Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Transkrypt
Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Politechnika Gda ska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra In ynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Modelowanie matematyczne systemów sterowania Materiały pomocnicze do wicze - termin T4 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in . Michał Grochowski, dr in . Robert Piotrowski, dr in . Tomasz Rutkowski, dr in . Gda sk, pa dziernik 2009 Wprowadzenie Ideowy schemat technologiczny jednowymiarowego (jedna wielko wej ciowa - jedna wielko wyj ciowa obiektu regulacji) układu regulacji (układ sterowania z ujemnym sprz eniem zwrotnym) wraz z opisem poszczególnych sygnałów w nim wyst puj cych przedstawiony został na Rysunku 1. Wielko ci zakłócaj ce Wielko reguluj ca nastawiaj ca Strumie medium nastawiaj cego Obiekt regulacji (proces) Urz dzenie wykonawcze Wielko regulowana Urz dzenie pomiarowe Warto zmierzona Wielko reguluj ca Urz dzenie reguluj ce (regulator) (sterownik) Wielko regulowana mierzona Warto zadana Stacyjka Rysunek 1. Ideowy schemat technologiczny jednowymiarowego układu sterowania Zadanie 1 W zadaniu nale y rozpatrzy system sterowania (przedstawiony na Rysunku 2) realizuj cy regulacj poziomu cieczy w zbiorniku za pomoc dławienia przez zawór dopływu cieczy do zbiornika. ut(t) uw(t) eε(t) h0(t) e0(t) eh0(t) h(t) α1(t) α1(t) + - eh(t) e0(t) Przy czym: - nat enie wypływu cieczy ze zbiornika Q2 ( t ) wymuszane jest przez pomp , nie zale y od warto ci poziomu cieczy h( t ) w zbiorniku i mo e podlega zmianom w czasie, - ci nienie p( t ) , cieczy dopływaj cej, przed zaworem mo e ulega przypadkowym zmianom. + l p(t) Q1(t) h(t) Q2(t) Rysunek 2. Uproszczony szkic systemu sterowania 2 W zadaniu nale y: a) okre li cel sterowania w rozwa anym systemie, b) na podstawie schematu ideowego systemu sterowania opisa sposób działania systemu sterowania, c) okre li , czy wyst puj ograniczenia zwi zane z procesem sterowania, a je eli wyst puj to jak je mo na opisa , d) wskaza poszczególne elementy systemu sterowania: ♦ obiekt sterowany (obiekt regulacji), ♦ urz dzenie pomiarowe, ♦ urz dzenie steruj ce/reguluj ce, ♦ układ nastawiania warto ci zadanej, ♦ urz dzenie wykonawcze e) okre li wielko ci wej ciowe i wyj ciowe poszczególnych elementów systemu sterowania, a w przypadku obiektu sterowania wskaza wielko ci: reguluj c nastawiaj c , zakłócaj c i regulowan , f) w miar mo liwo ci, wskaza zale no ci pomi dzy wielko ciami wej ciowymi i wyj ciowymi poszczególnych elementów systemu sterowania, g) w postaci odpowiedniego schematu blokowego przedstawi model matematyczny rozwa anego systemu sterowania. Rozwi zanie Zadania 1 a) okre li cel sterowania w rozwa anym systemie, Zadaniem systemu sterowania jest utrzymanie stałego okre lonego poziomu h0 przy pojawiaj cych si zmianach Q2 i p. b) na podstawie schematu ideowego systemu sterowania opisa sterowania, sposób działania systemu Poziom cieczy h( t ) jest mierzony za pomoc czujnika pływakowego. Unoszenie lub opadanie pływaka zmienia napi cie wyj ciowe eh ( t ) z potencjometru pomiarowego. Warto zadan poziomu cieczy w zbiorniku h0 ustala si za pomoc potencjometru nastawczego poprzez nastawienie warto ci eh0 . Gdy poziom h( t ) jest równy warto ci po danej h0 napi cia eh (t) i eh0 s te sobie równe i napi cie wypadkowe z układu potencjometrów eε ( t ) jest równe zeru. Gdy poziom h( t ) nie jest równy warto ci po danej h0 napi cie eε ( t ) , proporcjonalne do ró nicy h0 − h( t ) , powoduje to ruch silnika