej, nast˛epnie o 20% ceny
po pierwszej przecenie. Teraz kosztuja˛ 72 zł. Ile kosztowały przed przecenami?
A. 90 zł
B. 50 zł
C. 120 zł
D. 100 zł
Zadanie 2. (0-1)
Ile miejsc zerowych ma funkcja f (x) = (x + 2)2 + 1?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 3. (0-1)
Średnia arytmetyczna 10 ocen z matematyki wyniosła 2, 7. Zbiór tych ocen to: 1, 2, 2, 3, 5, 4, 3, x, 4, 2.
Podaj median˛e tego zbioru.
A. 1
B. 2
C. 2, 5
D. 4, 5
Zadanie 4. (0-1)
Zbiór rozwiazań
˛
nierówności (x + 3)(x − 5) > 0 to:
A. (−5, 3)
C. (−∞, −5) ∪ (3, +∞)
B. (−3, 5)
D. (−∞, −3) ∪ (5, +∞)
Zadanie 5. (0-1)
Kwadrat o boku 4 podzielono wzdłuż przekatnej
˛
na dwa identyczne trójkaty.
˛ Ile wynosi długość wysokości H trójkata,
˛ jeśli jej podstawa˛ jest przeciwprostokatna?
˛
A. 4√
C.
2
2
√
B. 2 2
√
D. 4 2
D
C
A
B
Zadanie 6. (0-1)
Ile jest równe wyrażenie (log3 9 + log4 64)2 − log2 4?
A. 21
Akcja MATURA 2015
B. 23
C. 25
D. 27
15/312
16
Poziom podstawowy
Zadanie 7. (0-1)
Pole trójkata
˛ równoramiennego ABC w którym |AC| = |BC| = 5 , a wysokość |CD| jest równa 4 to:
A. 24
C. 6
B. 10
D. 12
C
A
D
B
Zadanie 8. (0-1)
Wielomian W (x) = x4 − 3x2 + 2 można przedstawić w postaci iloczynowej:
A. (x2 − 2)(x2 − 1)
B. (x2 − 2)(x2 + 1)
C. (x2 + 2)(x2 − 1)
D. (x2 + 2)(x2 + 1)
Zadanie 9. (0-1)
√
Ile jest równa wysokość trójkata
˛ równobocznego, jeżeli jego pole wynosi 4 3?
√
A. √
3
C. 2 3
B. 6
D. 3
C
A
B
Zadanie 10. (0-1)
Ile punktów wspólnych maja˛ wykresy f (x) = 2x i g(x) = x2 ?
A. 0
B. 1
Zadanie 11. (0-1)
Podaj dziedzin˛e funkcji f (x) =
A. x ∈ R
C. x ∈ R − {−17, −1}
16/312
C. 2
D. nieskończenie wiele
x2 + 18x + 17
(x − 2)2
B. x ∈ R − {−17, −1, 2}
D. x ∈ R − {2}
Akcja MATURA 2015
17
Poziom podstawowy
Zadanie 12. (0-1)
Ciag
˛ (an ) jest określony wzorem an = n3 − 2n + 3 dla n 1. Wówczas czwarty wyraz ciagu
˛ (an ) jest
równy:
A. a3 = 2
B. a3 = 62
C. a3 = 59
D. a3 = −53
Zadanie 13. (0-1)
Rzucamy dwa razy sześcienna˛ kostka˛ do gry. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej
raz liczby 6?
A.
1
6
B.
11
36
C.
9
36
D. 1
Zadanie 14. (0-1)
Kat
˛ α jest rozwarty i tg α = −1. Ile wynosi sin α?
√
√
2
3
B. sin α = −
A. sin α =
2
√2
1
2
C. sin α = −
D. sin α = −
2
2
Zadanie 15. (0-1)
Jakie sa˛ współrz˛edne środka S odcinka AB, jeżeli A(−1, −2) i B(3, 4)?
A. S(−1, 1)
B. S(1, 1)
C. S(−1, −1)
D. S(1, −1)
Zadanie 16. (0-1)
Tworzaca
˛ stożka ma długość 10, a jego wysokość 8. Ile wynosi pole powierzchni bocznej tego stożka?
A. 30π
B. 80π
C. 60π
D. 96π
Zadanie 17. (0-1)
Równanie prostej przechodzacej
˛ przez punkt (2,0) i równoległej do prostej o równaniu y = 2x + 1 jest
postaci:
A. y = 2x − 4
1
B. y = − x + 1
2
1
C. y = x − 4
2
D. y = 2x + 4
Zadanie 18. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
równania x3 + x2 + 4x + 68 = (x + 2)2 jest liczba
A. 4
B. 8
C. −4
D. −8
Zadanie 19. (0-1)
W ciagu
˛ geometrycznym an pierwszy wyraz a1 jest równy 5, a q = 3. Ile wynosi kwadrat trzeciego
wyrazu tego ciagu?
˛
A. 90
B. 45
C. 8100
D. 2025
Zadanie 20. (0-1)
Prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania reszki w ciagu
˛ trzech rzutów moneta˛ wynosi:
A.
1
8
Akcja MATURA 2015
B.
3
8
C.
4
8
D.
5
8
17/312
18
Poziom podstawowy
√
Zadanie 21. (0-1)
Promień kuli jest dwa razy mniejszy niż wartość wyrażenia
A. 18π
B. 36π
√
36 ∗ 64
. Ile wynosi obj˛etość tej kuli?
23
C. 48π
D. 24π
Zadanie 22. (0-1)
1
W trójkacie
˛ równoramiennym o równych ramionach |AC| = |BC| = 6 sinus kata
˛ ACB jest równy .
2
Ile wynosi pole tego trójkata?
˛
A. 18
B. 36
C. 9
D. 6
Zadanie 23. (0-1)
W ciagu
˛ arytmetycznym czwarty wyraz jest równy 30, a trzydziesty czwarty jest równy 270. Ile wynosi
różnica tego ciagu?
˛
A. 240
B. 18
Zadanie 24. (0-1)
Zbiorem rozwiazań
˛
nierówności
1
1
A. (−∞, − ) ∪ ( , +∞)
3
3
C. (0, +∞)
18/312
C. 16
D. 8
2
> 6 jest zbiór:
x
1
B. (0, )
3
D. (−∞, 0)
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
19
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
19/312
20
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 25. (0-2)
Rozwia˛ż równanie: x3 + 7x2 − 60x = 0
Zadanie 26. (0-2)
Podaj równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu −2x + y − 4 = 0, która przechodzi przez
punkt (3, 2).
20/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
21
Zadanie 27. (0-2)
Podaj trzy pierwsze wyrazy rosnacego
˛
ciagu
˛ geometrycznego, jeśli ich suma jest równa 52, a iloczyn
1728.
Zadanie 28. (0-3)
km
Turysta przeszedł tras˛e z miasta A do C ze średnia˛ pr˛edkościa˛ 60
˛
si˛e
11 h . Do miasteczka B, znajdujacego
.
Z
jak
a
˛
średni
a
˛
pr˛
e
dkości
a
˛
szedł
turysta
w połowie drogi mi˛edzy A i C, szedł ze średnia˛ pr˛edkościa˛ 6 km
h
przez tras˛e mi˛edzy B i C?
Akcja MATURA 2015
21/312
22
Poziom podstawowy
Zadanie 29. (0-3)
W trójkacie
˛ równoramiennym rami˛e ma długość 10 cm, a kat
˛ przy podstawie ma 30◦ . Oblicz długości
wszystkich wysokości tego trójkata.
˛
Zadanie 30. (0-3)
Na sprawdzianie z matematyki było 30 pytań. Za każda˛ prawidłowa˛ odpowiedź uczeń otrzymywał 3
punkty, za bł˛edna˛ tracił 1. Na ile pytań uczeń odpowiedział poprawnie gdy ze sprawdzianu dostał 66
punktów?
22/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
23
Zadanie 31. (0-3)
Narysuj wykres funkcji f (x) = |(x + 2)2 − 5| − 2. Zapisz przekształcenia oraz odczytaj z wykresu zbiór
wartości funkcji.
Akcja MATURA 2015
23/312
24
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (0-4)
Rzucamy 3 razy sześcienna˛ kostka˛ do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo:
a) wylosowania dokładnie 2 razy liczby 6?
b) wylosowania co najmniej raz liczby 1?
24/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
25
Zadanie 33. (0-4)
√
Wysokość ostrosłupa, którego podstawa˛ jest trójkat
˛ równoboczny o boku a = 4 3, jest 4 razy wi˛eksza
od wysokości podstawy. Oblicz obj˛etość tej bryły.
Akcja MATURA 2015
25/312
26
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
26/312
Akcja MATURA 2015
Arkusz 04
28
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Liczba x stanowi 27% liczby y. Wiedzac,
˛ że y = 2x + 92 oblicz x i y.
A. x = 23, y = 107
Zadanie 2.
√ (0-1)
Liczba
1
8
·
B. x = 52, y = 190
C. x = 12, y = 49
D. x = 35, y = 213
3
32 · 2 4 :
1
A. 2 3
B.
1
4
C.
√
4
2
D.
√
3
2
Zadanie 3. (0-1)
Funkcj˛e liniowa˛ rosnac
˛ a˛ o miejscu zerowym x0 = 3 i miejscu przeci˛ecia z osia˛ OY równym −5 określa
wzór:
C. y = 53 x − 5
D. y = 5x − 3
A. y = −x + 5
B. y = 1 23 x − 5
Zadanie 4. (0-1)
Mama Kasi jest od niej o 22 lata starsza. Za 7 lat Kasia b˛edzie dwa razy młodsza od swojej mamy. Ile lat
ma Kasia, a ile jej mama?
A. 24 i 46
B. 12 i 35
C. 20 i 42
D. 15 i 37
Zadanie 5. (0-1)
Dane jest równanie 3x2 − 9x − 12 = 0. Wybierz zdanie prawdziwe.
A. Rozwiazania
˛
równania maja˛ przeciwne znaki.
B. Równanie nie ma rozwiazań.
˛
C. Obie liczby spełniajace
˛ równanie sa˛ dodatnie.
D. Obie liczby spełniajace
˛ równanie sa˛ ujemne.
Zadanie 6. (0-1)
Wykres fukcji y = −2(x + 1)2 + 4 nie ma punktów wspólnych z prosta˛ o równaniu:
A. y = 2
B. y = 3
C. y = 4
D. y = 5
Zadanie 7. (0-1)
Pole kwadratu wpisanego w okrag
˛ o promieniu 3cm jest równe:
A. 16cm2
B. 10cm2
C. 4, 5cm2
D. 6cm2
Zadanie 8. (0-1)
Ciag
˛ (an ) jest określony wzorem an =
A. a5 =
2
625
1
5n
· (10 − 2n). Z tego wynika że:
B. a5 = 0
C. a5 = 1
D. a5 =
1
2
Zadanie 9. (0-1)
Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 2x3 − 7x2 + 2x + 3 przez dwumian (x + 4) jest równa:
A. 158 74 cm
B. 0 cm
C. 1 cm
D. −114 21 cm
C. x = 2 12
D. x = 3 21
Zadanie 10. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
równania
A. x =
28/312
3
4
x+4
2
=
4
2x+3
B. x = 5
jest liczba
Akcja MATURA 2015
29
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji f (x) = x2 + 6x w przedziale < −5, 2 >?
A. −9
B. 16
D. −5
C. 0
Zadanie 12. (0-1)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54cm2 . Ile wynosi obj˛etość tego sześcianu?
√
√
A. 20cm3
B. 36 2cm3
C. 27cm3
D. 81 3cm3
Zadanie 13. (0-1)
Który wzór opisuje prosta˛ prostopadła˛ do prostej o równaniu y = 3x − 1?
A. y = − 31 x + 2
B. y = −3x + 5
C. y = 13 x − 4
D. y = 3x − 3
Zadanie 14. (0-1)
Ciag
˛ (17 − x, x + 9, 19) jest arytmetyczny. Wówczas:
B. x = −6
A. x = 2
C. x = 11
D. x = 6
Zadanie 15. (0-1)
Kat
˛ α jest ostry i sin α = 15 . Wówczas:
A. cos α =
√
2 6
5
B. cos α =
24
25
C. cos α =
√
3
7
D. cos α =
3
4
Zadanie 16. (0-1)
Średnia arytmetyczna liczb 3, 8, 3, 5, 7, x, 2, 6 wynosi 5.Wówczas:
A. x = 3
B. x = 5
C. x = 6
D. x = 4
Zadanie 17. (0-1)
Promień koła wpisanego w trójkat
˛ prostokatny
˛ o bokach 5 cm, 12 cm, 13 cm ma długość
A. 2, 2cm
B. 1, 7cm
C. 2cm
D. 1, 3cm
Zadanie 18. (0-1)
Różnica ciagu
˛ arytmetycznego (an ) o wyrazie ogólnym an =
A. − 73
B.
3
5
C.
5−3n
5
jest równa
2
3
D. − 53
Zadanie 19. (0-1)
Zbiorem rozwiazań
˛
nierówności kwadratowej 2 x < 4 jest przedział
A. (−∞, 4)
B. (−4, 4)
C. (−2, 2)
D. (2, +∞)
Zadanie 20. (0-1)
Dane sa˛ punkty A = (−2, −3) oraz B = (4, 6). Długość odcinka AB jest równa
√
√
√
√
A. 117
B. 97
C. 203
D. 136
Zadanie 21. (0-1)
Dziedzina˛ funkcji f (x) =
x2 +1
x2 −1
A. D = R − 1
B. D = R − 0
Akcja MATURA 2015
jest przedział:
C. D = R − −1, 1
D. D = R − −1, 0, 1
29/312
30
Poziom podstawowy
Zadanie 22. (0-1)
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f określonej wzorem f (x) = ax2 +bx+c jest przedział h−3, +∞),
a rozwiazaniem
˛
nierówności f (x) < 0 jest przedział (−4, 6). Wskaż wzór funkcji f.
A. f (x) = −2(x + 4)(x − 6)
3
B. f (x) = 25
(x + 4)(x − 6)
C. f (x) = 81 (x + 4)(x − 6)
D. f (x) = (x + 4)(x − 6) + 22
Zadanie 23. (0-1)
Graniastosłup ma 15 kraw˛edzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?
A. 10
B. 15
C. 30
D. 5
Zadanie 24. (0-1)
Wielomian W (x) = x3 − 2x2 − 4x + 8 można przedstawić w postaci:
A. W (x) = (x − 2)2 (x + 2)
B. W (x) = (x − 2)(x + 2)2
C. W (x) = x2 (x + 2)
D. W (x) = x2 (x − 2)
Zadanie 25. (0-1)
Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = x − 4 z okr˛egiem o środku w poczatku
˛ układu współrz˛ednych i promieniu 4?
A. 0
30/312
B. 1
C. 2
D. 3
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
31
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
31/312
32
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Wiedzac,
˛ że log2 a = 3, log5 b = 2 i log3 c = 2 oblicz wartość wyrażenia 2b + 3c − a2
Zadanie 27. (0-2)
Rozwia˛ż nierówność 3x2 − 73x + 13 7x2 − 27x − 11.
32/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
33
Zadanie 28. (0-2)
Liczb˛e 63 można przedstawić w postaci sumy takich dwóch liczb x i y, że |x − y| jest równe sumie cyfr
tej liczby. Wyznacz x i y.
Zadanie 29. (0-2)
Ile jest liczb dwucyfrowych parzystych takich, że cyfra dziesiatek
˛ jest wielokrotnościa˛ liczby 3?
Akcja MATURA 2015
33/312
34
Poziom podstawowy
Zadanie 30. (0-3)
Udowodnij, że trójkat
˛ o wierzchołkach A = (−2, 4), B = (6, 2) i C = (0, −5) jest równoboczny.
Zadanie 31. (0-3)
Suma boków prostokata
˛ wynosi 32cm. Jakie wymiary powinien mieć ten prostokat,
˛ aby jego pole było
najwi˛eksze?
34/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
35
Zadanie 32. (0-3)
Liczby x, y, z sa˛ poczatkowymi
˛
wyrazami ciagu
˛ geometrycznego. Trzeci wyraz jest o 12 wi˛ekszy od
poprzedniego. Jeśli drugi wyraz zwi˛ekszymy o 12 , a trzeci zmniejszymy o 7 otrzymane liczby dadza˛
kolejno ciag
˛ arytmetyczny. Oblicz x, y i z oraz podaj iloczyn ciagu
˛ geometrycznego.
Akcja MATURA 2015
35/312
36
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
Ile metrów kwadratowych wykładziny trzeba kupić na wyłożenie podłogi w prostokatnym
˛
pomieszczeniu, w którym jest troje drzwi o szerokości 0,7 m każde, długość pomieszczenia jest 3 razy wi˛eksza od
szerokości, a łaczna
˛
długość wykorzystanej listwy podłogowej jest równa 21,6 m?
36/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
37
Zadanie 34. (0-4)
Okr˛egi o środkach B i C sa˛ styczne zewn˛etrznie i jednocześnie sa˛ styczne wewn˛etrznie do okr˛egu o
środku w punkcie A. Wykaż, że jeśli |BC| = |AC|, to długość odcinka AB jest równa długości średnicy
okr˛egu o środku w punkcie C.
Akcja MATURA 2015
37/312
38
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
38/312
Akcja MATURA 2015
Arkusz 06
40
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Pierwsza rata, która stanowi 5% ceny kina domowego, jestrówna 330 zł. Cena kina domowego wynosi:
A. 6600 zł
B. 1650 zł
C. 1515 zł
D. 3300 zł
Zadanie 2. (0-1)
Rozwiazaniami
˛
równania (x + 10)(x − 7)(x2 − 4) = 0 sa:
˛
A. x = 10, x = −7
B. x = −10, x = −7
C. x = −10, x = 7, x = 2, x = −2
D. x = −10, x = 7, x = 4
Zadanie 3. (0-1)
Wartość wyrażenia 2log3 6 −
A. 32
1
wynosi:
log4 3
B. 2
C. 3
D. 9
Zadanie 4. (0-1)
Rzucamy 2 razy symetryczna˛ kostka˛ do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek wi˛ekszej niż
9 wynosi:
A.
6
12
B.
1
3
C.
1
6
D.
6
24
Zadanie 5. (0-1)
Obwód koła wynosi 6 π cm. Jego pole ma powierzchni˛e:
A. 12 π cm
B. 3 π cm
C. 9 π cm
D. 36 π cm
√
C. a = 5 2
D. a = 4
Zadanie
√ 6. (0-1)
√
Ciag
˛ (3 2, a, 6 2) jest geometryczny. Wówczas:
√
A. a = 6
B. a = 4, 5 2
Zadanie 7. (0-1)
Sześć kolejnych osób otrzymało nast˛epujace
˛ oceny ze sprawdzianu: 5, 1, 2, 5, 4, 2. Mediana wyników
wynosi:
A. 3, 5
B. 2
C. 5
D. 4
Zadanie 8. (0-1)
Liczba 4 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = 2mx − 5. Wówczas:
A. m = 1
3
5
B. m = 0
C. m = 8
D. m =
5
8
Zadanie 9. (0-1)
Krótszy bok prostokata
˛ ma długość 10 cm. Kat
˛ mi˛edzy przekatn
˛ a˛ a krótszym bokiem ma miar˛e 60◦ .
Przekatna
˛ prostokata
˛ ma długość:
√
√
A. 20 cm
B. 10 3 cm
C. 20 3 cm
D. 5 cm
Zadanie 10. (0-1)
√
Wysokość trójkata
˛ prostokatnego
˛
wynosi 10 2. Przeciwprostokatna
˛ ma zatem długość:
40/312
Akcja MATURA 2015
41
Poziom podstawowy
A. 10
B. 20
√
C. 10 2
√
D. 20 2
Zadanie 11. (0-1)
Różnica ciagu
˛ arytmetycznego (an ) o wyrazie ogólnym an = 5n + 3 jest równa:
A. −3
B. 3
C. 5
D. −5
Zadanie 12. (0-1)
Wyrażenie (5x + 3 + 2y)2 jest równe:
A. 25x2 + 27 + 4y 2
B. 5x2 + 2y 2 + 3
C. 5x2 + 4y 2 + 10xy + 30x + 9
D. 25x2 + 4y 2 + 20xy + 30x + 12y + 9
Zadanie 13. (0-1)
Liczba sin 170◦ jest równa liczbie:
A. cos 80◦
B. cos 10◦
C. tg 140◦
D. tg 80◦
Zadanie 14. (0-1)
Magda chciałaby kupić nowy rower, który kosztuje 589 zł. Pierwszego dnia odłożyła do skarbonki 10 zł,
a każdego nast˛epnego odkładała o 7 zł wi˛ecej niż dnia poprzedniego. Po ilu dniach Magd˛e b˛edzie stać
na rower?
A. 13
B. 14
C. 82
D. 83
Zadanie 15. (0-1)
√
Pole trójkata
˛ równobocznego o wysokości h = 3 3 jest równe:
√
√
√
A. 27 3
B. 12 3
C. 3
√
D. 9 3
Zadanie 16. (0-1)
Iloczyn dwóch liczb dodatnich, z których jedna jest o 14 wi˛eksza od drugiej, jest równy 912. Liczbami
tymi sa:
˛
A. 12 i 76
B. 16 i 57
C. 24 i 38
D. 12 i 38
Zadanie 17. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
równania 6x + 2m = 3(x + m) − 2 jest liczba 2. Wynika stad,
˛ że:
A. m = 4
B. m = 15
C. m = 6
D. m = 2
Zadanie 18. (0-1)
W fabryce pracuje 580 osób, w tym 60% to m˛eżczyźni. Ile kobiet pracuje w tej fabryce?
A. 348
B. 232
C. 97
D. 483
Zadanie 19. (0-1)
Pole rombu wynosi 8 cm2 . Kat
˛ ostry α ma miar˛e 30◦ . Bok tego rombu ma długość:
A. 16 cm
B. 4 cm
C. 8 cm
D. 32 cm
Zadanie 20. (0-1)
Wielomian W (x) = x3 − x2 + x − 1 można zapisać w postaci iloczynowej:
A. (x2 + 1)(x − 1)
Akcja MATURA 2015
B. (x2 − 1)(x − 1)
C. (x − 1)2 (x + 1)
D. (x2 + 1)2 (x − 1)
41/312
42
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
42/312
Akcja MATURA 2015
43
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 21. (0-2)
Rozwia˛ż równanie: x6 + 28x3 + 27 = 0
Zadanie 22. (0-2)
Wyznacz zbiór wartości oraz dziedzin˛e funkcji f (x) = 3x − 4
Akcja MATURA 2015
43/312
44
Poziom podstawowy
Zadanie 23. (0-2)
Oblicz sum˛e wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 daja˛ reszt˛e 3.
Zadanie 24. (0-2)
Punkt S = (−4, 7) jest środkiem odcinka AB, gdzie B = (17, 12). Oblicz współrz˛edne punktu A.
44/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
45
Zadanie 25. (0-2)
Uprość wyrażenie −7(4m − 3) + (m − 2)3 − (m + 2)2 − m3 , a nast˛epnie podaj jego wartość dla m = 2.
Zadanie 26. (0-3)
√
√
Wykaż, że ciag
˛ ( 3 + 2 2, −1 − 2, 1 ) nie jest ciagiem
˛
arytmetycznym.
Akcja MATURA 2015
45/312
46
Poziom podstawowy
Zadanie 27. (0-4)
Wyznacz x z równania 1 + 6 + 11 + ... + x = 970.
46/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
47
Zadanie 28. (0-4)
Wykaż, że liczba 355 jest rozwiazaniem
˛
równania 24311 + 8114 = 4x.
Akcja MATURA 2015
47/312
48
Poziom podstawowy
Zadanie 29. (0-4)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 550. Stosunki długości kraw˛edzi prostopadłościanu wychodzacych
˛
z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3. Oblicz długość sumy
wszystkich przekatnych
˛
tego prostopadłościanu.
48/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
49
Zadanie 30. (0-5)
Powierzchnia boczna walca po rozwini˛eciu na płaszczyzn˛e jest prostokatem.
˛
Przekatna
˛ tego prostokata
˛
ma długość 10 i tworzy z bokiem którego długość jest równa wysokości walca kat
˛ o mierze 60◦ . Oblicz
pole powierzchni bocznej oraz obj˛etość tego walca.
Akcja MATURA 2015
49/312
50
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
50/312
Akcja MATURA 2015
Arkusz 07
Arkusz A05
53
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie√1. (0-1)
√
Ułamek
√10+√62
10− 62
ma wartość:
√
13
A.
8
√
18 4 10
B. − +
13
13
√
18 4 10
C.
+
13
13
√
18 4 10
D. − −
13
13
Zadanie 2. (0-1)
Liczbami spełniajacymi
˛
równanie 3(x2 + 3)(x − 1)(x2 − 3) = 0 sa:
˛
√
√
√
A. 1 i 3
B. 1 i 3 i − 3
C. −1 i −3
D. 1 i −3 i 3
Zadanie 3. (0-1)
Rozwiazaniami
˛
równania |2x + 3| = 6 sa:
˛
3
−9
C. x = , x =
2
2
D. x = −3, x = −1, x = 1, x = 5
3
9
A. x = , x =
2
2
B. x = −3, x = 5
Zadanie 4. (0-1)
Cen˛e sukienki podwyższono o 15%, a nast˛epnie obniżono o 20%. O ile zmalała cena sukienki?
A. 8%
B. 16%
C. 20%
D. 5%
Zadanie 5. (0-1)
Liczba (−2) jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej f (x) = 3(x − 2m)(x + 3). Wówczas:
A. m = 3
B. m = 1
C. m = −1
Zadanie 6. (0-1)
W trójkacie
˛ prostokatnym
˛
tangens pewnego kata
˛ wynosi
A. 60◦
B. 30◦
√
D. m = −3
3. Jaka˛ miar˛e ma ten kat?
˛
C. 45◦
D. 90◦
Zadanie 7. (0-1)
Dany jest prostokat
˛ o przekatnej
˛
długości 3cm. Kat
˛ mi˛edzy przekatn
˛ a˛ a dłuższym bokiem ma miar˛e 30◦ .
