R - WikiDyd

Podstawy elektromagnetyzmu
Wykład 3
Elektrostatyka, cz. 1
Prawo Coulomba
q1 q2
F=k 2 1 q q
1 2
r
Notka historyczna:
1767: John Priestley - sugestia
1771: Henry Cavendish - eksperyment
1785: Charles Augustin de Coulomb - publikacja
B
q1
1
2 0
k=
=c
=c 2⋅10−7
4  0
4
k=8.988×10−9
 0 =8.854×10−12
q2
A
q2
C
q2
q1
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 2
q1
Pole elektryczne od
pojedynczego ładunku
q≪Q
Q
q
E
F
Q
F=k 2 1 Q q⋅q=q E
r
E
E od pojedynczego (punktowego) ładunku Q:
1 Q
E=
1
2 r
4  0 r
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 3
Definiujemy pole jako siłę
działającą na jednostkowy
ładunek.
F
E=
q
E=lim q 0
(Stacjonarny
F
q
I punktowy)
Pole elektryczne od
wielu ładunków
Q1
F2
F
q
E
F1
F1 =k
F2 =k
E
Q2
E
Q1
r
2
i
Q2
r
2
i
1Q q⋅q=q E1
1
1Q q⋅q=q E2
F=k⋅q⋅∑i
2
Qi
r
2
i
1Q q =q E
i
E generowane przez n punktowych ładunków Q1...Qn:
n
Qi
1
E=
1r
∑
2
i=1
4  0
ri
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 4
i
Dipol elektryczny
E=E+ E−
z
+Q
d
2
P(r,z)
θ
E +=
E
[
k Q r z−d /2
,
2
r+
r+ r +
]

E − =−
z
=atan  
r
[
k Q r zd /2
,
r−
r 2− r−
2
 
d
r + = r  z−
2
r
d
2
−Q
We współrzędnych walcowych
2
]

2
 
d
r − = r  z
2
2
Far (r >>d)
Dalekie
(r >>d)
field pole
of dipole
dipola
in we
spherical
współrzędnych
coordinates:
sferycznych:
Moment dipola p = d Q
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 5
E=
dQ
[ 2cos , sin  ]
4  0
“Ciągły” rozkład ładunku
Liniowy
Powierzchniowy
...
...
ds
...
...
...
dl
...
E
...
E=∫L k
τ
1 dl
2 r
r
E
Objętościowy
...
E=∬S
...
dV
k=
1
4 π ε0
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 6
...
E=∭V
E
ρ
k 2 1 r dV
r

1 ds
2 r
kr
Prawo Gaussa
S
Q
∑
∯S E d s= 
Qi
Qj
∯S D d s=∑ Q
0
∇⋅D=
Qk
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 7

∇⋅E=
0
Zastosowanie prawa Gaussa
Powierzchnia Gaussa –sfera
o środku w ładunku
Q
r
Możemy wykorzystać prawo Gaussa do wyznaczenia
Rozkładu pola o ile symetria rozkładu ładunków powoduje
symetrię rozkładu pola taką, że całka może być sprowadzona
do iloczynu stałej wartości D i pewnej liczby (powierzchni).
∯S D d s=Q
Symetria: D ma tylko jedną
składową (prostopadłą do S),
Która jest stała na pow. sfery.
4  r 2 D=Q
Q
D=
4  r2
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 8
Q
E=
4  0 r2
Przykład: pole naładowanej
objętościowo kuli
Powierzchnia Gaussa –sfera
o środku w środku kuli.
ρ
r
∯S D d s=Q
Symetria: D ma tylko jedną
składową (prostopadłą do sfery),
stałą na pow. sfery.
4  r 2 D=Q
Q
D=
4  r2
Q
E=
4  0 r2
Wniosek:
zewnętrzny obserwator nie rozróżnia źródła pola
– to może być ładunek punktowy
– albo dowolny obiekt (kula, powierzchnia)
o symetrycznie rozmieszczonym ładunku
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 9
Przykład: pole naładowanej nici
Źródło: nieskończenie długa nić
naładowana ład. o gęstości τ [C/m]
∯S D d s=Q=h⋅
T
∯S D d s=∮W D d s∮T D d s∮B D d s=
=∮W D d s00=
=2 r h D
W
h⋅=2 r h D
B
dS
Powierzchnia Gaussa – cylinder
o promieniu r i wysokości h
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 10

