nr 5

Spis treści
Spis treści ...................................................................................... 1
Ściągać, czy nie?................................................ 15
Cyfry różnych narodów i epok.............................................. 2
Rzym ................................................................................................. 2
Cyfry różnych narodów i epok1
Grecja ............................................................................................... 2
Konkursy ........................................................................................ 4
Zadania miesiąca................................................................................. 4
Łamigłówki ......................................................................................... 5
Rozwiązanie zadań konkursowych ..................................... 6
Zadania miesiąca................................................................................. 6
Łamigłówki logiczne ............................................................................. 8
Słowniczek dużych problemów........................................... 10
Rzym
Cyfry rzymskie są znane i używane obecnie np.: na tarczach
zegarów, na tablicach pamiątkowych, w numeracji kart książek.
W rzymskim systemie liczbowym używano następującej numeracji:
I=1, V=5, X=10, L=50, C=100(łac.centum), 500=D,
M=1000(łac.mille).Jest to system addytywny, niepozycyjnym, bez
zera, w którym znaki specjalne to V, L, D. Rzymianie liczby pisali za
pomocą cyfr stosując zasadę
dodawania LX=60 (50+10) MC=1100 (1000+100)
lub odejmowania XL=40 (50-10=40) CM=900 (1000-!00=900).
Dla zapisania dużych licz stosowano:
mnożenia przez 100
|X|=1000,
mnożenie przez 1000
X = 10 000.
Umieć – rozumieć .............................................................................. 10
Samouczek zadaniowy............................................................ 11
Analfabetyzm matematyczny............ Błąd! Nie zdefiniowano
zakładki.
Wielkie liczby, małe prawdopodobieństwa .............................................. 12
Grecja
Grecy posługiwali się dwoma rodzajami znaków cyfrowych:
ateńskimi i jońskimi.
Cyfr ateńskich używał Pitagoras, Platon i Arystoteles . Znaki Π ,
∆ , H, X, M są początkowymi literami odpowiednich słów: pente (5),
deka (10), hekaton (100), chilios (1000) i myrias (10000). Grecy
stosowali również skróty:
Jak walczyć ze stresem?....................................................... 13
Rachunek prawdopodobieństwa......................................... 14
1
1
Stanisław Kowal „Przez rozrywkę do wiedzy”
2
Jońskimi cyframi były litery alfabetu:
Konkursy
Zadania miesiąca
styczeń
Wiedząc, że
a
1
=
oblicz
a+b 3
b
.
b+a
luty
Do oznaczenia liczb 6, 90 i 900 stosowano dodatkowe znaki. System
ten oparty jest na zasadzie dziesiętnej, ale bez zer.
Aby napisaną liczbę odróżnić od słowa, stawiano nad nią kreskę.
Cyframi jońskimi posługiwał się Euklides, Heron, Diofantos
Archimedes, ....
Numeracja hieroglificzna i alfabetyczna ma wady:
- zapisywanie dużych liczb wymaga stosowania nowych znaków,
- wykonywanie działań na liczbach jest trudne.
Samochód wyjechał z miejscowości A do B. Połowę drogi przebył z
prędkością 60km/h, a pozostałą część drogi z prędkością 40km/h.
Jaka była średnia prędkość samochodu ?
marzec
Rozwiąż równanie
 11

