zastosowanie wariancji allana do oceny wyników pomiarów

Materiały XXXVI Międzyuczelnianej Konferencji Metrologów MKM’04
_________________________________________________________________________________
Dobrosława SOCHOCKA
Główny Urząd Miar
Zakład Metrologii Elektrycznej
ZASTOSOWANIE WARIANCJI ALLANA
DO OCENY WYNIKÓW POMIARÓW NAPIĘCIA
WZORCÓW NAPIĘCIA Z DIODAMI ZENERA
W referacie omówiono próbę zastosowania wariancji Allana do szacowania
niepewności (typu A) pomiarów napięcia, wzorców napięcia z diodami Zenera. Ocenie
poddano wyniki pomiarów uzyskane w Zakładzie Metrologii Elektrycznej, Głównego
Urzędu Miar podczas wzorcowania wzorców napięcia z diodami Zenera. Odchylenie
standardowe nie stanowi właściwej miary niepewności, jeśli istnieje korelacja wyników
pomiaru. nawet przy stwierdzeniu, że rozkład wyników pomiarów ma charakter rozkładu
normalnego W przypadku wzorcowania źródeł napięcia opartych o diody Zenera, mamy
zazwyczaj do czynienia z rozkładem wyników pomiarów w funkcji czasu
charakterystycznym dla szumu typu 1/f.. Wówczas przy szacowaniu niepewności (typu A)
pomiarów najbardziej miarodajną wielkością reprezentującą taki rozkład jest wariancja lub
odchylenie Allana.
USING THE ALLAN’S VARINCE TO CHARACTERSIE THE REZALTS
OF MEASUREMENT ZENER DIODE VOTAGE STANDARDS
The article describes a procedure using the Allan’s variance for evaluation of
uncertainty (type A) in measurement of Zener diode voltage standards. The results received
in Electricity Measurement Division of Central Office of Measures were estimated. The
standard deviation is not satisfactory in case of correlation of results of measurements, even
if the distribution of results characterises normal distribution. In the case of calibration
Zener diode standard we receive distribution of results of measurements versus time typical
for type of 1/f. While evaluation uncertainty type A using the Allan’s variance we receive
the results better than using the method of standard deviation.
1. WSTĘP
W obecnej procedurze wzorcowania wtórnych wzorców napięcia opartych na diodach
Zenera, stosowanej w GUM w systemie odniesienia do wzorca pierwotnego ze złączem
Josephsona, nie uwzględnia się korelacji wyników, która może być spowodowana
występowaniem w układzie pomiarowych szumu migotania o małej częstotliwości.
Zakłócenia tego typu zmieniają wynik obliczeń niepewności szacowanej metodami
statystycznymi (typu A) powodując jej zwiększenie, jeśli stosuje się klasyczne wielkości takie
jak wariancja i odchylenie standardowe eksperymentalne. Prawidłowy wynik szacowania
niepewności typu A uzyskuje się w takich przypadkach stosując, zamiast klasycznej
wariancji, wariancję Allana. Praca niniejsza jest kontynuacją rozważań zawartych w
pracy [9].
Dobrosława SOCHOCKA
________________________________________________________________________________
310
2. WPŁYWU KORELACJI WARTOŚCI NAPIĘĆ WYZNACZONYCH W CZASIE
POJEDYNCZEGO POMIARU NA WARTOŚĆ NIEPEWNOŚCI SZACOWANEJ
METODĄ TYPU A – ZASTOSOWANIE WARIANCJI ALLANA
W przypadku wzorcowania źródeł napięcia z diodami Zenera, mamy zazwyczaj do
czynienia z rozkładem wyników pomiarów w funkcji czasu charakterystycznym dla szumu
typu 1/f tzn. rozkładem okresowo zmiennym o małej częstotliwości zmian nie większej niż
0,05 Hz. Wówczas przy szacowaniu typu A niepewności pomiarów najbardziej miarodajną
wielkością reprezentującą taki rozkład jest wariancja lub odchylenie Allana. Odchylenie
Allana wyznaczane na podstawie wyników pomiarów napięcia elektrycznego wzorca z diodą
Zenera oblicza się – w przypadku gdy dysponujemy wynikami pomiarów uzyskanymi w
równych przedziałach czasu – stosując następującą zależność będącą pierwiastkiem
kwadratowym zwykłej wariancji Allana [4]:
σ
y
(τ ) =
Σ [ y
k +1
(τ ) − y
2 ⋅ Po
k
( τ )]
2
,
(1)
gdzie:
σy(τ) – odchylenie Allana dla przedziału czasu τ, w którym wyznaczano wartości
napięcia w procedurze wzorcowania uzyskane w kolejnych odczytach
pojedynczych pomiarów,
yk+1(τ) – wartość napięcia wzorca w przedziale k+1 okresu czasu o wartości τ,
yk(τ) – wartość napięcia wzorca w przedziale k okresu czasu o wartości τ,
P0 – ilość przedziałów czasu k pomniejszona o jeden.
