Zadania na etap szkolny
Transkrypt
Zadania na etap szkolny
IV KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH Zadania I etapu Czas rozwiązania 90 minut POWODZENIA ! 1. Oblicz pole pierścienia wyznaczonego przez okrąg wpisany i okrąg opisany na trójkącie równobocznym o boku 2 cm. (5p) 2. Liczba naturalna dwucyfrowa jest równa potrojonemu iloczynowi jej cyfr. Znajdź tę liczbę. x 8 3 − y = 3 3. RozwiąŜ układ równań: . x + 10 = 2 2 6 y 3 (7p) (6p) 4. Trzy kolejne boki pewnego czworokąta wypukłego mają długości 1 cm, 2 cm i 3 cm. Wyznacz długość czwartego boku tego czworokąta wiedząc, Ŝe jego przekątne są wzajemnie prostopadłe. (6p) 5. Do naczynia w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 4cm, 4 cm, 10 cm napełnionego napojem do 75% jego wysokości wrzucamy kawałki lodu w kształcie kuli o promieniu 1 cm. Ile maksymalnie kostek moŜna wrzucić do tego naczynia, tak (6p) aby nie spowodować wylania napoju z naczynia? ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zadanie 1. 1 a 3 2 a 3 r= ⋅ ; R= ⋅ 3 2 3 2 ( (1p) ) P = πR 2 − πr 2 = π R 2 − r 2 = a=2 cm r (1p) 2 2 1 1 = π a 3 − a 3 = 6 3 1 3 1 1 = π a 2 − a 2 = ⋅ πa 2 = πa 2 . 12 12 4 3 Podstawiając a = 2 cm otrzymujemy P = π cm 2 . R (2p) (1p) Zadanie 2. Oznaczmy: x – cyfra dziesiątek x ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (1p) y - cyfra jedności 10x+y – dana liczba dwucyfrowa Z warunków zadania wynika, Ŝe 10 x + y = 3 xy . Po przekształceniach otrzymujemy: x(3 y −10) = y . Aby to równanie miało rozwiązanie to 3 y − 10 > 0 i 3 y − 10 < 10 . Stąd otrzymujemy y ∈ {4,5,6}. Sprawdzając wyjściową równość dla otrzymanych x = 2 x = 1 y otrzymujemy , . y = 4 y = 5 Odpowiedź: Szukane liczby to 24 i 15. (1p) (1p) (1p) (1p) (1p) (1p) Zadanie 3. Podstawmy: 1 =t. y (1p) 1 x + 5 t = 4 3 3 Otrzymujemy następujący układ: , x 2 + 10t = 2 6 3 x + 15t = 13 a następnie . − x − 60t = −16 (2p) x = 12 Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb 1 . t = 15 (2p) x = 12 Wracając do pierwotnej zmiennej y otrzymujemy rozwiązanie . y = 15 (1p) Zadnie 4. A (1p) 1 c b B . d D a 2 (sporządzenie rysunku wraz z oznaczeniami) x 3 C Zastosujmy trzykrotnie twierdzenie Pitagorasa: a2 + b2 = 4 a2 + d 2 = 9 (2p) b + c =1 2 2 Dodajemy stronami drugie i trzecie równanie otrzymując: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 10 . (1p) Wykorzystując w powyŜszej równości pierwsze równanie otrzymujemy: c2 + d 2 = 6 . (1p) Stąd wynika, Ŝe x = 6 . (1p) Zadanie 5. Oznaczmy: V1 – objętość prostopadłościanu V2 – objętość cieczy wlanej do prostopadłościanu V3 - objętość wrzuconych kostek lodu V1= 4 ⋅ 4 ⋅ 10 = 160 cm 2 (1p) 3 (1p) V2= ⋅ 160 cm 2 = 120 cm 2 4 V2-V1=40 cm2 (1p) Aby obliczyć ilość kulek ( ozn. n ), które moŜna wrzucić do naczynia naleŜy rozwiązać 4 (1p) nierówność: 40 ≥ n ⋅ ⋅ π ⋅ 13 . 3 Przyjmując π ≈ 3,14 otrzymujemy n ≤ 9,55 . (1p) Odp: Do naczynia moŜna wrzucić maksymalnie 9 kostek lodu w kształcie kuli o promieniu 1 cm. (1p)