810
7
 − 2 • 8 + 4 * 9 x − 8 * x  : 4 7 = −3 2
4


3
4
Rozwiązanie zadań konkursowych
Łamigłówki2
Córki i synowie
Zadania miesiąca
Pewna pani powiada:
Mam pięcioro dzieci, w tym co najmniej jedną córkę i co najmniej jednego syna.
Oto pięć informacji o moich dzieciach:
Najstarsze z dzieci jest innej płci niż najmłodsze.
Drugie co do wieku dziecko ma trzy siostry.
Trzecie co do wieku dziecko ma jedną starszą i jedną młodszą siostrę.
Czwarte co do wieku dziecko ma młodszego brata.
Najmłodsze z dzieci ma trzech braci.
Jeszcze dwie sprawy dodatkowe: nie mam bliźniąt, wszystkie zaś informacje o
moich dzieciach jednej płci są prawdziwe, ale o dzieciach drugiej płci- fałszywe.
Jakiej płci jest każde z dzieci tej pani i jaka jest kolejność ich starszeństwa?
wrzesień
Między jakimi kolejnymi liczbami naturalnymi znajduje się liczba
55 + 5 55 + 5 5
rozwiązanie zadania
4< 5< 9,
Zachodzi nierówność
więc
Dyplomata
Spytałem znajomego dyplomatę, co sądzi o sprawie. Oto jego odpowiedź:
-Wprawdzie nie zaprzeczam, iż nie będę głosował, że nie jestem na „nie”,
jednakże będę glosował, że nie powiem „nie” w sprawie, w której nigdy dotąd nie
mówiłem „tak”.
Co właściwie odpowiedział dyplomata?
55 + 5 55 + 5 4 < 55 + 5 55 + 5 5 < 55 + 5 55 + 5 9
55+ 5 55+ 5 5 < 55+ 5 55+ 5 9 = 55+ 5 55+ 5• 3 = 55+ 5 70 < 55+ 5 81 = 55+ 45 = 100= 10
Czyli
Wyprawy wojenne
Podczas Wielkich Wojen postanowiono na Wyspie Zagadkowej podjąć
jednocześnie cztery wyprawy przeciwko wrogim wyspom. Dla
zapewnienia pełnego powodzenia zasięgnięto rady Nieomylnej
Wyroczni, który z wodzów powinien poprowadzić którą wyprawę. Oto
co powiedziała Wyrocznia:
-Jeżeli Regu nie wyruszy przeciwko Wabu a Megu przeciwko Gabu,
to Tegu musi uderzyć na Zabu;
-jeżeli Wegu nie ruszy przeciwko Wabu, to Megu musi uderzyć na
Zabu lub Kabu;
-jeżeli Regu nie uderzy na Zabu a Wegu nie ruszy na Kabu, to Tegu musi
uderzyć na Gabu lub Wabu;
-wszystkie wyprawy zakończą się sukcesem, jeżeli Wegu uderzy na Gabu lub
Tegu na Kabu lub Megu na Wabu.
Kto na kogo uderzy, jeżeli zgodnie z przepowiednią Wyroczni podbito
wszystkie wyspy?
2
55 + 5 55 + 5 5 < 10
55+ 5 55+ 5 5 > 55+ 5 55+ 5 4 = 55+ 5 55+ 5 • 2 = 55+ 5 65 > 55+ 5 64 = 55+ 40 = 95> 81= 9
czyli
55 + 5 55 + 5 5 > 9
więc
9 < 55+ 5 55+ 5 5 < 10
Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne”
5
6
październik
Łamigłówki logiczne3
Dla jakiej wartości zmiennej x istnieje trójkąt o bokach długości x,
x-1, -x+3?
Dyplomaci
Dyplomaci- przedstawiciele sześciu wysp- wspominają spotkanie
sprzed lat przy okrągłym stole.
Reprezentant Wyspy Zagatkowej powiada:- Po mojej prawej
stronie siedział reprezentant Wyspy Nieforemnej.
Reprezentant wyspy Wamaku powiedział:- Po mojej lewej stronie
siedział reprezentant Wyspy Zagadkowej.
Reprezentant wyspy Bim-Bam-Bum powiada:- Po mojej prawej
stronie siedział reprezentant Wyspy Malutkiej.
Reprezentant Wyspy Nieforemnej powiada:- Siedziałem po lewej
stronie reprezentanta wyspy Wamaku.
Reprezentant Wyspy Malutkiej powiada:- Po mojej prawej stronie
siedział reprezentant Wyspy Alfabetycznej.
Reprezentant Wyspy Alfabetycznej powiada:- Siedziałem po
prawej stronie reprezentanta wyspy Bim-Bam-Bum.
Dyplomaci, jak to dyplomaci, czasami mijają się z prawdą. Tym
razem dwaj z nich kłamali.
Jak kolejno siedzieli przy okrągłym stole przedstawiciele wysp?
rozwiązanie zadania
Boki trójkąta muszą być dodatniej długości i spełniać tzw.
nierówność trójkąta.
x + x − 1 > −x + 3
 x + ( x − 1) > − x + 3


 x + ( − x + 3) > x − 1 ⇔  x + − x + 3 > x − 1 ⇔
x − 1 + −x + 3 > x
 ( x − 1) + ( − x + 3) > x