Przy wyznaczaniu odchylenia Allana zgodnie z wzorem (1) należy dobierać przedziały czasu
τ, w których dokonywano pomiaru wartości napięcia w kolejnych pojedynczych pomiarach,
w taki sposób, aby były one równe i przylegały do siebie (tzn. aby czas odstępu między
kolejnymi przedziałami był równy zeru). W przypadku jednak gdy kolejne odczyty w
pomiarach napięcia elektrycznego wzorców Zenera dokonywane są w różnych odstępach
czasu, odchylenie Allana oblicza się na podstawie zmodyfikowanej wersji wariancji Allana
[4]. W przypadku pojedynczych pomiarów wykonywanych metodą NISTVolt kolejne
wartości napięcia wyjściowego wzorców wyznaczane są w różnych odstępach czasu zależnie
od przebiegu procesu równoważenia układu pomiarowego. Należy więc w tym przypadku
stosować zmodyfikowaną wariancję Allana według poniższego równania:
2
N − 2 n +1 
1
1 k + 2 n −1
1 k + n −1 
mod σ y (τ ) =
⋅ ∑  ⋅ ∑ y j − ⋅ ∑ y j  ,
2 ⋅ ( N − 2 ⋅ n + 1) k =1  n j = k + n
n j =k 
2
(2)
gdzie:
N – ilość wykonanych pomiarów,
n – krotność okresu czasu wykonania pojedynczego pomiaru zastosowana w
obliczeniu,
y j – kolejna wartość wielkości mierzonej.
Zastosowanie wariancji Allana do oceny wyników pomiarów napięcia wzorców napięcia ... 311
________________________________________________________________________________
Zmodyfikowaną wariancję Allana można stosować niezależnie od tego, czy dysponujemy
wynikami pomiarów wykonanych w równych czy nierównych odstępach czasu. W
przypadku, gdy pomiary wykonane były w nierównych odstępach czasu a tzw. czas martwy
(okres czasu pomiędzy kolejnymi pomiarami) nie był także jednakowy, wskazane jest
stosowanie zmodyfikowanej wariancji Allana. Zastosowana w obliczeniu krotność okresu
czasu wykonania pojedynczego pomiaru (parametr n) powinna być tak dobrana, aby
minimalny obliczeniowy przedział czasu w którym wyznacza się uśrednioną wartość
wielkości mierzonej nie był mniejszy od czasu martwego; wówczas wartości uśrednione nie
będą równe zeru. Jeśli pomiary wykonano w równych odstępach czasu i nie ma potrzeby ich
zwiększania do celów obliczeniowych (n=1), to zmodyfikowana wariancja Allana staje się
zwykłą wariancją Allana. Dysponując znaną wartością wariancji oraz wariancji Allana dla
danego zbioru wyników pomiaru można zastosować – w przypadku braku informacji o
charakterze rozkładu wyników w funkcji czasu – prostą metodę określenia charakteru takiego
rozkładu. W pracy [4] opisana jest przydatna w takim przypadku procedura obliczania
wskaźnika „szumu białego” (white-noise-test procedure).
Wskaźnik ten jest stosunkiem wariancji do zmodyfikowanej wariancji Allana obliczanych ze
zbioru danych pomiarowych w funkcji czasu ich wyznaczenia. Ilustruje on stopień zgodności
odchylenia standardowego eksperymentalnego z odchyleniem Allana dla różnych rozkładów
wyników pomiarów w funkcji czasu, opisanych modelem matematycznym gęstości
widmowej mocy. Wskaźnik ten jest także miarą korelacji wyników pomiarów a jego wartość
liczbowa może być określona stosując poniższy wzór:


σ 2(N )
N ⋅ ( N µ − 1)
=

 ,
2
µ
mod σ y (τ )
 2 ⋅ ( N − 1) ⋅ ( 2 − 1) 
(3)
gdzie:
σ 2 (Ν) − wariancja dla ilości wyników pomiaru równej N,
mod σ 2y (τ) − zmodyfikowana wariancja Allana dla przedziału uśredniania równego τ,
µ − wykładnik potęgi proporcjonalny do wykładnika α funkcji gęstości
widmowej mocy.