elektrycznego i poprzez zmian poło enia trzpienia zaworu, zmian nat enia dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) . Silnik przestawiaj cy trzpie zaworu jest silnikiem pr du stałego o stałym wzbudzeniu uw = const i pr dko ci k towej zmienianej przez zmian warto ci napi cia twornika ut (t ) . Przestawienie trzpienia zaworu odbywa si poprzez przekładni z bat . c) okre li , czy wyst puj ograniczenia zwi zane z procesem sterowania, a je eli wyst puj to jak je mo na opisa , Mo na wskaza nast puj ce przykładowe ograniczenia w rozwa anym procesie: najwy szy i najni szy poziom cieczy w zbiorniku hmin i hmax , najwi ksze i najmniejsze nat enie przepływu cieczy przez zawór Q1 max , Q1,min , które mo na zapisa za pomoc nast puj cych nierówno ci: 3 (1) (2) hmin < h(t ) < hmax Q1,min < Q1 (t ) < Q1,max d) wskaza poszczególne elementy systemu sterowania: „Wpiszemy” rozwa any system sterowania w ogólny schemat przedstawiony na Rysunku 1. W przykładzie obiektem regulacji jest zbiornik z ciecz , której poziom chcemy utrzymywa na okre lonej warto ci h0. Przeszkadzaj nam w tym pojawiaj ce si w czasie zmiany dwóch wielko ci: ci nienia cieczy dopływaj cej do zbiornika przed zaworem p( t ) , oraz nat enia wypływu cieczy ze zbiornika Q2 ( t ) . S to, zatem zakłócenia. Nat enie dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) , zale ne od poło enia trzpienia zaworu l, jest wielko ci reguluj c nastawiaj c . Urz dzeniem pomiarowym jest układ pływaka i potencjometru pomiarowego (potencjometryczny czujnik poło enia). Na jego wej cie podawana jest aktualna warto wielko ci regulowanej h( t ) , za na wyj ciu pojawia si , odpowiadaj ca jej warto wielko ci regulowanej mierzonej eh ( t ) . Warto zadana poziomu h0 ustalana jest za pomoc potencjometru nastawczego napi ciem eh0 . Układ tego potencjometru pełni, zatem rol stacyjki. Urz dzeniem reguluj cym (sterownikiem) jest wzmacniacz przetwarzaj cy ró nic napi eε (t ) = eh0 − eh (t ) , odpowiadaj c ró nicy hε ( t ) = h0 − h( t ) , w napi cie ut ( t ) - wielko reguluj c - podawane na twornik silnika elektrycznego. Dalsze elementy układu - silnik, przekładnia z bata, zawór - tworz urz dzenie wykonawcze. W zale no ci od znaku napi cia ut ( t ) silnik b dzie obracał si w jedn lub drug stron . Zmiany k towego poło enia wirnika silnika, w okresie podawania na zaciski jego twornika napi cia ró nego od zera, oznaczymy przez α 1 ( t ) . Poprzez przekładni z bat k t α 1 ( t ) przetworzony zostaje w obrót o k t α 2 ( t ) ko cowego koła z batego przekładni. Obrót drugiego koła przekładni o k t α 2 ( t ) spowoduje przesuni cie trzpienia zaworu do pozycji l( t ) . Warto tego przesuni cia oraz warto ci nienia cieczy okre l warto nat enia dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) . Uproszczony szkic systemu sterowania (przedstawiony na Rysunku 2), mo emy teraz przedstawi w postaci nast puj cego ideowego schematu technologicznego układu sterowania stałowarto ciowej: Nat Ci nienie dopływaj cej cieczy przed zaworem p(t) Nat enie dopływu cieczy do zbiornika Q 1 (t) Silnik, przekładnia z bata, zawór enie wypływu cieczy ze zbiornika Q 2 (t) Zmiany poziomu cieczy w zbiorniku h(t) Poziom cieczy w zbiorniku h(t) Pływak, potencjometr Napi cie na suwaku e h(t) Napi cie u t(t) Wzmacniacz (sterownik) Napi cie na suwaku e h0 Potencjometr Rysunek 3. Ideowy schemat technologiczny układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku 4 e) okre li wielko ci wej ciowe i wyj ciowe poszczególnych elementów systemu sterowania, a w przypadku obiektu sterowania