Jakie długości maja˛ boki prostokata?
˛
√
√ √
√
3 3 3
9 3
6 3
3
A.
,
B. ,
C. 6 3, 3
D.
,
2 2
2 2
2
2
Zadanie 8. (0-1)
Promień koła ma długość 9 cm. Ci˛eciwa koła ma długość y cm i jest oddalona od jego środka o x cm.
Pole tego koła wynosi:
A. 81 cm2
B. 81π cm
C. 81π cm2
D. (x + y)2 π cm2
Zadanie 9. (0-1)
Wierzchołkiem paraboli b˛edacej
˛ wykresem funkcji określonej wzorem f (x) = 3(x + 2)(x − 1) jest
punkt o współrz˛ednych
A. (−2, 1)
Akcja MATURA 2015
B. (1, −2)
C.
1 27
,−
2
4
1 27
D. − , −
2
4
53/312
54
Poziom podstawowy
Zadanie 10. (0-1)
Wielomian W (x) = 5x2 + 5(3 −
A. (x − 1)(x2 + x
√+ 1)
B. 5(x + 3)(x − 3)
√
√
3)x − 15 3 można przedstawić w postaci iloczynowej:
√
C. (x + 1)(x
−
3)
√
D. 5(x − 3)2
Zadanie 11. (0-1)
Zbiór rozwiazań
˛
nierówności −x(x + 4) > 0 jest postaci:
A. (−4, 0)
B. (−∞, −4) ∪ (0, +∞)
C. (0, 4)
D. (−∞, 0) ∪ (4, +∞)
Zadanie 12. (0-1)
Dany jest ciag
˛ an =
A. 2
1
4
2 + n2
określony dla n 1. Wówczas czwarty wyraz ciagu
˛ an jest równy:
2n
√
1
3
3 3
B. 1
C. −
D. √
4
2
2
Zadanie 13. (0-1)
Prostokat
˛ o przekatnej
˛
równej 8 obracamy wokół krótszego boku równego
jest równa:
√
A. 192π
B. 64π
C. 61
3π
2
√
3. Obj˛etość powstałej figury
√
D. 61 3π
Zadanie 14. (0-1)
Ciag
˛ (4, a, 12) jest geometryczny. Wszystkie wyrazy tego ciagu
˛ sa˛ dodatnie. Wówczas:
√
√
√
√
A. a = 4 3
B. a = 3 4
C. a = 2 2 − 8
D. a = −4 3
Zadanie 15. (0-1)
Liczb˛e log3 45 można przedstawić w postaci:
A. 2 +
log5
log3
B. 2 +
log3
log5
Zadanie 16. (0-1)
Dziedzina˛ funkcji g określonej wzorem g(x) =
A. a ∈ R
B. a > −2
D. 2 + log5 3
C. 3
x−7
jest zbiór R. Wówczas:
2x2 + a
C. a 6 0
D. a > 0
Zadanie 17. (0-1)
Punkt B ma współrz˛edne (3, −2) i jest środkiem odcinka CA. Punkt A ma współrz˛edne(3, −3). Wobec
tego punkt C ma współrz˛edne:
A. C(3, −1)
B. C (3, −5)
C. C (−3, −5)
D. C(9, −1)
Zadanie 18. (0-1)
Podczas gry w kr˛egle gracze uzyskali odpowiednio:6, 12, 1, 31, 21, 22, 19, 9 punktów. Mediana tych wyników to:
A. 12
54/312
B. 19
C. 15
1
2
D. 15
1
8
Akcja MATURA 2015
55
Poziom podstawowy
Zadanie 19. (0-1)
√
Równość (a +
√
3)2 = a2 + 2 3a + a jest prawdziwa dla:
√
B. a = 7 2
A. a = 3
C. a =
√
3
6
D. a = √
3
Zadanie 20.
Wyrażenie
3x
2x + 3
1 − x + 1 możemy przedstawić w postaci:
x− 2
x2 + 15x + 1
A.
−11
x2 + x + 2
B.
(x − 12 )2 (x + 1)
x2 + x + 32
C.
(x − 21 )(x + 1)
D.
x2 + x + 2
(x − 21 )(x + 1)
Zadanie 21. (0-1)
Funkcj˛e f o równaniu f (x) = 3(x + 3) + 4 odbijamy w symetrii wzgl˛edem osi OY . Wzór powstałej
funkcji to:
A. −3(x − 3) + 4
B. −3(x + 3) − 4
C. −3x − 5
D. 3x − 5
Zadanie 22. (0-1)
Dane sa˛ trzy kule zielone, jedna różowa i dwie srebrne. Losujemy jednocześnie dwie kule. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej srebrnej kuli wynosi:
A.
7
6
B.
1
3
C.
2
5
D.
2
15
Zadanie 23. (0-1)
Dane sa˛ proste o równaniach y = 3x + 3 i 5x − y = 0. Punkt ich przeci˛ecia ma współrz˛edne:
A.
3 15
,
2 2
B.
15 3
,
2 2
C.
1 3
,
2 2
D. (15, 3)
Zadanie 24. (0-1)
Liczba
√
A.
22012
to inaczej:
log2 256
2+2
2
B. 2 · 8500
C. 41004
D. 2 · 41004
Zadanie 25. (0-1)
Liczb˛e
A.
1
przybliżono do 0, 33. Bład
˛ bezwzgl˛edny tego przybliżenia to:
3
1
300
Akcja MATURA 2015
B.
1
100
C. 0, 01
D. 0, 003
55/312
56
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
56/312
Akcja MATURA 2015
57
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Rozwia˛ż równanie:
3x
x+1
= 4.
+
x + 1 x + 12
Zadanie 27. (0-2)
Rzucamy trzema monetami. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegajacego
˛
na wyrzuceniu co najmniej jednego orła.
Akcja MATURA 2015
57/312
58
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
√
√
Suma i różnica dwóch liczb sa˛ równe odpowiednio 2 p oraz 2 q, gdzie p, q ∈ N . Wykaż, że iloczyn
tych liczb jest liczba˛ całkowita.˛
Zadanie 29. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej m funkcja f (x) = (m2 + 1)x + 10m jest rosnaca.
˛
58/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
59
Zadanie 30. (0-2)
Punkt D leży na boku trójkata
˛ równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli
trójkat
˛ ABC na dwa trójkaty
˛ równoramienne w taki sposób, że |AB| = |AD| = |CD|(patrz rysunek).
Oblicz miary katów
˛
trójkata
˛ ABC.
C
D
A
Akcja MATURA 2015
B
59/312
60
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-3)
Podstawa˛ ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Wysokość SE ściany bocznej ADS jest jednocześnie wysokościa˛ ostrosłupa, a punkt E jest środkiem kraw˛edzi AD(zobacz rysunek). Pole ściany ADS
jest równe 10 cm2 , a obj˛etość ostrosłupa jest równa 64cm3 . Oblicz miar˛e kata
˛ nachylenia kraw˛edzi bocz◦
nej CS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokraglij
˛ do 1 .
60/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
61
Zadanie 32. (0-4)
Ułan wyjechał na swoim koniu z koszar. Miał dojechać do sztabu, oddalonego o 64 km od koszar. W
połowie odległości od sztabu znajdowała si˛e wieś, w której mieszka jego narzeczona. Zatrzymał si˛e u niej
na 1 godzin˛e. Potem ruszył w 1 godzin˛e i 30 min dodarł do sztabu. Z jaka˛ średnia˛ pr˛edkościa˛ poruszał
si˛e ułan, jeśli na drugiej połowie drogi poruszał si˛e o 5 km/h wolniej niż na pierwszej?Wynik podaj z
dokładnościa˛ do 3 miejsca po przecinku.
Akcja MATURA 2015
61/312
62
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
Naszkicuj w jednym układzie współrz˛ednych wykresy funkcji f i g, a nast˛epnie rozwia˛ż równanie
f (x) > g(x), gdzie f (x) = x2 + 4, i g(x) = 2x+1 + 4.
62/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
63
Zadanie 34. (0-3)
Oblicz pole i obwód rombu ABCD wiedzac,
˛ że przekatna
˛ AC jest zawarta w prostej o równaniu y =
x + 1 oraz A = (2, 3) i B = (−1, 3).
Akcja MATURA 2015
63/312
64
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
64/312
Akcja MATURA 2015
Arkusz 08
66
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Proste o równaniach x − 3y = −1 i 3x − y = 5 przecinaja˛ si˛e w punkcie:
A. ( 47 , 14 )
B. (12, 11)
C. (1, 2)
D. (2, 1)
Zadanie 2. (0-1)
√
Jeżeli w ciagu
˛ geometrycznym (an ) wyraz pierwszy jest równy 6, a drugi wyraz ma wartość 2 3, to
czwartym wyrazem ciagu
˛ jest liczba:
√
√
√
3 3
A. 6
C. 3
D. 6 2
B.
8
Zadanie 3. (0-1)
1
Liczba a, taka że a = 8 3 + 0, 8 , jest równa:
5
A. 2 95
B. 2 45
C. 8 9
D. 8 15
Zadanie 4. (0-1)
Wyrażenie (−2x + 1)2 − (−x − 3)2 można przedstawić w postaci:
A. 3x2 + 8
B. −3x2 + 2x + 10
Zadanie 5. (0-1)
√
3−
Jeżeli ctg α =
A.
√
3+
√
√
D. 8x2 − 16x − 24
2 oraz α jest katem
˛
ostrym, to tg α ma wartość:
√
B.
2
C. 5x2 + 10x + 10
√
C. − 2 + 1
2−1
3
√
D.
2+1
3
Zadanie 6. (0-1)
√
4
Liczba log
A. −
100
√ jest równa:
· 10
(0, 1)3
1
2
C. −
B. 3
5
6
D. 2
Zadanie 7. (0-1)
Liczba rozwiazań
˛
równania 4x2 + x + 6 = 0 jest równa:
A. 3
B. 1
C. 0
D. 2
Zadanie 8. (0-1)
Kat
˛ wpisany oparty na łuku długości
A. 72◦
1
5
okr˛egu, ma miar˛e:
B. 40◦
C. 240◦
D. 60◦
Zadanie 9. (0-1)
Pole koła o promieniu r = 14 cm, gdy π =
A. 616 cm2
B. 1437 cm2
22
7 ,
jest równe:
C. 616 dm2
D. 816 cm2
C. 2
D. 3
Zadanie 10. (0-1)
Mediana˛ zestawu liczb 4, 1, 5, 7, 2, 2 jest:
A. 7
66/312
B. 6
Akcja MATURA 2015
67
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Przekatna
˛ prostopadłościanu o wymiarach 3 × 7 × 5 ma długość:
√
√
√
A. 83
B. 106
C. 58
D.
√
102
D.
10
9
Zadanie 12. (0-1)
Jeżeli
A.
3
15a + 15b
a+b
= , to wartość wyrażenia
jest równa:
x−y
5
6x − 6y
5
3
B.
3
2
C.
50
27
Zadanie 13. (0-1)
Zbiór (−∞, −4i ∪ h2, +∞) to zbiór rozwiazań
˛
nierówności:
A. |x + 1| 3
B. |x − 1| ¬ 2
C. |x + 1| < 2
D. |x − 1| > 3
Zadanie 14. (0-1)
Zdarzenia A i B sa˛ zdarzeniami losowymi przestrzeni Ω oraz P (A) = 0, 5 , P (B) = 0, 2 , P (A ∪ B) =
0, 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia B\A jest równe:
A. 0, 2
B. 0, 7
C. 0, 1
D. 0, 3
Zadanie 15. (0-1)
Kwot˛e 1000zł wpłacono na lokat˛e oprocentowana˛ 13% w skali roku. Zatem po roku na koncie b˛edzie
kwota:
A. 1013 zł
B. 1003 zł
C. 1542 zł
D. 1130 zł
Zadanie 16. (0-1)
Okr˛egi o promieniach 5, 2 i 9 sa˛ wzajemnie styczne zewn˛etrznie. Obwód trójkata
˛ wyznaczonego przez
środki tych okr˛egów ma długość:
A. 16
B. 20
C. 32
D. 16π
Zadanie 17. (0-1)
W rzucie dwiema kostkami do gry otrzymano w sumie 4 oczka. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia
jest równe:
A.
1
9
B.
1
6
C.
1
36
D.
1
12
Zadanie 18. (0-1)
Wysokość walca jest równa 12, a długośc średnicy jego podstawy 6. Pole powierzchni bocznej walca jest
równe:
A. 72π
B. 48π
Zadanie 19. (0-1) √
√
A. 14
√
B. 14 − 8 3
Wartość wyrażenia ( 6 −
Akcja MATURA 2015
C. 108π
D. 96
√
C. −2 − 8 3
D. −2
8)2 jest równa:
67/312
68
Poziom podstawowy
Zadanie 20. (0-1)
Parabola y = 2x2 − 4 ma wierzchołek w punkcie:
A. (0, 0)
B. (0, −4)
C. (0, 2)
D. (0, 4)
Zadanie 21. (0-1)
Punkty A = (−1, 0) i C = (2, 4) sa˛ dwoma wierzchołkami trójkata
˛ równobocznego ABC. Wysokość
tego trójkata
˛ jest równa:
√
√
√
√
5 3
5 3
5 3
5 3
A.
B.
C.
D.
6
9
3
2
Zadanie 22. (0-1)
Jeżeli kat
˛ α jest ostry i tg α = 0, 5, to:
A. α = 60◦
B. α < 45◦
C. α < 60◦
D. α < 30◦
Zadanie 23. (0-1)
Jeżeli bilet PKP ze zniżka˛ 37% kosztuje 53, 55 zł, to za bilet bez zniżki zapłacono:
A. 85 zł
B. 102, 75 zł
C. 63 zł
D. 55 zł
Zadanie 24. (0-1)
Współczynnik kierunkowy prostej AB, gdzie A = (4, 4), B = (6, 3), jest równy:
A. −2
B.
1
2
C. 2
D. −
1
2
Zadanie 25. (0-1)
Do pi˛eciu danych: 1, 2, 5, 6, 8 dopisano taka˛ szósta˛ liczb˛e x, że mediana tych sześciu danych jest równa
ich modzie. Liczba˛ x jest:
A. 5
68/312
B. 1
C. 2
D. 3
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
69
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
69/312
70
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Z wykresu funkcji odczytaj:
a) zbiór wartości funkcji,
b) maksymalne przedziały, w których funkcja jest rosnaca.
˛
70/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
71
Zadanie 27. (0-2)
√
3
9 2 · (−3)2 · 3
Oblicz √
27 · ( 31 )−3
Zadanie 28. (0-2)
Rozwia˛ż nierówność − 14 x2 + 5x + 20 ¬ x2 + 4x + 5.
Akcja MATURA 2015
71/312
72
Poziom podstawowy
Zadanie 29. (0-2)
Uzasadnij, że liczba a, taka że a = 3n + 3n+1 + 3n+2 , jest podzielna przez 13.
Zadanie 30. (0-2)
Wiedzac,
˛ że dla kata
˛ ostrego α w trójkacie
˛ prostokatnym
˛
sin α + cos α =
sin α · cos α.
72/312
√
2 3
3 ,
oblicz wartość wyrażenia
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
73
Zadanie 31. (0-2)
W ciagu
˛ arytmetyczny a3 = 1 i a6 = 5 12 .Oblicz różnic˛e i drugi wyraz tego ciagu.
˛
Zadanie 32. (0-3)
Wyznacz dwie liczby, których iloczyn jest możliwie jak najwi˛ekszy, gdy ich suma wynosi 38.
Akcja MATURA 2015
73/312
74
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-3)
Napisz równania prostych l i k oraz wyznacz współrz˛edne punktu ich przeci˛ecia, uwzgl˛edniajac
˛ dane na
rysunku.
74/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
75
Zadanie 34. (0-3)
Powierzchnia boczna stożka po rozci˛eciu wzdłuż tworzacej
˛ i ułóżeniu na płaszczyźnie jest półkolem o
promieniu 6. Wysokość tego stożka wynosi 5. Oblicz jego obj˛etość i pole powierzchni bocznej.
Akcja MATURA 2015
75/312
76
Poziom podstawowy
Zadanie 35. (0-3)
Dane sa˛ dwa okr˛egi zewn˛etrznie styczne o środkach S1 i S2 . Okr˛egi te sa˛ jednocześnie styczne wewn˛etrznie do okr˛egu o środku S i promieniu R tak, jak to widać na rysunku. Oblicz obwód trójkata
˛
S1 SS2
B
S1
A
S2
S
76/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
77
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
77/312
Arkusz 10
79
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Pole trójkata
˛ równobocznego opisanego na okr˛egu o promieniu 6 jest równe:
√
√
√
B. 18 3
C. 3 3
A. 36 3
√
D. 9 3
Zadanie 2. (0-1)
Miara kata
˛ α, jeżeli prosta a jest równoległa do c i b jest równoległa do d, jest równa:
d
c
D
A
B 25
a
αE
b
C
75
e
A. 45◦
D.
B. 30◦
C. 15◦
20◦
Zadanie 3. (0-1)
Jeżeli ze wzoru: r =
a+b−c
2
A. b = a − 2r − c
wyznaczy si˛e b, to otrzymany wzór b˛edzie miał postać:
C. b = 2r − a + c
B. b = r −
a−c
2
D. b = r +
a−c
2
Zadanie 4. (0-1)
Na kostce do gry Stefan zmienił liczb˛e oczek na ściankach tak, że na jednej ściance znajduje si˛e 1 oczko,
na dwóch ściankach - po dwa oczka, a na trzech ściankach - po trzy oczka. Rzucamy kostka˛ dwa razy.
Prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych oczek b˛edzie wi˛eksza od 5, jest równe:
A.
4
36
B.
1
4
C.
8
36
D.
1
36
Zadanie 5. (0-1)
Najdłuższy bok trójkata
˛ prostokatnego
˛
ma długość 4, a jeden z pozostałych boków ma długość 1. Tangens najmniejszego kata
˛ jest wi˛ec równy:
√
√
√
A. 1515
B. 4 15
C. 15
D. 14
Zadanie 6. (0-1)
q √
1 7
Zapisz liczb˛e
49
11
A. 7−1 14
7 7 w postaci jednej pot˛egi o wykładniku wymiernym:
25
B. 7 14
14
3
C. ( 17 ) 25
D. ( 17 )−2 14
C. −1
D.
Zadanie 7. (0-1)
2a
Wartość wyrażenia ctg a cos a tg
sin a wynosi:
A.
√
√
3
B. 1
2
2
Zadanie 8. (0-1)
Wynikiem dodawania wielomianu W (x) = 20x2 + 15x − 2015 oraz G(x), który jest wielomianem
stopnia trzeciego, może być wielomian:
Akcja MATURA 2015
79/312
80
Poziom podstawowy
A. P (x) = 23x2 + 18x − 2018
C. P (x) = 3x5 + 20x4 + 15x3 − 2015x2
B. P (x) = x4 + 20x3 − 12x2 − 4
D. P (x) = x3 + 20x2 + 15x − 2015
Zadanie 9. (0-1)
Średnia arytmetyczna i moda liczb: 3, 5, 3, 2, 3, 4 wynosza˛ odpowiednio:
A.
10
3
oraz
10
3
10
3
B. 3 oraz
C.
10
3
D. 3 oraz 3
oraz 3
Zadanie 10. (0-1)
Wybierz, który z zamieszczonych poniżej rysunków jest wykresem funkcji f (x) = 2x2 + 8x + 1:
f
−4
f
4
4
4
4
2
2
2
2
−2
2
−4
4
−2
f
−2
2
−4
4
−2
−4
A.
f
2
−4
4
−2
−4
B.
−2
2
4
−2
−4
C.
−2
−4
D.
Zadanie 11. (0-1)
Na pierwszej półce w regale znajdowało si˛e 9 razy tyle ksia˛żek, co na drugiej. Przyszedł Marian i przestawił 3 ksia˛żki z pierwszej półki na druga,˛ wtedy na pierwszej znajdowało si˛e 6 razy tyle co na drugiej.
Ile ksia˛żek znajduje si˛e razem na obu półkach?
A. 21
B. 63
C. 77
D. 70
Zadanie 12. (0-1)
Funkcja f jest określona wzorem f (x) = (x − 2)2 . Wartość g(−1), jeżeli funkcja g(x) jest przekształceniem funkcji f (x) w symetrii wzgl˛edem osi OY , jest równa:
√
A. 1
B. 2
C. −1
D. 2
Zadanie 13. (0-1)
Obrazem trójkata
˛ równobocznego ABC w jednokładności o skali k jest trójkat
˛ równoboczny A0 B 0 C 0 ,
którego wysokość zmniejszyła si˛e o 10%. Oblicz, o ile procent zmniejszy si˛e pole trójkata
˛ A0 B 0 C 0 .
A. 1%
B. 10%
C. 19%
D. 9%
Zadanie 14. (0-1)
W pewnej klasie wszyscy uczniowie uprawiaja˛ sport, z czego 16 osób gra w koszykówk˛e, a 12 w siatkówk˛e. Ile osób chodzi do tej klasy, jeśli 4 osoby uprawiaja˛ oba te sporty?
A. 32
B. 20
C. 24
D. 36
C. 6
D.
Zadanie 15. (0-1)
Wartość wyrażenia 7log7 3 + 10log3 wynosi:
A. 9
B.
7
10
3
17
Zadanie 16. (0-1)
W trapezie o polu równym 90 cm2 krótsza podstawa ma długość 10 cm, a wysokość jest równa 6 cm. Ile
wynosi długość drugiej podstawy tego trapezu?
A. 15
80/312
B. 8
C. 20
D. 17
Akcja MATURA 2015
81
Poziom podstawowy
Zadanie 17. (0-1)
Która z podanych liczb należy do zbioru (−∞, −1)?
log3 17
6
4
A. 31 log3 108
B. 23
C.
√
2
69
D. −4, 8 : 0, 6 −
1,54̇.8
0,9
Zadanie 18. (0-1)
Dane sa˛ dwie funkcje: h(x) = x − 1 oraz g(x) = |x| − 4. Dla jakich wartości x zachodzi warunek:
g(x) > h(x)?
A. (−∞; −1, 5)
B. (−∞; 1, 5)
C. (−1, 5; ∞)
D. (1, 5; ∞)
Zadanie 19. (0-1)
Podaj rz˛edna˛ punktu przeci˛ecia prostej k, przechodzacej
˛ przez punkty A(−5; 2) oraz B(1; −10) z osia˛
OY.
A. −8
B. 8
C. 0
D. −2
Zadanie 20. (0-1)
Wartość wyrażenia log3 4 · log4 5 · log5 7 · log7 9 jest równa:
A. 2
B. 6
C. 3
D. 4
Zadanie 21. (0-1)
Wyznacz liczb˛e a, dla której równanie ax2 + 4x = −9 jest sprzeczne:
A.
4
9
B.
q
4
9
C. nie istnieje takie a
D. ( 49 )2
Zadanie 22. (0-1)
Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = |x + 1|, jeżeli x ∈ h−2; 6) :
A. Zw = h−2; 6)
B. Zw = (0; 7)
C. Zw = h0; 7)
D. Zw = (0; 6)
Zadanie 23. (0-1)
Oblicz długość odcinka x:
2
x
√
4 2
A. 3
√
B. 3 10
C. 10, 25
D. 9
Zadanie 24. (0-1)
Dziedzina funkcji f (x) =
1
|4−x|
A. Df = R
B. Df = R − {4}
Akcja MATURA 2015
jest równa:
C. Df = R − {−4}
D. Df = R − {−4, 4}
81/312
82
Poziom podstawowy
Zadanie 25. (0-1)
Podstawa˛ ostrosłupa jest trójkat
˛ prostokatny
˛ o przyprostokatnych
˛
długości 16 cm i 12 cm. Długość wysokości ostrosłupa jest równa długości promienia okr˛egu opisanego na podstawie. Obj˛etość ostrosłupa
wynosi:
A. 640 cm2
82/312
B. 460 cm2
C. 960 cm2
D. 320 cm2
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
83
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
83/312
84
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-3)
Naszkicuj wykres funkcji f (x) = −2(x − 3)2 + 2 w przedziale h−3; 3i
84/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
85
Zadanie 27. (0-3)
Wykaż, że iloczyn czterech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 6.
Akcja MATURA 2015
85/312
86
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
Wyznacz wartość parametru a tak, żeby liczba 5 była rozwiazaniem
˛
równania x2 − 8x + 16 = a.
Zadanie 29. (0-3)
Wykaż, że równoległobok, powstały poprzez połaczenie
˛
środków kolejnych boków czworokata
˛ ma pole
dwa razy mniejsze od pola danego czworokata.
˛
86/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
87
Zadanie 30. (0-3)
Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P(x)= x2 − 1 jest równa R(x) = x3 + 4x2 − 8.
Wyznacz reszt˛e z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x + 2.
Akcja MATURA 2015
87/312
88
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-2)
5
Wiedzac,
˛ że sin α = − 13
i α ∈ ( 3π
2 ; 2π), oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych.
Zadanie 32. (0-3)
Marek i Janek jeżdża˛ konno po owalnym torze wyścigowym o długości 1000 m. Kiedy jada˛ w tym
samum kierunku, to mijaja˛ si˛e co 10 minut. Kiedy jada˛ w przeciwnych kierunkach, to mijaja˛ si˛e co 5
minut. Oblicz, z jaka˛ pr˛edkościa˛ poruszaja˛ si˛e jeźdźcy,
88/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
89
Zadanie 33. (0-4)
Ile jest równy promień okr˛egu wpisanego w trójkat
˛ prostokatny
˛
o przyprostokatnych
˛
5 cm i 10 cm?