Rozkład przypadkowych odchyleń wyników pomiaru od wartości średniej jest dobrze
scharakteryzowany następującym modelem matematycznym gęstości widmowej mocy [8]:
S y ( f ) = hα ⋅ f
gdzie:
Sy (f) –
hα –
F–
α–
α
,
gęstość widmowa mocy,
czynnik określony dla danego typu funkcji gęstości widmowej mocy,
częstotliwość Fourier’a,
wykładnik potęgowy funkcji gęstości widmowej mocy o wartości od –2 do +2.
(4)
Dobrosława SOCHOCKA
________________________________________________________________________________
312
Poniższa tabela zawiera rodzaje szumów charakteryzujące dany typ rozkładu wyników
pomiaru i określone wartością wykładnika potęgowego funkcji gęstości widmowej mocy.
Tabela 1
Wartość wykładnika α
Nazwa szumu dla modulacji częstotliwości (FM) lub modulacji fazowej (PM)
2
1
0
-1
-2
Szum biały
Szum migotania
Szum biały lub szum błądzenia przypadkowego
Szum migotania
Szum błądzenia przypadkowego
Wybór odpowiedniej wartości wykładnika „α” zależy od rodzaju szumu charakteryzującego
rozkład przypadkowych odchyleń wyniku pomiaru. Funkcja gęstości widmowej mocy
zmienia się ze zmianą okresu czasu wykonywania pomiarów: dla większych okresów czasu
wykładnik α najczęściej zmniejsza się.
Jeśli rozkład wyników pomiaru można scharakteryzować określoną funkcją gęstości
widmowej mocy to wartość wariancji Allana jest proporcjonalna do wartości przedziału czasu
uśredniania τ podniesionej do potęgi µ. W poniższej tabeli podane są wzory wyrażające
wariancję Allana dla dwu najczęściej spotykanych w pomiarach wielkości elektrycznych
rodzajów szumu (funkcji gęstości widmowej mocy).
Tabela 2
Rodzaj szumu
Wykładnik α
µ=−α−1
Wariancja Allana
Szum biały
0
-1
0,5ּh0ּτ-1
Szum migotania
-1
0
2ּln(2)ּh-1
Z tabeli 2 widać, że wariancja Allana jest odwrotnie proporcjonalna do przedziału czasu
uśredniania w przypadku przyjęcia modelu szumu białego, jeśli natomiast rozkład wyników
pomiaru można przyporządkować funkcji szumu migotania (typu 1/f), wówczas wartość
wariancji Allana jest stała. Na podstawie wzoru (1) można wyznaczyć przebieg wskaźnika
„szumu białego” wg. Allana w funkcji ilości pomiarów dla różnych funkcji gęstości
widmowej mocy. Wskaźnik szumu białego dla funkcji typowej dla szumu białego (α=0) jest
stały i równy jedności dla dowolnej liczby pomiarów. Zatem wariancja wyniku pomiaru dla
takiej funkcji równa jest wariancji Allana niezależnie od ilości wykonanych pojedynczych
pomiarów. Natomiast wskaźnik szumu białego dla funkcji szumu migotania (dla α=-1)
zawsze jest większy od jedności (oprócz wartości początkowej dla dwu pomiarów) i zwiększa
się wraz ze zwiększaniem ilości pomiarów, przy czym dla α=1 wartość tego wskaźnika jest
mniejsza od jedności (także oprócz wartości początkowej dla dwu pomiarów) i zmniejsza się
wraz ze zwiększaniem ilości pomiarów. Przeprowadzono obliczenia stosując zmodyfikowaną
wariancję Allana dla pojedynczego pomiaru napięcia wyjściowego badanego wzorca z diodą
Zenera. Obliczenia wykonano według wzoru (2) stosując wartość 0,01 minuty jako
podstawowy przedział czasu. Jest to wartość rozdzielczości czasu, zgodnie z którą podawane
Zastosowanie wariancji Allana do oceny wyników pomiarów napięcia wzorców napięcia ... 313
________________________________________________________________________________
są kolejne wyniki pojedynczego pomiaru (SPM) na wydruku komputerowym zgodnie z
procedurą NISTVolt. Minimalnym obliczeniowym przedziałem czasu, w którym uśredniano
odczytane wartości napięcia uzyskane w kolejnych pojedynczych pomiarach, był
maksymalny okres przerwy pomiędzy kolejnymi 4-ma seriami pomiarów. We wszystkich
wynikach obliczeń uwzględniono poprawkę ze względu na dryft w czasie trwania
pojedynczego pomiaru napięcia wyjściowego wzorca Zenera, podając – dla porównania –
wartości obliczanych wielkości bez poprawki oraz z poprawką.
