wyklad 2 PA RLC

Obwód rezonansowy szeregowy - częstość rezonansowa
Szeregowy obwód RLC
Szeregowy układ RLC:
napięciowe źródło sygnału przemiennego
częstość ω
amplituda Uo
Źródło napięciowe u(t) o zmiennej sile
elektromotorycznej E(t)=Re [u(t)]
u we (t ) = U 0 sin ωt
Z zasady dzielnika napięcia:
Z drugiego prawa Kirchhoffa:
u(t)=uR(t)+uL(t)+uC(t)
u (t ) = Ri (t ) + L
Równanie ruchu ładunku elektrycznego:
u (t )
i (t ) = R
R
Prąd płynący w obwodzie:
czyli:
jeśli
di (t ) ∫ i (t )dt
+
dt
C
u ( t ) = U 0 ⋅ e j ωt
impedancja
Wielkość:
U L UC 1 L
=
=
U0 U0 R C
1
jω C
1
R + jω L +
jω C
uwe (t ) ⋅
jωL ⋅ uwe (t )
1
jω C
uL (t ) =
Dla częstości rezonansowej ω 0 =
1
LC
U0
1
= Z = R + jωL +
Io
jωC
nazywana jest dobrocią obwodu
Ogólna definicja:
rezonans
U R = U0 U L =
Filtr rezonansowy szeregowy
U0
R
L
C
napięcie wyjściowe := napięcie na oporniku
u wy (t ) = u R (t ) =
uwe (t ) = U we e jωt
Transmitancja obwodu:
Stosunek amplitud napięcia
wyjściowego do wejściowego:
u wy (t )
u we (t )
=
ω0 =
U wy
U we
=
R
Z
1
LC
UWY/UWE
dobroci i wywołane przez nie „podbijanie” napięcia jest wykorzystywane do filtracji i
UC =
Dzielnik napięcia !!!
Sygnał wejściowy harmoniczny,
częstość ω
jω 0 L 2π ( 1 2 I 0 2 L) 2π E L
UL
=
=
=
U0
R
T ( 12 I 0 2 R) T P
Magazynowanie energii w elementach reaktancyjnych obwodu rezonansowego o wysokiej
U0 L
R C
znika łączna impedancja elementów reaktancyjnych => impedancja obwodu = R
napięcia na kondensatorze i indukcyjności osiągają wartości maksymalne
W rezonansie amplitudy napięcia na indukcyjności lub na pojemności mogą
przekroczyć amplitudę napięcia wejściowego !!!
do mocy traconej (P) w ciągu jednego okresu drgań (T) przy częstości rezonansowej
transformowania sygnałów o określonej częstości
Im(Z) = 0
amplituda napięcia wyjściowego osiąga wartość największą
R
1 

R 2 +  ωL −

ωC 

L = 2 mH, C = 1 nF
2
tgϕ =
R
Z
R
Re
Z
Im
ϕ = arctan
ω0 =
1
jωC
1 − ω 2 LC
ωRC
1
LC
faza [rad]
L=2 mH, C=1 nF
1,
0
R=50 Ω
π/2
0,8
R=300 Ω
π/4
1
2 0,6
Ruwe (t )
R + jωL +
Przesunięcie fazowe między napięciem
wyjściowym i wejściowym:
Dobroć wyraŜa stosunek energii zmagazynowanej w układzie rezonansowym (EL)
Q=
1
jωC
R + jωL +
amplitudy napięć na elementach obwodu mają wartości:
amplitudy dla częstości rezonansowej !!!
Inna postać wyraŜenia na dobroć:
R ⋅ uwe (t )
uWY (t ) = u R (t ) =
R + jω L +
L duR (t ) ∫ u R (t ) dt
u (t ) = u R (t ) +
+
R dt
RC
DOBROĆ OBWODU
Q=
uC (t ) =
R=50 Ω
0.0
0,4
R=300 Ω
-π
π/4
0,2
-π/2
0,0
10 3
10 4
νg1
10 5
νg2
10 6
10 7
10 8
103
104
νg1
105
νg2
106
107
częstość [Hz]
częstość [Hz]
1
Filtr rezonansowy szeregowy c.d.
1
LC
ω0 =
U W Y /U W E
Pasmo przenoszenia
zlokalizowane jest
w okolicach częstości rezonansu:
R = 50 Ω
0,8
1
2
Filtr rezonansowy równoległy
L = 2 m H , C = 1 nF
1,
−1
R =3 00 Ω