Wykonaj rysunek.
Zadanie 34. (0-2)
W szeregu ustawiamy kolejno 6 kobiet i 7 m˛eżczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrana
losowo para składa si˛e z osób tej samej płci.
Akcja MATURA 2015
89/312
90
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
90/312
Akcja MATURA 2015
Arkusz 11
92
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Cen˛e pewnego towaru w sklepie podwyższono o 20%, a nast˛epnie ponownie podwyższono o 15%. Cena
towaru po podwyżkach jest wyższa od ceny pierwotnej o:
A. 35%
B. 38%
C. 30%
D. 40%
C. 2 i 14
D. −2 i 2
Zadanie 2. (0-1)
˛
równanie |x + 8| = 6 sa:
˛
A. −2 i −14
B. 2 i −14
Zadanie 3. (0-1)
√
Połowa przekatnej
˛
kwadratu ma długość 5 2. Pole tego kwadratu wynosi:
A. 25
B. 100
C. 50
D. 200
Zadanie 4. (0-1)
Wartość wyarażenia log 10 + log 100 + log 1000 wynosi:
A. 3
B. 7
C. 10
D. 100
Zadanie 5. (0-1)
√
Wartość wyrażenia |2 − 11| wynosi:
√
√
A. 2 + 11
B. −2 + 11
C. 2 −
√
11
D. −2 −
√
11
Zadanie 6. (0-1)
Rozwiazaniami
˛
równania (x + 1)(x − 2)(x2 − 6x − 9) sa:
˛
A. x = −1, x = 2
B. x = 1, x = 2
C. x = −1,x = 2, x = 3 D. x = −1, x = −2,
Zadanie 7. (0-1)
Jeżeli miejscem zerowym funkcji y = ax + 3 jest liczba 6, to współczynnik kierunkowy ma wartość:
A. 2
B. 1
C.
1
2
D. − 21
Zadanie 8. (0-1)
Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = x2 + 12x + 16 jest punkt o współrz˛ednych:
A. P (−6, 0)
B. P (6, 0)
C. P (0, −6)
D. P (0, 6)
Zadanie 9. (0-1)
Pole koła opisanego na trójkacie
˛ równobocznym o wysokości 12 jest równe:
A. 144π
B. 64π
C. 36π
D. 16π
C. 12
D. 16
Zadanie 10. (0-1)
Okrag
˛ o polu 16π 2 ma średnice o długości:
A. 4
B. 8
Zadanie 11. (0-1)
Kat
˛ α jest ostry oraz sin α = 21 , wówczas tg α wynosi:
92/312
Akcja MATURA 2015
93
Poziom podstawowy
A.
1
2
√
B.
2
2
√
C.
3
3
D.
√
3
Zadanie 12. (0-1)
Dany jest ciag
˛ arytmetyczny (9, 18, x). Wówczas:
A. x = 27
B. x = 36
C. x = 45
D. x = 54
Zadanie 13. (0-1)
Dany jest odcinek AB o A(2, 3) i B(4, 7). Srodek tego odcinka ma współrz˛edne:
A. S(1, 2
B. S(1, 5)
C. S(3, 1
D. S(3, 5)
Zadanie
√ 14.
√ (0-1)
√
Ciag
˛ ( 2, 2 2, 4 2) jest geometryczny. Wówczas iloraz tego ciagu
˛ ma wartość:
√
√
A. q = 2
B. q = 2
C. q = 2 2
D. q = 4
Zadanie 15. (0-1)
Moda zbioru liczb 2, 3, 1, 2, 4, 6, 2, 5, 5 wynosi:
A. 5
B. 4
C. 2
D. 2
Zadanie 16. (0-1)
Równanie prostej równoległej do prostej o wzorze ogólnym 4x − 8y + 7 = 0 ma postać:
A. y = 8x
B. y = 4x + 7
C. y = 21 x
D. y = 14 x + 7
Zadanie 17. (0-1)
Dane sa˛ liczby 2, 8, 4, 6, 6, 9, 4, 4, 1, 12. Ich mediana wynosi:
A. 4
B. 5
C. 10
D. 12
Zadanie 18. (0-1)
Prawdopodobieństwo, że w po jednokrotnym rzucie symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry wypadnie
liczba podzielna przez 3 wynosi:
A.
1
6
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
Zadanie 19. (0-1)
Długość ramienia okr˛egu opisanego na trójkacie
˛ prostokatnym
˛
o przeciwprostokatnej
˛
długości 16 wynosi:
A. 32
B. 16
C. 8,
D. 4
Zadanie 20. (0-1)
Obj˛etość ostrosłupa o kwadratowej podstawie wynosi 32. Jeżeli bok podstawy wynosi 4 to jego wysokość jest równa:
A. 2
B. 4
C. 6
D. 12
Zadanie 21. (0-1)
Średnia arytmetyczna liczb 2, 4, x, 5, 9 wynosi 6, zatem wartość x wynosi:
A. 5
Akcja MATURA 2015
B. 6
C. 9
D. 10
93/312
94
Poziom podstawowy
Zadanie 22. (0-1)
Przez które "ćwiartki" układu współrz˛ednych przechodzi prosta o równaniu y = 14 x − 3:
A. I,II,III
B. I, II, IV
C. I, III, IV
D. I, III
Zadanie 23. (0-1)
Odległość punktu P (1, 1) od prostej o równaniu 3x + 4y + 3 = 0 wynosi:
A. 1
B. 2
C. 5
D. 10
Zadanie 24. (0-1)
Kat
˛ środkowy opisany na ci˛eciwie pewnego okr˛egu wynosi 80◦ , jaka˛ ma miar˛e ma kat
˛ wpisany na tej
samej ci˛eciwie:
A. 20◦
B. 40◦
C. 80◦
D. 160◦
Zadanie 25. (0-1)
Prosta o jakim wzorze jest prostopadła do prostej o równaniu y = 2x + 34:
A. y = 2x + 3
94/312
B. y = 12x + 3
C. y = 21 x + 34
D. y = − 12 x + 12
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
95
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
95/312
96
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Rozwia˛ż nierówność: 5x2 − 5x − 30 > 0
Zadanie 27. (0-2)
Rozwia˛ż równanie 3x3 + 15x2 + 24x + 12 = 0.
96/312
Akcja MATURA 2015
97
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
W trójkacie
˛ równoramiennym rami˛e ma długość 6cm, a kat
˛ przy podstawie ma miar˛e 30◦ . Oblicz pole
tego trójkata.
˛
Zadanie 29. (0-2)
Ile wynosi wartość wyrażenia 4 sin2 α − 2 cos2 α, jeśli α jest katem
˛
ostrym i sin α =
Akcja MATURA 2015
5
13 .
97/312
98
Poziom podstawowy
Zadanie 30. (0-3)
Do ciagu
˛ arytmetycznego należa˛ wyrazy a1 = 2 i a50 = 247. Oblicz róznic˛e tego ciagu
˛ oraz sum˛e
pierwszych 100 wyrazów tego ciagu.
˛
98/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
99
Zadanie 31. (0-3)
Dany jest trapez ABCD po podstawach |AB| = 20, |CD| = 12 i ramionach |AD| = 5, |BC| = 16.
Ramiona tego trapezy przedłużono, a ich punkt przeci˛ecia oznaczono E. Wyznacz długości odcinków
CE i BE.
Akcja MATURA 2015
99/312
100
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (0-3)
Oblicz pole koła, którego średnica˛ jest odcinek o końcach A(3, 1) i B(2, 7).
100/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
101
Zadanie 33. (0-4)
Z grupy x osób, wśród których sa˛ Janek i Maciek, wybrano jedna˛ osob˛e, a nast˛epnie druga.˛ Prawdopo1
dobieństwo, że wylosowana˛ par˛e tworza˛ Janek i Maciek, wynosi 32
. Ile osób jest jest w tej grupie?
Akcja MATURA 2015
101/312
102
Poziom podstawowy
Zadanie 34. (0-4)
√
Oblicz obj˛etość ostrosłupa prawidłowego trójkatnego,
˛
w którym kraw˛edź boczna długośći 10 6 tworzy
z wysokościa˛ bryły kat
˛ o mierze 30◦ .
102/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
103
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
103/312
Arkusz 12
105
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie
√ 1. (0-1)
Liczb˛e 50 można przedstawić w postaci:
√
√
B. 2 5
A. 5 2
√
C. 25 2
√
D. 2 25
Zadanie 2. (0-1)
Liczba˛ wymierna˛ jest:
√
A. 3 + 3
B. π + 1
C. (1 +
√
3)2
√
√
D. ( 3 − 1)( 3 + 1
Zadanie 3. (0-1)
Rozwiazaniami
˛
równania (x + 3)(x − 2) = 0 sa:
˛
A. x = −3, x = 2
B. x = −3, x = 5
C. x = −3, x = −2, x = 2, x = 3
D. x = −3, x = −1, x = 2, x = 5
Zadanie 4. (0-1)
W sklepie osiedlowym 8% ceny gruszek, to 10% ceny jabłek. Stad
˛ wynika, że cena gruszek stanowi:
A. 125% ceny jabłek
B. 80% ceny jabłek
C. 108% ceny jabłek
D. 92% ceny jabłek
Zadanie 5. (0-1)
Liczba (−2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = mx + 2. Wówczas:
A. m = 3
B. m = 1
C. m = −2
D. m = −4
Zadanie 6. (0-1)
˛ wykresem funkcji określonej wzorem f (x) = x2 − 2x + 6 jest punkt
o współrz˛ednych
A. (1, 5)
B. (−1, 5)
C. (−1, −5)
D. (1, −5)
Zadanie 7. (0-1)
Liczby a i b sa˛ dodatnie. 25% liczby a jest równe 22% liczby b. Wynika stad,
˛ że liczba a jest równa:
A. 47% liczby b
B. 88% liczby b
C. 103% liczby b
D. 147% liczby b
Zadanie 8. (0-1)
Długości boków prostokata
˛ sa˛ dłuższe od długości boku kwadratu odpowiednio o 20% i 25%. Wówczas
pole prostokata
˛ jest wi˛eksze od pola kwadratu:
A. o 22, 5%
B. o 45%
C. o 50%
D. o 145%
√
C. 37 + 20 3
D. 147
Zadanie 9. (0-1)
√
Kwadrat liczby x = 5 + 2 3 jest równy:
√
A. 37
B. 25 + 4 3
Zadanie 10. (0-1)
Wielomian W (x) = x6 + x3 − 2 można przedstawić w postaci iloczynowej:
A. (x3 + 1)(x2 − 2)
Akcja MATURA 2015
B. (x3 − 1)(x3 + 2)
C. (x2 + 2)(x4 − 1)
D. (x4 − 2)(x + 1)
105/312
106
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Liczba (−2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = (m + 1)x + 8. Wówczas:
A. m = −5
B. m = 3
C. m = 4
D. m = −8
Zadanie 12. (0-1)
Dana jest parabola o równaniu y = x2 −4x+6. Pierwsza współrz˛edna wierzchołka tej paraboli jest równa
A. x = −6
B. x = −3
C. x = 2
1
2
D. x =
Zadanie 13. (0-1)
Ciag
˛ (an ) określony dla jest arytmetyczny oraz a11 = 13 i a12 = 15. siódmy wyraz tego ciagu
˛ jest
równy:
A. a7 = 5
B. a7 = −5
C. a7 = 12
D. a7 = −12
√
C. a = 8 − 2 2
√
D. a = 8 + 2 2
Zadanie
√ 14. (0-1)
Ciag
˛ (2 2, 4, a) jest geometryczny. Wówczas:
√
√
A. a = 8 2
B. a = 4 2
Zadanie 15. (0-1)
Jeśli n = 12100000 · 10n = 0, 0121, to n jest równe:
A. 12
B. −10
D. −9
C. 9
Zadanie 16. (0-1)
Promień okr˛egu o równaniu (x + 5)2 + (y − 2)2 = 12 jest równy :
A. 12)
√ B. B 2 3
C.
√
24
D. 144
Zadanie 17. (0-1)
Ostrosłup ma 19 wierzchołków. Liczba wszystkich kraw˛edzi tego ostrosłupa jest równa:
A. 19
B. 18
C. 36
D. 38
Zadanie 18. (0-1)
Punkt M = (a, b) jest środkiem odcinka o końcach A = (b, 3) i B = (5, 7). Wówczas:
A. a = b
B. a = b + 3
C. a = b + 5
D. b = a + 3
Zadanie 19. (0-1)
O ile cm2 zwi˛ekszy si˛e pole prostokata
˛ o wymiarach a cm i b cm, jeżeli bok długości a cm zwi˛ekszymy
2 razy, a bok długości b cm zwi˛ekszymy o 20%?
A. 2, 4
B. 2, 4ab
C. 1, 4ab
D. 1, 4
Zadanie 20. (0-1)
Okrag
˛ opisany na trójkacie
˛ równobocznym ma promień równy 8. Wysokość tego trójkata
˛ jest równa:
√
√
A. 16 3
B. 12
C. 24
D. 8 3
Zadanie 21. (0-1)
√
Długość boku trójkata
˛ równobocznego jest równa 24 3. Promień okr˛egu wpisanego w ten trójkat
˛ jest
równy:
106/312
Akcja MATURA 2015
107
Poziom podstawowy
A. 36
B. 18
C. 12
D. 6
C. x = 0
D. x(x − 2) = 0
Zadanie 22. (0-1)
Równanie x2 = 2x jest równoważne równaniu:
A. x = 2
B. x(x + 2) = 0
Zadanie 23. (0-1)
Które z równań opisuje prosta˛ prostopadła˛ do prostej o równaniu y = 7x − 4?
A. y = − 17 + 3
B. y = −7x + 4
C. y = 71 x + 4
D. y = 7x + 4
Zadanie 24. (0-1)
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu 2x − 3y = 5 jest równy
A. − 32
B.
2
3
C.
3
2
D. 2
Zadanie 25. (0-1)
Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = 3x2 − 3 jest parabola o wierzchołku w punkcie:
A. (3, 0)
Akcja MATURA 2015
B. (0, 3)
C. (0, −3)
D. (−3, 0)
107/312
108
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
108/312
Akcja MATURA 2015
109
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na każdej kostce b˛edzie
co najmniej 5 oczek?
Zadanie 27. (0-2)
Losujemy jedna˛ z 52 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciagni˛
˛ ecia kiera?
Zadanie 28. (0-2)
Kraw˛edź sześcianu jest o 4 krótsza od jego przekatnej.
˛
Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześciaAkcja MATURA 2015
109/312
110
Poziom podstawowy
nu.
Zadanie 29. (0-2)
Wiadomo, że a = 3 log8 4. Oblicz a.
Zadanie 30. (0-3)
Jaka jest wysokość budynku rzucajacego
˛
cień długości 19m w momencie, gdy promienie słoneczne
padaja˛ pod katem
˛
α = 60◦ . Wynik podaj z dokładnościa˛ do 10cm.
110/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
111
Zadanie 31. (0-3)
Rozwia˛ż nierówność −20x2 − x + 1 > 0
Zadanie 32. (0-3)
Znajdź wszystkie liczby całkowite spełniajace
˛ nierówność |x + 4| < 2.
Akcja MATURA 2015
111/312
112
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
Wyznacz trzywyrazowy ciag
˛ geometryczny, w którym suma trzech kolejnych wyrazów jest równa 84, a
ich iloczyn jest równy 13824.
112/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
113
Zadanie 34. (0-4)
Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W (x) = x3 + ax2 + bx + 1 wiedzac,
˛ że W (2) = 7
oraz, że reszta z dzielenia W(x) przez (x − 3) jest równa 10.
Akcja MATURA 2015
113/312
114
114/312
Poziom podstawowy
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
115
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
115/312
Arkusz 13
117
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie√1. (0-1)
Ułamek
√7+3
7−3
ma wartość:
A. 5
B. −3
C.
4+32
√
5
D.
8+3/2
√
5
Zadanie 2. (0-1)
˛
równanie |3x − 9| = 6 sa:
˛
A. 2 i −2
B. 1 i 2
C. −1 i 2
D. 1 i 5
Zadanie 3. (0-1)
Rozwiazaniami
˛
równania (x − 3)(x2 − 1) = 0 sa:
˛
A. x = −1, x = 3
B. x = −3, x = 1
C. x = −1, x = 1, x = 3
D. x = −3, x = −1, x = 1, x = 3
Zadanie 4. (0-1)
Liczba (1) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = mx + 2. Wówczas:
A. m = 1
B. m = 2
C. m = −2
D. m = −4
Zadanie 5. (0-1)
Zbiór rozwiazań
˛
nierówności (x + 2)(x − 16) < 0 jest postaci:
A. (−2, 0)
B. (0, 16)
C. (−∞, −16) ∪ (2, +∞) D. (−∞, −2) ∪ (16, +∞)
Zadanie 6. (0-1)
Wielomian W (x) = x5 + 2x3 − 3x można przedstawić w postaci iloczynowej:
A. x(x2 + 3)(x2 − 1)
B. x(x3 − 1)(x2 + 1)
C. x(x2 + 2)(x2 − 1)
D. x(x3 − 2)(x + 1)
Zadanie 7. (0-1)
Odległość mi˛edzy środkiem okr˛egu o równaniu (x + 4)2 + (x − 3)2 = 4, a okr˛egiem o równaniu
x2 + y 2 = 8
A. a = 4
B. a = 5
C. a = 12
D. a = 25
Zadanie 8. (0-1)
Punkt A o współrz˛ednych (−1, −1) jest wierzchołkiem paraboli o równaniu:
A. y = −x2 − x − 1
B. y = x2 + 2x − 3
C. a = −x2 + 2x − 3
D. a = x2 − x + 1
Zadanie 9. (0-1)
Jeżeli liczba wszystkich kraw˛edzi ostrosłupa jest o 4 wi˛eksza od liczby ścian, oznacza to że figura˛ b˛edac
˛ a˛
podstawa˛ tego ostrosłupa jest:
A. czworokat
˛
B. pi˛eciokat
˛
C. sześciokat
˛
D. siedmiokat
˛
Zadanie 10. (0-1)
Mediana˛ liczb 4,5,6,x,13,16,21 możemy nazwać licz˛e 9 wtedy, gdy:
A. x = 7
Akcja MATURA 2015
B. x = 8
C. x = 9
D. x = 11
117/312
118
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Liczba rzeczywistych rozwiazań
˛
równania (x + 5)(x − 4)(x2 − 9) wynosi:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie 12. (0-1)
−−→
Jeśli środkiem odcinka AB nazywamy punkt S = (2, −6), a współrz˛edne punktu B wynosza˛ (8, −18)
to punkt A ma współrz˛edne:
A. (−3, −8)
B. (2, 3)
Zadanie 13. (0-1)
√
Kat
˛ α jest ostry i cosα =
A. 1/3
C. (−4, 6)
2/2. Wartość wyrażenia 1 − sin2 α wynosi:
√
B. 3/4
C. 2/2
D. (2, −7)
D. 1/2
Zadanie 14. (0-1)
Ciag
˛ (an ) określony dla (n > 1) jest geometryczny oraz a4 = 9 i a5 = 27. Wyraz pierwszy tego ciagu
˛
wynosi:
A. 3
B. 1
C. 1/3
D. 1/9
Zadanie 15. (0-1)
Kula ma obj˛etość 288π. Pole koła wielkiego kuli ma obwód:
A. 36π
B. 25π
C. 16π
D. 10π
Zadanie 16. (0-1)
Wskaż nierówność prawdziwa:
˛
√
A. (0, 5)−1 < (0, 3)2
B. 0, 25 < 0, 25
C. (0, 124)−1 > (0, 6)−1 D. 4−3/2 > 0, 13
Zadanie 17. (0-1)
Wskaż liczb˛e której 35% jest równe 175:
A. 400
B. 135
C. 500
D. 535
B. b > a
√
C. b − a = 6 5
D. b + a = 92
B. b > a
√
C. b − a = 6 5
D. b + a = 92
Zadanie 18. (0-1)
√
Jeśli a = (1 + 3 5)2 , a b = 31, wówczas:
A. a = b
Zadanie 19. (0-1)
√
3
Liczba 64−log4 [
7] :
A. a = b
Zadanie 20. (0-1)
1
Ogólny wyraz ciagu
˛ (an ) = (−n2 ) 3 . Można wywnioskować, że:
√
A. a6 = −4
B. a12 = −5
C. a4 = 2 2
D. a8 = −4
Zadanie 21. (0-1)
Ile jest liczb dwucyfrowych naturalnych, niepodzielnych przez 3?
A. 33
118/312
B. 61
C. 67
D. 29
Akcja MATURA 2015
119
Poziom podstawowy
Zadanie 22. (0-1)
Na bazarze pan Ambroży kupił 4 kg owoców. Ceny wygladaj
˛ a˛ nast˛epujaco:
˛ 2zł/kg - jabłka, 4zł/kg cytryny, 3zł/kg - pomarańcze. Wiadomo że kupił 1,5 kg jabłek, a zapłacił łacznie
˛
11 zł. Inne ważyły
odpowiednio pomarańcze i cytryny?
A. 1, 5kg i 1kg
B. 0, 5kg i 1, 5kg
C. 2kg i 0, 5kg
D. 2, 5kg i 0kg
Zadanie 23. (0-1)
Wartość towaru wynosi 50z. Przy przejeździe przez granic˛e opłaca si˛e cło w wysokoci podatku VAT od
wartosci towaru. Sprzedawca płaci także podatek VAT od ceny sprzedaży (wartosć powi˛ekszona o cło).
Urzad
˛ skarbowy nałożył na towar 8% podatek VAT. Ile musi zapłacić sprzedawca za sztuk˛e towaru?:
A. 4
B. 4, 5
C. 4, 32
D. 8, 32
Zadanie 24. (0-1)
Odchylenie standardowe zestawu danych: 2, 4, 8, 10 wynosi:
√
√
√
A. 3 10
B. 10
C. 2 10
D. 10
Zadanie 25. (0-1)
Moda˛ zbioru liczb: 2, 4, 2, 8, 12, 2, 12, 16; jest liczba:
A. 4
Akcja MATURA 2015
B. 6
C. 2
D. 12
119/312
120
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
120/312
Akcja MATURA 2015
121
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Rozwia˛ż nierówność: x2 + 5 ¬ −6x − 19 + 4x2
Zadanie 27. (0-2)
Dany jest ciag
˛ arytmetyczny (an ) o wyrazach a1 = 54 a3 = 88.
a) oblicz wyraz a3 tego ciagu,
˛
b) oblicz sum˛e pi˛eciu pierwszych wyrazów tego ciagu
˛
Akcja MATURA 2015
121/312
122
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
Trójkat,
˛ którego jeden kat
˛ ma 45◦ , a boki mi˛edzy którymi si˛e zawiera długości
trójkata.
˛
√
2 i 3. Oblicz trzeci bok
Zadanie 29. (0-2)
Podana jest liczba 64582 ∗ 10−4 . Wykonaj przybliżenie z dokładnościa˛ do jednego miejsca po przecinku
i oblicz bład
˛ wzgl˛edny pomiaru.
122/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
123
Zadanie 30. (0-3)
W stożku, którego podstawa˛ jest okrag
˛ o promieniu 3 dm, a kraw˛edź boczna wynosi 5 dm, wydłużono
wysokość o 2 cm. Oblicz ile razy zwi˛ekszy si˛e obj˛etość stożka.
Zadanie 31. (0-3)
Na sześciennej symetrycznej kostce do gry 3 ścianki pomalowano na zielono, dwie na biało i jedna˛ na
fioletowo. Rzucamy dwa razy kostka,˛ oblicz prawdopodobieństwo, że za drugim razem wypadnie inny
kolor niż za pierwszym razem.
Akcja MATURA 2015
123/312
124
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (0-3)
Prostokat
˛ o bokach 4 i 5 obraca si˛e wzdłuż dłuższej osi symetrii. Oblicz obj˛etość bryły i powierzchni˛e
boczna.˛
124/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
Wiedzac,
˛ że sinα + sinβ =
od π2 .
Akcja MATURA 2015
3
2
125
√
i cosα + cosβ =
3
2
oblicz wartości obu katów,
˛
jeżeli nie sa˛ one wi˛eksze
125/312
126
Poziom podstawowy
Zadanie 34. (0-4)
Tomek malował ściany pokoju z wydajnościa˛ 1m2 w ciagu
˛ 4 minut. Po 128 minutach pracy musiał
zmienić wałek i przez reszt˛e czasu malował z wydajnościa˛ 1, 25m2 w ciagu
˛ 5 minut. Ile łacznie
˛
czasu
zajmie mu malowanie jeśli do pomalowania ma cztery ściany o powierzchni 28m2 każda ?
126/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
127
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
127/312
Arkusz 14
129
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Mamy dany zbiór dodatnich liczb a1 , a2 , . . . a10 tworzacych
˛
w podanej kolejności ciag
˛ arytmetyczny.
Mediana podzbioru a6 , a7 , . . . a9 wynosi 77
,
a
podzbioru
a
,
a
,
.
.
.
a
8.
Ile
wynosi
mediana zbioru
1
2
5
4
a1 , a2 , . . . a10 ?
A.
57
4
B.
109
8
C. 13
D.
