nr 5
Transkrypt
nr 5
Spis treści Spis treści ...................................................................................... 1 Ściągać, czy nie?................................................ 15 Cyfry różnych narodów i epok.............................................. 2 Rzym ................................................................................................. 2 Cyfry różnych narodów i epok1 Grecja ............................................................................................... 2 Konkursy ........................................................................................ 4 Zadania miesiąca................................................................................. 4 Łamigłówki ......................................................................................... 5 Rozwiązanie zadań konkursowych ..................................... 6 Zadania miesiąca................................................................................. 6 Łamigłówki logiczne ............................................................................. 8 Słowniczek dużych problemów........................................... 10 Rzym Cyfry rzymskie są znane i używane obecnie np.: na tarczach zegarów, na tablicach pamiątkowych, w numeracji kart książek. W rzymskim systemie liczbowym używano następującej numeracji: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100(łac.centum), 500=D, M=1000(łac.mille).Jest to system addytywny, niepozycyjnym, bez zera, w którym znaki specjalne to V, L, D. Rzymianie liczby pisali za pomocą cyfr stosując zasadę dodawania LX=60 (50+10) MC=1100 (1000+100) lub odejmowania XL=40 (50-10=40) CM=900 (1000-!00=900). Dla zapisania dużych licz stosowano: mnożenia przez 100 |X|=1000, mnożenie przez 1000 X = 10 000. Umieć – rozumieć .............................................................................. 10 Samouczek zadaniowy............................................................ 11 Analfabetyzm matematyczny............ Błąd! Nie zdefiniowano zakładki. Wielkie liczby, małe prawdopodobieństwa .............................................. 12 Grecja Grecy posługiwali się dwoma rodzajami znaków cyfrowych: ateńskimi i jońskimi. Cyfr ateńskich używał Pitagoras, Platon i Arystoteles . Znaki Π , ∆ , H, X, M są początkowymi literami odpowiednich słów: pente (5), deka (10), hekaton (100), chilios (1000) i myrias (10000). Grecy stosowali również skróty: Jak walczyć ze stresem?....................................................... 13 Rachunek prawdopodobieństwa......................................... 14 1 1 Stanisław Kowal „Przez rozrywkę do wiedzy” 2 Jońskimi cyframi były litery alfabetu: Konkursy Zadania miesiąca styczeń Wiedząc, że a 1 = oblicz a+b 3 b . b+a luty Do oznaczenia liczb 6, 90 i 900 stosowano dodatkowe znaki. System ten oparty jest na zasadzie dziesiętnej, ale bez zer. Aby napisaną liczbę odróżnić od słowa, stawiano nad nią kreskę. Cyframi jońskimi posługiwał się Euklides, Heron, Diofantos Archimedes, .... Numeracja hieroglificzna i alfabetyczna ma wady: - zapisywanie dużych liczb wymaga stosowania nowych znaków, - wykonywanie działań na liczbach jest trudne. Samochód wyjechał z miejscowości A do B. Połowę drogi przebył z prędkością 60km/h, a pozostałą część drogi z prędkością 40km/h. Jaka była średnia prędkość samochodu ? marzec Rozwiąż równanie 11 810 7 − 2 • 8 + 4 * 9 x − 8 * x : 4 7 = −3 2 4 3 4 Rozwiązanie zadań konkursowych Łamigłówki2 Córki i synowie Zadania miesiąca Pewna pani powiada: