4 - just-math

Zadanie 4
Podaj wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, której wykres otrzymamy, przesuwajac
¾ równolegle wykres funkcji f o dany wektor !
v , jeśli:
2 !
v = [ 3; 0]
c) f (x) =
a) f (x) = x ; v = [2; 0]
b) f (x) = 21 x2 ; !
2x2 ; !
v = [0; 5]
v = [0; 1]
e) f (x) = 31 x2 ; !
v = [ 3; 4]
f) f (x) =
d) f (x) = 14 x2 ; !
2 !
5x ; v = [8; 6]
Rozwiazanie:
¾
Zacznijmy od tego jak wyglad
¾ postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Oto
wzór:
f (x) = a (x
2
p) + q
Gdzie a jest dok÷
adnie tym samym a co we wzorze w postaci ogólnej f (x) =
ax2 + bx + c: Natomiast p i q to wspó÷rzedne
¾
wierzcho÷ka paraboli oznaczanego
najcześciej
¾
jako W: Przy czym
W = (p; q)
gdzie
p
=
q
=
b
2a
M
4a
Jednakz·e w tym zadaniu teoretycznie nie musimy wiedzieć nic o postaci
kanonicznej - no poza samym wygladem.
¾
Potrzebujem natomiast wiedzy o przesuwaniu równoleg÷
ym o dany wektor. Np. jeś÷i mamy wektor:
!
v = [2; 3]
to wykres przesunie nam sie¾ o dwie jednostki w prawo i trzy jednostki w dó÷.
Jeśli mamy
!
v = [ 2; 3]
to wykres przesunie sie¾ o dwie jednostki w lewo i trzy jednostki w góre.
¾
I wiekszość
¾
z nas jest to w stanie ogarnać.
¾ Natomiast problem pojawia sie¾
w zapisie. Przesuniesia
¾ wzd÷uz· iksów zapisujemy przy iksach. Jednocześnie
dzia÷
ajac
¾ jakby wbrew logice - czyli jak by÷plus to w zapisie jest minus. Jak
by÷minus, to w zapisie jest plus. Natomiast przsuniecia
¾ na igrekach zapisujemy
tak jak podpowiada logika nie zmieniamy znaków. Dodajemy lub odejmujemy
do od ca÷
ego wzoru funkcji.
Brzmi to pewnie nie fajnie ale mam nadzieje,
¾ z·e na rozwiazanych
¾
przyk÷adach
wszyscy zrozumieja¾ ;)
a)
1
f (x) = x2 ; !
v = [2; 0]
Przesuwamy dwie jednostki w prawo i zero jednostek w góre.
¾ Czyl robimy
minus dwa i plus zero
[2;0]
f (x) = x2 ! g (x) = (x
2
2) + 0
Oczywiście zero moz·na sobie darować wiec
¾ otrzymujemy:
g (x) = (x
2
2)
b)
1 2 !
x ; v = [ 3; 0]
2
Postepujemy
¾
analogicznie jak w podpunkcie a) i otrzymujemy:
f (x) =
f (x) =
1 2 [ 3;0]
x ! g (x) =
2
1
2
(x + 3) + 0 =
2
1
2
(x + 3)
2
c)
f (x) = 2x2 ; !
v = [0; 5]
Tym razem nie ruszamy wykresu na iksach tylko pieć
¾ jednostek w dó÷, czyli
od ca÷
ego wykresu odejmujemy pieć:
¾
[0; 5]
f (x) = 2x2 ! g (x) = 2x2
5
d)
1 2 !
x ; v = [0; 1]
4
Wykres rusza sie¾ o jedna¾ jednostk¾
e w góre,
¾ czyli do ca÷ego wzoru dodajemy
jeden:
f (x) =
f (x) =
1 2 [0;1]
x ! g (x) =
4
1 2
x +1
4
e)
1 2 !
x ; v = [ 3; 4]
3
W tym przyk÷
adzie wykres przesunie sie¾ o trzy jednostki w lewo i cztery
jednostki w góre.
¾ T÷
umaczac
¾ na polski: do iksa dodajemy trzy (przy iksach
zmienaimy znak) a do ca÷
ego wzoru dodajemy cztery:
f (x) =
f (x) =
1
1 2 [ 3;4]
2
x ! g (x) = (x + 3) + 4
3
3
2
f)
f (x) =
5x2 ; !
v = [8; 6]
Wykres przesuwa sie¾ w prawo o osiem jednostek (czyli odejmujemy od iksa
osiem) i sześć jednostek w dó÷(czyli od ca÷ego wykresu odejmujemy sześć)
f (x) =
[8; 6]
5x2 ! g (x) =
3
5 (x
8)
2
6