109
8
Zadanie 2. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
równania |x + 5| = x jest:
A. x = −2, 5
C. równanie jest tożsamościowe
B. x = −5
D. równanie jest sprzeczne
Zadanie 3. (0-1)
Przekrój stożka płaszczyzna˛ prostopadła˛ do podstawy, niezawierajac
˛ a˛ jego wysokości jest:
A. trójkatem
˛
równoramiennym
C. krzywa˛ stożkowa˛
B. półkolem
D. żadna z wymienionych
Zadanie 4. (0-1)
W ofercie pewnego sklepu z moda˛ damska˛ jest po 40 różnych krojów sukienek, żakietów, spódnic i
spodni. Liczb˛e możliwych kombinacji pełnego ubioru określa wzór:
A. 40 + 40 ∗ (40 + 1)
C. 40 ∗ 40 + 40 ∗ (40 + 40)
B. 40 ∗ (40 + 1) + (40 + 1) ∗ (40 + 40)
D. 404
Zadanie 5. (0-1)
9
Funkcja określona jest wzorem y = − 53 x + 10
. Odległość mi˛edzy przeci˛eciami wykresu funkcji z osiami
układu współrz˛ednych wynosi:
A. 3, 06
B. 1, 08167
C. 1, 74929
D. 1, 2
C. α ∈ (0◦ , 90◦ )
D. α ∈ h90◦ , 180◦ i
Zadanie 6. (0-1)
sin α jest dodatni, a cos α - ujemny. Wówczas:
A. α ∈ h0◦ , 90◦ i
B. α ∈ (90◦ , 180◦ )
Zadanie 7. (0-1)
Liczba x została przybliżona z nadmiarem. Bład
˛ bezwzgl˛edny tego przybliżenia wynosi 0.5, a wzgl˛edny
- 1, 40845%. Liczba x równa si˛e:
A. 34, 5
B. 35
C. 35, 5
D. 36
B. x = 3
C. x = 4
D. x = 5
Zadanie 8. (0-1)
3 = logx 64. Wówczas:
A. x = 2
Zadanie 9. (0-1)
1
3
Punkty A(− 11
25 , 2 4 ) i C(10, −1 4 ) sa˛ naprzeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole kwadratu
ABCD wynosi:.
√
√
√
√
A. 1, 9 2
B. 2, 5 2
C. 3, 8 2
D. 3, 2 2
Akcja MATURA 2015
129/312
130
Poziom podstawowy
Zadanie 10. (0-1)
Miejscami zerowymi funkcji f (x) = 4x2 − 8x − 12 sa:
˛
B. −3 i 1
A. 3 i 1
Zadanie 11. (0-1)
Obj˛etość stożka wynosi
A.
√
16 2π
3 ,
D. −3 i −1
√
a wysokość - 4 2. Pole powierzchni bocznej wynosi:
√
B. 4 2π
√
48 2π
3
C. 3 i −1
C.
√
32 2π
9
D. 10π
Zadanie 12. (0-1)
Funkcja y = ax jest malejaca
˛ dla:
A. a < 0 i x > 0
B. a > 0 i x < 0
C. a < 0 i x ∈ R
D. x < 0 i a ∈ R
Zadanie 13. (0-1)
Składka emerytalna w Polsce jest odprowadzana przez pracownika i pracodawc˛e, po 9, 76% od wartości
brutto wynagrodzenia. Ile wynosi odprowadzona na miesiac
˛ składka, jeśli pracownik dostaje 2000 zł
netto pensji (pomijamy inne podatki)?
A. 441, 49 zł
B. 220, 75 zł
C. 497, 50 zł
D. 398, 40 zł
Zadanie 14. (0-1)
√
Funkcja f (x) = 3
x+3
A. x = 78
przyjmuje wartość 27 dla argumentu:
B. x = 6
C. x = 12
D. nie ma takiego x
Zadanie 15. (0-1)
Pierwszy wyraz ciagu
˛ geometrycznego jest równy 4, a trzeci - 49. Ile wynosi iloraz tego ciagu?
˛
A. 12, 25
B. 3, 5
C. 22, 5
D. 6, 625
Zadanie 16. (0-1)
cos x = tg x, x ∈ h−π, 2πi. x może przyjać
˛ wartość:
A. − π4
B. − π2
C. − 3π
4
D. −π
C. 28
√
D. 4 7
Zadanie 17. (0-1)
Wyrażenie log√7 4 · log4 7 ma wartość:
A. 2
B. 1
Zadanie 18. (0-1)
(2+x)
(x+4)
= (1 − x). Wówczas:
√
√
A. x = −1 − 3 lub x = −1 + 3
C. x = − lub x = −2
130/312
B. x = −2 −
D. 4
√
5 lub x = −2 +
√
5
Akcja MATURA 2015
131
Poziom podstawowy
Zadanie 19. (0-1)
√
Pole 4ABC wynosi 7 3. Pole okr˛egu o wynosi:
C
60◦
B
A
o
A. 21π
B. 3.5π
C. 7π
D. 28π
Zadanie 20. (0-1)
W trójkacie
˛ prostokatnym
˛
sin α =
A. tg α =
15
17
8
17 .
B. tg α =
Wówczas:
17
8
C. tg α =
8
15
D. tg α =
15
17
Zadanie 21. (0-1)
Liczba 3141592 jest równa:
A.3, 141592 · 10− 7
C.3.141592 · 10− 6
B.0, 3141592 · 106
D. 0, 3141592 · 107
Zadanie 22. (0-1)
Tangens kata
˛ nachylenia prostej 0 = 10x − 4y + 3 do osi OX jest równy:
A.
4
3
B.
5
2
C.
3
4
D.
2
5
Zadanie 23. (0-1)
Mi˛edzy wyrażeniami π, 2− logsin 30◦ 3 , 2−1 + 20 + 21 zachodza˛ zależności:
A. 2−1 + 20 + 21 < 2− logsin 30◦ 3 < π
B. 2− logsin 30◦ 3 < 2−1 + 20 + 21 < π
C. 2− logsin 30◦ 3 < π < 2−1 + 20 + 21
D. 2−1 + 20 + 21 < 2−1 + 20 + 21 < π
Zadanie 24. (0-1)
Ile jest możliwości trzykrotnego rzutu sześcienna˛ kostka,˛ aby każda wyrzucona liczba była wi˛eksza od
poprzedniej:
A. 40
B. 90
C. 24
D. 120
C. |x + 0, 5| 4, 5
D. |x + 0, 5| ¬ 4, 5
Zadanie 25. (0-1)
Przedział określony na osi
4
-5
jest zbiorem wartości funkcji:
A. |x − 0, 5| 4, 5
Akcja MATURA 2015
B. |x − 0, 5| ¬ 4, 5
131/312
132
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
132/312
Akcja MATURA 2015
133
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Rozwia˛ż nierówność: (x − 7)(−x − 3) ¬ (x − 7)(1 − x)
Zadanie 27. (0-2)
Punkty A(−3, −2), B(17, −5), C(1, 11) sa˛ wierzchołkami trójkata.
˛ Oblicz długość środkowej AD.
Akcja MATURA 2015
133/312
134
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
Dane sa˛ a = log22 2 i b = log11 50. Zapisz log22 50 przy użyciu a i b.
Zadanie 29. (0-2)
Dane sa˛ pole P i wysokość h trapezu równoramiennego. Oblicz pole kwadratu, którego jednym z boków
jest przekatna
˛ trapezu.
134/312
Akcja MATURA 2015
135
Poziom podstawowy
Zadanie 30. (0-3)
√
Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy o kraw˛edzi podstawy a 6 i wysokości a. Oblicz sinus
kata
˛ mi˛edzy kraw˛edziami bocznymi ostrosłupa, korzystajac
˛ ze wzoru sin 2α = 2 sin α cos α.
O
D
α
C
S
A
Akcja MATURA 2015
B
135/312
136
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-3)
Oblicz zbiór wartości funkcji:
y = 2, 5x − 7
x ∈ h 32 , 4i
f (x) = {
.
y = x2 − 12x + 40, 5 x ∈ (4, 7)
136/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
137
Zadanie 32. (0-3)
W trójkat
˛ prostokatny
˛ ABC wpisano kwadrat CDEF . Wykaż, że pole kwadratu wynosi 297, 917 jeśli
przyprostokatne
˛ AC i CB maja długość odpowiednio 28 i 45.
C
B
F
D
E
A
Akcja MATURA 2015
137/312
138
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-3)
Dzienna produkcja w pewnej fabryce jest wprost proporcjonalna do ilości uruchomionych linii produkcyjnych i liczby pracowników obsługujacych
˛
każda˛ lini˛e. Gdy wyłaczy
˛ si˛e 6 linii, a przy każdej pracować
b˛edzie 2 pracowników mniej, fabryka wyprodukuje 200 sztuk towaru. Przy uruchomieniu połowy linii
produkcyjnych i zaangażowaniu połowy załogi powstanie danego dnia tylko 80 sztuk towaru. Jaka jest
maksymalna dzienna produkcja fabryki?
138/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
139
Zadanie 34. (0-5)
Kwadrat ABCD o polu 25 leży w pierwszej ćwiartce układu współrz˛ednych. Boki AB i BC (AB⊥BC)
leża˛ na prostych o równaniach odpowiednio y = −0, 29x+3, 12 i y = 3, 43x−16, 23 (punkt B znajduje
si˛e na przeci˛eciu prostych). Wyznacz współrz˛edne punktu D.
Akcja MATURA 2015
139/312
140
140/312
Poziom podstawowy
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
141
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
141/312
Arkusz 15
143
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Funkcja y = ax jest nachylona do osi OX pod katem
˛
160◦ . Do tej funkcji należy punkt:
A. (− 13 ,
√
B. (−2, − 3)
√
3
3 )
√
C. ( 3, −1)
D. ( 31 ,
√
3)
Zadanie 2. (0-1)
Stosunek miar katów
˛
α, β i γ w trójkacie
˛ wynosi odpowiednio 5 : 6 : 13. Kat
˛ β ma miar˛e:
A. 60◦
B. 45◦
C. 30◦
D. 90◦
Zadanie 3. (0-1)
Jeżeli rami˛e trójkata
˛ równoramiennego ma długość 10 cm, a kat
˛ mi˛edzy ramionami ma miar˛e 120◦ , to
podstawa ma długość:
√
A. 5 cm
C. 5 √3 cm
B. 10 cm
D. 10 3 cm
Zadanie 4. (0-1)
Funkcja˛ parzysta˛ jest:
D. cos(x + π2 )
C. x2 + 4 17
B. |x + 1|
A. sin x
Zadanie 5. (0-1)
W ciagu
˛ arytmetycznym pierwszy jego wyraz przyjmuje wartość równa˛ −8, a piaty:
˛ 18. Wtedy:
A. a8 = 37,5
B. a8 = 33
C. a8 = 25,5
D. a8 = 42
Zadanie 6. (0-1)
Cen˛e towaru zwi˛ekszono o 30%, a nast˛epnie obniżono o 25%. Cena końcowa towaru w stosunku do
poczatkowej
˛
jest:
A. 2,5% mniejsza
B. 5% wi˛eksza
C. taka sama
D. 32,5% mniejsza
Zadanie 7. (0-1)
Funkcja f (x) = −3(12 − 2x)(x + 2) przyjmuje wartości dodatnie w przedziale:
A. (−6, 2)
C. (−∞, −6) ∪ (2, +∞) D. (−∞, −2) ∪ (6, +∞)
B. (−2, 6)
Zadanie 8. (0-1)
Trójkat
˛ KLM jest podobny do trójkata
˛ ABC w skali k =
pole trójkata
˛ ABC:
A. 2
B. 162
1
3.
Pole trójkata
˛ KLM wynosi 18. Zatem
C. 6
D. 54
Zadanie 9. (0-1)
√
W okrag
˛ o promieniu R wpisano trójkat
˛ równoboczny o boku 3 3. Wtedy R wynosi:
√
A. 3
B. 4,5
C. 1,5
D. 3
Zadanie 10. (0-1)
√
Prosta prostopadła do prostej y =
√
A. y =
2
2 x
−2
Akcja MATURA 2015
B. y =
√
8
4 x+2
√
√
13 i przechodzaca
˛ przez punkt ( 18, 1) wyraża si˛e wzorem:
√
18x + 1
C. y =
18
4 x
−2
D. y =
√
2x − 5
143/312
144
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Suma rozwiazań
˛
równania x3 − 4x2 − x + 4 = 0 wynosi:
A. −6
B. 4
D. −4
C. 5
Zadanie 12. (0-1)
W pewnym sklepie gruszki sa˛ droższe od jabłek o 60%, co oznacza, że jabłka sa˛ tańsze od gruszek o:
A. 40%
B. 60%
C. 37,5%
D. 62,5%
Zadanie 13. (0-1)
Liczb˛e log7 147 − log7 3 można przedstawić w postaci:
A. 2
B. 7
C. log7 143
D. 3
Zadanie 14. (0-1)
Pole wycinka koła o średnicy 30 cm ma pole 87,5π cm2 . Kat
˛ środkowy wyznaczajacy
˛ ten wycinek ma
miar˛e:
A. 35◦
B. 252◦
C. 140◦
D. 17, 5◦
Zadanie 15. (0-1)
"Podwojony pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów różnic sześcianów liczb a i b" można zapisać
symbolicznie:
p
p
A. 2p(a2 − b2 )3 + (b2 − a2 )
C. 2 (a3 − b3 )2 + (b3 − a3 )2
B. p
(a3 − b3 )2 + (b3 − a3 )2
D. 2 (a2 + b2 )3 − (b2 + a2 )3
Zadanie 16. (0-1)
Dziedzina˛ funkcji f określonej wzorem f (x) =
A. (−∞, +∞)
x2 − 2x − 3
√
jest zbiór:
(x + 1) 2 − x
B. (−∞, −1) ∪ (−1, 2)
D. R − {−1, 2}
C. (−∞, 2)
Zadanie 17. (0-1)
Ilość pierwiastków całkowitych wielomianu W (x) = x3 − 4x2 − 8x + 13 jest równa:
A. 0
B. 1
Zadanie 18. (0-1)
Zbiorem wartości funkcji f (x) =
A. {−1, 0, 1}
C. 2
D. 3
C. h−1, 0) ∪ (0, 1i
D. {−1, 1}
C. B(−1, 12)
D. B(9, 12)
| sin x|
jest zbiór:
sin x
B. h−1, 1i
Zadanie 19. (0-1)
−−→
Jeśli A(4, 11) i BA = [−5, 1], to:
A. B(−1, 12)
B. B(9, 10)
Zadanie 20. (0-1)
→
−
→
−
−
−
Dane sa˛ wektory: →
a = [3n − m, m + 2] oraz b = [n + 20, 3m + 5n − 1]. Jeśli →
a = 12 b , to:
A. m = −5 i n = 2
144/312
B. m =
5
6
i n = 4 31
C. m = 4 13 i n =
5
6
D. m = 10,4 i n = 26,4
Akcja MATURA 2015
145
Poziom podstawowy
Zadanie 21. (0-1)
Równanie − 12 x2 + 6x − 9 = m nie ma rozwiazań
˛
dla m spełniajacego
˛
warunek:
A. m > 6
B. m < 6
C. m > 9
D. m < 9
Zadanie 22. (0-1)
Rzucamy dwa razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Prawdopodobieństwo, że suma oczek, które
wypadły b˛edzie nie mniejsza niż 8 jest równe:
A.
5
18
B.
1
6
C.
7
12
D.
5
12
Zadanie 23. (0-1)
√
√
Punkt przeci˛ecia prostych y = 2 3x + 5 i y = 3 2x + 4 znajduje si˛e w układzie współrz˛ednych w:
A. I ćwiartce
B. II ćwiartce
C. III ćwiartce
D. IV ćwiartce
Zadanie 24. (0-1)
Wykres funkcji f (x) = 2x2 − 3x + 5 przesuni˛eto o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi OX i o 6 jednostek
w gór˛e wzdłuż osi OY . Wtedy f (x) ma postać:
A. 2x2 + 9x + 20
B. 2x2 − 15x + 38
C. 2x2 + 21x + 56
D. 2x2 − 27x + 98
Zadanie 25. (0-1)
Aby miara każdego kata
˛ wielokata
˛ foremnego była nie mniejsza niż 129◦ , musiałby on posiadać co najmniej:
A. 7 katów
˛
Akcja MATURA 2015
B. 8 katów
˛
C. 9 katów
˛
D. 6 katów
˛
145/312
146
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
146/312
Akcja MATURA 2015
147
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Jan Kowalski zakupił siatk˛e o długości 72 m. Podzielił ja˛ na 3 równe cz˛eści i z każdej odgrodził pewne
cz˛eści działki: jedna˛ w kształcie kwadratu, jedna˛ w kształcie trójkata
˛ równobocznego i jedna˛ w kształcie
koła. Porównaj pola wszystkich odgrodzonych powierzchni. Która z nich jest najwi˛eksza?
Zadanie 27. (0-2)
Dla jakich wartości parametru m funkcja f (x) = 2x2 − (2m + 6)x + 8 ma co najmniej jedno miejsce
zerowe?
Akcja MATURA 2015
147/312
148
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
Wiedzac,
˛ że log3 4 = a oraz log9 25 = b wyznacz log27 (0, 8) w zależności od a i b.
Zadanie 29. (0-2)
Turysta przebył tras˛e o długości 600 km. Każdego dnia pokonywał tyle samo kilometrów. Gdyby zwi˛ekszył dzienny dystans o 10 kilometrów, przeszedłby tras˛e w czasie krótszym o 5 dni. Ile dni turysta był w
drodze?
148/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
149
Zadanie 30. (0-3)
Suma sześcianu pewnej liczby i jej dwunastokrotności jest równa podwojonemu kwadratowi tej liczby
pomniejszonej o 6. Znajdź wszystkie liczby pasujace
˛ do podanego opisu.
Zadanie 31. (0-3)
W równoległoboku o obwodzie 60 cm stosunek jego wysokości wynosi 2 : 3. Oblicz długości boków
tego równoległoboku.
Akcja MATURA 2015
149/312
150
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (0-3)
W porcie stoja˛ dwa kontenery: jeden sześcienny, drugi prostopadłościenny. Podstawa prostopadłościennego kontenera jest prostokatem,
˛
którego jeden bok jest dwa razy dłuższy, a drugi bok o 1 m dłuższy od
kraw˛edzi kontenera sześciennego. Oblicz wymiary kontenerów, jeśli obj˛etość kontenera sześciennego
jest o 24 m3 wi˛eksza od obj˛etości kontenera prostopadłościennego oraz długości ich boków sa˛ liczbami
całkowitymi.
150/312
Akcja MATURA 2015
151
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
Narysuj wykres funkcji g(m), która każdemu m ∈ R przyporzadkuje
˛
liczb˛e rozwiazań
˛
równania:
|x2 − 4| = m2 + 3
Akcja MATURA 2015
151/312
152
Poziom podstawowy
Zadanie 34. (0-4)
Z miast A i B odległych od siebie o 335 km wyjechały naprzeciw siebie 2 pociagi.
˛ Pociag
˛ jadacy
˛ z
miasta A wyjechał godzin˛e wcześniej od pociagu
˛ jadacego
˛
z miasta B, lecz jechał z pr˛edkościa˛ o 5 km/h
mniejsza.˛ Pociagi
˛ min˛eły si˛e w odległości 140 km od miasta B. Oblicz średnie pr˛edkości obu pociagów.
˛
152/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
153
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
153/312
154
Poziom podstawowy
Odpowiedzi
1. C
2. B
3. D
4. C
5. A
6. A
7. D
8. B
9. A
10. D
11. B
12. C
13. A
14. C
15. C
16. B
17. A
18. D
19. B
20. A
21. C
22. D
23. C
24. A
25. B
26. P =
144 2
π m
√
> P2 = 36m2 > P4 = 16 3m2 ; P - najwi˛eksze
27. m ∈ (−∞, −1i ∪ h7, +∞)
28.
1
3 (a
− b)
29. 20 dni
30. −6, 2, 6
154/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
155
31. 12cm i 18cm
32. 4m × 4m × 4m oraz 5m × 8m × 1m
33.
g(m) =


 4,
m ∈ (−1, 1)
3,
m ∈ {−1, 1}

 2, m ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
34. pociag
˛ z A: 65 km/h, pociag
˛ z B: 70 km/h
Akcja MATURA 2015
155/312
Arkusz 17
157
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Wyznacz liczb˛e, której 10% jest liczba˛ o 5 mniejsza˛ niż 50% liczby 630.
A. 3100
B. 3100, 25
C. 3100, 5
D. 3100, 75
Zadanie 2. (0-1)
˛
równanie 2 − |2x − 3| = 1 sa:
˛
A. −1 i −2
B. −1 i 2
Zadanie 3. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
równania
(x2 +10x+25)(x−2)
x+5
D. 1 i −2
B. x = −5
D. x = 5
= 0 jest:
C. x = −2
A. x = 2
C. 1 i 2
Zadanie 4. (0-1)
W trójkacie
˛ ABC przyprostokatne
˛ maja˛ równe długości. Stad
˛ wynika, że miara katów
˛
ostrych w tym
trójkacie
˛ wynosi:
A. 60◦ , 60◦
B. 75◦ , 25◦
C. 30◦ , 60◦
D. 45◦ , 45◦
Zadanie 5. (0-1)
Pole trójkata
˛ równobocznego o boku długości 6 cm wynosi:
√
√
√
B. 9 3
C. 18 3
A. 3 3
√
D. 36 3
Zadanie 6. (0-1)
Aby otrzymać funkcj˛e o wzorze f (x) = (x−5)2 +4 przesuni˛eto równolegle wykres funkcji g(x) = x2 o:
A. 5 jednostek w prawo, 4 jednostki w dół
C. 5 jednostek w lewo,4 w gór˛e
B. 5 jednostek w prawo,4 jednostki w gór˛e
D. 5 jednostek w lewo, 4 jednostki w dół
Zadanie
√ 7. (0-1)
√
Ciag
˛ (5 2, z, 40 2) jest geometryczny. Wówczas z może si˛e równać:
√
√
A. 10 2
B. 20 2
C. 8
D. 20
Zadanie 8.√ (0-1)
7+√9
1+ 7
√
−10+10 7
6
Ułamek
A.
można inaczej zapisać jako:
B.
10
√
1− 7
C.
√
10+10 7
6
D.
√
10+10 7
−6
Zadanie 9. (0-1)
Funkcja określona wzorem y = 12x + b ma miejsce zerowe równe 2. Współczynnik b wynosi:
A. −24
B. 24
C. −2
D. 2
Zadanie 10. (0-1)
Prosta k: 2x − y + 2 = 0 jest prostopadła do prostej l:
A. −2x − y + 6 = 0
Akcja MATURA 2015
B. − 21 x − y + 6 = 0
C. 12 x − y + 6 = 0
D. −2x + y + 6 = 0
157/312
158
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Promień podstawy walca wynosi 4, a wysokość walca jest równa 10. Pole powierzchni całkowitej tego
walca wynosi:
A. 112π
B. 96π
Zadanie 12. (0-1)
Dany jest wielomian W (x) =
A. 5, −5, 2, −2, 1
C. 88π
(x−5)(x+5)2 (x2 +2)(x−2)
.
x−1
B. 5, −5, 2, −2
D. 72π
Rozwiazaniem
˛
równania W (x) = 0 sa˛ liczby:
C. 5, −5, 2, −1
D. 5, −5, 2
Zadanie 13. (0-1)
Kat
˛ środkowy w okr˛egu oparty na łuku ma miar˛e 40◦ . Stad
˛ wynika, że miara kata
˛ wpisanego w tym
okr˛egu opartego na tym samym łuku wynosi:
A. 80◦
B. 40◦
C. 20◦
D. 10◦
Zadanie 14. (0-1)
Na ile sposobów można ustawić osoby A, B, C, D, E w kolejce?
A. 5
Zadanie 15. (0-1)
Dziedzina˛ funkcji f (x) =
B. 25
C. 120
D. 125
√
x−2
x(x−11)
jest zbiór:
A. h−∞, 2i ∪ (11, +∞)
C. (2, 11) ∪ (11, +∞)
B. h2, +∞)
D. h2, 11) ∪ (11, +∞)
Zadanie 16. (0-1)
Najmniejsza˛ wartościa˛ funkcji f (x) = (x − 5)2 dla x należacego
˛
do przedziału < −1, 1 > jest:
A. 0
B. 5
C. 16
D. 36
Zadanie 17. (0-1)
Wartość wyrażenia sin 60◦ − cos 30◦ + tg 120◦ + ctg 45◦ wynosi:
√
√
A. 1 + 3
B. 1 − 3
C. 1
√
D. 1 + 2 3
Zadanie 18. (0-1)
Uczeń ze sprawdzianów z matematyki dostał trzy piatki,
˛ dwie czwórki i jedna˛ dwójk˛e. Jaka jest średnia
ocen tego ucznia zaokraglona
˛
do dwóch miejsc po przecinku?
A. 4, 16
B. 4, 17
C. 4, 18
D. 4, 19
Zadanie 19. (0-1)
Dany jest ciag
˛ (an ) określony wzorem an =
A.
n+2
3n
B.
n+2
3n+1
n+1
3n
dla n > 1. Wyraz an+1 tego ciagu
˛ to:
C.
n+2
3n+2
D.
n+2
3n+3
D.
16
3 π
Zadanie 20. (0-1)
Obwód okr˛egu wpisanego w trójkat
˛ równoboczny o boku długości 4 wynosi:
A.
√
4 3
3 π
158/312
B.
√
2 3
3 π
C. 43 π
Akcja MATURA 2015
159
Poziom podstawowy
Zadanie 21. (0-1)
Okr˛egi o1 i o2 sa˛ styczne zewn˛etrznie. Promień r1 = 2 cm, promień r2 jest 3 razy dłuższy od promienia
r1 . Odległość środka okr˛egu o1 od środka okr˛egu o2 wynosi:
A. 4 cm
B. 7 cm
C. 8 cm
D. 9 cm
Zadanie 22. (0-1)
Bok kwadratu B jest o 40% wi˛ekszy od boku kwadratu A. Pole kwadratu B jest wi˛eksze od pola kwadratu A o:
A. 16%
B. 20%
C. 40%
D. 96%
Zadanie 23. (0-1)
Punkty A(1, 1), B(5, 1) i C(5, 5) sa˛ kolejnymi wierzchołkami prostokata
˛ ABCD. Przekatna
˛ tego prostokata
˛ ma długość równa:
˛
√
A. 7
B. 4 2
C. 4
D. 5
Zadanie 24. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
równania 52x+1 = 125 jest liczba:
A. 2
B. −2
C. −1
D. 1
Zadanie 25. (0-1)
W pudle znajduja˛ si˛e 3 kule białe, 2 kule zielone i 4 kule czerwone. Losujemy jedna˛ kul˛e. Jakie jest
prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej?