Przeprowadzona analiza pozwala na wyciągniecie wniosku, że zmodyfikowane odchylenie
Allana zmniejsza się (maksymalnie o 20 %) w 4-ch na pięć pojedynczych pomiarów po
zastosowaniu poprawki ze względu na dryf oraz wykazuje tendencję wzrostu w każdym
kolejnym pomiarze niezależnie od tego, czy zastosowano taką poprawkę. Przyczyny wzrostu
w kolejnym pojedynczym pomiarze obu wielkości charakteryzujących niepewność szacowaną
metodami statystycznymi należy szukać w procedurze pomiarowej NISTVolt. Interesującym
zatem może być analiza wskaźnika „szumu białego” wg Allana, stanowiącego proste
kryterium oceny charakteru szumu opisującego rozkład w pojedynczym pomiarze napięcia
wyjściowego wzorca Zenera. Przy ilości odczytów (powtarzanych pomiarów) w każdym
pojedynczym pomiarze równej 40 wskaźnik szumu białego o wartości równej 3 oznacza, że
mamy tu do czynienia z szumem migotania typu 1/f o wartości wykładnika potęgowego α = 1 funkcji gęstości widmowej mocy.
3. WYZNACZENIE GRANICZNEJ CZĘSTOTLIWOŚCI FOURIERA
Z wyznaczonej eksperymentalnie charakterystyki zależności rozkładu gęstości widmowej
mocy (SPD) od częstotliwości Fouriera, opisującej rozkład napięcia wzorca z diodą Zenera w
funkcji czasu, można [2] wyznaczyć częstotliwość graniczną dzielącą jej zakres na obszar
szumu białego (stała wartość SPD) oraz obszar szumu migotania typu 1/f (linia o nachyleniu
zbliżonym do –1 dla wykresu wykonanego w skali logarytmicznej).
Odwrotność
częstotliwości granicznej wyznaczonej z funkcji SPD odpowiada granicznej wartości okresów
czasu uśredniania napięcia wzorca stosowanych przy wyznaczaniu wariancji Allana, powyżej
której wariancja charakteryzuje się wartością stałą. Z charakterystyki odchylenia (lub
wariancji) Allana w funkcji okresu czasu uśredniania napięcia wzorca można także
wyznaczyć wartość współczynników h0 lub h-1 stanowiących współczynniki stałe (wzór 6).
Współczynnik h0 oblicza się z zależności h0=2.τ.σ 2 (τ) mnożąc podwójną wartość
najmniejszego okresu czasu uśredniania przez wartość wariancji Allana dla tego okresu.
Natomiast wartość współczynnika h-1 stanowi średnia wartość odchylenia Allana wyznaczona
z wartości odpowiadających okresom czasu uśredniania powyżej okresu granicznego.
Określona na podstawie własnych wstępnych wyników pomiarów wartość graniczna okresu
czasu uśredniania napięcia wzorca Zenera wynosi 12 sek. Jest to wartość zbliżona do wartości
wyznaczonej w BIPM [2]. Odwrotność tej wartości charakteryzująca częstotliwość graniczną
Dobrosława SOCHOCKA
________________________________________________________________________________
314
wynosi 0,083 Hz. Zatem cykliczny przebieg zmian napięcia wzorca Zenera w funkcji czasu
jego wyznaczania o okresach zmian nie mniejszych niż 12 sek. (0,2 min) lub częstotliwości
dominującej nie większej niż 0,083 Hz wskazuję na zakłócenia pomiaru szumem migotania
typu 1/f. Można więc teoretycznie założyć, że gdyby kilka pojedynczych odczytów napięcia
mierzonego wzorca w procedurze NISTVolt, trwających w czasie poniżej 0,2 minuty (12
sek.) a więc w okresie najkrótszego cyklu zmian charakterystycznych dla obszaru szumu
migotania 1/f, było dostatecznie dokładnych, to można by uznać taki wynik jako
charakterystyczny dla szumu białego i nie obciążony zakłóceniem pochodzącym od
selektywnego szumu migotania o małej częstotliwości.