1 
 jωC +

jωL 

u wy (t ) = u (t )
−1

1 
R +  jω C +

jωL 

0,6
0,4
1
ω0 =
LC
0,2
0,0
10 3
10 4
ν g1
10 5
ν g2
10 6
10 7
10 8
c zę s to ś ć [H z]
faza [rad]
1
LC
Dla częstości rezonansowej ω 0 =
π/2
R=50 Ω
π /4
0
C
R=300 Ω
-π
π /4
napięcie wyjściowe osiąga wartość największą
u wy (t ) = u (t )
L
u-we
1kHz
-π/2
10
3
10
4
ν g1
10
5
ν g2
10
6
10
7
R
u-wy
R

1 
R +  jωC +

j
L
ω

−1
częstość [Hz]
Pasmo przenoszenia filtru rozciąga się od νg1 do νg2 - częstości graniczne
Dla częstości granicznych:
U wy
U we
=
1
2
ϕ =
π
4
Dobroć: Q =
ω0 =
Dla częstości rezonansowej
1 L ω0
=
R C ∆ω
filtr pasmowy zaporowy
natęŜenie [mA]
Obwód drgań elektrycznych (obwód RLC)
Przypadki:
kondensator naładowany do napięcia UC0
L
Równanie ruchu ładunku w obwodzie:
róŜniczkujemy:
4L
R −
C
2
di ∫ idt
+
=0
dt C
d 2i
di 1
L 2 +R + i=0
dt
dt C
podstawiamy do równania róŜniczkowego
αt
i (t ) = Ae
UC0
0
0
α2 = −
R − R 2 − 4L C
2L
jest liczbą urojoną
R
częstość oscylacji: ω x =
i (t ) =
2
4
6
8
10
di
UC0
= [ L + Ri ] = LA1 (α1 − α 2 ) ⇒ A1 =
dt
L(α1 − α 2 )
t =0
Układ drgający :
L=2 mH, C=1 nF, R=300 Ω
UC0=5 V
2
0
-2
0
10
20
e jx + e − jx
e jx − e − jx
⇒ e jx = cos x + j sin x
sin x =
2
2j
Przypadek szczególny, gdy R=0 :
drgania niegasnące
i (t ) = U C 0
30
czas [µs]
cos x =
2
L
C
natęŜenie[mA]
A]
U C 0 − 2Lt
e
sin(ω x t )
Lω x
1
R2
−
LC 4 L2
i (t ) = A1e α t + A2 eα t
1
R2 < 4
2.
4L
R −
C
2
rozwiązania mają charakter
oscylacyjny:
1
Lα + R α + = 0
C
2
Amplitudy A1 i A2 wyznaczamy z warunków początkowych:
i (0) = 0 = A1 + A2 , ⇒ A1 = − A2
0.5
2
czas [µs]
równanie
algebraiczne:
Rozwiązanie równania kombinacją liniową rozwiązań z α1 i α2 :
1
Układ antyoscylacyjny
L=2 mH, C=1 nF, R=5kΩ
UC0=5 V
1
i (t ) = A1 (eα t − eα t )
Uc0
zakładamy postać rozwiązania:
R + R 2 − 4L C
pierwiastki równania kwadratowego: α 1 = −
2L
jest liczbą rzeczywistą,
rozwiązania mają charakter
dwuwykładniczy:
po wzbudzeniu prąd w obwodzie zanika
C
4L
R ≥
C
2
1.
R
Ri + L
1
napięcie wyjściowe osiąga wartość najmniejszą
LC
C
sin(ω 0t )
L
częstość oscylacji:
ω0 =
1
LC
2
Elementy bierne o parametrach rozłoŜonych:
Rezystancja, indukcyjność i pojemność nie są zlokalizowane w konkretnych
punktach, lecz są rozłoŜone w przestrzeni układu
Opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne
Rzeczywiste konstrukcje - opornik, cewka czy kondensator
zawierają wielkości pasoŜytnicze (z indeksem p)
Tak naleŜy traktować układ, gdy rozmiary geometryczne układu są porównywalne lub
większe od długości transmitowanej fali sinusoidalnej