A.
2
9
Akcja MATURA 2015
B.
1
9
C.
2
7
D.
1
7
159/312
160
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
160/312
Akcja MATURA 2015
161
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Wyznacz wartości parametrów a i b tak, aby wielomiany W (x) = 25x2 + ax + b i F (x) = (5x + 1)2
były równe.
Zadanie 27. (0-2)
Czwarty wyraz ciagu
˛ arytmetycznego jest równy 23, a suma czterech poczatkowych
˛
wyrazów tego ciagu
˛
jest równa 68. Oblicz pierwszy wyraz tego ciagu.
˛
Akcja MATURA 2015
161/312
162
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
Ile wynosi wartość wyrażenia: log6 4 + log6 9?
Zadanie 29. (0-2)
Punkt C( 21 , yc ) leży na prostej k o równaniu: y = 2x + 3. Znajdź odległość punktu C od prostej l o
równaniu: y = − 43 x + 1.
162/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
163
Zadanie 30. (0-3)
Z miast odległych o 48 km o godzinie 10 : 00 wyjechali naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Każdy z nich
jechał ze stała˛ pr˛edkościa.˛ Pr˛edkość jazdy jednego z nich wynosiła 21 km/h. Ile wynosi pr˛edkość jazdy
drugiego rowerzysty, jeżeli spotkali si˛e o godzinie 11 : 20?
Zadanie 31. (0-3)
Podstawa˛ graniastosłupa jest trójkat
˛ prostokatny,
˛
w którym przeciwprostokatna
˛ ma długość 10 cm, a
jeden z katów
˛
ma miar˛e 60◦ . Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwini˛eciu na płaszczyzn˛e
jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i obj˛etość tego graniastosłupa.
Akcja MATURA 2015
163/312
164
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (0-3)
Narysuj wykres funkcji określonej wzorem: f (x) = |(x−2)2 −3|. Ile rozwiazań
˛ ma równanie: f (x) = 2?
164/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
165
Zadanie 33. (0-4)
Prosta k : y = 3x − 3 przecina parabol˛e o równaniu y = −x2 − 2x + 3 w punktach A i B.
a) Oblicz współrz˛edne punktów A i B.
b) Oblicz długość odcinka AB.
c) Oblicz odległość punktu W od prostej k, gdzie punkt W jest wierzchołkiem podanej paraboli.
Akcja MATURA 2015
165/312
166
Poziom podstawowy
Zadanie 34. (0-4)
Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwie cyfry i tworzymy liczb˛e
dwucyfrowa.˛ Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) Utworzona liczba jest podzielna przez 11.
b) Utworzona liczba jest nieparzysta.
166/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
167
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
167/312
Arkusz 18
169
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Wykresy funkcji f (x) = −2x2 + 1 oraz g(x) = 3 maja˛ punkty wspólne o współrz˛ednych:
A. A(−1; 0) oraz B(1; 0)
C. nie maja˛ punktów wspólnych
B. A(−1; 3) oraz B(1; 3)
D. A(0; 3)
Zadanie 2. (0-1)
Rozłóż wyrażenie na czynniki: a2 x − b2 x + m2 a2 − b2 m2 .
√
√
B. (m − x)(m + x)(a − b)(a + b)
D. (m − x)(x + m)(a2 + b2 )
A. (m2 + x)(a − b)(b + a)
C. (m2 + x)(b − a)(a + b)
Zadanie 3. (0-1) q
Dziedzina˛ równania
1
x2 +1
= 0 jest:
A. x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
B. x ∈ R
C. x ∈ 0
D. x ∈ R − {−1}
Zadanie 4. (0-1)
Miara kata
˛ α jest równa:
α
O
60
◦
A. 45◦
D.
B. 30◦
C. 60◦
20◦
Zadanie 5. (0-1)
W pewnym schronisku znajduje si˛e 5 psów i 7 kotów. Wybieramy losowo zwierz˛e, które zobaczymy
jako pierwsze. Prawdopodobieństwo, że b˛edzie to kot wynosi:
A.
12
7
B.
7
12
C. 12!
D.
1
7
Zadanie 6. (0-1)
Jaka˛ miar˛e musi mieć kat
˛ przy wierzchołku B czworokata
˛ ABCD, jeżeli katy
˛ czworokata
˛ pozostaja˛
odpowiednio w stosunku 7, a, 8, 6 i suma przeciwległych boków czworokata
˛ jest stała?
A. 84◦
B. 108◦
Zadanie 7. (0-1)
C. 60◦
1
1
2
Ułóż liczby w kolejności rosnacej:
˛
A = ( 121
16 ) +2, B = 2 ·log2
A. A, D, B, C,
B. C, B, D, A
Zadanie 8. (0-1)
Iloczyn wszystkich rozwiazań
˛
równania
Akcja MATURA 2015
D. 124◦
16
64 , C
C. C, D, B, A
x3 +2x2 −9x−18
x2 −6x+9
=
π−π 2
1−π , D
=
(0,12·5,5+1,7·0,2):0,25
0,81:0,09−0,16·50
D. A, B, D, C
= 0 wynosi:
169/312
170
A. −6
Poziom podstawowy
B. 6
D. −18
C. 18
Zadanie 9. (0-1)
√
√
˛
Wykres prostej y = − 3x + 6 jest nachylony do osi OX pod katem:
A. 30◦
B. 60◦
C. 120◦
D. 150◦
Zadanie 10. (0-1)
Wartościa˛ funkcji h(x) = |6 − |2 − |2 − x||| w punkcie o odci˛etej równej 3 jest liczba:
A. −7
B. 3
C. 5
D. 9
Zadanie 11. (0-1)
4
Liczba a jest równa 36 11
% liczby b. Jakim procentem liczby a jest liczba b?
4
A. 36 11
%
B. 0, 0275%
7
C. 63 11
%
D. 36, (36)%
Zadanie 12. (0-1)
Ciag
˛ (an ) o wyrazach 13 , 12 , 53 , 75 , 34 , . . . można opisać wzorem:
A.
n
n+2
B.
n+1
n
C.
n+1
n−2
D.
n+2
n−1
Zadanie 13. (0-1)
Pola dwóch figur podobnych pozostaja˛ w stosunku 4 : 25. Suma obwodów figur wynosi 42. Obwody
figur wynosza˛ odpowiednio:
A. 10 i 32
B. 14 i 28
C. 16 i 26
D. 12 i 30
Zadanie 14. (0-1)
Długość odcinka jednostkowego na rysunku jest równa 1. Pole figury obok jest równe:
A. π
C. 8π
B. 5π
D. 9π
Zadanie 15. (0-1)
Dziedzina˛ funkcji f (x) jest przedział < −π, 7) Dziedzina funkcji g(x), b˛edaca
˛ przekształceniem funkcji
f (x) w symetrii osiowej wzgl˛edem osi OY jest równa:
A. < −π, 7)
170/312
B. (−π, 7 >
C. < −7, π)
D. (−7, π >
Akcja MATURA 2015
171
Poziom podstawowy
Zadanie 16. (0-1)
Promień okr˛egu wpisanego w trójkat
˛ o bokach długości 6 i 6 oraz kacie
˛ pomi˛edzy nimi równym 60◦ jest
równy:
√
√
√
A. 3 3
B. 2 6
C. 3
D. 2
Zadanie 17. (0-1)
Kul˛e o promieniu 10 cm przeci˛eto płaszczyzna˛ w odległości 6 cm od środka. O ile pole otrzymanego
przekroju jest mniejsze od najwi˛ekszego możliwego koła, b˛edacego
˛
przekrojem kuli?
√
A. 2 5π
B. 20π
C. 4π
D. 16π
Zadanie 18. (0-1)
Prosta k przechodzi przez punkty: A(2; −4) i B(6; 12). Jaka˛ wartość ma współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do k?
A. −4
B. 4
C.
1
4
D. 1 14
Zadanie 19. (0-1)
Dane sa˛ wielomiany: W (x) = 2x4 − 6x3 − 8x2 oraz P (x) = 63 − 27x − 7x2 + 3x3 . Fałszywe jest
zdanie:
A. stopień wielomianu W (x) · P (x) jest wi˛ekszy niż sześć;
B. wartość wielomianu P(x) dla x = 3 jest równa 0;
C. wielomian W (x) − P (x) jest równy 2x4 − 3x3 + 15x2 − 27x + 63;
D. wielomian W (x) rozłożony na czynniki ma postać: W (x) = 2x2 (x − 4)(x + 1);
Zadanie 20. (0-1)
Ustal znaki współczynników a, b i c we wzorze funkcji kwadratowej f (x) = ax2 + bx + c na podstawie
wykresu:
4
2
−4
−2
2
4
−2
−4
A. a > 0, b < 0, c < 0
f
B. a < 0, b > 0, c > 0
C. a > 0, b > 0, c < 0
D. a < 0, b < 0, c < 0
Zadanie 21. (0-1)
W pewnej 30-osobowej klasie średnia ocen z klasówki wyniosła 3. 10% uczniów dostało ocen˛e celujac
˛ a,˛
1
całej
klasy
bardzo
dobr
a
˛
i
tyle
samo
dobr
a,
˛
7
osób
dostateczn
a
˛
i
o
5
mniej
dopuszczaj
ac
˛
a.
˛
Ile
osób
6
dostało ocen˛e niedostateczna?
˛
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Zadanie 22. (0-1)
Wiedzac,
˛ że log5 2 = a i log5 56 = 5 oblicz log5 700:
Akcja MATURA 2015
171/312
172
Poziom podstawowy
A. 2 + b − a
B.
−b+a
2
C. 2 −
b
a
D. 2b − 4a + 1
Zadanie 23. (0-1)
Równanie | cos 2x| = −1 w przedziale < 0, 2π >:
A. nie ma rozwiazania,
˛
B. ma 1 rozwiazanie,
˛
C. ma 2 rozwiazania,
˛
D. ma 4 rozwiazania.
˛
Zadanie 24. (0-1)
Wartość wyrażenia:
A.
1
2
1
tg 30·tg 40·tg 50
B.
√
jest równa:
√
3
3
3
D. 1
C. − 21
D. 2
C.
Zadanie 25. (0-1)
1 −x
Rozwiazaniem
˛
równania 36 · ( 16
) = 3x+2 jest liczba:
A.
1
2
172/312
B. −2
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
173
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
173/312
174
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Sprawdź, czy dany trójkat
˛ jest ostrokatny,
˛
prostokatny
˛
czy rozwartokatny,
˛
jeśli długości jego boków
√
pozostaja˛ w stosunku 15 : 3 : 4.
Zadanie 27. (0-4)
Naszkicuj wykres funkcji, która spełnia nast˛epujace
˛ warunki:
a) dziedzina˛ funkcji jest zbiór Df = (−∞; −3) ∪ (−1; 6);
b) Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Zw = (−2, 6);
c) Miejsce zerowe tej funkcji jest równe 5;
d) Do wykresu funkcji należa˛ punkty A(1; 3) oraz B(2; 3);
e) Funkcja jest malejaca
˛ w przedziale (−∞; −3).
174/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
Akcja MATURA 2015
175
175/312
176
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-4)
Wanna napełniana jest pierwsza˛ rura˛ w ciagu
˛ 50 minut, a opróżniana druga˛ w ciagu
˛ 30 minut. Po jakim
czasie pełny wanna zostanie opróżniona, jeżeli otwarte sa˛ oba przepływy?
176/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
177
Zadanie 29. (0-3)
Wykaż, że jeśli x2 + y 2 = 4 i x − y = −1, to xy = −1 12 .
Akcja MATURA 2015
177/312
178
Poziom podstawowy
Zadanie 30. (0-2)
W kwadracie ABCD punkt E jest środkiem boku AB, a punkt F jest środkiem boku BC. Oblicz, jaka˛
cz˛eść pola kwadratu stanowi pole trójkata
˛ DEF.
Zadanie 31. (0-2)
Wyznacz α, α ∈ (0, 2π) wiedzac,
˛ że cos α =
178/312
√
2
2
i sin α < 0.
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
179
Zadanie 32. (0-3)
Rzucamy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wyrzuconych oczek jest liczba˛ parzysta.˛
Akcja MATURA 2015
179/312
180
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-2)
Doprowadź wzór funkcji kwadratowej f (x) = −( 54 x − 8)(3x + 2) do postaci ogólnej i oblicz wyróżnik
trójmianu kwadratowego.
Zadanie 34. (0-3)
Wysokość akwarium jest równa 0, 8 m, a jego podstawa ma wymiary 0, 0006 km x 20 cm. Ile litów wody
trzeba wlać do akwarium, by poziom lustra wody znajdował si˛e w odległości nie mniejszej niż 1, 5 dm
od górnej powierzchni akwarium?
180/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
181
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
181/312
Arkusz 19
183
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Która nierówność spełnia liczba
A. |x + 1| < 2
√
2:
B. |x − 1| > 2
C. |x + 0, 6| > 2
D. |x + 0, 6| < 2
Zadanie 2. (0-1)
Cen˛e rolek obniżono o 20% a nast˛epnie o 10% i wynosi aktualnie 144 złotych. Cena pierwotna wynosiła:
A. 200zł
B. 205, 71zł
C. 174zł
D. 205zł
Zadanie 3. (0-1)
(
Układ
2x + y = −4
−ax + 3y = 2
jest sprzeczny, jeśli:
C. a = −6
D. a = −3
A. a = 6
B. a = 3
Zadanie 4. (0-1)
Rozwiazania
˛
równania x2 − x − 2 = 0 należa˛ do przedziału:
A. (−5, 1)
B. (1, 5)
C. (−2, 1)
D. (−2, 3)
Zadanie 5. (0-1)
Dane sa˛ wielomiany W (x) = 3x3 − x2 + 5x − 1 i P (x) = −x3 + x2 − x + 12. Wielomian W (x) + P (x)
jest równy:
A. 2x3 + 2x2 + 6x + 13 B. 2x3 + 4x + 11
C. 2x2 + 4x + 11
D. 4x3 + 2x2 + 6x + 11
Zadanie 6. (0-1)
˛ wykresem funkcji określonej wzorem f (x) = x2 − 2x − 35 jest punkt
o współrz˛ednych:
A. (1, −35)
Zadanie 7. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
równania
A. x = −2
B. (1, −36)
C. (−1, −32)
D. (−1, 0)
C. x = 3
D. x = −3
3x + 14
4
=
3 jest:
8x − 1
B. x = 2
Zadanie 8. (0-1)
Dany jest ciag
˛ arytmetyczny, gdzie a1 = 2 i a4 = 3. Wyrażenie
A. 2
1
6
B. 2
1
3
C.
5
2
a2 + a3
wynosi:
2
D. 2
2
3
Zadanie 9. (0-1)
Punkty ABC leżace
˛ na okr˛egu o środku S sa˛ wierzchołkami trójkata
˛ równoramiennego wpisanego w
okrag.
˛ Ramiona trójkata
˛ to odcinki AC i BC. Miara kata
˛ BAS wynosi 70◦ , wtedy kat
˛ ASB jest równy:
A. 70◦
Akcja MATURA 2015
B. 80◦
C. 90◦
D. 95◦
183/312
184
Poziom podstawowy
Zadanie 10. (0-1)
Odcinki AC i DE sa˛ równoległe. Długości AC, ED i BE wynosza˛ odpowiednio 27, 3, 2. Odcinek CE
ma długość:
A. 15
B. 13
Zadanie 11. (0-1)
C. 28
Prosta prostopadła do prostej o równaniu y = 5x +
1
wyraża si˛e wzorem:
2
A. 5y + x − 15 = 0
C. 5y + 5x − 15 = 0
B. y + 5x + 15 = 0
D. 16
D. y + x + 15 = 0
Zadanie 12. (0-1)
Ostrosłup ma 34 kraw˛edzie. Liczba ścian ostrosłupa wynosi:
A. 20
B. 19
C. 18
D. 17
Zadanie 13. (0-1)
Pole powierzchni prostopadłościanu wynosi 94. Długość i wysokość maja˛ odpowiednio 5 i 4. Szerokość
wynosi:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Zadanie 14. (0-1)
Oblicz median˛e ocen z klasówki z matematyki, jeśli dwie osoby dostały jedynk˛e, dwie dwójk˛e, trzy trójk˛e, cztery czwórk˛e i trzy piatk˛
˛ e. Wtedy wynosi ona:
A. 3, 5
B. 3
C. 4, 5
D. 4
Zadanie 15. (0-1)
Dany jest malejacy
˛ ciag
˛ geometryczny 9,x,4. Wówczas x wynosi :
A.
2
3
B.
3
2
Zadanie 16. (0-1)
C. 6
D. 6, 5
Dziedzina˛ funkcji f określonej wzorem f (x) = log2
2x − 3a
jest zbiór (6, +∞). Wówczas:
x+5
A. a ¬ 4
C. a < 4
B. a = 4
D. a > 4
Zadanie 17. (0-1)
Dane sa˛ punkty A(1, 2) i B(4, 6). Punkt S jest środkiem odcinka AB i ma współrz˛edne:
A. (1, 5; 2)
184/312
B. (2, 5; 2)
C. (1, 5; 4)
D. (2, 5; 4)
Akcja MATURA 2015
185
Poziom podstawowy
Zadanie 18. (0-1)
log4 32 jest równy:
A.2
B.2, 5
Zadanie 19. (0-1)
Wyznacz punkt przeci˛ecia prostych
C.4

y = 2x + 3
A. (−1, 5; 0)
:
−y = −3 x − 2 1
2
B. (0; 1, 5)
D.8
4
D. (0; −1, 5)
C. (1, 5; 0)
Zadanie 20. (0-1)
Ola zebrała 15 grzybów, Ala 13 a Iza 10. Reszta grupy - n osób zebrało jednakowa˛ liczb˛e grzybów.
Średnia arytmetyczna wynosi 11 grzybów. Taka˛ sama˛ liczb˛e grzybów zebrało:
A. 10 osób
B. 5 osób
C. 15 osób
D. 4 osób
Zadanie 21. (0-1)
√
˛ równobocznego jest równa 24 3. Promień okr˛egu opisanego na tym trójkacie
˛ jest
równy:
A. 36
Zadanie 22. (0-1)
Miara stopniowa kata
˛
A. 220◦
B. 24
C. 12
D. 6
C. 210◦
D. 420◦
7π
wynosi:
6
B. 180◦
Zadanie 23. (0-1)
Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkatnego
˛
jest dwa razy dłuższa od wysokości podstawy. Bok podstawy wynosi a. Obj˛etość wynosi:
A.
a3
4
B.
a3
3
C.
3a3
4
Zadanie 24. (0-1)
Dane sa˛ dwie proste o równaniach ogólnych k : y + 4 = 0 i l :
Sinus tego kata
˛ wynosi :
√
√
1
2
3
A.
B.
C.
2
2
2
Akcja MATURA 2015
D.
√
2a3
4
3x + y + 2 = 0. Kat
˛ α ∈ (0, 90◦ ).
√
D.
3
3
185/312
186
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
186/312
Akcja MATURA 2015
187
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 25. (0-2)
Rozwia˛ż nierówność: 4x2 − 25x − 50 < (x − 2)2 :
Zadanie 26. (0-2)
Kat
˛ α jest ostry i ctg α =
Akcja MATURA 2015
5
. Oblicz cos α .
12
187/312
188
Poziom podstawowy
Zadanie 27. (0-2)
Wykaż, że
22015
=6×
11
22012
22 +1
+ 62 .
2
Zadanie 28. (0-2)
Liczby −5 i 4 sa˛ pierwiastkami wielomianu W (x) = x3 + bx2 + (c + b)x − 60. Oblicz c i b.
188/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
Zadanie 29. (0-3)
Dany jest ciag
˛ an =
189
n2 − 4n + 3, 75
i n ∈ N . Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciagu
˛ mniejsze od 0, 5.
2n − 0, 5
Zadanie 30. (0-3)
Dane sa˛ dwa pudełka. W pierwszym z nich znajduje si˛e 9 lewych skarpetek: 2 białe, 3 czarne i 4 niebieskie. W drugim jest 6 prawych skarpetek: 1 biała , 4 czarne i 1 niebieska. Z każdego pudełka losujemy
po jednej skarpetce. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana para b˛edzie miała ten sam kolor.
Akcja MATURA 2015
189/312
190
Poziom podstawowy


y = −0, 5x − 3, 5, dla x ∈ (−∞, −3i




Zadanie 31. (0-4)
y = −2(x + 1)2 + 6, dla x ∈ (−3, 0)
Jest funkcja określona wzorem
y = −1, dla x = 0



√


y=
x, dla x ∈ (0, +∞)
a) Narysuj wykres funkcji f (x).
190/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
191
b) Ile jest miejsc zerowych, podaj współrz˛edne tych punktów.
c) Podaj rozwiazania
˛
dla których f (x) > 0.
Akcja MATURA 2015
191/312
192
Poziom podstawowy
d) Dla jakich m funkcja g(m) = m − 2 ma trzy rozwiazania?
˛
Zadanie 32. (0-4)
W salonie państwo Nowakowie chca˛ położyć nowy dywan na podłog˛e. Pokój jest w kształcie trapezu
prostokatnego(patrz
˛
rysunek). Dane jest rami˛e DC = 7, 2m, a kat
˛ przy dłuższej podstawie 60◦ . Przekatna
˛ DB dzieli kat
˛ ABE na pół. Ile państwo Nowakowie zapłaca˛ za nowy dywan, jeśli m2 dywanu
kosztuje 30, 25 zł. Zaokraglij
˛ wynik do cyfry jedności w odpowiedzi.
192/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
Akcja MATURA 2015
193
193/312
194
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
Robert chce zrobić czapeczk˛e z papieru w kształcie stożka o wysokości 8 cm i promieniu także 8 cm. Ile
dm2 papieru potrzebuje Robert? Wynik zaokraglij
˛ do cz˛eści dziesi˛etnej.
194/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
195
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
195/312
Arkusz 20
197
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Cena pewnego produktu została poniesiona o 20%, a nast˛epnie opuszczona o 30%. Po obu zmianach,
wynosi ona 84zł. Ile wynosiła cena przed zmianami?
A. 93, 33 zł
B. 100 zł
C. 90 zł
D. 132, 33 zł
Zadanie 2. (0-1)
Liczba log4 2 + log4 32 jest równa:
√
A. 3
B. 2
C.
√
32
√
D. 2 32
Zadanie 3. (0-1)
Dane sa˛ wielomiany W (x) = 5x4 + 16x2 + 5 oraz P (x) = 22x3 − 18x2 + 2x − 1. Ile wynosi suma
P (x) + W (x)?
A. 5x3 + 36x2 + 2x − 4
B. 5x4 + 22x3 − 2x2 + 2x + 4
C. 22x3 + 2x2 + 4
D. 5x4 + 22x3 − 2x2 + 2x − 4
Zadanie 4. (0-1)
Rozwiazaniami
˛
równania (x − 2)(x + 4)2 (x2 − 3) = 0 sa:
˛
√
√
√
√
A. x = 2, x = −4, x = 4, x = √ 3, x = − 3
C. x = −2, x = −4, x = √3, x = √
− 3
B. x = 2, x = −4, x = 4, x = 3
D. x = 2, x = −4, x = − 3, x = 3
Zadanie 5. (0-1)
Do zbioru rozwiazań
˛
nierówności −(x − 2)(x + 17) < 0 nie należy liczba:
A. 4
B. −22
C. −17
D. 3
Zadanie 6. (0-1)
Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = 2x2 + 8x + 1 jest parabola o wierzchołku w punkcie:
A. (−2, 7)
B. (2, 7)
C. (2, −7)
D. (−2, −7)
Zadanie 7. (0-1)
Jeden z katów
˛
pewnego trójkata
˛ jest równy 20◦ . Drugi kat
˛ jest od niego wi˛ekszy o 60◦ . Miara trzeciego
kata
˛ wynosi:
A. 80◦
B. 100◦
C. 280◦
D. 260◦
Zadanie 8. (0-1)
W ciagu
˛ geometrycznym dane sa˛ a1 = 2 oraz a4 =
A. 2
B.
1
2
1
4
Ile wynosi iloraz tego ciagu?
˛
C.
1
4
D. −2
Zadanie 9. (0-1)
Okrag
˛ wpisany w kwadrat ma średnic˛e 4cm. Jaka˛ długość ma przekatna
˛ tego kwadratu?
√
√
C. 8 2 cm
D. 8 cm
A. 4 cm
B. 4 2 cm
Zadanie 10. (0-1)
Podstawa trójkata
˛ równoramiennego ma 8cm, a rami˛e ma 6cm. Jaka˛ długość ma wysokość opuszczona
na podstaw˛e?
Akcja MATURA 2015
197/312
198
Poziom podstawowy
√
A. 4 3
B. 8
C. 6
D. 5
Zadanie 11. (0-1)
Średnia arytmetyczna liczb x, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 3 wynosi 8. Liczba x jest zatem równa:
A. 2
B. 8
C. 4
D. 5
Zadanie 12. (0-1)
Dana jest prosta k o równaniu y = 4x + 2. Prosta j jest równoległa do k i o równaniu y = aj x + bj .
