Indukcja matematyczna

MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 0
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
3 października 2016
Indukcja matematyczna
Zasada indukcji matematycznej. Niech Z ⊆ N będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych spełniającym nastepujące dwa warunki:
(i) n0 ∈ Z dla pewnego n0 ∈ N,
(ii) dla dowolnej liczby naturalnej n ­ n0 zachodzi implikacja
jeżeli n ∈ Z, to n + 1 ∈ Z.
Wówczas każda liczba naturalna n ­ n0 jest elementem zbioru Z .
Zasada minimum. Niech S będzie dowolnym niepustym podzbiorem liczb naturalnych.
Wówczas S posiada liczbę najmniejszą.
Zasada indukcji zupełnej. Niech Z ⊆ N będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych
spełniającym nastepujące dwa warunki:
(i) 0 ∈ Z,
(ii) dla dowolnej liczby n ∈ Z zachodzi implikacja
jeżeli m ∈ Z dla każdej liczby naturalnej m ¬ n, to n + 1 ∈ Z.
Wówczas zbiór Z jest równy zbiorowi N liczb naturalnych.
Zadanie 1. Niech n ­ 1. Udowodnij następujące twierdzenia:
(i) 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 ,
(ii) 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n+1)
,
2
(iii) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
n(n+1)(2n+1)
,
6
(iv) a + (a + d) + (a + 2d) + . . . + (a + (n − 1)d) =
(v) a + aq + aq 2 + . . . + aq n−1 = a
1−q n
1−q
n(2a+(n−1)d)
2
dla dowolnego a ∈ R,
dla dowolnego a ∈ R oraz q 6= 1.
Zadanie 2. Udowodnij następujące twierdzenia:
(i) 4n > n3 dla n ∈ N,
(ii) 2n > 4n dla n ­ 5,
(iii) n3 + 2n jest podzielna przez 3,
(iv) 7n − 1 jest podzielna przez 3,
(v) n2 + n jest parzysta,
(vi) 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1.
Zadanie 3. Niech Hn = 1 + 12 + 13 + . . . + n1 będzie n-tą liczbą harmoniczną. Wykaż, że
dla dowolnego n ­ 0 zachodzą nastepujące nierówności:
n+1
¬ H2n ¬ n + 1.
2
Strona 1/2
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 0
Semestr zimowy 2016/2017
Zadanie 4. Wykaż, że
Kraków
3 października 2016
√
2 jest liczbą niewymierną.
Zadanie 5. Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg (Fn )n∈N zadany następującą rekurencją:
F0 = 1,
F1 = 1,
Fn+2 = Fn+1 + Fn .
Wykaż, że dla każdego n ∈ N:
(i) liczba F3n+2 jest parzysta,
(ii)
(iii)
n
X
k=0
n
X
Fk = Fn+2 − 1,
Fk2 = Fn · Fn+1 .
k=0
Zadanie 6. Wykaż, że zasada indukcji matematycznej wynika z zasady minimum.
Wskazówka: Załóż nie wprost, że istnieje A 6= N spełniający założenia zasady indukcji.
Zadanie 7. Wykaż, że zasada minimum wynika z zasady indukcji matematycznej.
Wskazówka: Załóż nie wprost, że istnieje niepusty zbiór A ⊂ N nieposiadający minimum.
Zadanie 8. Wykaż, że aby połamać czekoladę o wymiarach n × m w taki sposób, aby
uzyskać same kawałki 1 × 1 potrzeba nm − 1 złamań. Wykaż, że ta liczba nie zależy od
sposobu łamania.
Zadanie 9. Udowodnij, że zasada indukcji zupełnej jest równoważna zasadzie minimum.
Zadanie 10. Wykaż błąd w poniższym rozumowaniu:
Udowodnimy, że wszystkie koty są jednej maści. Dowód prowadzimy indukcyjnie, względem liczby kotów. Oczywiście zbiór złożony z jednego kota jest
zbiorem kotów jednej maści. Załóżmy, że wszystkie n-elementowe zbiory kotów
składają się z kotów tej samej maści. Rozważmy dowolny (n + 1)-elementowy
zbiór kotów. Jeżeli wyciągniemy ostatniego kota ze zbioru, dostaniemy zbiór
n-elementowy, a zatem możemy użyć założenia indukcyjnego i wywnioskować, że pierwsze n kotów jest tej samej maści. Z drugiej strony, jeżeli zamiast
ostatniego kota wyciągniemy pierwszego, możemy ponownie użyć założenia
indukcyjnego i wywnioskować, że ostatnich n kotów jest tej samej maści. Tym
samym wszystkie n + 1 koty są tej samej maści, co kończy dowód.
Zadanie 11. Niech gcd(a, b) oznacza największy wspólny dzielnik liczb a oraz b, tj. największą liczbę naturalną d taką, że d dzieli zarówno a, jak i b. Rozważmy następującą
metodę obliczania gcd(a, b):
gcd(a, b) = gcd(a − b, b) jeżeli a > b,
gcd(a, b) = gcd(a, b − a) jeżeli b > a,
gcd(a, a) = a.
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb naturalnych a oraz b powyższa metoda wyznacza
największy wspólny dzielnik a oraz b.
Strona 2/2