Mam pięcioro dzieci, w tym co najmniej jedną córkę i co najmniej jednego syna. Oto pięć informacji o moich dzieciach: Najstarsze z dzieci jest innej płci niż najmłodsze. Drugie co do wieku dziecko ma trzy siostry. Trzecie co do wieku dziecko ma jedną starszą i jedną młodszą siostrę. Czwarte co do wieku dziecko ma młodszego brata. Najmłodsze z dzieci ma trzech braci. Jeszcze dwie sprawy dodatkowe: nie mam bliźniąt, wszystkie zaś informacje o moich dzieciach jednej płci są prawdziwe, ale o dzieciach drugiej płci- fałszywe. Jakiej płci jest każde z dzieci tej pani i jaka jest kolejność ich starszeństwa? wrzesień Między jakimi kolejnymi liczbami naturalnymi znajduje się liczba 55 + 5 55 + 5 5 rozwiązanie zadania 4< 5< 9, Zachodzi nierówność więc Dyplomata Spytałem znajomego dyplomatę, co sądzi o sprawie. Oto jego odpowiedź: -Wprawdzie nie zaprzeczam, iż nie będę głosował, że nie jestem na „nie”, jednakże będę glosował, że nie powiem „nie” w sprawie, w której nigdy dotąd nie mówiłem „tak”. Co właściwie odpowiedział dyplomata? 55 + 5 55 + 5 4 < 55 + 5 55 + 5 5 < 55 + 5 55 + 5 9 55+ 5 55+ 5 5 < 55+ 5 55+ 5 9 = 55+ 5 55+ 5• 3 = 55+ 5 70 < 55+ 5 81 = 55+ 45 = 100= 10 Czyli Wyprawy wojenne Podczas Wielkich Wojen postanowiono na Wyspie Zagadkowej podjąć jednocześnie cztery wyprawy przeciwko wrogim wyspom. Dla zapewnienia pełnego powodzenia zasięgnięto rady Nieomylnej Wyroczni, który z wodzów powinien poprowadzić którą wyprawę. Oto co powiedziała Wyrocznia: -Jeżeli Regu nie wyruszy przeciwko Wabu a Megu przeciwko Gabu, to Tegu musi uderzyć na Zabu; -jeżeli Wegu nie ruszy przeciwko Wabu, to Megu musi uderzyć na Zabu lub Kabu; -jeżeli Regu nie uderzy na Zabu a Wegu nie ruszy na Kabu, to Tegu musi uderzyć na Gabu lub Wabu; -wszystkie wyprawy zakończą się sukcesem, jeżeli Wegu uderzy na Gabu lub Tegu na Kabu lub Megu na Wabu. Kto na kogo uderzy, jeżeli zgodnie z przepowiednią Wyroczni podbito wszystkie wyspy? 2 55 + 5 55 + 5 5 < 10 55+ 5 55+ 5 5 > 55+ 5 55+ 5 4 = 55+ 5 55+ 5 • 2 = 55+ 5 65 > 55+ 5 64 = 55+ 40 = 95> 81= 9 czyli 55 + 5 55 + 5 5 > 9 więc 9 < 55+ 5 55+ 5 5 < 10 Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne” 5 6 październik Łamigłówki logiczne3 Dla jakiej wartości zmiennej x istnieje trójkąt o bokach długości x, x-1, -x+3? Dyplomaci Dyplomaci- przedstawiciele sześciu wysp- wspominają spotkanie sprzed lat przy okrągłym stole. Reprezentant Wyspy Zagatkowej powiada:- Po mojej prawej stronie siedział reprezentant Wyspy Nieforemnej. Reprezentant wyspy Wamaku powiedział:- Po mojej lewej stronie siedział reprezentant Wyspy Zagadkowej. Reprezentant wyspy Bim-Bam-Bum powiada:- Po mojej prawej stronie siedział reprezentant Wyspy Malutkiej. Reprezentant Wyspy Nieforemnej powiada:- Siedziałem po lewej stronie reprezentanta wyspy Wamaku. Reprezentant Wyspy Malutkiej powiada:- Po mojej prawej stronie siedział reprezentant Wyspy Alfabetycznej. Reprezentant Wyspy Alfabetycznej powiada:- Siedziałem po prawej stronie reprezentanta wyspy Bim-Bam-Bum. Dyplomaci, jak to dyplomaci, czasami mijają się z prawdą. Tym razem dwaj z nich kłamali. Jak kolejno siedzieli przy okrągłym stole przedstawiciele wysp? rozwiązanie zadania Boki trójkąta muszą być dodatniej długości i spełniać tzw. nierówność trójkąta. x + x − 1 > −x + 3 x + ( x − 1) > − x + 3 x + ( − x + 3) > x − 1 ⇔ x + − x + 3 > x − 1 ⇔ x − 1 + −x + 3 > x ( x − 1) + ( − x + 3) > x 2 x + x > 3 + 1 ⇔ 3 + 1 > x − 1 + 3 > x 3 x > 4 4 > x ⇔ 2 > x 4 x > 3 x < 4 ⇔ x < 2 Odp.: Przy okrągłym stole siedzieli kolejno (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) reprezentanci wysp: Zagadkowej, Alfabetycznej, Malutkiej, Bim-Bam-Bum, Wamaku i Nieforemnej. 