wskaza wielko ci: reguluj c nastawiaj c , zakłócaj c i regulowan , f) w miar mo liwo ci, wskaza zale no ci pomi dzy wielko ciami wej ciowymi i wyj ciowymi poszczególnych elementów systemu sterowania: ♦ obiekt sterowany (obiekt regulacji) W rozwa anym zadaniu obiektem regulacji jest zbiornik z ciecz , którego poziom chcemy utrzymywa na okre lonej warto ci h0. Wielko ci wyj ciow obiektu (wielko ci regulowan ) jest poziom cieczy w zbiorniku h( t ) . Na zmian tej wielko ci bezpo redni wpływ maj : nat enie wypływu cieczy ze zbiornika Q2 ( t ) oraz nat enie dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) . Zbiornik, zatem jako obiekt regulacji poziomu cieczy posiada dwie wielko ci wej ciowe i jedn wyj ciow . Spo ród wielko ci wej ciowych Q1 ( t ) jest wielko ci reguluj c nastawiaj c , za Q1 ( t ) - wielko ci zakłócaj c : Q1(t) Q2(t) Zbiornik z ciecz zmiany poziomu cieczy h(t) h(t) Rysunek 4. Zbiornik z ciecz jako obiekt regulacji poziomu cieczy w zbiorniku Równanie opisuj ce dynamik rozwa anego obiektu mo na zapisa w nast puj cej postaci: A⋅ dh(t ) = Q1 (t ) − Q2 (t ) dt (3) [ ] gdzie: A - powierzchnia przekroju poprzecznego zbiornika m 2 , h - poziom cieczy w zbiorniku [m] , 3 Q1 - nat enie dopływu cieczy do zbiornika m , s 3 , Q2 - nat enie wypływu cieczy ze zbiornika m s [ ] [ ] ♦ urz dzenie pomiarowe Wielko ci wej ciow urz dzenia pomiarowego jest zmiana poziomu cieczy w zbiorniku h( t ) , za wyj ciow napi cie na suwaku potencjometru eh ( t ) : h(t) Urz dzenie pomiarowe (pływak, potencjometr) eh (t) Rysunek 5. Pływak i potencjometr jako urz dzenie pomiarowe Zało ymy, e układ potencjometru pomiarowego nie jest obci any pr dowo. Dla wyprowadzenia opisu układu wyjdziemy z przyj cia za słuszne nast puj cych zale no ci: 5 h(t ) Rh (t ) eh (t ) = = hmax Rmax e0 (4) gdzie: h - poziom cieczy w zbiorniku [ m] , hmax - zakres zmian poziomu cieczy w zbiorniku [ m] , Rh - rezystancja ,,na suwaku” odpowiadaj ca poziomowi cieczy h, [ Ω] , Rmax - zakres zmian rezystancji potencjometru odpowiadaj cy zakresowi zmian hmax, [ Ω] , eh - napi cie ,,na suwaku” odpowiadaj ce rezystancji Rh, [V ] , emax - zakres zmian napi cia potencjometru odpowiadaj cy zakresowi zmian Rmax, [V ] . Korzystaj c z zale no ci (4) mo na napisa : eh (t ) = e0 h(t ) = k h h(t ) hmax (5) gdzie: kh - współczynnik wzmocnienia urz dzenia pomiarowego V . m ♦ urz dzenie steruj ce/reguluj ce Wielko ci wej ciow wzmacniacza jest napi cie eε (t ) = eh0 (t ) − eh (t ) , za wyj ciow napi cie twornika silnika elektrycznego ut ( t ) : eε(t) Sterownik (wzmacniacz) ut(t) Rysunek 6. Wzmacniacz jako sterownik (regulator) poziomu cieczy Przyjmiemy, e regulator jest idealnym wzmacniaczem. Mo emy zatem napisa : ut (t ) = k weε (t ) gdzie: kw - współczynnik wzmocnienia wzmacniacza (6) V . V ♦ układ nastawiania warto ci zadanej Wielko ci wej ciow układu zadawania poziomu po danego cieczy jest przesuni cie suwaka potencjometru h0 ( t ) , za wyj ciow napi cie na suwaku potencjometru eh0 (t ) : h0(t) Układ zadawania poziomu (potencjometr) eh0(t) Rysunek 7. Potencjometr jako układ zadawania poziomu po danego cieczy 6 Układ zadawania poziomu po danego cieczy jest identyczny, co do zasady działania z układem pomiaru poziomu. Korzystaj c, zatem z powy szych wyprowadze mo emy napisa : eh0 (t ) = gdzie: k h0 e0 h0 max h0 (t ) = k h0 h0 (t ) - współczynnik wzmocnienia układu zadawania poziomu cieczy (7) V , m ♦ urz dzenie wykonawcze (silnik + przekładnia z bata + zawór) Silnik (siłownik) Silnik jest elementem urz dzenia wykonawczego. Wielko ci wej ciow