2 x + x > 3 + 1

⇔
3 + 1 > x
− 1 + 3 > x

3 x > 4

4 > x ⇔
2 > x

4

x > 3

x < 4 ⇔
x < 2

Odp.: Przy okrągłym stole siedzieli kolejno (zgodnie z ruchem
wskazówek zegara) reprezentanci wysp: Zagadkowej, Alfabetycznej,
Malutkiej, Bim-Bam-Bum, Wamaku i Nieforemnej.
4
<x<2
3
listopad
Pokaż, że gdy n jest liczbą naturalną, to liczba
podzielna przez 6.
n5 − n3
jest
Rozwiązanie zadania
n5 − n3 = n3 (n 2 − 1) = n3 (n − 1)(n + 1) = nnn(n − 1)(n + 1)
n, n-1, n-2 są to kolejne liczby całkowite, tak więc jedna z nich musi
być podzielna przez 2, druga przez 3. Zatem iloczyn trzech kolejnych
liczb dzieli się przez 6.
7
Przy brydżu
Czterej moi przyjaciele spędzili wieczór przy brydżu, przy jednym
bardzo długim stole- i tak go wspominają:
Pan Abacki- Siedziałem na pozycji S. Po mojej prawej stronie
siedział Babacki.
Pan Babacki:- Siedziałem na pozycji E. Po mojej prawej stronie
siedział Abacki.
Pan Cabacki- Siedziałem na pozycji N. Po mojej prawej stronie
siedział Dabacki.
Pan Dabacki:- Siedziałem na pozycji S. Po mojej prawej stronie
siedział Cabacki.
Łatwo się domyślić, że moi przyjaciele mają, niestety, krótką
pamięć- nie wszystkie ich informacje są zgodne z prawdą. Gdybym
jednak wiedział, ile z powyższych ośmiu stwierdzeń jest fałszywych,
mógłbym wydedukować, jak siedzieli przy stoliku.
Kto z kim i przeciw komu grał w brydża?
3
Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne”
8
Odp.: Abacki (pozycja S) gra z Cabackim(N) przeciwko Babackiemu
(E) z Dabackim(W).
Istnieją dwadzieścia cztery możliwe sposoby siedzenia prze
stoliku. Tylko ten jeden z nich nie daje rozwiązań alternatywnych.
Wyścigi
W dorocznych wyścigach konnych na Wyspie Zagadkowej startowało
dziewięć koni. Odbyły się trzy gonitwy. Miejscowa prasa oczywiście
typowała zwycięzców poszczególnych gonitw.
„Gazeta Zagadkowa” podała trzy typy: Abel, Dabel, Gabel.
„Express Zagadkowy” typował: babel, Ebel, Gabel.
„Sztandar Wyspiarski” radził obstawiać: Cabel, Fabel, Habel.
„Głos Zagadkowy” podał typy: Babel, Fabel, Ibel.
„Kurier Zagadkowy” typował: Cabel, Dabel, Gabel.
Wreszcie „Dziennik Zagadkowy” radził obstawiać: Abel, Ebel, Ibel.
Po wyścigach okazało się, że każda z gazet trafnie określiła co
najmniej jednego ze zwycięsców, choć żadna nie wytypowała trafnie
wszystkich trzech.
Które konie wygrały kolejne trzy gonitwy?
Odp.: Kolejne gonitwy wygrały: Abel, Fabel, Gabel.
Słowniczek dużych problemów
Umieć – rozumieć
Mniejsza część uczniów uczy się matematyki na pamięć. Pytając o
rozwiązanie zadania interesuje ich JAK je zrobić, a nie DLACZEGO
TAK JEST. Metoda ta jest skuteczna na krótką metę-zawsze szybciej
można nauczyć się sposobu rozwiązywania danego zadań. Tym
sposobem można zaliczyć klasówkę, lecz powoduje że po pewnym
czasie zapominamy sposobu rozwiązywania lub mylimy go z innym.
Najbardziej trwałym sposobem zapamiętywania jest rozumienie
problemu DLACZEGO? Nie można jednak liczyć na to że uczniowie
będą się nad tym zastanawiać- trzeba ich do tego mobilizować
.Wprowadzając nowy temat wyjaśniamy z czego wynikają
wprowadzone algorytmy. Uwaga uczniów jest skoncentrowana na
pytaniu JAK mają to zrobić? Uczniowi który już wie np. jak
sprawdzić podzielność przez 5 czy obliczyć pole trapezu łatwiej jest
wyjaśnić DLACZEGO tak to się robi niż uczniowi który pierwszy raz
się z tym zetknął. W zadaniach rozwiązanych przez uczniów warto
pytać: DLACZEGO tak to rozwiązałeś? Pozwoli to danej osobie
zastanowić się nad problemem i logicznie go uzasadnić. Pamiętajmy!
Niektóre typowe zadania (np. obliczanie pól czy objętości) można bez