4 <x<2 3 listopad Pokaż, że gdy n jest liczbą naturalną, to liczba podzielna przez 6. n5 − n3 jest Rozwiązanie zadania n5 − n3 = n3 (n 2 − 1) = n3 (n − 1)(n + 1) = nnn(n − 1)(n + 1) n, n-1, n-2 są to kolejne liczby całkowite, tak więc jedna z nich musi być podzielna przez 2, druga przez 3. Zatem iloczyn trzech kolejnych liczb dzieli się przez 6. 7 Przy brydżu Czterej moi przyjaciele spędzili wieczór przy brydżu, przy jednym bardzo długim stole- i tak go wspominają: Pan Abacki- Siedziałem na pozycji S. Po mojej prawej stronie siedział Babacki. Pan Babacki:- Siedziałem na pozycji E. Po mojej prawej stronie siedział Abacki. Pan Cabacki- Siedziałem na pozycji N. Po mojej prawej stronie siedział Dabacki. Pan Dabacki:- Siedziałem na pozycji S. Po mojej prawej stronie siedział Cabacki. Łatwo się domyślić, że moi przyjaciele mają, niestety, krótką pamięć- nie wszystkie ich informacje są zgodne z prawdą. Gdybym jednak wiedział, ile z powyższych ośmiu stwierdzeń jest fałszywych, mógłbym wydedukować, jak siedzieli przy stoliku. Kto z kim i przeciw komu grał w brydża? 3 Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne” 8 Odp.: Abacki (pozycja S) gra z Cabackim(N) przeciwko Babackiemu (E) z Dabackim(W). Istnieją dwadzieścia cztery możliwe sposoby siedzenia prze stoliku. Tylko ten jeden z nich nie daje rozwiązań alternatywnych. Wyścigi W dorocznych wyścigach konnych na Wyspie Zagadkowej startowało dziewięć koni. Odbyły się trzy gonitwy. Miejscowa prasa oczywiście typowała zwycięzców poszczególnych gonitw. „Gazeta Zagadkowa” podała trzy typy: Abel, Dabel, Gabel. „Express Zagadkowy” typował: babel, Ebel, Gabel. „Sztandar Wyspiarski” radził obstawiać: Cabel, Fabel, Habel. „Głos Zagadkowy” podał typy: Babel, Fabel, Ibel. „Kurier Zagadkowy” typował: Cabel, Dabel, Gabel. Wreszcie „Dziennik Zagadkowy” radził obstawiać: Abel, Ebel, Ibel. Po wyścigach okazało się, że każda z gazet trafnie określiła co najmniej jednego ze zwycięsców, choć żadna nie wytypowała trafnie wszystkich trzech. Które konie wygrały kolejne trzy gonitwy? Odp.: Kolejne gonitwy wygrały: Abel, Fabel, Gabel. Słowniczek dużych problemów Umieć – rozumieć Mniejsza część uczniów uczy się matematyki na pamięć. Pytając o rozwiązanie zadania interesuje ich JAK je zrobić, a nie DLACZEGO TAK JEST. Metoda ta jest skuteczna na krótką metę-zawsze szybciej można nauczyć się sposobu rozwiązywania danego zadań. Tym sposobem można zaliczyć klasówkę, lecz powoduje że po pewnym czasie zapominamy sposobu rozwiązywania lub mylimy go z innym. Najbardziej trwałym sposobem zapamiętywania jest rozumienie problemu DLACZEGO? Nie można jednak liczyć na to że uczniowie będą się nad tym zastanawiać- trzeba ich do tego mobilizować .Wprowadzając nowy temat wyjaśniamy z czego wynikają wprowadzone algorytmy. Uwaga uczniów jest skoncentrowana na pytaniu JAK mają to zrobić? Uczniowi który już wie np. jak sprawdzić podzielność przez 5 czy obliczyć pole trapezu łatwiej jest wyjaśnić DLACZEGO tak to się robi niż uczniowi który pierwszy raz się z tym zetknął. W zadaniach rozwiązanych przez uczniów warto pytać: DLACZEGO tak to rozwiązałeś? Pozwoli to danej osobie zastanowić się nad problemem i logicznie go uzasadnić. Pamiętajmy! Niektóre typowe zadania (np. obliczanie pól czy objętości) można bez problemu rozwiązać za pomocą wzoru, nie rozumiejąc wcale na czym polega pole czy objętość figury. W wypadku