silnika jest napi cie ut ( t ) , za wyj ciow droga k towa wału tego silnika: ut(t) Silnik (element urz dzenia wykonawczego) αs(t) Rysunek 8. Silnik jako element urz dzenia wykonawczego Zakładaj c, e silnik pr du stałego posiada pomijalnie mał indukcyjno twornika i pomijalnie mały jest moment obci enia zewn trznego, mo na zale no wi c napi cie twornika z pr dko ci k tow wału (przy ustalonym napi ciu wzbudzenia) zapisa w postaci: J dω S (t ) = k mut (t ) − koω S (t ) dt (8) gdzie: J - moment bezwładno ci silnika i układu nap dzanego, [ kg ⋅ m2 ] , ωs - pr dko k towa silnika, rad ; 1 , s s dω S rad 1 - przy pieszenie k towe silnika, 2 ; 2 , dt s s km - współczynnik momentu nap dowego silnika, N ⋅ m ⋅ rad N ⋅ m , ; V V ut - napi cie twornika, [V ] , k0 - współczynnik oporów silnika, N ⋅m⋅ s ; N ⋅m⋅ s . rad Poniewa silnik słu y do przestawiania zaworu, interesuje nas zatem droga k towa wału silnika: dα s (t ) = ω s (t ) dt gdzie: αs - droga k towa wału silnika, [rad;− ] . 7 (9) Przekładnia z bata Przekładnia jest nast pnym elementem urz dzenia wykonawczego. Wielko ci wej ciow przekładni jest droga k towa wału silnika α s ( t ) , za wyj ciow droga k towa ko cowego koła z batego przekładni α p ( t ) : Przekładnia (elem ent urz dzenia wykonawczego) α s (t) α p (t) Rysunek 9. Przekładnia jako element urz dzenia wykonawczego Przekładnia z bata jest członem proporcjonalnym, a jej działanie mo na opisa zale no ci : α p (t ) = z1 α s (t ) = k pα s (t ) z2 (10) gdzie: z1, z2 - liczba z bów odpowiednio, pierwszego i drugiego koła z batego; kp - współczynnik wzmocnienia przekładni, [ −] Zawór Zawór jest ostatnim elementem urz dzenia wykonawczego. Zawór jako element nastawiaj cy warto nat enia przepływu cieczy Q1 ( t ) - wielko wyj ciow posiada dwie wielko ci wej ciowe. Pierwsz wielko ci wej ciow zaworu jest droga k towa ko cowego koła z batego przekładni α p ( t ) , za drug ci nienie cieczy przed zaworem p( t ) : p(t) αp(t) Zawór (element urz dzenia wykonawczego) Q1(t) Rysunek 10. Zawór jako element urz dzenia wykonawczego Obrót ko cowego koła z batego przekładni powoduje zmian poło enia trzpienia zaworu. Przekształcenie to mo na uzna za proporcjonalne i opisa równaniem: l t (t ) = k t α p (t ) (11) gdzie: kt - współczynnik wzmocnienia obrót przekładni - przesuni cie trzpienia m ;m . rad Przesuni cie trzpienia zaworu powoduje zmian nat enia przepływu cieczy za zaworem. Na warto tego nat enia ma te wpływ ci nienie cieczy przed zaworem. Dla niedu ych zmian przesuni cia trzpienia zaworu i ci nienia cieczy, w otoczeniu punktu pracy, równanie wi ce te wielko ci z nat eniem przepływu cieczy za zaworem mo na poda w postaci: Q1 (t ) = kl lt (t ) + k c p (t ) (12) gdzie: kl - współczynnik wzmocnienia przesuni cie trzpienia – nat enie dopływu kc - współczynnik wzmocnienia ci nienie cieczy – nat enie dopływu 8 m5 . sN m2 , s z1 α s (t ) = k pα s (t ) z2 Napi cie ut(t) ) A⋅ h0 (t ) = k h0 h0 (t ) h0 maxPotencjometr e0 Rysunek 11. Schemat blokowy systemu sterowania eh0 (t ) = Napi cie na suwaku eh(t) e0 h(t ) = k h h(t ) hmax Napi cie na suwaku eh0 eh (t ) = Poziom cieczy w zbiorniku h(t) enie wypływu cieczy ze zbiornika Q2(t) dh(t ) = Q1 (t ) − Q2 (t ) dt ut (t ) = kw eh0 (t ) − eh (t ) = kweε (t ) dα s (t ) = ω s (t ) dt dωS (t ) J = k mut (t ) − koωS (t ) dt α p (t ) = ( Nat enie dopływu cieczy do zbiornika Q1(t) Q1 (t ) = k l k t α p (t ) + k c p(t ) Ci nienie dopływaj cej cieczy przed zaworem p(t) Nat g) w postaci odpowiedniego schematu blokowego przedstawi model matematyczny rozwa anego systemu sterowania