Linie przesyłowe, kable koncentryczne, linie paskowe, płyty laminowane itd.
Model linii długiej:
Układ „równań telegrafistów”:
Przy pewnych częstościach sygnału wielkości pasoŜytnicze
mogą istotnie zniekształcić własności elementu
−
Spadek napięcia wzdłuŜ linii przesyłowej:
−
Straty prądu:
KaŜdy rzeczywisty bierny element elektroniczny jest złoŜonym układem impedancji
∂u ( x , t )
∂i( x, t )
= L'
+ R 'S i( x, t )
∂x
∂t
∂i ( x , t )
∂u ( x, t ) u ( x, t )
= C'
+
∂x
∂t
R 'D
linia bez strat R’S→ 0 oraz R’D→ ∞
=> poprawne przybliŜenie dla typowych warunków laboratoryjnych
−
∂u ( x , t )
∂ i ( x, t )
= L'
∂x
∂t
−
∂ i ( x, t )
∂u ( x, t )
= C'
∂x
∂t
u(x)=(A1e-jγx+A2ejγx)
=>
natęŜenie prądu:
i(x,t) = i(x)ejωt,
d 2u ( x )
= −ω 2 L' C '⋅u ( x ) = −γ 2 ⋅ u ( x )
dx 2
γ = ω L 'C ' =>
u(x,t)=(A1e-jγx+A2ejγx)ejωt
czyli
♦ Przypadek drgań o częstości ω wzbudzonych w linii bez strat:
Napięcie: u(x,t)=u(x)ejωt
rozwiązanie równania:
stała propagacji
i(x)= (A1e-jγx-A2ejγx)/Z
impedancja linii przesyłowej
i(x,t)= (A1e-jγx-A2ejγx)ejωt/Z
Z=
ωL'
ωL'
L'
=
=
γ
ω L' C '
C'
A1 - amplituda fali biegnącą zgodnie z kierunkiem osi X,
A2 - amplituda fali biegnącej w kierunku przeciwnym.
3
DOŚWIADCZENIE MYŚLOWE
Nieskończenie długa linia bez strat połączona z generatorem sygnałów:
Linia Z
generator
A1
W układzie istnieje tylko fala propagująca się w kierunku osi X, czyli: A2=0
u ( x, t )
=Z
i ( x, t )
Z=
L'
C'
Rzeczywiste linie transmisji mają zawsze skończoną długość
Istnieje sygnał odbity od końca linii interferujący z sygnałem wysłanym
Skończone linie w wielu doświadczeniach zachowują się analogicznie do
rezystancji Z w czasie krótszym od podwójnego czasu propagacji sygnału
przez nią.
Impedancja falowa linii jest określona przez jej budowę
W technice stosuje się linie o ustalonych standardach, np. 50 Ω (układy
pomiarowe), 55 Ω, 110 Ω (układy transmisji danych), 75 Ω, 300 Ω (układy
antenowe) i inne.
A1
Impedancja falowa nieskończenie długiej obciąŜenie dla generatora
A1’
A2
’
generator
Z
.
x=0
Z’
generator
R=Z=
L'
C'
Nieskończona linia jest równowaŜna oporowi o wartości R=Z
A1
A1’
A2
’
generator
Z
x=0
Z’
Z warunku ciągłości (po obu stronach złącza napięcia i prądy są równe) :
Bezodbiciowe zakończenie linii moŜna osiągnąć przez zakończenie oporem R=Z
U Z = A1 + A2 = A1 ' = U Z '
IZ =
Stosunek amplitud
A2
A1
A1 − A2 A1 '
=
= IZ'
Z
Z'
Z
linia Z
jest współczynnikiem odbicia fali na złączu dwóch linii:
A2 Z '− Z
=
A1 Z '+ Z
Na złączu linii odbicie fali nie nastąpi, gdy ich impedancje są sobie równe: Z=Z’
nadajnik
(generator)