Prosta m jest prostopadła do k i o równaniu y = am x + bm . aj oraz am wynosza˛ w takim przypadku:
A. aj = 4, am = −
1
4
1
B. aj = − , am = 4
4
C. aj = −4, am =
1
4
1
D. aj = , am = −4
4
Zadanie 13. (0-1)
Wyrażenie log2 (3x − 1) jest określone dla wszystkich liczb, spełniajacych
˛
warunek:
A. x >
1
3
B. x <
1
3
C. x > 0
D. x < 0
Zadanie 14. (0-1)
√
Funkcja liniowa określona jest wzorem f (x) = − 3x + 9. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:
√
√
√
A. 3
B. 3 3
C. 3
D. − 3
Zadanie 15. (0-1)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 3cmx4cmx10cm jest równe:
A. 164 cm2
Zadanie 16. (0-1)
Wartość wyrażenia
B. 82 cm2
C. 120 cm2
D. 152 cm2
sin2 17◦ + cos2 17◦ + 1
jest równa:
sin2 60◦ + cos2 60◦
√
A. 1
B. 0
3
2
C.
D. 2
Zadanie 17. (0-1)
Rzucamy dwa razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek
równej dwa wynosi:
A.
1
2
B.
1
6
C.
1
18
D.
1
36
Zadanie 18. (0-1)
Obj˛etość stożka o wysokości 12 i średnicy podstawy 4 wynosi:
A. 24π
B. 64π
C. 32π
D. 16π
Zadanie 19. (0-1)
Styczna˛ do okr˛egu o równaniu (x − 1)2 + y 2 − 4 = 0 jest prosta o równaniu:
A. y = 1
B. y = 2
C. y = 0
D. y = −1
C. 3
D. 5
Zadanie 20. (0-1)
Wskaż liczb˛e, która spełnia równanie |2x − 3| < 5.
A. 17
198/312
B. −2
Akcja MATURA 2015
199
Poziom podstawowy
Zadanie 21. (0-1)
Na okr˛egu o równaniu (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 leży punkt:
A. A(1, 2)
B. A(−2, −1)
C. A(2, −1)
D. A(4, 2)
Zadanie 22. (0-1)
Kat
˛ α jest ostry i tgα < 1. Które równanie jest prawdziwe?
A. α = 45◦
B. α = 90◦
C. α < 45◦
D. α > 45◦
Zadanie 23. (0-1)
Punkt S(2, 4) jest środkiem odcinka AB. Punkt A ma współrz˛edne (1, 2). Jakie współrz˛edne ma B?
A. (3, 6)
B. (4, 8)
D. (−1, −2)
C. (0, 0)
Zadanie 24. (0-1)
1
Jeżeli A i B sa˛ zdarzeniami losowymi, B 0 jest zdarzeniem przeciwnym do B, P (A) = , P (B 0 ) = 0, 3
5
oraz A ∩ B = ∅, to A ∪ B wynosi
A. 0, 7
B. 0, 9
C. 0, 5
D. 1
Zadanie 25. (0-1)
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a. Jeżeli r oznacza promień podstawy walca, a h oznacza
wysokość walca, to
A. r + h = a
Akcja MATURA 2015
B. h − r =
a
2
C. r − h =
a
2
D. r2 + a2 = h2
199/312
200
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
200/312
Akcja MATURA 2015
201
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Rozwia˛ż nierówność: x3 − 7x2 − 4x + 28 < 0
Zadanie 27. (0-2)
1
Podane sa˛ wyrazy ciagu
˛ geometrycznego a1 = 8 oraz a5 = − 16
.
a) Oblicz iloraz q tego ciagu.
˛
b) Podaj wzór na n-ty wyraz ciagu
˛ (an ).
Akcja MATURA 2015
201/312
202
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 7, to a4 + b4 = 31.
Zadanie 29. (0-2)
Wyznacz równanie symetralnej odcinka BA, gdzie A(1, 5) oraz B(8, 19).
202/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
203
Zadanie 30. (0-3)
Ciag
˛ (9, x, 17) jest arytmetyczny, a ciag
˛ (x, 36, y, z) jest geometryczny. Oblicz x, y, z.
Zadanie 31. (0-3)
Wykaż, że liczba 474 − 19 · 472 + 50 · 471 jest podzielna przez 19.
Akcja MATURA 2015
203/312
204
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (0-3)
Miasto A i B łaczy
˛
linia kolejowa o długości 210km. Średnia pr˛edkość pociagu
˛ pośpiesznego na tej
trasie jest o 24km/h wi˛eksza od pr˛edkości pociagu
˛ osobowego. Pośpieszny pokonuje t˛e tras˛e o godzin˛e
szybciej niż osobowy. Oblicz czas pokonania trasy przez pociag
˛ pośpieszny.
204/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
205
Zadanie 33. (0-4)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 6624. Stosunki długości kraw˛edzi wychodza˛
cych z tego samego wierzchołka sa˛ równe: 1 : 3 : 5. Oblicz długość przekatnej
˛
prostopadłościanu.
Akcja MATURA 2015
205/312
206
Poziom podstawowy
Zadanie 34. (0-4)
Nieskończony ciag
˛ liczbowy (an ) jest określony wzorem an = 3 − ( 12 )n , n = 1, 2, 3, ... .
a) Oblicz, ile wyrazów ciagu
˛ (an ) jest mniejsze od 2, 96875.
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciag
˛ (a2 , a4 , x) jest arytmetyczny. Wyznacz x.
206/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
207
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
207/312
Arkusz 21
209
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Liczba˛ dodatnia˛ jest liczba:
A. −33
√
C. 7 − 4 5
B. 4−2
D. log1
Zadanie 2. (0-1)
2
Jeśli dany jest arytmetyczny ciag
˛ (1, , x), to:
3
A. x = 1
B. x =
4
9
C. x =
1
3
D. x = 0
Zadanie 3. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
równania 2 + m = 3(x − m) + 5 jest liczba (-3). Wynika stad,
˛ że:
A. m = 1, 5
B. m = 0
C. m = −6
D. m = −3
Zadanie 4. (0-1)
Dany jest ciag
˛ (an ) określony wzorem (an ) = 4n2 − n + 2. Jaki jest piaty
˛ wyraz tego ciagu?
˛
A. a5 = 5
B. a5 = 100
C. a5 = 97
D. a5 = 17
Zadanie 5. (0-1)
2
Ile miejsc zerowych ma funkcja f (x) = −(x − 8)2 − ?
3
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 6. (0-1)
Liczba 9 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = mx + 7. Wówczas:
A. m = 7
B. m =
9
7
C. m = −9
D. m = −
7
9
Zadanie 7. (0-1)
√
Parabola o równaniu f (x) = 7(x + 3)2 + 13 ma wierzchołek w punkcie:
√
√
√
A. ( 3, 13
B. (− 3, 13)
C. ( 3, −13)
Zadanie 8. (0-1)
Najmniejsza˛ liczba˛ naturalna˛ spełniajac
˛ a˛ nierówność
A. −1
B. 0
√
D. (− 3, −13)
1 2
x
+ x>
6 7
21
C. 1
D. 2
Zadanie 9. (0-1)
√
√
Wartość wyrażenia |2 − 5| + |2 + 5| jest równa:
√
A. −2 5
B. −4
C. 4
Zadanie 10. (0-1)
Wyznacz liczb˛e b =
A. 512
Akcja MATURA 2015
√
D. 2 5
8
√
(a2 )
, jeśli a = 2
4
−2
a ∗a
B. 256
C. 128
D. 64
209/312
210
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Wysokość rombu o boku długości 3 i kacie
˛ ostrym 60◦ jest równa :
√
A. 1, 5
B. 3
C. 1, 5 3
√
D. 3 3
Zadanie 12. (0-1)
Zbiór rozwiazań
˛
nierówności x(x − 2) > 0 jest postaci:
A. (0, 2)
B. (−2.0)
C. (−∞, −2) ∪ (0, +∞) D. (−∞, 0) ∪ (2, +∞)
Zadanie 13. (0-1)
O ile procent zwi˛ekszy si˛e pole koła, gdy jego promień zwi˛ekszymy o 10%?
A. 10%
B. 11%
C. 20%
D. 21%
Zadanie 14. (0-1)
Punkt S(2, 7) jest środkiem odcinka AB, w którym A(−1, 1). Punkt B ma współrz˛edne:
A. B(5, 13)
Zadanie 15. (0-1)
B. B(−5, −13)
Kat
˛ α jest ostry i sin α =
296
. Wówczas:
592
A. α < 30◦
B. α = 30◦
C. B(1, 5)
D. B(−1, −5)
C. α = 45◦
D. α > 45◦
Zadanie 16. (0-1)
Do zbioru wartości funkcji f (x) = 3x + 7 należy liczba:
A. 7
B. 9
C. 34
D. 36
Zadanie 17. (0-1)
Wszystkich liczb czterocyfrowych, które można ułożyć z cyfr {0, 1, 3, 5, 7} jest:
A. 50
B. 500
C. 525
D. 625
Zadanie 18. (0-1)
Jeśli liczby 3, 4, 6, 3 sa˛ otrzymanymi wynikami, to ich odchylenie standardowe wynosi:
√
√
√
√
3
6
6
A.
B.
C.
D. 6
2
2
4
Zadanie 19. (0-1)
√
Trójkat
˛ prostokatny
˛ o o najdłuższych bokach długości 2 13 i 6 obracamy wokół dłuższej przyprostokatnej.
˛
Obj˛etość powstałego stożka jest równa:
A. 96π
B. 48π
C. 32π
D. 8π
Zadanie 20. (0-1)
Pole trójkata
˛ ograniczonego prosta˛ y = −5x + 25 oraz osiami układu współrz˛ednych wynosi:
A. 12, 5
B. 20
C. 25
D. 62, 5
Zadanie 21. (0-1)
Iloczyn dwóch kolejnych liczb ujemnych jest równy 240. Znajdź te liczby
A. 14 i 15
210/312
B. 10 i 24
C. −24 i −10
D. −15 i −14
Akcja MATURA 2015
211
Poziom podstawowy
Zadanie 22. (0-1)
˛ przez poczatek
˛ układu współrz˛ednych i prostopadłej do prostej o rów1
naniu y = − x + 77 jest postaci:
4
A. y = 4x
B. y = −4x
C. y = 77x + 4
D. y =
1
x−4
77
Zadanie 23. (0-1)
Ci˛eciwa okr˛egu o promieniu 82 dm ma długość 1600 cm. Odległość środka okr˛egu od tej ci˛eciwy jest
równa:
A. 1800 mm
B. 100 cm
C. 24 dm
D. 300cm
Zadanie 24. (0-1)
Rzucamy dwa razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek
równej jeden wynosi:
A. 0
B.
1
6
C.
1
36
D. 1
Zadanie 25. (0-1)
1 2 6 1 3
wynosi:
Średnia arytmetyczna podanych liczb , , , ,
2 5 7 7 10
A.
3
7
Akcja MATURA 2015
B.
154
70
C.
77
175
D.
77
350
211/312
212
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
212/312
Akcja MATURA 2015
213
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Wyznacz równanie prostej o współczynniku kierunkowym
√
15
, przechodzacej
˛ przez punkt (8, 13)
4
Zadanie 27. (0-2)
Zdalnie sterowany helikopter wystartował i po 20 sekundach wzniósł si˛e na wysokość 4 metrów, a w każdym kolejnym dwudziestosekundowym okresie czasu wznosił si˛e dwa razy wolniej niż w poprzednim.
Po jakim czasie osiagnie
˛
pułap 7, 5 metrów?
Akcja MATURA 2015
213/312
214
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
√
Sprawdź, czy liczby: 8, 4 2, 4 moga˛ być trzema poczatkowymi
˛
wyrazami ciagu
˛ geometrycznego? Oblicz iloraz tego ciagu.
˛
Zadanie 29. (0-2)
W pudełku jest 5 kul białych, 10 kul czerwonych i 15 kul zielonych. Losujemy jedna˛ kul˛e. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
214/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
Zadanie 30. (0-3)
Rozwia˛ż równanie: (6x2 − 12) +
215
1
1
=
2x
2x
Zadanie 31. (0-3)
W pewnym graniastosłupie liczba ścian jest o 5 mniejsza od liczby wierzchołków. Oblicz liczb˛e wierzchołków, liczb˛e ścian i liczb˛e kraw˛edzi tego graniastosłupa.
Akcja MATURA 2015
215/312
216
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (0-3)
Dany jest odcinek o końcach A(−1, 2), B(7, −4).
a) Podaj równanie ogólne prostej AB.
b) Wyznacz równanie symetralnej s odcinka AB.
c) Znajdź na symetralnej s punkt C, którego odległość od odcinka AB wynosi 10. Jaka jest odległość
punktu C od punktów A i B?
216/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
217
Zadanie 33. (0-4)
Suma trzech liczb x, y, z wynosi 6, a ich wariancja jest równa 21. Oblicz sum˛e kwadratów tych liczb.
Akcja MATURA 2015
217/312
218
Poziom podstawowy
Zadanie 34. (0-4)
Dwie szkoły maja˛ prostokatne
˛ boiska. Przekatna
˛ każdego boiska jest równa 65 metrów. Boisko w drugiej
szkole ma długość o 4 metrów wi˛eksza˛ niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 metrów mniejsza.˛
Oblicz długość i szerokość każdego z boisk.
218/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
219
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
219/312
Arkusz 23
221
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Spodnie w pewnym sklepie kosztowały 90 złotych. Ich cen˛e poczatkowo
˛
obniżono o 25%, po kilku
dniach zwi˛ekszono o 10%. Ile kosztowały spodnie po obu zmianach?
A. 74, 25 zł
B. 76, 25 zł
C. 74, 50 zł
D. 87, 75 zł
C. 0, 5 i −3, 5
D. −2 i 2
C. 4
D. 6
Zadanie 2. (0-1)
Rozwiazaniami
˛
równania |5(2x + 3)| = 20 sa:
˛
A. 0, 5 i −0, 5
B. 3, 5 i −0, 5
Zadanie 3. (0-1)
Wyrażenie log5 2625 − log5 7 + log5
A. 2
1
3
jest równa
B. 3
Zadanie 4. (0-1)
Wielomian W (x) = P (x) − Q(x), gdzie P (x) = −7x4 + 4x3 − 12, 5x2 + 10
i Q(x) = −4, 5x4 + 3x3 − 10, 25x2 + 12. Wtedy W (x) =
A. −2, 5x4 − x3 + 2, 25x2 − 2
C. −3, 5x4 − x3 − 2, 75x2 − 2
B. −2, 5x4 + x3 − 2, 25x2 − 2
D. −3, 5x4 + x3 − 2, 25x2 + 2
Zadanie 5. (0-1)
Wyrażenie
A.
C.
2x2 +12x+18
x2 −9
możemy przedstawić w postaci:
2(x+3)
(x−3)
3(x−3)
(x+3)
B.
D.
2(x−3)
(x+3)
2(x+3)2
(x−3)
Zadanie 6. (0-1)
Dziedzina˛ równania logx+2 x + 7 = 13 jest:
A. D = (7, ∞)
B. D = h7, ∞)
C. D = (7, ∞) ∪ {1}
D. D = h7, ∞) ∪ {1}
Zadanie 7. (0-1)
Dana jest funkcja kwadratowa f (x) = 2x2 + 24x + 48. Jej wierzchołkiem jest punkt:
A. W (4, 4)
B. W (0, 4)
Zadanie 8. (0-1)
C. W (−4, 0)
D. W (4, 0)
√
√
3x − 63 jest:
Miejscem zerowym funkcji f (x) =
√
A. x = 21
B. x =
21
3
C. x = 7
D. x =
√
21
Zadanie 9. (0-1)
Nierówność (x + 2)(x − 7) ¬ 0 jest spełniona, gdy:
A. x ∈ (−2, 7)
C. x ∈ h−2, 7i
Akcja MATURA 2015
B. x ∈ (−∞, −2i ∪ h7, +∞)
D. x ∈ (−∞, −2) ∪ (7, +∞)
221/312
222
Poziom podstawowy
Zadanie 10. (0-1)
Jaka˛ postać ma funkcja liniowa, jeżeli kat
˛ nachylenia wykresu funkcji do osi OX jest równy 60◦
√
A. f (x) = − 3x + b
B. f (x) =
√
√
√
3x + b
C. f (x) =
3
3 x
+b
D. f (x) = −
3
3 x
+b
Zadanie 11. (0-1)
Dziesiaty
˛ wyraz ciagu
˛ arytmetycznego jest równy a10 = 17 a dwunasty a12 = 23. Wtedy a11
A. a11 = 20
B. a11 = 10
C. a11 = 40
D. a11 = 3
Zadanie 12. (0-1)
Drugi wyraz ciagy
˛ geometrycznego (bn ) jest równy 4, a piaty
˛ jest równy 108. Wtedy iloraz q tego ciagu
˛
wynosi:
A. q = 2
B. q = 3
C. q = 4
D. q = 27
Zadanie 13. (0-1)
Ile wynosi suma 5 pierwszych wyrazów ciagu
˛ geometrycznego cn , jeżeli c1 = 3 i c2 = 9
A. S5 = 75
B. S5 = 360
C. S5 = 363
D. S5 = 78
Zadanie 14. (0-1)
Miary katów
˛
czworokata
˛ tworza˛ ciag
˛ arytmetyczny o różnicy 50◦ . Wtedy najwi˛ekszy kat czworokata
˛ ma
miar˛e:
A. 170◦
B. 115◦
C. 210◦
D. 165◦
Zadanie 15. (0-1)
Wartość wyrażenia
A. − 100
9
sin2 (128◦ )+cos2 (128◦ )−1
sin(18◦ )−tg(12◦ )
B. 0
wynosi:
C.
100
9
D.
Zadanie 16. (0-1)
√
Bok a prostokata
˛ ma długość 1, a bok b = 2. Ile wynosi warstość wyrażenia
przekatna
˛ prostokata?
˛
A. a = 1, 25
B. a = 1, 5
C. a = −2, 5
200
9
5
5 d
− 12 d2 , jeżeli d to
D. −1, 5
Zadanie 17. (0-1)
Ile wynosi pole trójkata,
˛ którego katy
˛ przy podstawie wynosza˛ 60◦ , a podstawa ma dłguość 3?
A.
√
9 2
2
B.
√
3 2
2
C.
√
9 3
4
D.
√
3 3
2
Zadanie 18. (0-1)
√
√ √
Równanie prostej prostopadłej do prostej y = − 13 x + 2 i przechodzacej
˛ przez punkt P (2 6, 6) to:
√
√
A. y = 3x − 5√6
B. y = −3x − 5 √6
C. y = 3x + 5 6
D. y = −3x + 5 6
Zadanie 19. (0-1)
Punkty A(−1, −4) i C(2, −5) sa˛ przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Obwód tego kwadratu wynosi:
√
√
√
A. 10
B. 5
C. 4 5
D. 4
222/312
Akcja MATURA 2015
223
Poziom podstawowy
Zadanie 20. (0-1)
Ile wynosi wysokość h stożka, jeżeli pole powierzchni pocznej wynosi Pb = 240π a pole podstawy
Pp = 144π
A. 12
B. 48
C. 16
D. 64
Zadanie 21. (0-1)
Ile wynosi przekatna
˛ prostopadłościanu, jeżeli wymiary jego podstawy to 10 × 15, a wysokość wynosi 5
√
√
√
√
B. 5 14
C. 4 13
D. 4 14
A. 5 13
Zadanie 22. (0-1)
Losujemy ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} dwie niepowtarzajace
˛ si˛e cyfry. Układamy z nich liczb˛e w kolejności wylosowania. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej?
A. P (A) =
1
2
B. P (A) =
1
4
C. P (A) =
1
3
D. P (A) =
2
3
Zadanie 23. (0-1)
Na ile sposobów Kacper i Anita moga˛ usiaść
˛ na dwóch z sześciu miejsc w kinie, jeśli chca˛ siedzieć obok
siebie?
A. 20
B. 30
C. 5
D. 10
Zadanie 24. (0-1)
Ile wynosi wartość x, jeżeli średnia arytmetyczna liczb: 2, 4, 3, 8, 7, 2, 1, 7, x jest równa 4
A. 6
B. 4
C. 2
D. 1
Zadanie 25. (0-1)
Jaki jest zbiór wartości funckji f (x) przedstawionej na rysunku?
A. h−4, 3i
Akcja MATURA 2015
B. (−3, 4)
C. h−3, 4i
D. (−4, 3)
223/312
224
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
224/312
Akcja MATURA 2015
225
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-4)
Dana jest funkcja f (x) =



x + 1
3


−x + 7
dla x ¬ 2
dla x > 2 ∧ x < 4
dla x 4
a) Wypisz miejsca zerowe funkcji i punkty przeci˛ecia z osia˛ OY,
b) Narysuj wykres funkcji f (x),
c) Dla jakich argumentów spełniona jest nierówność f (x) ¬ 2?
Akcja MATURA 2015
225/312
226
Poziom podstawowy
Zadanie 27. (0-2)
Rozwia˛ż nierówność: x2 + 2x + 1 ¬ 36
Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest wielokrotnościa˛
liczby 8.
226/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
227
Zadanie 29. (0-3)
Dane sa˛ dwa pudełka. W pierwszym z nich znajduje si˛e 9 kul: 3 żółte, 4 czerwone i 2 niebieskie. W
drugim pudełku znajduje si˛e 6 kul: 3 żółte, 2 czerwone i 1 niebieska. Z każdego pojemnika losujemy po
jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul w tym samym kolorze.
Zadanie 30. (0-3)
W trzech regałach ustawiono 76 ksia˛żek. Liczby ksia˛żek ustawionych kolejno w regałach lewym, środkowym i prawym tworza˛ rosnacy
˛ ciag
˛ geometryczny. W środkowym regale ustawione sa˛ 24 ksia˛żki.
Oblicz ile płyt stoi w regale lewym a ile w regale prawym.
Akcja MATURA 2015
227/312
228
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-3)
W trapezie prostokatnym
˛
wysokość ma długość 3cm, dłuższa podstawa 12cm, a kat
˛ ostry miar˛e 60◦ .
Oblicz pole i obwód trapezu.
228/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
229
Zadanie 32. (0-3)
Punkty A = (1, 5), B = (6, 10), C = (3, 6) sa˛ wierzchołkami trójkata
˛ ABC. Prosta zawierajaca
˛ wysokość tego trójkata
˛ poprowadzona z wierzchołka C przecina prosta˛ AB w punkcie D. Oblicz długość
odcinka BD.
Akcja MATURA 2015
229/312
230
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-5)
Pod koniec dnia bibliotekarz porzadkuje
˛
ksia˛żki zwracane przez czytelników. Pewnego dnia miał do
uporzadkowania
˛
112 ksia˛żek, w ciagu
˛ każdego kwadransa porzadkował
˛
taka˛ sama˛ ich liczb˛e. Jeśli przeznaczyłby na porzadkowanie
˛
3 kwadranse wi˛ecej, to w ciagu
˛ każdego kwadransa układałby o 12 mniej
ksia˛żek. Oblicz, ile ksia˛żek na kwadrans porzadkował
˛
bibliotekarz.
230/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
231
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
231/312
Arkusz 24
233
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Ułamek
√
A. 2
qp
√
24 · 24 ma wartość:
B. 2
D. 264
C. 4
Zadanie 2. (0-1)
Promień okr˛egu o równaniu o : x2 + y 2 − 6x + 8y + 1 = 0:
√
√
A. 2 6
B. 5
C. 26
√
D. 6 2
Zadanie 3. (0-1)
Granica limn→∞
(x+2)2 −n2
7n+1
A. − 74
B.
7
4
C. 0
D.
4
7
Zadanie 4. (0-1)
Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x3 + 2x2 − 5x + 4 przez dwumian (x + 2) jest równa
A. 15
B. 22
C. 10
D. 14
Zadanie 5. (0-1)
W pudełku mamy 5 kul białych i 7 kul czarnych, gdzie kule sa˛ nierozróżnialne. Na ile sposobów możemy
wybrać 3 kule, tak aby wszystkie były białe?
A. 147
B. 105
C. 21
D. 35
Zadanie 6. (0-1)
Na okr˛egu o środku S leża˛ punkty A, B, C, D. Odcinek |AC| jest średnica˛ tego okr˛egu. Kat
˛ ABD jest
równy 34◦ . Kat
˛ α wynosi:
C
D
34o
A
S
α
B
A. 22◦
B. 34◦
C. 56◦
D. 68◦
Zadanie 7. (0-1)
Wzór funkcji kwadratowej f (x) = 2x2 − 8x + 6 w postaci kanonicznej przedstawiamy jako:
A. f (x) = 2(x − 2)2 − 2 B. f (x) = 2[(x − 2)2 − 2] C. f (x) = 2(x−1)(x−3) D. f (x) = 2(x + 2)2 + 2
Zadanie 8. (0-1)
Jeśli dla każdego n∈ N+ ogólny wyraz ciagu
˛ (an ) jest postaci an =
2n−3
4 ,
to ciag
˛ (an ) jest:
A. ciagiem
˛
arytmetycznym
Akcja MATURA 2015
233/312
234
Poziom podstawowy
B. ciagiem
˛
geometrycznym
C. zarówno ciagiem
˛
arytmetycznym jak i ciagiem
˛
geometrycznym
D. ciagiem
˛
ani arytmetycznym ani geometrycznym
Zadanie 9. (0-1)
Która z podanych funkcji jest funkcja˛ nieparzysta?
˛
A. f (x) = x2 +
1
x2
B. f (x) = sin(2x + 3π) C. f (x) = cos(2x + 3π) D. 4x − 3
Zadanie 10. (0-1)
Rozwiazaniem
˛
nierówności
12x−6
x2 +x−2
jest przedział:
A. x ∈ (−2; −1) ∪ h 12 ; +∞)
B. x ∈ (−2; 12 i ∪ (1; +∞)
C. x ∈ h−2; 12 i ∪ h1; +∞)
D. x ∈ (−∞; −2) ∪ ( 21 ; 1)
Zadanie 11. (0-1)
Przekatna
˛ równoległoboku ma długość 4 cm i tworzy z jego podstawa˛ o długości 7 cm kat
˛ 30◦ . Oblicz
pole tego równoległoboku.