błędnych rozwiązań warto się skupić na tłumaczeniu DLACZEGO jest źle, a nie na samym wskazaniu JAK powinno być. Oczywiście uczniowie powinni pewne rzeczy znać na pamięć (np. tabliczkę mnożenia, wzory). Oprócz tego podać chociaż nieformalne znaczenie wzoru. Paulina Cajler 9 10 Analfabetyzm matematyczny4 Samouczek zadaniowy Zadanie Namiot kosztuje 300 zł. Najpierw cenę podwyższono o 10%, a po sezonie obniżono o 10%. Czy po sezonie cena była wyższa , czy niższa od początkowej? Rozwiązanie: 300 zł-cena początkowa 10% · 300= 10 ·300 = 30 100 podwyżki 300 + 30 = 330 podwyżce 10% · 330 = 10 · 330 = 33 100 330 - 33 = 297 wysokość cena namiotu po wysokość obniżki cena namiotu po obniżce Odp. Po sezonie cena namiotu była niższa od początkowej. Można by sądzić, że jeżeli cena wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%, to wróciła do początkowej wartości. Ale tak nie jest, ponieważ było to 10% rożnych liczb. Wzrost ceny stanowił 10% ceny niższej, natomiast spadek stanowił 10% ceny wyższej. Dlatego wysokość obniżki była większa niż wysokość podwyżki. W efekcie końcowa cena się zmniejszyła. Adrian Szymański Wielkie liczby, małe prawdopodobieństwa Nasza umiejętność posługiwania się liczbami jest raczej na niskim poziomie. Niestety większość z nas ma problemy z oszacowaniem pewnych wielkości i nie ma pojęcia , ile mieszkańców liczy Polska, jaka jest odległość między wybrzeżem, a górami. Bez umiejętności oceny dużych liczb nie można reagować właściwie. Brak wyczucia prawdopodobieństwa zdarzenia może spowodować jego zbagatelizowanie(ryzyko wypadku samochodowego). Co roku na amerykańskich drogach ginie około 45 tys. osób. Jest to duża liczba, której odpowiada małe prawdopodobieństwo. Jednak analfabeta matematyczny będzie twierdził, że to właśnie on będzie jedną z ofiar. Taka personifikacja (odnoszenie wszystkiego do siebie) jest cecha charakterystyczną osób cierpiących na analfabetyzm. Wiele również wykształconych ludzi często nie ma wyczucia do dużych liczb, mylą miliony z miliardami, miliardy z bilionami ..., nie kojarzą, że milion to 1 000 000, miliard to 1 000 000 000, .... Świadectwem matematycznej ignorancji przez lekarzy jest ich ocena ryzyka operacji. Lekarz w ciągu 20 minut twierdzi, że planowany zbieg: • wiąże się z ryzykiem jak jeden do miliona, • jest 99 procentach bezpieczny, • zazwyczaj przebiega bez komplikacji. Dla czytelniejszego i łatwiejszego zapisu dużych i małych liczb używa się często notacji wykładniczej. Dowcip „Wieloletnie małżeństwo – oboje po dziewięćdziesiątce – występują o rozwód. Prawnik stara się odwieść od tego zamiaru: „Po co rozwodzić się po siedemdziesięciu latach małżeństwa ? Dlaczego nie dotrwacie do końca ? I dlaczego właśnie teraz ?!” Na co starsza pani wyjaśnia piskliwym głosem: „To ze względu na dzieci. Woleliśmy poczekać, aż umrą” ” Nikola Krawiec 4 11 John Allen Paulos „Analfabetyzm matematyczny i jego skutki” 12 Jak walczyć ze stresem? Rachunek prawdopodobieństwa Szkoła z natury jest stresogenna. Uczenie się, zdawanie egzaminów, odpowiedzi ustne – to wszystko przysparza wielu różnych problemów. Jednym z nich jest stres. Jak się przejawia? Na różne sposoby – jedni nie mogą zasnąć, inni mają problemy żołądkowe, pocące się dłonie. Czasem odczuwamy stres w czasie samych egzaminów. Nagle okazuje się, że nie potrafimy zrozumieć treści pytań, denerwujemy się tak bardzo, że nasza zdolność koncentracji spada niemal do zera, ciało drży, a z gardła wydobywa się dziwny głos. Lekki stres powoduje podniesienie poziomu koncentracji, co z kolei wpływa na efektywność naszych poczynań. Problemy zaczynają się wówczas, gdy stres jest zbyt duży lub trwa długo. Jest na to wiele metod: 1.Dobrze się odżywiaj; jedz dużo warzyw i owoców. 