odbiornik
(oscyloskop)
E
E
linia zakończona jest zwarciem, Z’=0, współczynnik odbicia: A2/A1 = -1
fala odbita od końca linii ma przeciwną fazę do fali padającej
2
linia jest rozwarta na końcu, Z’→ ∞ współczynnik odbicia wynosi: A2/A1=1
fala odbita ma tę samą fazę, co fala padająca (interferencja konstruktywna)
4
Ćwiczenie 2
Brak dopasowania falowego:
Z1
Dokonać pomiaru charakterystyki amplitudowej (transmitancji) dla sygnału harmonicznego
Z3
linia Z2
czas propagacji τ
Filtr rezonansowy szeregowy
Obwody drgań elektrycznych
U wy
Nadajnik
(generator)
odbiornik
(oscyloskop)
U we
(ω )
generator
oraz fazowej – przesunięcia fazowego ϕ(ω)
E
oscyloskop
WY
(trójnik BNC)
A
obwód
WY
dod.
B
WE
ext. trig.
WY
Na podstawie
otrzymanych wyników ustalić indukcyjność cewki
.
2τ
EZ 3
Z1 + Z 3
Przy pomocy drugiego (identycznego) kondensatora przebudować obwód tak,
aby jego częstość rezonansowa wynosiła
ω0
ω0 2 lub
2
Zastąpić opornik 510 Ω opornikiem 50 Ω i dokonać pomiaru częstości rezonansowej
Przemontować układ zamieniając miejscami opornik i kondensator
Na wejście naleŜy podać sygnał prostokątny o częstości 1kHz i maksymalnej amplitudzie
Zbocza narastające i opadające tego sygnału pobudzają drgania w obwodzie
Zaobserwować drgania ładunku w obwodzie oscylacyjnym
0,000000
0,000005
0,000010
0,000015
0,000020
0,000025
Dopasowanie funkcji U0e
–α
αt
do danych doświadczalnych.
0,000000
0,000005
0,000010
0,000015
0,000020
0,000025
0,000030
0,000000
0,000005
0,000010
0,000015
0,000020
0,000025
0,000030
0,004
0,002
0,000030
0,000
0,004
-0,002
Dokonać pomiaru kształtu pojedynczego ciągu
oscylacji, rejestrując jego maksima i minima
oraz przejścia przez zero
0,002
-0,004
0,000
Tworzymy pomocniczy wykres (współrzędne : czas - napięcie, oś napięciowa - logarytmiczna)
dla bezwzględnych wartości zarejestrowanych maksimów i minimów.
-0,002
-0,004
0,000000
0,000005
0,000010
0,000015
0,000020
0,000025
0,000030
Nanieść na wykresy punkty doświadczalne
Do zarejestrowanych przebiegów dopasować funkcję U0e - αt
Na podstawie pomiaru stałej tłumienia wyznaczyć indukcyjność obwodu cewki
Dla poprawnej interpretacji wyników naleŜy uwzględnić rezystancję
wyjściową generatora (50 Ω)
Czy pojemności kabli i rezystancja wejściowa oscyloskopu mają istotny wpływ
Punkty doświadczalne ułoŜą się wzdłuŜ prostej:
log(U) = -α*t + logU0.
NaleŜy dopasować tę prostą do punktów doświadczalnych
Stąd znajdujemy współczynnik nachylenia α (współczynnik tłumienia dla funkcji wykładniczej)
oraz amplitudę U0
na pracę obwodu oscylującego?
5