problemu rozwiązać za pomocą wzoru, nie rozumiejąc wcale na
czym polega pole czy objętość figury. W wypadku błędnych
rozwiązań warto się skupić na tłumaczeniu DLACZEGO jest źle, a
nie na samym wskazaniu JAK powinno być.
Oczywiście uczniowie powinni pewne rzeczy znać na pamięć (np.
tabliczkę mnożenia, wzory). Oprócz tego podać chociaż nieformalne
znaczenie wzoru.
Paulina Cajler
9
10
Analfabetyzm matematyczny4
Samouczek zadaniowy
Zadanie
Namiot kosztuje 300 zł. Najpierw cenę podwyższono o 10%, a po
sezonie obniżono o 10%. Czy po sezonie cena była wyższa , czy
niższa od początkowej?
Rozwiązanie:
300 zł-cena początkowa
10% · 300= 10 ·300 = 30
100
podwyżki
300 + 30 = 330
podwyżce
10% · 330 = 10 · 330 = 33
100
330 - 33 = 297
wysokość
cena namiotu po
wysokość obniżki
cena namiotu po obniżce
Odp. Po sezonie cena namiotu była niższa od początkowej.
Można by sądzić, że jeżeli cena wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%,
to wróciła do początkowej wartości. Ale tak nie jest, ponieważ było to
10% rożnych liczb. Wzrost ceny stanowił 10% ceny niższej, natomiast
spadek stanowił 10% ceny wyższej. Dlatego wysokość obniżki była
większa niż wysokość podwyżki. W efekcie końcowa cena się
zmniejszyła.
Adrian Szymański
Wielkie liczby, małe prawdopodobieństwa
Nasza umiejętność posługiwania się liczbami jest raczej na niskim
poziomie. Niestety większość z nas ma problemy z oszacowaniem
pewnych wielkości i nie ma pojęcia , ile mieszkańców liczy Polska,
jaka jest odległość między wybrzeżem, a górami.
Bez umiejętności oceny dużych liczb nie można reagować
właściwie. Brak wyczucia prawdopodobieństwa zdarzenia może
spowodować jego zbagatelizowanie(ryzyko wypadku
samochodowego).
Co roku na amerykańskich drogach ginie około 45 tys. osób. Jest to
duża liczba, której odpowiada małe prawdopodobieństwo. Jednak
analfabeta matematyczny będzie twierdził, że to właśnie on będzie
jedną z ofiar. Taka personifikacja (odnoszenie wszystkiego do siebie)
jest cecha charakterystyczną osób cierpiących na analfabetyzm.
Wiele również wykształconych ludzi często nie ma wyczucia do
dużych liczb, mylą miliony z miliardami, miliardy z bilionami ..., nie
kojarzą, że milion to 1 000 000, miliard to 1 000 000 000, ....
Świadectwem matematycznej ignorancji przez lekarzy jest ich ocena
ryzyka operacji. Lekarz w ciągu 20 minut twierdzi, że planowany
zbieg:
• wiąże się z ryzykiem jak jeden do miliona,
• jest 99 procentach bezpieczny,
• zazwyczaj przebiega bez komplikacji.
Dla czytelniejszego i łatwiejszego zapisu dużych i małych liczb
używa się często notacji wykładniczej.
Dowcip
„Wieloletnie małżeństwo – oboje po dziewięćdziesiątce – występują o
rozwód. Prawnik stara się odwieść od tego zamiaru: „Po co rozwodzić
się po siedemdziesięciu latach małżeństwa ? Dlaczego nie dotrwacie
do końca ? I dlaczego właśnie teraz ?!” Na co starsza pani wyjaśnia
piskliwym głosem: „To ze względu na dzieci. Woleliśmy poczekać, aż
umrą” ”
Nikola Krawiec
4
11
John Allen Paulos „Analfabetyzm matematyczny i jego skutki”
12
Jak walczyć ze stresem?
Rachunek prawdopodobieństwa
Szkoła z natury jest stresogenna. Uczenie się, zdawanie egzaminów,
odpowiedzi ustne – to wszystko przysparza wielu różnych
problemów. Jednym z nich jest stres. Jak się przejawia? Na różne
sposoby – jedni nie mogą zasnąć, inni mają problemy żołądkowe,
pocące się dłonie. Czasem odczuwamy stres w czasie samych
egzaminów. Nagle okazuje się, że nie potrafimy zrozumieć treści
pytań, denerwujemy się tak bardzo, że nasza zdolność koncentracji
spada niemal do zera, ciało drży, a z gardła wydobywa się dziwny