√
B. 56
C. 7
D. 14
A. 14 3
Zadanie 12. (0-1)
11π
Wartość wyrażenia tg(− 9π
4 ) + tg( 4 ) jest równa:
A. −1
B. −2
C. 0
D. 2
Zadanie 13. (0-1)
5
1
Dziedzina˛ funkcji f (x) = √ + √
jest przedział:
2
5x
x −x−2
A. h2; +∞)
B. (2; +∞)
C. (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
D. (−∞; −1i ∪ h2; +∞)
Zadanie 14. (0-1)
Liczba
q
√
√
3 − 2 2 − 3 + 2 2 jest:
q
A. równa −2
B. równa 2
C. równa 0
D. niewymierna
Zadanie 15. (0-1)
Liczby : a, b, c, d sa˛ ustawione w kolejności rosnacej,
˛
a ich mediana jest równa 14. Jeśli bc = 160, to :
A. (b − c)2 = 100
B. (b − c)2 = −100
C. (b − c)2 = 196
D. (b − c)2 = −196
Zadanie 16. (0-1)
Kat
˛ środkowy i kat
˛ wpisany sa˛ oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180◦ . Jak jest miara
kata
˛ środkowego?
A. 120◦
B. 180◦
C. 60◦
D. 90◦
Zadanie 17. (0-1)
Mediana˛ zestawu liczb 5, 1, 4, 1, 5 jest:
234/312
Akcja MATURA 2015
235
Poziom podstawowy
A. 1
B. 4
C. 5
D. 3
Zadanie 18. (0-1)
Długość przekatnej
˛
sześcianu jest równa 27. Kraw˛edź tego sześcianu wynosi:
A. 3
B. 9
C. 27
D.
q
27
2
Zadanie 19. (0-1)
Pochodna funkcji f (x) = x4 − 3x3 + 2x − 6 = 0 w punkcie x = −1 wynosi:
A. 2
B. 4
C. −3
D. −11
Zadanie 20. (0-1)
Dane sa˛ wielomiany W (x) = x5 − 2x4 + 3x2 + 9 i P (x) = x5 + 6x3 + 3x2 + 9. Wielomian V (x) =
W (x) − P (x)jest stopnia:
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
Zadanie 21. (0-1)
Na trójkacie
˛ równobocznym opisano koło, którego pole jest równe 9π. Długość boku tego trójkata
˛ jest
równa:
√
√
√
A. 3 2 3
B. 2 3
C. 3
D. 6 3
Zadanie 22. (0-1)
Oblicz odległość od poczatku
˛ układu współrz˛ednych środka odcinka |AB|, gdzie A = (−3, −5), B =
(7, 3)
√
√
√
A. 34
B. 58
C. 1
D. 5
Zadanie 23. (0-1)
Mamy dwie liczby niewymierne. Ich różnica:
A. nie może być liczba˛ całkowita˛
B. nie może być liczba˛ wymierna˛
C. jest zawsze liczba˛ niewymierna˛
D. może być liczba˛ całkowita˛
Zadanie 24. (0-1)
Długościami boków trójkata
˛ moga˛ być odcinki:
A. 1cm, 3cm,7cm
B. 54cm, 40cm, 95cm
C. 3cm, 3cm, 1dm
D. 10cm, 78cm, 87cm
Zadanie 25. (0-1)
Prosta o równaniu y = 2m − 4x + 9 przechodzi prze punkt A(2, −1). Wówczas m wynosi:
A. −1
Akcja MATURA 2015
B. 1
C. − 11
2
D. −9
235/312
236
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
236/312
Akcja MATURA 2015
237
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Wiemy, że A, B ⊂ Ω i P (A) =
2
5
i P (B) = 47 . Czy zdarzenia A i B moga˛ si˛e wykluczać?
Zadanie 27. (0-2)
Średnia wieku dzieci na obozie tanecznym wynosi 9 lat. Średnia wieku tych dzieci i ich opiekunki jest
Akcja MATURA 2015
237/312
238
Poziom podstawowy
równa 10 lat. Opiekunka ma 32 lat. Oblicz, ile dzieci jest w tej grupie.
Zadanie 28. (0-2)
Wyznacz współczynniki a i b wielomianu W (x) = x3 + ax2 + b, tak aby W (1) = 3 i W (3) = 5.
Zadanie 29. (0-2)
W ciagu
˛ arytmetycznym a3 = −1 i a7 = 7. Oblicz sum˛e poczatkowych
˛
15 wyrazów tego ciagu.
˛
238/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
239
Zadanie 30. (0-3)
Udowodnij, że:
1+log2 3
log2 3−log3 2
Akcja MATURA 2015
= log 3 3
2
239/312
240
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-3)
Wykaż, że przekatne
˛ czworokata
˛ ABCD sa˛ prostopadłe, jeżeli A(−2; −3), B(0; 3), C(4; 0), D(4; −5).
240/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
241
Zadanie 32. (0-3)
Kinga i Magda chcac
˛ zarobić na wyjazd do Hiszpanii, raz w tygodniu sprzatały
˛
dom sasiadki.
˛
Pracujac
˛
we dwie potrzebuja˛ 7 godzin na wykonanie zadania. Pewnego dnia po 4 godzinach Kinga zachorowała
i Magda musiała dokończyć sprzatanie
˛
w ciagu
˛ 6 godzin. Ile godzin potrzebowałaby każda z dziewczyn
na samodzielne posprzatanie
˛
domu?
Akcja MATURA 2015
241/312
242
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
Dany jest prostopadłościan ABCDA0 B 0 C 0 D0 , którego podstawa ABCD jest kwadratem o boku długości 4 dm. Przez punkty A, C 0 , E, F gdzie E i F sa˛ odpowiednio środkami kraw˛edzi |BB 0 | i |DD0 |
poprowadzono płaszczyzn˛e przekroju w kształcie rombu, którego długości przekatnych
˛
sa˛ w stosunki
2 : 1. Wysokość tego prostopadłościanu jest równa 8 dm. Oblicz wysokość tego rombu.
242/312
Akcja MATURA 2015
243
Poziom podstawowy
D′
C′
B′
A′
F
E
D
A
Akcja MATURA 2015
C
B
243/312
244
Poziom podstawowy
Zadanie 34. (0-4)
Na przeciwprostokatnej
˛
i przyprostokatnych
˛
trójkata
˛ prostokatnego
˛
zbudowano półkola tak jak na rysunku. Jedna z przyprostokatnych
˛
trójkata
˛ prostokatnego
˛
ma długość 2 cm, a druga 4 cm. Oblicz pole
zakreskowanej figury. Napisz jaka˛ widzisz zależność pomi˛edzy polem sumy zakreskowanych "półksi˛eżyców" a polem trójkata.
˛
244/312
Akcja MATURA 2015
245
Poziom podstawowy
C
.
A
Akcja MATURA 2015
B
245/312
246
246/312
Poziom podstawowy
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
247
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
247/312
Arkusz 25
249
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Przedziałem liczb spełniajacych
˛
nierówność |3x − 18| > 50 :
A. x ∈ (34, 66)
B. x ∈ (−∞, −
C. x ∈ (−34, 66)
D. x ∈ (35, 66)
32
68
) ∪ ( , +∞)
3
3
Zadanie 2. (0-1)
˛
równanie |500x + 3| = 230 sa:
˛
A. −
234
500
B. −
233
500
C.
233
500
D.
234
500
Zadanie 3. (0-1)
Rozwia˛ż (x − 3)(x − 2)2x + 2 > 2
A. x ∈ (0, 2) ∪ (3, +∞)
B. x ∈ (0, 4) ∪ (3, +∞)
C. x ∈ (0, 5) ∪ (3, +∞)
D. x ∈ (0, 3) ∪ (3, +∞)
Zadanie 4. (0-1)
Pole powierzchni bryły o dwunastu kraw˛edziach, której ściany maja˛ x cm długości opisuje wzór:
A. 3x2 + 3x2
C. 3x2 + 4x2
Zadanie 5. (0-1)
Rozwia˛ż nierówność
A. x ∈ R
B. 6x3
D. 3x2 + 5x2
√
x2 + 5x + 16 > 1
B. x > 0
C. x < 0
D. x ∈ (−∞, 0)
Zadanie 6. (0-1)
Jeśli x>0 i y<0 to dla liczb całkowitych zachodzi nierówność:
A. xy > −2
B. xy < 0
C. x − 2 > 5y
D. x − 2 < 5y
B. b + 2 > a
C. a + c > c + b
D. b + 2 > −2
Zadanie 7. (0-1)
a>b, c>b to:
A. b + 1 > a
Zadanie 8. (0-1)
Jeśli x > 0 i y < 0 i y 2 > x2 to dla liczb całkowitych zachodzi nierównoś:
A. xy 2 < 0
B. y 2 − x2 < 0
C. xy < 0
D. xy > 0
Zadanie 9. (0-1)
X jest najwi˛ekszym dzielnikiem liczby 10 i x ∈ (0, 10) , wi˛ec x wynosi? :
A. 2
B. 5
C. 10
D. −10
Zadanie 10. (0-1)
f (x) = abs(x − 1) − 59 , funkcja przyjmuje najwi˛eksza wartość dla argumentu:
A. 0
Akcja MATURA 2015
B. −59
C. 1)
D. 59
249/312
250
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Różnica ciagu
˛ arytmetyczny, w którym a2 = 3a4 = 9 wynosi:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Zadanie 12. (0-1)
Boki pewnej figury maja˛ długość 3, 4, 5cm, a wi˛ec wysokośc opuszczona na najktótszy bok wynosi? :
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Zadanie 13. (0-1)
Pole koła wynosi 25 a pole drugiego koła wynosi 5, a wi˛ec skala ich podobieństwa jest równa:
A. 5
B. 25
C. 1
5
D. √
5
C. 4
D. −2
Zadanie 14. (0-1)
Funkcja x2 + 4x + 4 ma oś symetrii w punkcie?:
A. 0
B. 2
Zadanie 15. (0-1)
Ile osi symetri ma figura, która ma 4 wierzchołki i każdy z jej boków jest równy? :
A. 2
B. 4
C. 1
D. 8
C. 0.2x
D. 2x
Zadanie 16. (0-1)
20% ceny danego towary równa si˛e x, a 40%?:
A. x
B. 0.1x
Zadanie 17. (0-1)
Cena towaru wynosiła 0.8x nast˛epnie obniżono ja˛ o 20% a nast˛epnie o 21%. O ile procent zmalała cena
po dwóch promocjach?:
A. 0, 50056
B. 0, 5056
C. 0, 5057
D. 0, 05056
Zadanie 18. (0-1)
W urnie jest 6 kul białych 6 czarnych i 16 innych. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli
białej?:
A. 6 : 16
B. 6 : 22
C. 12 : 28
D. 6 : 28
Zadanie 19. (0-1)
średnia arytmetyczna 6 liczb: x, x + 16, x + 20, x + 30, x − 500, 5x − 1000, jest równa 100. Oblicz x:
A. x = 146.4
B. x = 146
C. x = x = 147.4
D. x = 146.6
Zadanie 20. (0-1)
Wielomian x3 + x2 + x = (x − a)3 + (x − 16 − b)2 + 5. Dla jakich a,b wielomiany sa˛ równe:
A. a = 0, b = 16
C. dla wszystkich liczb całkowitych
250/312
B. b = 16, b = 0
D. nigdy nie sa˛ równe
Akcja MATURA 2015
251
Poziom podstawowy
Zadanie 21. (0-1)
Dwa okregi sa˛ do siebie podobne gdy maja˛ równe: :
A. promienie
C. pole
B. obwód
D. każde dwa okr˛egi sa˛ do siebie podobne
Zadanie 22. (0-1)
Połowa pola walca o podstawie 500cm2 i wysokości h = 16cm jest równa:
A. 20
B. 40
C. 80
D. 10
Zadanie 23. (0-1)
Pole trójkata
˛ równoramiennego o bokach równej długości, gdzie a to długość boku.Można wyrazić za
pomoca˛ wzoru:
√
3
2
A. 4a
B. 6a2
C. 7a2
D. 8a2
16
Zadanie 24. (0-1)
Funkcja y=x+2 jest prostopadła do funkcji a2 x + 2 wtedy gdy a=? :
A. a = −1
B. a = 1
C. a = 2
D. nie ma takiego a
Zadanie 25. (0-1)
Funkcja y=x+2 jest równoległa do do funkcji a2 x + 2 wtedy gdy a=?:
A. 1
Akcja MATURA 2015
B. 2
C. nie ma takiego a
D. −2
251/312
252
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
252/312
Akcja MATURA 2015
253
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-4)
Ojciec i syn, pracujac
˛ razem, wykonaliby pewna czynność w ciagu
˛ 10 godzin. Ponieważ po 3 godzinach
wspólnej pracy syn musiał opuścić ojca, ten sam musiał dokończyć zadanie, co zaj˛eło mu jeszcze 5
godziny. W ciagu
˛ ilu godzin każdy z nich wykonałby ta prace samodzielnie?
Zadanie 27. (0-4) √
Rozwia˛ż nierówność
Akcja MATURA 2015
x2 + 2x + 5 > 0
253/312
254
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-5)
Dwaj rzemieślnicy przyj˛eli zlecenie wykonania wspólnie 1500 detali. Zaplanowali, że każdego dnia
pierwszy z nich wykona z, a drugi y detali. Obliczyli, że razem wykonaja˛ zlecenie w 10 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował si˛e i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie
musiał pracować o 9 dni dłużej niż planował, (nie zmieniajac
˛ liczby wykonywanych codziennie detali),
254/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
255
Oblicz z i y.
Akcja MATURA 2015
255/312
256
Poziom podstawowy
Zadanie 29. (0-4)
1
Samochód pokonał drogi ze średnia˛ pr˛edkościa˛ 50km/h pozostała˛ cz˛eść drogi przebył ze średnia˛ pr˛ed3
kościa 85km/h. Oblicz szybkośc średnia na całej drodze.
256/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
257
Zadanie 30. (0-4)
Rozwia˛ż nierówność (x-3)(x-2)(x-5)>0
Akcja MATURA 2015
257/312
258
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-4)
Ile litrów wody zmieści si˛e do beczki o polu podstawy równym log2 16 i wysokości x, która jest równa
podwojonemu sześcianu przekatnej
˛
kwadratu o boku 5dm.
258/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
259
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
259/312
Arkusz 26
261
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1.√(0-1)
1
Wyrażenie
3− 2
x+3
nie przyjmuje wartości dla x równego:
A. 3
B.
1
2
C. −3
D. 0
C. −8
D. 6
Zadanie 2. (0-1)
Liczba log3 9 + log2
1
64
A. −4
jest równa:
B. 8
Zadanie 3. (0-1)
Równanie (x − 5)(x + 7)(x3 + 1) = 0 można inaczej przedstawić w postaci::
A. x4 − 2x2 − 35x − 33 = 0
B. x5 + 2x4 − 35x3 + x2 + 2x − 35 = 0
C. x5 + 2x4 − 35x3 − x2 − 2x + 35 = 0
D. −x4 − 2x2 + 35x + 33 = 0
Zadanie 4. (0-1)
Wykres funkcji określonej wzorem f (x) = −4x2 + 3x + 10 przecina oś OX dla x > 0 tylko
A. raz i pierwiastkiem funkcji jest liczba 5
B. raz i pierwiastkiem funkcji jest liczba −5
C. funkcja nie przecina osi OX
D. dwa razy
Zadanie 5. (0-1)
Liczba (−2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = 12 mx + 2. Wówczas:
A. m = 2
B. m = −2
C. m = 4
D. m = 0
C. 1
D. 2−4
Zadanie 6. (0-1)
Iloczyn 4−4 · 22 jest równy:
A. 2−6
B. 4−2
Zadanie 7. (0-1)
Jeden z katów
˛
czworokata
˛ ma miar˛e 18◦ . Miara kata
˛ leżacego
˛
naprzeciw jest trzykrotnie wi˛eksza. Wzajemny stosunek pozostałych dwóch katów
˛
wynosi 2 : 1. Katy
˛ wielokata
˛ maja˛ miary:
A. 18◦ , 54◦ , 36◦ i 18◦
B. 18◦ , 54◦ , 72◦ i 18◦
Zadanie 8. (0-1)
Dany jest ciag
˛ (an ) o wyrazie ogólnym an =
A.
25
3
B. −12, 5
n2
n−3
C. 18◦ , 54◦ , 72◦ i 36◦
D. 18◦ , 56◦ , 72◦ i 36◦
i n 1. Piaty
˛ wyraz tego ciagu
˛ jest równy:
C. 25
D. 12, 5
Zadanie 9. (0-1)
W ciagu
˛ geometrycznym (an ) dane sa:
˛ a4 = 8, a2 = 10. Ilorazem tego ciagu
˛ jest liczba:
A. 2
B.
5
4
C.
4
5
D. −2
Zadanie 10. (0-1)
√
W trójkacie
˛ prostokatnym
˛
dane sa˛ boki o długościach 7, 4 2 i 9. Wówczas cosinus kata
˛ pomi˛edzy
krótsza˛ przyprostokatn
˛ a˛ a przeciwprostokatn
˛ a˛ wynosi:
A.
√
4 2
9
Akcja MATURA 2015
B.
9
7
C.
7
√
4 2
D.
7
9
261/312
262
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Zbiór rozwiazań
˛
nierówności 2x(x − 6) > 0 jest postaci:
A. (−7, 0)
B. (−∞, 0) ∪ (7, +∞)
C. (−∞, −7) ∪ (0, +∞) D. (−∞, −7) ∪ (7, +∞)
Zadanie 12. (0-1)
Dany kwadrat ABCD. Długości przekatnej
˛
AC i boku BC wynosza˛ odpowiednio 16 oraz 8. Wtedy bok
AB ma długość:
√
√
A. 8
B. 8 3
C. 4 3
D. 20
Zadanie 13. (0-1)
Podr˛ecznik do matematyki, po podniesieniu ceny o 32, 73%, kosztował 27 zł. Jaki był poczatkowy
˛
koszt
podr˛ecznika? Otrzymany wynik zaokraglij
˛ do czterech liczb znaczacych
˛
i wybierz właściwa˛ odpowiedź.
A. 20, 33 zł
B. 20, 3420 zł
C. 20, 34 zł
D. 20, 3421 zł
√
C. (2 2, 2)
√
D. (2, 2 2)
Zadanie 14. (0-1)
Wierzchołek funkcji f (x) = x2 − 4x + 2 to punkt:
A. (−2, 2)
B. (2, −2)
Zadanie 15. (0-1)
√
Kat
˛ α jest ostry i cos α >
A. sin α > 1
3
2 .
Wówczas:
B. sin α <
1
2
C. sin α >
1
2
D. sin α = cos α
Zadanie 16. (0-1)
Liczba przekatnych
˛
wielokata
˛ jest równa 27. Ile katów
˛
ma ten wielokat?
˛
A. 6
B. 9
C. 18
D. 12
Zadanie 17. (0-1)
Jaka jest najbliżej leżaca
˛ na osi liczbowej od pierwiastka wyróżnika trójmianu kwadratowego funkcji
f (x) = −5x2 + 32x − 15 liczba całkowita?
A. 26
B. 36, 4
C. 27
D. 36
C. 20
D. 16, 7
Zadanie 18. (0-1)
Średnia arytmetyczna liczb 7, 5, 11, 72, 5, 0 wynosi:
A. 16 32
B. 17
Zadanie 19. (0-1)
Dane sa˛ wielomiany W (x) = (−2a + 1)x3 + 2x − 1 oraz G(x) = 3x3 + (b2 − 4)x2 + 2(c + 1)x − 1.
Sa˛ one równe, gdy:
A. a = −1, b = −2, 2, c = 1
B. a = 1, b = −2, c = 1
C. a = 1, b = 2, c = −1
D. dane wielomiany nigdy nie sa˛ równe
Zadanie 20. (0-1)
Trójkat
˛ równoramienny, którego ramiona maja˛ długość 8, a podstawa 3, obracamy wokół podstawy.
Wierzchołek leżacy
˛ naprzeciw podstawy kreśli okrag
˛ o obwodzie:
√
√
√
√
B. 8 3π
C. 8 3
D. 4 2π
A. 4 3π
262/312
Akcja MATURA 2015
263
Poziom podstawowy
Zadanie 21. (0-1)
Rzucamy dwa razy symetryczna,˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Prawdopodobieństwo uzyskania sumy oczek
z trzech rzutów wi˛ekszej, niż trzy wynosi:
A.
11
12
B. 1
C.
1
18
D.
17
18
Zadanie 22. (0-1)
Pole powierzchni bocznej walca o wysokości 10 i średnicy podstawy 3 jest równe:
A. 30π
B. 60π
C. 15π
D. 30π 2
Zadanie 23. (0-1)
Punkty A(−3, 2) i C(4, −3) sa˛ leżacymi
˛
naprzeciw siebie wierzchołkami prostokata
˛ ABCD. Pole tego
prostokata
˛ jest równe:
A. 5
B. 48
C. 35
D. 72
Zadanie 24. (0-1)
1
Prosta y = (3 − a)x + 3 i y = (− a+1
)x − 7 sa˛ wzgl˛edem siebie prostopadłe, gdy:
A. a = −2
B. a = 1
C. a = −1
D. a = 2
Zadanie 25. (0-1)
Wskaż liczby, które spełniaja˛ równanie |4x + 1| = 3.
A.
1
7
i −1
Akcja MATURA 2015
B. − 17 i 1
C. 0 i −1
D. − 71 i −1
263/312
264
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
264/312
Akcja MATURA 2015
265
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
√
Rozwia˛ż nierówność: 2x4 + 2 2x2 − 7 0
Zadanie 27. (0-2)
Dany jest ciag
˛ an określony wzorem an = −3 − 2n. Ile wyrazów tego ciagu
˛ jest wi˛ekszych od 7?
Akcja MATURA 2015
265/312
266
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest nieparzysta, a
pozostałe sa˛ parzyste.
Zadanie 29. (0-2)
W czworokat
˛ wpisano okrag.
˛ Dwa przystajace
˛ do siebie boki czworokata
˛ maja˛ długości 4 i 7. Pozostałe
dwa jego boki maja˛ długości w stosunku 4:1. Oblicz obwód czworokata.
˛
Zadanie 30. (0-3)
Dana jest funkcja f (x) =
266/312
x+7
x2 −1 .
Określ dziedzin˛e funkcji, narysuj jej wykres oraz zaznacz na wykresie
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
267
punkty charakterystyczne.
Akcja MATURA 2015
267/312
268
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-3)
Pole trapezu prostokatnego
˛
wynosi 37, 5. Krótsza podstawa ma długość 4, dłuższa 4 + x, a wysokość
h stanowi 125% długości dłuższej podstawy. Oblicz x oraz długość dłuższej przekatnej
˛
trapezu. Wynik
otrzymany przy liczeniu przekatnej
˛
zaokraglij
˛ do tysi˛ecznych.
268/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
269
Zadanie 32. (0-3)
Dany jest punkt A(0, 7) oraz funkcja f (x) = 4x2 − 7x. Pierwiastki wielomianu sa˛ współrz˛ednymi OX
punktów B i C. Punkty te tworza˛ trójkat
˛ ABC. Oblicz pole utworzonego trójkata
˛ oraz tangens kata
˛
mi˛edzy osia˛ odci˛etych a przeciwprostokatn
˛ a.˛
Akcja MATURA 2015
269/312
270
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
W stożku kat
˛ mi˛edzy podstawa˛ a ściana˛ boczna˛ wynosi 60◦ . Średnica podstawy jest równa 8. Oblicz pole
powierzchni bocznej stożka i jego obj˛etość.
270/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
271
Zadanie 34. (0-4)
Myśliwiec M iG − 29 prowadzi walk˛e powietrzna˛ z myśliwcem F − 16. Pierwszy samolot ma pi˛eciotonowy zapas paliwa, natomiast drugi ma go jedynie 3, 5 tony. W obu maszynach jego ilość maleje liniowo,
co opisuja˛ odpowiednio funkcje f = − 21 + 5000 i g = − 16 + 3500. Któremu samolotowi paliwo skończy
si˛e szybciej? Narysuj wykres ilustrujacy
˛ t˛e zależność.
Akcja MATURA 2015
271/312
272
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
272/312
Akcja MATURA 2015
Arkusz 27
274
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Cen˛e ksia˛żki zwi˛ekszono o 10%, a nast˛epnie zmniejszono o 20%. Nowa cena ksia˛żki wynosi 22 zł.
Wynika z tego, że pierwotna cena wynosiła:
A. 31 zł
B. 25 zł
C. 27, 30 zł
D. 30, 56 zł
Zadanie 2. (0-1)
Która z poniższych liczb nie spełnia nierówności 3x + 5 x?
A. −3
B. −2
C. 1
D. 5
Zadanie 3. (0-1)
26 osób wykonuje pewna˛ prac˛e w ciagu
˛ 54 dni. O ile należy zwi˛ekszyć ilość pracowników, by ta sama
praca została wykonana w 13 dni?