Możliwość wyznaczenia granicznej częstotliwości Fouriera pozwala na potwierdzenie rodzaju
szumu charakteryzującego rozkład wyników w funkcji czasu. Wynik uzyskany na podstawie
charakterystyki odchylenia Allana w funkcji przedziału czasu uśredniania można porównać z
wynikiem uzyskanym metodą opartą na charakterystyce gęstości widmowej mocy (power
spectral density - PSD) w funkcji częstotliwości Fouriera. W pracach BIPM (2) i (3) opisano
takie porównanie, które pozwoliło stwierdzić dużą zgodność wyników obu metod. Ponieważ
w warunkach GUM nie ma możliwości zastosowania metody PSD, w opisanej poniżej
procedurze obliczeniowej wykorzystano uproszczoną metodę porównawczą. Zastosowana
przez tu procedura polegała na wykorzystaniu dwu charakterystyk. Jedna to charakterystyka
zmodyfikowanego odchylenia Allana w funkcji przedziału czasu całkowania w okresie
trwania pojedynczego pomiaru (SPM) napięcia elektrycznego wzorca z diodą Zenera. Punkt
oddzielający na tej charakterystyce dwa obszary wyników o różnym nachyleniu ich linii
regresji wyznacza graniczną wartość przedziału czasu całkowania a jej odwrotność graniczną częstotliwość Fouriera. Druga charakterystyka to rozkład gęstości widmowej mocy
(PSD) w funkcji częstotliwości Fouriera, wyznaczony na podstawie danych liczbowych
wyznaczonych z pierwszej charakterystyki. Punkt oddzielający na tej charakterystyce dwa
obszary o różnym jej nachyleniu oznacza graniczną wartość częstotliwości Fouriera. Stopień
zgodności wyniku obu metod stanowi kryterium dokładności przyjętej procedury
obliczeniowej. Wykorzystano w niej wartości zmodyfikowanej wariancji Allana,
charakteryzującej z większą od zwykłej wariancji Allana dokładnością rozkład wyników
pomiaru napięcia wzorca Zenera wykonanego metodą NISTVolt.
Jeśli porównać wyniki dotyczące granicznej częstotliwości Fouriera, uzyskane dwiema
powyżej opisanymi metodami, to ich różnica równa 0,015 Hz świadczy o dużej zgodności
wyników, a zatem o prawidłowości obu metod.
4. KORELACJI WARTOŚCI NAPIĘĆ WYZNACZONYCH W KOLEJNYCH
POJEDYNCZYCH POMIARACH NA WARTOŚĆ NIEPEWNOŚCI SZACOWANEJ
METODĄ TYPU A – ZASTOSOWANIE ODCHYLENIA ALLANA
Poprawny pomiar napięcia elektrycznego wzorców wtórnych z diodami Zenera w
Głównym Urzędzie Miar uzyskuje się po wielokrotnym wykonaniu określonej ilości
Zastosowanie wariancji Allana do oceny wyników pomiarów napięcia wzorców napięcia ... 315
________________________________________________________________________________
pojedynczych pomiarów (single point measurement – SPM). Wynika to z niestabilności
wzorców w czasie pomiaru o charakterze zmian przypadkowych. i ich dryftu. Ilość
pojedynczych pomiarów i czas ich trwania zależy od tego czy na wynik pomiaru wpływa
korelacja kolejnych pomiarów i inne czynniki zmniejszające ich dokładność. Istnienie
korelacji wyników można ocenić stosując metody zaproponowane przez Allana [4] i
stosowane w Międzynarodowym Biurze Miar (BIPM) w dziedzinie pomiarów wielkości
elektrycznych [2,3]. W tym celu należy określić charakter szumu typowego dla rozkładu
wyników pomiaru napięcia elektrycznego wzorców z diodami Zenera. Obliczenia wykonano
stosując zmodyfikowaną wariancję Allana.
Dane podane w tabeli 3 dotyczą wyników pomiarów dla dwu napięć znamionowych: 10 V i
1,018 V oraz dwu wzorców z diodami Zenera oznaczonych numerami: 10 oraz 07.
Tabela 3
Napięcie znamionowe (V)
Oznaczenie wzorca z diodą Zenera (Nr)
10
10
07
10
07
Zmodyfikowana wariancja Allana (V)
2,01E-14
3,38E-14
1,03E-15
Najmniejszy przedział czasu uśredniania (godz.)
