PRM. Liczby niewymierne, MZP. - Romuald Kędzierski

Liczby rzeczywiste
Temat:
Liczby niewymierne
Nauczyciel:
dr inż.
Romuald Kędzierski
Jaki zbiór liczb nazywamy liczbami niewymiernymi?
Tego typu liczby odkryli Pitagorejczycy w związku z
twierdzeniem Pitagorasa.
(VI wiek p.n.e.)
Założenie:
Dany jest trójkąt prostokątny, w którym długość
każdej z przyprostokątnych wynosi 1
Ile wynosi długość
przeciwprostokątnej c?
ok. 572 p.n.e – ok. 497 p.n.e
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
Problem:
Czy liczba
Załóżmy, że liczba ta
jest wymierna
jest liczbą wymierną?
Można ją przedstawić jako
iloraz dwóch liczb
całkowitych n i m (m≠0)
Nieskracalnych!
Jedna z liczb m, n musi
być nieparzysta!
Po podniesieniu obustronnie do kwadratu:
Liczba po lewej stronie jest
parzystą, dlatego taką liczbą jest
też liczba po stronie prawej!
Kwadrat każdej liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą.
Z kolei kwadrat każdej liczby parzystej jest liczbą parzystą.
Zatem liczba n jest liczbą parzystą!
Oznacza to, że istnieje taka liczba naturalna k, że zachodzi:
Stąd:
Liczba po prawej stronie jest parzystą, dlatego taką liczbą jest też
liczba po stronie lewej!
Wniosek:
Zatem również liczba m musi być liczbą parzystą!
Przy założeniu, że liczba pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną,
doszliśmy do wniosku, że liczby m i n muszą być liczbami parzystymi.
Skoro liczby m i n miały być nieskracalne, to obie nie mogą być liczbami
parzystymi, gdyż można byłoby je skrócić przez 2!
Wychodząc z założenia, że liczba pierwiastek z dwóch jest liczbą
wymierną doszliśmy do sprzeczności!
Zatem przyjęte założenie
jest nieprawdziwe!
Liczba
NIE jest liczbą wymierną!
Jest zatem liczbą niewymierną!
Uwaga:
Tego typu dowód nosi nazwę dowodu nie wprost.
(łac. reductio ad absurdum)
(sprowadzenie do sprzeczności)
a. Suma (różnica) liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną
b. Iloczyn liczby wymiernej (≠0) i niewymiernej jest liczbą niewymierną
Definicje
Zbiorem liczb niewymiernych nazywamy wszystkie liczby
rzeczywiste, które nie są liczbami wymiernymi.
Zbiór tych liczb oznacza się symbolami:
lub
Zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy wszystkie liczby, które
są liczbami wymiernymi lub niewymiernymi.
Zbiór tych liczb oznacza się symbolem:
Schematyczne przedstawienie zbioru liczb rzeczywistych
Liczby rzeczywiste
Liczby wymierne
Liczby
niewymierne
Liczby całkowite
Liczby naturalne
Jeśli matematyka jest
królową nauk, to …
królową matematyki jest…
teoria liczb.
Carl Friedrich Gauss