D. 62
D. 64
D. 70
D. 82
Zadanie 4. (0-1)
Współrz˛edne punktu b˛edacego
˛
wierzchołkiem paraboli określonej wzorem f (x) = 2x2 − 8x + 5 sa˛
równe:
A. (−2,3)
B. (2,−3)
C. (0,5)
D. (4,0)
Zadanie 5. (0-1)
W trójkacie
˛ prostokatnym
˛
jeden z katów
˛
ostrych jest dwa razy wi˛ekszy od drugiego kata
˛ ostrego. Najkrótszy bok trójkata
˛ ma długość 7 cm. Długość przeciwprostokatnej
˛
wynosi:
√
√
A. 21cm
B. 21 2 cm
C. 14 cm
D. 14 3 cm
Zadanie 6. (0-1) √
Wartość wyrażenia ( 2 + 1)2 -3 wynosi:
√
√
A. 2 + 4
B. 2
√
C. 2 2
√
D. −5 2 + 1
Zadanie 7. (0-1)
Jeden z katów
˛
trójkata
˛ ma miar˛e 72◦ . Z pozostałych dwóch katów
˛
tego trójkata
˛ jeden ma miar˛e 5 razy
wi˛eksza˛ od drugiego. Miary pozostałych katów
˛
sa˛ równe:
A. 18◦ i 90◦
B. 24◦ i 120◦
C. 16◦ i 80◦
D. 16◦ i 96◦
Zadanie 8. (0-1)
Miejscami zerowymi wielomianu W (x) = 8(x − 5)(x + 6)(x2 + 2) sa:
˛
A. −6,−2,5,8
B. −6,5
C. −5,2,6
√
D. − 2,0
Zadanie 9. (0-1)
Ci˛eciwa okr˛egu ma długość 6 cm i jest oddalona od jego środka o 5 cm. Promień tego okr˛egu ma długość:
√
√
√
A. 41 cm
B. 61 cm
C. 4, 25 cm
D. 34cm
Zadanie 10. (0-1)
Dany jest ciag
˛ arytmetyczny (an ). Pierwszy wyraz tego ciagu
˛ jest równy 3, a dziewiaty
˛ wyraz ciagu
˛ jest
równy 59. Wartość jedenastego wyrazu tego ciagu
˛ wynosi:
A. a11 = 63
274/312
B. a11 = 68
C. a11 = 73
D. a11 = 80
Akcja MATURA 2015
275
Poziom podstawowy
Zadanie 11. (0-1)
Punkt C jest środkiem odcinka AB. Współrz˛edne punktu A sa˛ równe (0,6), a punktu B (8,9). Współrz˛edne punktu C wynosza:
˛
A. (9, 3)
B. (3, 4)
1
C. (4, 4 )
2
3
D. (3, 5 )
4
C. x = 45
D. x = −18
Zadanie 12. (0-1)
Ciag
˛ (9, x, 81) jest arytmetyczny. Wówczas:
√
B. x = 72
A. x = 9 9
Zadanie 13. (0-1)
Punkty A(−3, 2) i B(0, 6) sa˛ sasiednimi
˛
wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu wynosi:
√
√
A. 3 5
B. 25
C. 64
D. 7 13
Zadanie 14. (0-1)
Przekatne
˛ rombu maja˛ długość 10 cm i 24 cm. Długość boku tego rombu wynosi:
√
A. 13 cm
B. 26 cm
C. 26 2 cm
D. 35 cm
Zadanie 15. (0-1)
1
Kat
˛ α jest ostry i cos α = . Wówczas:
2
√
1
A. sin α =
B. sin α = 2
2
Zadanie 16. (0-1)
Dziedzina˛ funkcji f określonej wzorem f (x) =
A. m = −8
B. m = 8
C. tg α =
√
3
D. ctg α =
√
3
x−9
jest zbiór (−∞, 8) ∪ (8, +∞). Wówczas:
3x + m
C. m = −24
D. m = 24
Zadanie 17. (0-1)
√
W trójkat
˛ równoboczny wpisano okrag.
˛ Długość promienia tego okr˛egu wynosi 2 3. Pole tego trójkata
˛
jest równe:
√
√
√
√
B. 24 3
C. 72 3
D. 72 2
A. 36 3
Zadanie 18. (0-1)
Długość kraw˛edzi sześcianu zwi˛ekszono o 20%. Obj˛etość tego sześcianu zwi˛ekszyła si˛e o:
A. 20%
B. 44%
C. 72, 8%
D. 200%
Zadanie 19. (0-1)
˛ przez punkt A(2,2) i równoległej do prostej y = 3x + 1 jest postaci:
1
2
A. y = − x + 2
3
3
1
B. y == x + 1
3
C. y = 3x + 8
D. y = 3x − 4
Zadanie 20. (0-1)
Rzucamy dwa razy sześcienna˛ kostka˛ do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek
równej 7?
A.
1
2
Akcja MATURA 2015
B.
1
4
C.
1
6
D.
1
8
275/312
276
Poziom podstawowy
Zadanie 21. (0-1)
1
Średnia arytmetyczna liczb: 3,6,10,y wynosi 7 . Wówczas:
2
A. y = 1
B. y = 5
C. y = 11
D. y = 12
Zadanie 22. (0-1)
Który z podanych punktów leży na prostej o równaniu y = 3x + 8?
A. A(2,5)
B. B(0,5)
C. C(4,16)
D. D(5,23)
Zadanie 23. (0-1)
W trapezie prostokatnym
˛
podstawy AB i CD maja˛ odpowiednio 4 cm i 9 cm, a dłuższe rami˛e trapezu
ma 13 cm. Pole tego trapezu wynosi:
A. 64cm2
B. 72cm2
C. 78cm2
D. 80cm2
Zadanie 24. (0-1)
Funkcja f każdej liczbie naturalnej przyporzadkowuje
˛
jej reszt˛e z dzielenia przez 7. Która z poniższych
równości jest prawdziwa?
A. f (5) = 1
B. f (11) = 3
C. f (120) = 1
D. f (717) = 2
C. 262
D. 263
Zadanie 25. (0-1)
Połowa wyrażenia 264 − 263 jest równa:
A. 261
276/312
B. 3 · 261
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
277
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
277/312
278
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Rozwia˛ż równanie: 2x2 + 21x + 8 = 32 − x2
Zadanie 27. (0-2)
Na prostokacie
˛ o bokach długości 12cm i 8cm opisano okrag.
˛ Oblicz długość promienia tego okr˛egu.
Podaj wynik z dokładnościa˛ do dwóch miejsc po przecinku.
Zadanie 28. (0-2)
W trójkacie
˛ ABC, w którym |^ACB| = 70◦ , połaczono
˛
środek okr˛egu wpisanego O z wierzchołkami
278/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
279
A i B. Oblicz |^AOB|.
C
70◦
O
A
B
Zadanie 29. (0-4)
Obj˛etość ostrosłupa prawidłowego trójkatnego
˛
ABCS (tak, jak na rysunku) jest równa 72, a promień
Akcja MATURA 2015
279/312
280
Poziom podstawowy
okr˛egu wpisanego w podstaw˛e ABC tego ostrosłupa jest równy 4. Oblicz tangens kata
˛ mi˛edzy wysokościa˛ tego ostrosłupa i jego ściana˛ boczna.˛
S
C
A
B
Zadanie 30. (0-3)
W urnie znajduje si˛e 10 kul białych i 15 kul czarnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie jednocześnie
wylosowane kule b˛eda˛ tego samego koloru.
280/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
281
Zadanie 31. (0-2)
Punkty A(9, 1) i C(3, 9) sa˛ przeciwległymi wierzchołkami kwadratu.
a) Oblicz obwód tego kwadratu.
b) Oblicz pole okr˛egu opisanego na tym kwadracie.
Zadanie 32. (0-4)
Dane sa˛ funkcje f (x) = 2x2 − 7 i g(x) = 5x − 4.
a) Naszkicuj wykresy tych funkcji w jednym układzie współrz˛ednych.
b) Zapisz zbiór wartości funkcji f (x).
Akcja MATURA 2015
281/312
282
Poziom podstawowy
c) Rozwia˛ż nierówność f (x)>g(x).
Zadanie 33. (0-3)
Turysta pokonał pewna˛ odległość, idac
˛ z pr˛edkościa˛ 8 km/h. Gdyby w˛edrował o 2km/h wolniej, pokonanie tej trasy zaj˛ełoby mu o 48minut wi˛ecej. Oblicz długość trasy, która˛ pokonał turysta.
282/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
283
Zadanie 34. (0-3)
Ciag
˛ (bn ) jest określony wzorem bn = (−1)2n+2 ∗ (n2 + 1) dla n 1.
a) Oblicz sum˛e pierwszych trzech wyrazów tego ciagu.
˛
Akcja MATURA 2015
283/312
284
Poziom podstawowy
b) Udowodnij, że wszystkie wyrazy tego ciagu
˛ sa˛ liczbami nieujemnymi.
284/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
285
BRUDNOPIS
Akcja MATURA 2015
285/312
Arkusz 28
287
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Wartość liczby a =
2 log2 8
jest równa:
log3 63 − log3 7
A. 12
B. 6
C. 3
D. 2
Zadanie 2. (0-1)
Wi˛eksza˛ z dwóch liczb spełniajacych
˛
równanie 2x2 + 5x − 12 = 0 jest:
A. −4
B. 4
C. −
3
2
D.
3
2
Zadanie 3. (0-1)
Zbiorem rozwiazań
˛
nierówności |4 − x| > 8 jest przedział:
A. x ∈ h−∞, −4i ∪ h12, +∞i
B.x ∈ (−∞, −4) ∪ (12, +∞)
C.x ∈ h−4, 12i
D.x ∈ (−4, 12)
Zadanie 4. (0-1)
Prosta o równaniu y = m ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f (x) =
−x2 + 2x − 5. Wynika stad,
˛ że:
A. m = 5
B. m = 4
C. m = 1
D. m = −4
Zadanie 5. (0-1)
Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = 3x − 7:
1
A. y = − x + 6
3
1
B. y = x − 4
3
C. y = 3x + 6
D. y = −3x − 4
Zadanie 6. (0-1)
Wskaż m, dla którego funkcja f (x) = (m + 3)x − 2 jest malejaca:
˛
A. m = −4
B. m = −3
C. m = 2
D. m = 1
Zadanie 7. (0-1)
Równanie
(x + 3)(x − 2)
= 0:
x2 − 9
A. nie ma rozwiazań.
˛
B. ma jedno rozwiazanie.
˛
C. ma dwa rozwiazania.
˛
D. ma cztery rozwiazania.
˛
Zadanie 8. (0-1)
Wielomian W = x3 − 3x2 + 6x − 18 po rozłożeniu na czynniki ma postać wyrażenia:
A. (x2 − 3)(x + 6)
B. (x − 3)2 (x + 6)
C. (x − 3)(x2 + 6)
D. (x − 3)(x + 6)2
Zadanie 9. (0-1)
Pole kwadratu wpisanego w okrag
˛ o promieniu 6cm jest równe:
A. 144cm2
Akcja MATURA 2015
B. 72cm2
C. 18cm2
D. 12cm2
287/312
288
Poziom podstawowy
Zadanie 10. (0-1)
Liczby x + 2, −5, 8 (w podanej kolejności) sa˛ pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciagu
˛ arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa:
A. x =
25
8
B. x =
8
25
C. x = −20
D. x = −18
Zadanie 11. (0-1)
Dany jest ciag
˛ (an ) określony wzorem an = 3 · 2n−2 dla n 1. Wówczas piaty
˛ wyraz ciagu
˛ (an ) jest
równy:
A. a5 = 24
B. a5 = 32
C. a5 = 54
D. a5 = 64
Zadanie 12. (0-1)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 150cm2 . Obj˛etość tego sześcianu jest wi˛ec równa:
A. 216cm3
B. 125cm3
C. 120cm3
D. 110cm3
Zadanie 13. (0-1)
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 4. Obj˛etość tego walca jest równa:
A. 72π
B. 64π
C. 32π
D. 16π
Zadanie 14. (0-1)
Kat
˛ środkowy i kat
˛ wpisany sa˛ oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 210◦ . Miara kata
˛
środkowego wynosi:
A. 140◦
B. 105◦
C. 70◦
D. 60◦
Zadanie 15. (0-1)
Średnia arytmetyczna liczb: 5, 3, 1, 0, −6, x jest równa 4. Wówczas:
A. x = 15
B. x = 17
C. x = 21
D. x = 24
C. y = x + 0, 2
D. y = x − 0, 2
C. α = 45◦
D. α = 60◦
Zadanie 16. (0-1)
Liczba y to 80% liczby x. Wynika stad,
˛ że:
A. y = x + 0, 2x
B. y = x − 0, 2x
Zadanie 17. (0-1)
√
Kat
˛ α jest ostry i cos α =
A. α = 15◦
3
. Wówczas::
2
B. α = 30◦
Zadanie 18. (0-1)
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które sa˛ podzielne przez 5 lub przez 9 jest:
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
Zadanie 19. (0-1)
Okrag
˛ opisany na trójkacie
˛ równobocznym ma promień 24. Wysokość tego trójkata
˛ jest równa:
A. 36
288/312
B. 24
C. 18
D. 12
Akcja MATURA 2015
289
Poziom podstawowy
Zadanie 20. (0-1)
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} wybieramy losowo jedna˛ liczb˛e. Niech p oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby parzystej. Wówczas:
A. p = 0, 6
B. p > 0, 6
C. p = 0, 4
D. p > 0, 4
Zadanie 21. (0-1)
Na rysunku przedstawiono fragment funkcji kwadratowej f .
y
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
−1
4
x
−2
Funkcja f jest określona wzorem:
A. y = 2(x − 2)(x + 1)
B. y = 2(x + 2)(x − 1)
C. y = −2(x − 2)(x + 1)
D. y = −2(x + 2)(x − 1)
Zadanie 22. (0-1)
Trójkaty
˛ ABC i A0 B 0 C 0 sa˛ podobne, a ich pola wynosza˛ odpowiednio 30cm2 i 90cm2 . Skala podobieńB0C 0
stwa
jest równa:
BC
√
√
1
3
A.
B. 3
C. 3
D.
3
3
Zadanie 23. (0-1)
√
˛ równobocznego jest równa 52 3. Promień okr˛egu wpisanego w ten trójkat
˛ jest
równy:
√
√
C. 52
D. 52 3
A. 26
B. 26 3
Zadanie 24. (0-1)
Punkty A = (−3, −1) i B = (2, 5) sa˛ dwoma sasiednimi
˛
wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego
kwadratu jest równe:
√
√
A. 17
B. 17 2
C. 61
D. 61 2
Zadanie 25. (0-1)
Mediana zestawu danych 5, 7, a, 4, 8, 7 jest równa 10. Wówczas:
A. a = 6
Akcja MATURA 2015
B. a = 16
C. a = 31
D. a = 42
289/312
290
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
290/312
Akcja MATURA 2015
291
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Rozwia˛ż nierówność: 2x2 + 5x − 6 4x2 − 4x + 1
Zadanie 27. (0-2)
Czwarty wyraz ciagu
˛ arytmetycznego jest równy 32, a suma czterech poczatkowych
˛
wyrazów tego ciagu
˛
jest równa 80. Oblicz pierwszy wyraz tego ciagu.
˛
Akcja MATURA 2015
291/312
292
Poziom podstawowy
Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że liczba 2 · 555 − 6 · 554 + 553 jest podzielna przez 7.
Zadanie 29. (0-2)
2
Kat
˛ α jest ostry i sin α = . Oblicz 5 − 3 tg2 α.
3
Zadanie 30. (0-3)
Dana jest funkcja o wzorze f (x) =
292/312
x−2
.
x+4
Akcja MATURA 2015
293
Poziom podstawowy
a) Określ dziedzin˛e funkcji
b) Oblicz miejsce zerowe funkcji oraz współrz˛edne punktu, w którym wykres przecina oś OY
c) Narysuj wykres funkcji
Zadanie 31. (0-3)
Oblicz kat
˛ α mi˛edzy ci˛eciwa˛ AB, a styczna˛ do okr˛egu w punkcie A, jeżeli β = 70◦ (patrz rysunek).
Akcja MATURA 2015
293/312
294
Poziom podstawowy
A
k
α
S
β
B
Zadanie 32. (0-3)
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokatnego
˛
jest równe 144cm2 , a jego pole powierzchni
2
bocznej wynosi 240cm . Oblicz obj˛etość tego ostrosłupa.
294/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
295
Zadanie 33. (0-4)
W trapez równoramienny ABCD wpisano okrag
˛ o promieniu 5. Punkty styczności podzieliły ramiona
tego trapezu w stosunku 3 : 7. Oblicz obwód trapezu ABCD.
Akcja MATURA 2015
295/312
296
Poziom podstawowy
S
Zadanie 34. (0-4)
Turysta pokonał pieszo tras˛e długości 20 km z miejscowości A do miejscowości B ze stała˛ pr˛edkościa.˛ Rowerem poruszałby si˛e z pr˛edkościa˛ o 9 km
eksza˛ i przybyłby do celu o 3 godziny wcześniej.
h wi˛
Wyznacz pr˛edkość marszu turysty i czas przejścia tej drogi. Wyniki zaokraglij
˛ do dwóch miejsc po przecinku.
296/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
Akcja MATURA 2015
297
297/312
298
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
298/312
Akcja MATURA 2015
Arkusz 29
300
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIETE
˛
Zadanie 1. (0-1)
Liczba
3
−
π
2
należy do przedziału:
A. (−∞, −1)
B. h−1, 0)
C. (0, 1i
D. (1, +∞)
C. log12 2
D. 12
C. 1
D. 2
Zadanie
2. (0-1)
p
Liczba
√
A. 2
2 log12 4 + log12 9 jest równa:
B. 2
Zadanie 3. (0-1)
Nierówność |x − 4| < 3 spełniona jest przez liczb˛e:
A. −1
B. 0
Zadanie 4. (0-1)
Cena plecaka została obniżona o 30% i teraz kosztuje on 175zł. Przed obniżka˛ plecak kosztował:
A. 200zł
B. 205zł
C. 227, 50zł
D. 250zł
Zadanie 5. (0-1)
Wykres funkcji liniowej f (x) = ax + b tworzy z osia˛ OX kat
˛ 60◦ i przechodzi przez punkt (0, 2).
Wówczas:
√
√
√
√
A. a = 23 i b = 2
B. a = 23 i b = −2
C. a = 3 i b = 2
D. a = 3 i b = −2
Zadanie 6. (0-1)
Rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji f (x) = ax2 + bx + c. Jakie znaki maja˛ współczynniki a i c?
y
1
0
A. a > 0, c > 0
1
x
B. a > 0, c < 0
C. a < 0, c > 0
D. a < 0, c < 0
Zadanie 7. (0-1)
Dane sa˛ dwa wielomiany: W (x) = 2x3 − 5x2 + x + 3 i P (x) = (m2 − 2)x3 + (3m + 1)x2 + x + 3.
Dla jakiej wartości m wielomiany te sa˛ równe?
A. m = 2
300/312
B. m = −2
C. m = 0
D. nie istnieje takie m
Akcja MATURA 2015
301
Poziom podstawowy
Zadanie 8. (0-1)
Ile rozwiazań
˛
ma równanie
A. 0
(x2 − 9)(x + 2)
=0?
x−3
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 9. (0-1)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f (x). Równanie f (x) = p ma dokładnie dwa rozwiazania
˛
dla:
y
4
0 1 3
x
A. p ∈ (−∞, 1) ∪ (3, ∞)
B. p ∈ {1, 3}
C. p ∈ (1, 3)
D. nie istnieje takie p
Zadanie 10. (0-1)
Najwi˛eksze możliwe pole prostokata
˛ o obwodzie 20cm wynosi:
A. 5cm2
B. 20cm2
C. 25cm2
D. 40cm2
Zadanie 11. (0-1)
W pewnym momencie promienie słoneczne padaja˛ pod katem
˛
30◦ . Wysoka na 25m brzoza rzuca wtedy
cień o długości:
A. ok.37m
B. ok.43m
C. ok.46m
D. ok.14m
Zadanie 12. (0-1)
Punkty przeci˛ecia prostej k : −2x − y + 4 = 0 z osiami układu współrz˛ednych oraz punkt P (0, 0)
wyznaczaja˛ trójkat.
˛ Jego pole wynosi:
A. 4j2
B. 6j2
C. 8j2
D. 10j2
C. m = 7
D. m = 3
Zadanie 13. (0-1)
Ciag
˛ (2, 6, 2m + 4) jest geometryczny dla:
A. m = 18
B. m = 9
Zadanie 14. (0-1)
Dany jest ciag
˛ arytmetyczny (an ) dla którego a4 = 4, a6 = 8 Wówczas:
A. a1 = 2
B. a1 = −2
C. a1 = 1
D. a1 = −1
Zadanie 15. (0-1)
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych podzielnych przez 6?
A. 1499
Akcja MATURA 2015
B. 1500
C. 1501
D. 1505
301/312
302
Poziom podstawowy
Zadanie 16. (0-1)
Pole sześciokata
˛ foremnego wpisanego w okrag
˛ o promiemiu r = 2 wynosi.
√
√
√
A. 6 3
B. 12 3
C. 3 3
√
D. 4 3
Zadanie 17. (0-1)
Okr˛egi o1 o środku w punkcie P1 (2, 3) i promieniu r1 = 5 oraz o2 o środku w punkcie P2 (−4, −1) i
promieniu r2 = 3:
A. sa˛ rozłaczne
˛
B. przecinaja˛ si˛e w dwóch punktach
C. sa˛ zewn˛etrznie styczne
D. sa˛ wewn˛etrznie styczne
Zadanie 18. (0-1)
Wyznacz x wiedzac,
˛ że kkl
k
4
2
l
5
A. x = 1, 5cm
x
B. x = 2, 5cm
C. x = 3, 5cm
D. x = 4, 5cm
Zadanie 19. (0-1)
Pole powierzchni bocznej walca, którego wysokość jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy wyraża
wzór:
A. P = 6πr3
B. P = 6πr2
C. P = 12πr2
D. P = 3πr3
Zadanie 20. (0-1)
Akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 0, 4m x 0, 8m x 0, 6m napełniono woda˛ do
wysokości. Ile litrów wody wlano do akwarium?
A. 19, 2
B. 12, 8
C. 192
2
3
D. 128
Zadanie 21. (0-1)
Dane sa˛ zbiory A = {0, 1, 3, 6, 10} i B = {1, 4, 6, 8, 9} Który z poniższych elementów nie należy do
zbioru (A ∪ B) − (A ∩ B)?
A. 0
302/312
B. 3
C. 6
D. 9
Akcja MATURA 2015
303
Poziom podstawowy
Zadanie 22. (0-1)
Jeżeli miara kata
˛ α wynosi 60◦ , a promień okr˛egu r = 6cm, to pole wycinka kołowego AOB jest równe:
α
O
r
A
B
A.
16cm2
B. 12cm2
C. 9cm2
D. 6cm2
Zadanie 23. (0-1)
Kat
˛ α ∈ (0, 90◦ ) i tg α = 2. Zatem:
A. cosα =
1
5
√
B. cosα =
5
5
C. cosα =
√
2 5
5
D. cosα =
√
5
Zadanie 24. (0-1)
Rzucamy dwa razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegajacego
˛
na tym, że wypadna˛ dwie różne liczby pierwsze wynosi:
A.
1
3
B.
1
4
C.
1
6
D.
1
9
Zadanie 25. (0-1)
Przekrój osiowy stożka nie może być:
A. Trójkatem
˛
rozwartokatnym
˛
B. Trójkatem
˛
równobocznym
Akcja MATURA 2015
C. Trójkatem
˛
prostokatnym
˛
D. Trójkatem
˛
różnobocznym
303/312
304
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
304/312
Akcja MATURA 2015
305
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiazania
˛
Zadanie 26. (0-2)
Wyznacz dziedzin˛e funkcji f (x) =
√
x2 + 2x − 15
Zadanie 27. (0-2)
Dana jest funkcja kwadratowa f (x) = −x2 − 3x + 2
a) Wyznacz współrz˛edne wierzchołka powyższej paraboli,
b) Przedstaw funkcj˛e f (x) w postaci kanonicznej
Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że dla każdego kata
˛ α ∈ (0, 90◦ ) prawdziwa jest równość: tg x + ctg x =
Akcja MATURA 2015
1
sin x cos x
305/312
306
Poziom podstawowy
Zadanie 29. (0-2)
Wykaż, że dla każdego a > 0 zachodzi nierówność:
306/312
(a+1)2
a
− 40
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
307
Zadanie 30. (0-2)
Oblicz ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych w których cyfry nie powtarzaja˛ si˛e.
Akcja MATURA 2015
307/312
308
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-3)
W pewnej drużynie piłkarzy r˛ecznych średnia wzrostu sześciu zawodników grajacych
˛
w polu wynosi
184cm, a po uwzgl˛ednieniu wzrostu bramkarza spada do 183cm. Jak wysoki jest bramkarz?
308/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
309
Zadanie 32. (0-4)
Oblicz obj˛etość bryły, która powstała poprzez obrót kwadratu o boku 4cm wokół jednej z jego przekat˛
nych.
Akcja MATURA 2015
309/312
310
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (0-4)
Obwód rombu wynosi 24cm, a suma długości przekatnych
˛
18cm. Oblicz pole rombu.
310/312
Akcja MATURA 2015
Poziom podstawowy
311
Zadanie 34. (0-4)
Pan Paweł wybrał si˛e na wakacje nad morze. Miał do pokonania dystans 300km. Planujac
˛ powrót policzył, że gdyby jechał ze średnia˛ pr˛edkościa˛ wyższa˛ o 15km/h, to skróciłby czas jazdy o godzin˛e. Ile
czasu zabrała mu podróż nad morze i z jaka˛ średnia˛ pr˛edkościa˛ jechał?
Akcja MATURA 2015
311/312
312
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
1
C
312/312
2
A
3
D
4
D
5
C
6
C
7
B
8
C
9 10 11 12 13 14
B C B A C A
21 22 23 24 25
C B B C D
15
B
16
A
17
B
18
D
19
B
20
D
Akcja MATURA 2015

Untitled

Transkrypt

Podobne dokumenty