D=
2r
Przykład : pole naładowanego
cylindra
Źródło – nieskończeniue długi
cylinder o promieniu R naładowany
ładunkiem o gęstości ρ [C/m3]
2
D
d
s=Q=
R
h⋅
∯S
T
∯S D d s=∮W D d s∮T D d s∮B D d s=
=∮W D d s00=
=2 r h D
W
 R 2 h⋅=2 r h D
B
dS
Powierzchnia Gaussa – cylinder
o promieniu r i wysokości h
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 11
R2 
'
D=
=
2r 2 r
 '= R 2 
Elektryczność i materia
Izolatory (dielektryki)
Ujemne i dodatnie ładunki są
związane w cząsteczki (lub atomy)
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 12
Przewodniki
Ujemne i dodatnie ładunki mogą się
rozdzielać tworząc ruchomy ładunek.
Dielektryki: polaryzacja
E=0
E≠0
Ep
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 13
Dielektryki: polaryzacja
P=lim v 0
∑ pi
v
D= 0 EP
D= E
Ep
= r  0 =1  0
 r ∈〈1 ,150〉
Podatność elektryczna
5 5
Conjugated
Sprzężonepolymers
polimeryup
doto
1010
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 14
Indukcja elektryczna w
przewodnikach
E=0
E≠0
Eind = E
Całkowite pole e przewodniku
jest równe zero!
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 15
Zjawisko indukcji
w przewodnikach
E≠0
∇⋅D=
D= E
J= E
d
∇⋅J=−
dt
Eind = E
 

dE
∇⋅  E  =−∇⋅ 
dt
dE
∇⋅  E
=0
dt
 dE
E
=0
 dt

E=E0⋅e
−
t

Dla miedzi (ε=8.885e-12, σ=57e6) τ=0.155e-18 s
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 16
,

=

Warunki ciągłości pola
2
E2, D 2
E1, D1
Lokalny układ współrzędnych
1
2
n
E2, D 2
E1, D1
t
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 17
1
Warunki graniczne dla D
∯S D d s=∑ Q
n
D2= [ D 2t , D 2n ]
D1= [ D 1t , D 1n ]
2
1
t
∯S D d s=∫top D2n ds∫side2 D 2t ds
∫side1 D 1t ds−∫bottom D1n ds
∫side2 D2t ds=0
∫side1 D1t ds=0
∯S D d s=∫top D2n ds−∫bottom D 1n ds
≃ r 2  D2n − D1n 
2
Q≃
r

∑
D 2n− D 1n =
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 18
Warunki graniczne dla E
∮L E d l=0
n
E2= [ E 2t , E 2n ]
E1 =[ E 1t , E1n ]
2
1
∮L E d l=∫top E2t dt−∫bottom E 1t dt−
∫right2 E 2n dn−∫right1 E 1n dn
∫left1 E 1n dn∫left2 E 2n dn
t
∮L E d l=∫top E2t dt−∫bottom E 1t dt=0
E 2t − E1t =0
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 19
Wracamy do równań Maxwella
∂D
∇ ×H =J
∂t
−∂ B
∇ ×E=
∂t
∇⋅D=
∇⋅B=0
D= E
J= E
B= H
∂B
=0,
∂t
∂D
=0
∂t
Interesują nas zjawiska w otoczeniu ładunków
nieruchomych lub poruszających się bardzo wolno.
Możemy zastąpić wektor
polem skalarnym !!
Tylko pole elektryczne,
niezmienne w czasie.
E=−∇ φ
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 20
∇ ×H =J
∇ ×E=0
∇⋅D=
∇⋅B=0
D= E
J= E
B= H
Skalarny potencjał elektryczny
E=−∇ 
A
L1
Potencjał możemy wyliczyć
jako całkę liniową wektora E:
L2
P
 P=−∫ref E d l
gdzie ref to punkt, w którym
φ = 0.
Coulomb Coulomba
Potencjał
potential
Q
1
B
E d L=∫L E d L=  B−  A 
2
Praca w polu E
Energia potencjalna
dW =F⋅dl=q E⋅dl
r
r
 r=k
∫L
Napięcie
Q
r
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 21
W =∫L F⋅d L=q ∫L E⋅d L=q U AB
Równania Laplace'a i Poissone'a
∇ ×E=0
E=−∇ 
D= E
D=− ∇ 
∇ ×H =J
∇⋅D=
∇⋅  ∇   =−
=const
∇⋅B=0