głos. Lekki stres powoduje podniesienie poziomu koncentracji, co z
kolei wpływa na efektywność naszych poczynań. Problemy zaczynają
się wówczas, gdy stres jest zbyt duży lub trwa długo.
Jest na to wiele metod:
1.Dobrze się odżywiaj; jedz dużo warzyw i owoców.
2.Rob częste przerwy w nauce.
3.Staraj się spędzać czas wśród zieleni .
4. Jeśli rzadko ćwiczysz to koniecznie wybierz się na basen, siłownie
lub przejażdżkę rowerem.
5.Weż orzeźwiający prysznic.
6.Stosuj ćwiczenia oddechowe.
Metody te nie wymagają wiele wysiłku. Aby były skuteczne, musicie
spełnić
jeden
podstawowy
warunek:
POSTARAJCIE
SIĘ
ZAPOMNIEĆ O KŁOPOTACH. Jeśli wam się uda, metody te okażą
się na tyle skuteczne, aby uwolnić was od nadmiernego stresu.
Weronika Hynas
Prawdopodobieństwo ma wpływ na całe nasze życie. Jutro
możemy wylosować nagrodę, albo ulec wypadkowi. Nie możemy ze
stuprocentową pewnością przewidzieć co nas spotka, jednak dysponując
pewną wiedzą jesteśmy w stanie określić jakie jest prawdopodobieństwo
tego, że dana rzecz wydarzy się bądź nie.
Przypuśćmy teraz, że rzucamy dwiema monetami równocześnie.
Możliwe rezultaty to: dwa orły, dwie reszki, orzeł i reszka. Można
więc oczekiwać, że prawdopodobieństwo każdego z nich wynosi 1/3.
Jednak kiedy rzucimy monetami 100 razy okaże się, że orzeł
wypadł 25 razy, tyle samo reszka, natomiast kombinacja orła i reszki
wypadła około 50 razy. Wygląda więc na to, że prawdopodobieństwo
rozkłada się inaczej: ¼ (25/100) dla orła, tyle samo dla reszki, a ½
(50/100) dla kombinacji. Dlaczego się tak dzieje? Odpowiedź na
pytanie stanie się prosta, jeśli do rzutów użyjemy jednej monety
srebrnej i jednego miedziaka. Kombinacja ,,orzeł/reszka’’ wypada na
dwa sposoby – miedziany orzeł i srebrna reszka lub srebrny orzeł i
miedziana reszka. Tak więc w sumie wszystkich możliwych
rezultatów mamy cztery a nie trzy. Szanse w tym przypadku układają
się następująco: 2 do 1 przeciwko dwóm orłom, 2 do 1 przeciwko
dwóm reszkom oraz 1 przeciw 1 na wypadnięcie orła z reszką. Jeśli
rzucalibyśmy 4 monetami to rezultatem mogą być 4 orły. 5
możliwych kombinacji takiego rzutu można osiągnąć na 16
sposobów. Najbardziej prawdopodobne jest uzyskanie 2 orłów i 2
reszek (6 przypadków).
Nikola Krawiec
13
14
Ściągać, czy nie?
Najważniejszy egzamin. Będziesz rozsądny czy zamierzasz ściągać.
- Podobno za ściąganie się wylatuje!
- powiedział Damian i zaraz dodał
- Jak mnie złapią to też leżę
- Chyba nie masz zamiaru ściągać?
- zapytał Mariusz.
- Jasne , że mam – beztrosko odparł Damian. – Nie jestem tak
obkuty jak ty i nie mam wyjścia.
- Głupio robisz – zaczął Mariusz, ale odruchowo dotknął prawej
kieszeni.
Sprawdzał, czy wszystko jest w porządku.
- Czy musicie gadać o ściąganiu?
- denerwowała się Justyna.
- Musimy. Ja wczoraj przez cały dzień uczyłem się na pamięć, gdzie
co mam jaką ściągę.
- Damian dotknął się w okolicach biodra – matma, tu – dotknął się z
lewej strony – fizyka. Jestem dobrze przygotowany. O rany, już się
zaczyna.
Mariusz wiedział ,że to jego najważniejszy egzamin w życiu.
Co zrobi Damian? Będzie rozsądny, czy podda się wiedzy o tym, że
nic nie umie i będzie korzystał z przygotowanych ściąg?
Wersja A
Damian przejrzał jeszcze raz test i odpowiedzi. Uważał, że wszystko
ma dobrze, ale jednego pytania nie był pewien. Wiedział dobrze, że
ma ściągę, która pomogłaby mu w tym pytaniu, ale nie wyciągną
tylko przemyślał jeszcze raz swój wybór i zakreślił odpowiedź
strzelając.
Po egzaminie okazało się, że jego odpowiedź była poprawna.
Uświadomił sobie, że nawet bez ściąg, można rozwiązać test.
Julita Rzepczak
klasa IIId
15