Wykªad 2. Szeregi liczbowe.
Transkrypt
Wykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Denicje i podstawowe twierdzenia Denicja Szeregiem liczbowym nazywamy wyra»enie postaci a1 + a2 + a3 + · · · + an + . . . , zapisywane tak»e w formie ∞ X an , gdzie n=1 za± sum¦ Sn = a1 + a2 + · · · + an = n X an ∈ R ak dla n ∈ N. n-t¡ nazywamy Liczb¦ an nazywamy n-tym wyrazem, sum¡ cz¦±ciow¡ szeregu. k=1 ∞ X Denicja Mówimy, »e szereg liczbowy an jest zbie»ny, gdy istnieje wªa±ciwa granica ci¡gu sum n=1 cz¦±ciowych {Sn }n∈N . T¡ granic¦ nazywamy sum¡ szeregu i oznaczamy j¡ tym samym symbolem, co szereg lim Sn = lim n→∞ Je±li do lim Sn = ∞ n→∞ −∞, (lub n→∞ lim Sn = −∞), n→∞ n X ak = ∞ X an . n=1 k=1 to mówimy, »e szereg ∞ X an jest rozbie»ny do n=1 odpowiednio). Je±li granica sum cze±ciowych nie istnieje, to mówimy, »e szereg ∞ ∞ X an (lub jest n=1 rozbie»ny. Reszt¡ (dokªadniej n-t¡ ∞ X reszt¡) szeregu zbie»nego an nazywamy liczb¦ ∞ X Rn = n=1 ak . k=n+1 Uwaga Je»eli szereg ma wyrazy nieujemne, to jest zbie»ny albo rozbie»ny do ∞. Przykªady Znale¹¢ sumy cz¦±ciowe podanych szeregów i nast¦pnie zbada¢ ich zbie»no±¢: 1. Twierdzenie Niech szeregi ∞ X ∞ X n−1 , n! n=2 an n=1 ∞ X i ∞ X bn 2. ∞ X √ n=1 1 √ . n+1+ n b¦d¡ zbie»ne oraz niech α, β ∈ R. Wtedy n=1 (αan + βbn ) = α n=1 ∞ X n=1 an + β ∞ X bn . n=1 Fakt Szereg zbie»ny z pogrupowanymi w dowolny sposób wyrazami ma t¦ sam¡ sum¦, co szereg wyj±ciowy. Uwaga Nie wolno grupowa¢ wyrazów szeregu rozbie»nego, gdy» mo»na otrzyma¢ szeregi zbie»ne o ró»nych sumach. Na przykªad 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 − 1) + + − − + + + − − − + · · · = 0, 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1− 1− − − + − − − − + + − . . . − · · · = 1, 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 Nie jest dopuszczalna zmiana kolejno±ci sumowania niesko«czenie wielu wyrazów nawet dla szeregów zbie»nych, np. szereg 1− 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + − + · · · = ln 2, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a po przestawieniu niesko«czenie wielu skªadników otrzymamy 1+ 1 1 1 1 1 1 1 1 3 − + + − + + − + · · · = ln 2. 3 2 5 7 4 9 11 6 2 Fakt Szereg geometryczny ∞ X xn = 1 + x + x2 + x3 + . . . n=0 jest zbie»ny dla |x| < 1 i rozbie»ny dla |x| ≥ 1. ∞ X Ponadto dla xn = n=0 |x| < 1 suma tego szeregu wynosi 1 . 