Wariancja (V)
20
7,07E-14
24
6,97E-14
33
6,63E-15
3,52
120
2,06
68
6,45
100
2,54E16
24
1,10E15
4,33
53
Wskaźnik szumu białego
Ilość pomiarów
1,018
Wskaźnik szumu białego obliczono dla zmodyfikowanej wariancji Allana wyznaczono przy
najmniejszym możliwym do uzyskania przedziale czasu uśredniania. Uzyskano to
wprowadzając korektę przesunięcia fazowego. Wyniki pomiarów zostały również
skorygowane ze względu na dryft, temperaturę i ciśnienie atmosferyczne.
wskaźnik "szumu bałego"
1 0
1
0 ,1
1
1 0
1 0 0
1 0 0 0
lic z b a p o m ia r ó w
Rys. 1. Wskaźnik "szumu białego" obliczony dla zmodyfikowanej wariancji Allana w funkcji ilości pomiarów
(Dla dwóch wzorców Zenera oraz dwóch napięć znamionowych 10 V oraz 1,018 V)
Funkcje teoretyczne:
szum typu 1/f (α = -1);
szum biały (α = 0)
Fig. 1. Coefficient of “white noise” calculate for modified Allan’s variance versus number of measurement
(For two diode Zener standards and two nominal voltage 10V and 1,018V)
Theoretical function:
noise type 1/f (α = -1),
white noise (α = 0)
Rezultaty przedstawionych rozważań wskazują na zasadność stosowania zmodyfikowanej
wariancji Allana przy określaniu niepewności typu A, pomiarów napięcia wzorców wtórnych
z diodą Zenera, przy wykorzystaniu stanowiska do odtwarzania jednostki napięcia z efektu
Josephsona, wykonywanych w GUM.
Dobrosława SOCHOCKA
________________________________________________________________________________
316
5. LITERATURA
1. Guide to Expression of Uncertainty in Measurement. ISO/TAG 4/WG 3, 1995
2. T.J. Witt and D. Reymann, Using power spectra and Allan variances to characterise the
noise of Zener-diode voltage standards. IEE Proc. Sci. Meas. & Technol. Vol 147, No 4,
July 2000, 177–182
3. T.J.Witt. Using the Allan Variance and Power Spectral Density to Characterise DC
Nanovoltmeters., IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol.50, No. 2,
April 2001.
4. Allan D.W. Should the classical variance be used as a basic measure in standard
metrology?
5. Sochocka D., Stanioch W., Reymann D., Witt T.J., Bilateral Comparison of 1,018 V and
10 V Standards between the GUM, Poland and the BIPM, Rapport BIPM–2001/06, May
2001, praca nie opublikowana
6. Piotrowski J. Modelowanie błędów procesami niestacjonarnymi. KKM’98, Gdańsk,
wrzesień 1998.
7. Witt T.J. Low frequency spectral analysis of DC nanovoltmeters and voltage reference
standards. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 1997, vol. 46 (2), pp.
318-321.
8. Sochocka D. Dwustronne porównania kluczowe wzorców napięcia. Referat opublikowany
w materiałach MKM’2002
9. Sochocka D. Badania przebiegu napięcia elektrycznego w funkcji czasu w procedurze
wzorcowania źródła opartego o diody Zenera. Referat opublikowany w materiałach
konferencji Zielona Góra’2002
ABSTRACT
According to D.W. Allan in a case of results correlation caused by flicker noise in the
measuring arrangements the use of the Allan variance instead of classical variance is
necessary. Such approach eliminates anomalous results of a calculation of the uncertainty
estimated by statistical methods. The effect of the result correlation is not taken into account
in a present procedure of Zener diode-based voltage standards calibration used at GUM in the
system of direct reference to primary voltage standard based on Josephson array. Application
of Allan variance in this procedure is the subject of the report. The influence of the results
correlation upon the uncertainty estimated by statistical methods in single measurement as
well as in series of single measurements was analysed by the author. For the calculation of
Allan variance [4] the equation suitable to various measuring time intervals was used. Each
series of measurements results was prepared in order that to determinate: total number of
elementary time intervals applied in calculation, multiplication factor of time intervals and
successive mean values of measured voltage in multiplied time intervals in such a way that all
mean values were not equal to zero. Consequently a conclusion is that the Allan variance is
better than classical variance measure of this calibration uncertainty. In the report the
calculation result of the dominant frequency of flicker noise using two different methods is
also presented. Maximal value of this frequency is equal to 0,083 Hz for 10 V and equal to
0,19 Hz for 1,018 V of the nominal voltage of Zener standard.