∇⋅∇ =−

=0
Matematyla: Laplasjan (operator Laplace'a)
∇⋅∇ =∇ 2  =  
W różnych UW
2
Kartezjański ∇ f =
∂2 f ∂2 f ∂2 f
 2 2
2
∂x ∂ y ∂z
1 ∂
∂f
1 ∂2 f ∂2 f
r
 2

r ∂r ∂ r r ∂ 2 ∂ z 2
1 ∂ 2∂f
1
∂
∂f
1
∂2 f
2
Sferyczny ∇ f = 2
r

sin 

∂ r r 2 sin  ∂
∂ r 2 sin 2  ∂ 2
r ∂r
Walcowy
∇2 f =
 
 

Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 22

Równanie
Poissone'a
Równanie
Laplace'a
∇⋅∇ =0
Laplasjan to suma pochodnych cząstkowych i dlatego
równania typu L lub P nazywamy cząstkowymi
równaniami różniczkowymi.
Rozwiązywanie CRR?
Q



∇ =−

2

  =∂ 

Równanie opisujące (Poissona) opisuje zachowanie
pola w danym punkcie.
Pozwala opisać relację pomiędzy polem w
sąsiednich punktach, ale nie umożliwia wyznaczenia
wartości pola, jeśli nie znamy wszystkich źródeł..
Jeśli ograniczamy analizę do obszaru Ω, to
musimy określić na Γ pewne warunki dla φ lub jego
pochodnych.
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 23
Ω – obszar zainteresowania
Γ – brzeg Ω
Q,ρ,σ,τ – źródła zewnętrzne
Zagadnienia brzegowe
Zagadnienie brzegowe = równanie opisujące + warunki brzegowe
n 3
2
∇ =−
1



n
= 1∪ 2∪ 3
2
Rodzaje warunków brzegowych (wybór):
1) Dirichleta (1-go rodzaju) :
=u
2) Neumanna (2-go rodzaju):
∂
=q
∂n
3) Robina (3-go rodzaju):
a b
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 24
on
1
on
∂
=v
∂n
2
on
3
Przykład: pole naładowanego
cylindra
Źródło – nieskończenie długi
cylinder o promieniu R naładowany
ładunkiem o gęstości ρ [C/m3]
r
r =?
d φ1 (r)
ρ
1 ∂
r
=−
r ∂r
dr
ε0
(
)
d φ (r)
1 ∂
r
=0
(
)
r ∂r
dr
1
r<R
r≥R
Po dwukrotnym całkowaniu
 2
 1 r =−
r  A 1 ln r B 1
4 0
 2 r = A 2 ln r B 2 r≥ R
rR
Na osi cylindra potencjał pow. mieć skończoną wart. (r=0):
 2

r
=−
r B 1 rR
A 1=0,
1
4 0
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 25
Przykład: pole naładowanego
cylindra (c.d.)
Źródło – nieskończenie długi
cylinder o promieniu R naładowany
ładunkiem o gęstości ρ [C/m3]
r
Wygodniej, gdy potencjał jest ciągły:
 1 r = 2 r  r=R
r =?
 2
−
R B 1= A 2 ln R B 2
4 0
 2
B 2=B 1−
R − A 2 ln R
4 0
Indukcja elektryczna D musi być ciągła:
d  1 r 
d  2 r 
0
= 0
r=R
dr
dr
A2

 R2
− R= 0
 A 2 =−
2
R
2 0
Eliminujemy B2:
 R2
R
 R2
 2 r =−
ln  B1 −
r≥R
2 0
r
4 0
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 26
Przykład: pole naładowanego
cylindra (c.d.)
Źródło – nieskończenie długi
cylinder o promieniu R naładowany
ładunkiem o gęstości ρ [C/m3]
Wybór potencjału odniesienia:
 2
 1 r =−
r B 1 rR
r
=?
r
4 0
 R2
R
 R2
 2 r =−
ln  B1 −
r≥R
2 0
r
4 0
Wygodnie byłoby przyjąć, że potencjał zanika w nieskończoności
czyli φ(∞)=0, ale nie jest to możliwe, gdyż ln(∞) = ∞.
Innym szczególnym miejscem jest zewnętrzna pow. cylindra r= R
Zadając
 R2
 1  R= 2 R =0  B1=
4
otrzymamy
 R2
r2
 1 r =−
1− 2
rR
4 0
R
 R2
R
 2 r =−
ln  
r≥ R
2 0
r
 
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 27