2.Rob częste przerwy w nauce. 3.Staraj się spędzać czas wśród zieleni . 4. Jeśli rzadko ćwiczysz to koniecznie wybierz się na basen, siłownie lub przejażdżkę rowerem. 5.Weż orzeźwiający prysznic. 6.Stosuj ćwiczenia oddechowe. Metody te nie wymagają wiele wysiłku. Aby były skuteczne, musicie spełnić jeden podstawowy warunek: POSTARAJCIE SIĘ ZAPOMNIEĆ O KŁOPOTACH. Jeśli wam się uda, metody te okażą się na tyle skuteczne, aby uwolnić was od nadmiernego stresu. Weronika Hynas Prawdopodobieństwo ma wpływ na całe nasze życie. Jutro możemy wylosować nagrodę, albo ulec wypadkowi. Nie możemy ze stuprocentową pewnością przewidzieć co nas spotka, jednak dysponując pewną wiedzą jesteśmy w stanie określić jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dana rzecz wydarzy się bądź nie. Przypuśćmy teraz, że rzucamy dwiema monetami równocześnie. Możliwe rezultaty to: dwa orły, dwie reszki, orzeł i reszka. Można więc oczekiwać, że prawdopodobieństwo każdego z nich wynosi 1/3. Jednak kiedy rzucimy monetami 100 razy okaże się, że orzeł wypadł 25 razy, tyle samo reszka, natomiast kombinacja orła i reszki wypadła około 50 razy. Wygląda więc na to, że prawdopodobieństwo rozkłada się inaczej: ¼ (25/100) dla orła, tyle samo dla reszki, a ½ (50/100) dla kombinacji. Dlaczego się tak dzieje? Odpowiedź na pytanie stanie się prosta, jeśli do rzutów użyjemy jednej monety srebrnej i jednego miedziaka. Kombinacja ,,orzeł/reszka’’ wypada na dwa sposoby – miedziany orzeł i srebrna reszka lub srebrny orzeł i miedziana reszka. Tak więc w sumie wszystkich możliwych rezultatów mamy cztery a nie trzy. Szanse w tym przypadku układają się następująco: 2 do 1 przeciwko dwóm orłom, 2 do 1 przeciwko dwóm reszkom oraz 1 przeciw 1 na wypadnięcie orła z reszką. Jeśli rzucalibyśmy 4 monetami to rezultatem mogą być 4 orły. 5 możliwych kombinacji takiego rzutu można osiągnąć na 16 sposobów. Najbardziej prawdopodobne jest uzyskanie 2 orłów i 2 reszek (6 przypadków). Nikola Krawiec 13 14 Ściągać, czy nie? Najważniejszy egzamin. Będziesz rozsądny czy zamierzasz ściągać. - Podobno za ściąganie się wylatuje! - powiedział Damian i zaraz dodał - Jak mnie złapią to też leżę - Chyba nie masz zamiaru ściągać? - zapytał Mariusz. - Jasne , że mam – beztrosko odparł Damian. – Nie jestem tak obkuty jak ty i nie mam wyjścia. - Głupio robisz – zaczął Mariusz, ale odruchowo dotknął prawej kieszeni. Sprawdzał, czy wszystko jest w porządku. - Czy musicie gadać o ściąganiu? - denerwowała się Justyna. - Musimy. Ja wczoraj przez cały dzień uczyłem się na pamięć, gdzie co mam jaką ściągę. - Damian dotknął się w okolicach biodra – matma, tu – dotknął się z lewej strony – fizyka. Jestem dobrze przygotowany. O rany, już się zaczyna. Mariusz wiedział ,że to jego najważniejszy egzamin w życiu. Co zrobi Damian? Będzie rozsądny, czy podda się wiedzy o tym, że nic nie umie i będzie korzystał z przygotowanych ściąg? Wersja A Damian przejrzał jeszcze raz test i odpowiedzi. Uważał, że wszystko ma dobrze, ale jednego pytania nie był pewien. Wiedział dobrze, że ma ściągę, która pomogłaby mu w tym pytaniu, ale nie wyciągną tylko przemyślał jeszcze raz swój wybór i zakreślił odpowiedź strzelając. Po egzaminie okazało się, że jego odpowiedź była poprawna. Uświadomił sobie, że nawet bez ściąg, można rozwiązać test. Julita Rzepczak klasa IIId 15