Arkusz maturalny
Transkrypt
Arkusz maturalny
ZESTAW I Zadanie 1 Rozwiąż nierówność ( x + 2)( x − 1) > 10 . Zadanie 2 Rozwiąż równanie 2 x 3 − 1 2 x − 4x + 1 = 0 . 2 Zadanie 3 Udowodnij, że jeżeli ramiona trapezu zawierają się w dwóch prostych prostopadłych, to suma kwadratów długości podstaw trapezu równa się sumie kwadratów długości jego przekątnych. Zadanie 4 Wiadomo, że dla kąta ostrego α zachodzi związek sin α + cos α = 2 . Oblicz tgα . 5 Zadanie 5 Wykaż, że jeżeli a ∈ (1,3) to a2 −1 2 > (a − 1) . 2 Zadanie 6 W trapezie równoramiennym o obwodzie 20cm dłuższa podstawa jest o 3cm dłuższa od ramienia, a krótsza podstawa jest o 3cm krótsza od ramienia. Oblicz pole trapezu. Zadanie 7 Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 264cm 2 . Krawędź boczna graniastosłupa jest o 2cm dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zadanie 8 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: A – w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek B – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9 C – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9 Zadanie 9 Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się 9( 3 + 55 ) , a pole jego powierzchni bocznej 9 55 . Oblicz objętość ostrosłupa. Zadanie 10 Na stole leżało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100zł, 2 banknoty o nominale 50zł i 10 banknotów o nominale 20zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130zł. ZESTAW II Zadanie 1 Rozwiąż nierówność x + 2 − x − 1 ≥ 5 . Zadanie 2 Rozwiąż równanie − 2 cos 2 x + 3 sin x + 3 = 0 dla wszystkich liczb z przedziału 0,2π . Zadanie 3 a) Reszta z dzielenia pewnego wielomianu W przez dwumian x − 2 wynosi 60 a przez dwumian x − 3 wynosi 120. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez iloczyn ( x − 2)( x − 3) . b) Wiadomo dodatkowo, że wielomian W jest podzielny przez iloczyn (x + 2)(x + 3) . Wyznacz współczynniki wielomianu W. c) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba W(k) jest podzielna przez 6. Zadanie 4 Wykaż, że jeżeli n dodatnich liczb x1 , x 2 ,..., x n tworzy jednocześnie ciąg arytmetyczny i geometryczny, to ciąg liczb 2 x1 ,2 x2 ,...,2 xn jest ciągiem geometrycznym, a ciąg liczb log 5 x1 , log 5 x 2 ,..., log 5 x n jest ciągiem arytmetycznym. Zadanie 5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie x 2 − (m + 1)x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki większe od 1. Zadanie 6 Dane są punkty A(-1,1) i B(2,4). Na prostej x − y + 4 = 0 znajdź punkt C, tak aby trójkąt ABC był prostokątny. Zadanie 7 Czwarty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego wynosi 13, a dwunasty wyraz tego ciągu jest równy -3. Dla jakiego n suma n początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest największa? Zadanie 8 Zarobki oraz liczba pracowników pewnej firmy przedstawiają poniższe tabelki: szef 9.000zł szef 1 Zarobki sekretarka pracownicy grupy 1 4.000zł 2.500zł pracownicy grupy 2 1.500zł Liczba pracowników sekretarka pracownicy grupy 1 1 4 pracownicy grupy 2 8 a) Oblicz średnią płacę w tej firmie. b) Oblicz medianę płacy tej firmy. c) Sprawdź, czy prawdopodobieństwo, że dla losowo wybranych dwóch pracowników firmy co najmniej jeden zarabia poniżej średniej jest większe niż 0,76? Zadanie 9 Pewna gra polega na losowaniu trzech liczb ze zbioru cyfr {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Gracz wygrywa 100zł jeżeli wytypuje jakie trzy liczby zostaną wylosowane. Jeżeli wyznaczy poprawnie tylko 2 liczby otrzymuje 50zł. W przeciwnym wypadku nic nie wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo iż gracz wygra co najmniej 50zł? Zadanie 10 Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości 8cm i krawędzi bocznej długości 6cm przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy i dzielącą wysokość bryły w stosunku 1:2 od strony wierzchołka. Oblicz objętość bryły odciętej od strony wierzchołka ostrosłupa. Zadanie 11 Uzasadnij, że liczba n 2 + 3n − 4 jest parzysta dla każdego n ∈ N . Zadanie 12 Wykaż, że nierówność x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 2 > 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. Zadanie 13 Określ w zależności od parametru m liczbę pierwiastków równania x 2 − 2 x − 3 = m . Zadanie 14 Z napełnionego cieczą naczynia o pojemności 102 litrów wypływa w pierwszej minucie 5 litrów cieczy, a w każdej następnej o 0,25 litra mniej niż w poprzedniej. Po ilu minutach naczynie będzie opróżnione do połowy? Zadanie 15 W urnie znajduje się 8 kul białych i 10 czarnych. Losujemy 4 kule. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej jednej pary kul różnego koloru. Zadanie 16 Spośród liczb naturalnych od 1 do 100 losujemy liczbę k. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: liczba k 2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.