Zadania dodatkowe Zrobić minimum trzy zadania. Zadanie 1

Zadania dodatkowe
Zrobić minimum trzy zadania.
Zadanie 1. Obliczyć pole koła o promieniu R.
Zadanie 2. Wykazać, że jeżeli
0 ¬ m ¬ f (x) ¬ M,
x ∈ [a, b]
dla pewnych liczb m, M oraz f jest całkowalna (w sensie Riemanna) na odcinku zwartym
[a, b], to
m(b − a) ¬
Z b
f (x)dx ¬ M (b − a).
a
Zadanie 3. Obliczyć granicę
1q
n
(n + 1)(n + 2) · · · (n + n).
n→∞ n
lim
Zadanie 4. Wiedząc, że
Z
f (x)dx = ln x + c,
c ∈ R,
f 0 (x) + xf 00 (x) = 0,
x > 0.
pokazać, że
Zadanie 5. Obliczyć sumę szeregu
∞
X
(−1)n n
.
3n
n=0
Zadanie 6. Obliczyć całkę Poissona
Z +∞
2
e−x dx.
−∞
Zadanie 7. Obliczyć początkowe 3 cyfry rozwinięcia liczby e.
Zadanie 8. Obliczyć liczbę π z dokładnością do 0, 001.
Zadanie 9. Podać przykład funkcji całkowalnej na przedziale [0, 1], która posiada nieskończenie wiele punktów nieciągłości. Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 10. Podać przykład funkcji całkowalnej na przedziale [0, 1], która nie posiada
funkcji pierwotnej. Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 11. Rozwinąć funkcję cosh w szereg MacLaurena. Pokazać, że
cosh(ix) = cos x,
x ∈ R,
gdzie i to jednostka urojona tzn. i2 = −1.
Zadanie 12. Zróżniczkować funkcję
f (x) =
Z x
√
0
1
dt,
1 − t2
x ∈ (0, 1).
Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 13. Obliczyć całkę oznaczoną
Z 1
−1
(arctgx)2 sin xdx
x4 + 1