1−x Uwaga Przyjmujemy konwencj¦, »e dla x = 0 i n = 0 mamy xn = 1 Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu ∞ X an jest zbie»ny, to lim an = 0. n→∞ n=1 Równowa»nie powy»sze twierdzenie mo»na zapisa¢ w postaci: ∞ X Je»eli szereg Je»eli lim an 6= 0 n→∞ lub lim an n→∞ an nie istnieje, to szereg jest rozbie»ny. n=1 Kryteria zbie»no±ci szeregów Kryterium caªkowe zbie»no±ci szeregów Niech funkcja Wtedy szereg f b¦dzie nieujemna i nierosn¡ca na przedziale [n0 , ∞), gdzie n0 ∈ N. Z∞ ∞ X f (n) i caªka niewªa±ciwa f (x) dx s¡ jednocze±nie zbie»ne albo n=n0 rozbie»ne (do n0 ∞). ∞ X Uwaga Reszta szeregu, czyli Rn = f (k) speªnia oszacowanie k=n+1 Z∞ Z∞ f (x) dx ≤ Rn ≤ n+1 f (x) dx. n jednocze±nie Przykªady Korzystaj¡c z kryterium caªkowego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów. 1. Fakt Szereg jest zbie»ny dla ∞ X 1 , 2+4 n n=1 2. ∞ X ln n . n2 n=2 ∞ X 1 1 1 1 = 1 + + 2 + 3 ... p n n n n n=1 p>1 i rozbie»ny do ∞ dla p ≤ 1. Kryterium porównawcze 0 ≤ an ≤ bn dla ka»dego n ≥ n0 . Wówczas: ∞ ∞ X X Je»eli szereg bn jest zbie»ny, to tak»e szereg an Niech 1. 2. Je»eli szereg n=1 ∞ X an n=1 ∞ X bn jest rozbie»ny, to tak»e szereg n=1 jest zbie»ny. jest rozbie»ny. n=1 Uwaga Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla szeregów o wyrazach niedodatnich. Kryterium ilorazowe Niech an , bn > 0 (lub an , bn < 0) dla ka»dego n ≥ n0 an = k, n→∞ bn lim Wówczas szeregi ∞ X an oraz n=1 ∞ X bn gdzie oraz niech k ∈ (0, ∞). s¡ jednocze±nie zbie»ne lub jednocze±nie rozbie»ne do ∞ (−∞). n=1 Uwaga Zaªo»enie, »e wyrazy obu szeregów s¡ dodatnie(ujemne) jest istotne. Przykªadowo, szereg ∞ X an = n=1 lim n→∞ ∞ X (−1)n √ n n=1 jest zbie»ny, szereg ∞ X bn = n=1 an = 1. bn ∞ X n=1 1 (−1)n + √ n n jest rozbie»ny, podczas gdy Przykªady Korzystaj¡c z kryterium porównawczego lub ilorazowego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów: 1. ∞ X n=1 √ n2 + 1 , n2 + 2 2. ∞ X 3n + n , n 3n + 2n n=1 Kryterium d'Alemberta Niech ∞ X n=1 an an+1 . q = lim n→∞ an jest rozbie»ny. Wówczas, je»eli q<1 to szereg ∞ X n=1 3. an ∞ X en − 1 . 3n − 1 n=1 jest zbie»ny, a gdy q > 1, to szereg Kryterium Cauchy'ego Niech ∞ X an q = lim p n n→∞ |an |. Wówczas, je»eli q<1 to szereg ∞ X an jest zbie»ny, a gdy q > 1, to szereg n=1 jest rozbie»ny. n=1 Uwaga Je±li granica q = 1, to ani kryterium d'Alemberata, ani kryterium Cauchy'ego nie roz- strzyga czy badany szereg jest zbie»ny (czy te» rozbie»ny). Przykªad Korzystaj¡c z kryterium d'Alemberta lub z kryterium Cauchy'ego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów 1. ∞ X n! , n n n=1 2. ∞ X nn , π n n! n=1 3. ∞ X 2n + 3n , 3n + 4n n=1 4. ∞ X arccosn n=1 1 . n2 Przykªad Wykaza¢ zbie»no±¢ odpowiedniego szeregu, a nast¦pnie na podstawie warunku koniecznego zbie»no±ci szeregów uzasadni¢ podane równo±ci: n2015 = 0, n→∞ 3n 1. lim nn = ∞. n→∞ n! 2. lim Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i zbie»no±¢ warunkowa Denicja Mówimy, »e szereg Mówimy, »e szereg ∞ X ∞ X an jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, gdy szereg |an | jest zbie»ny. n=1 n=1 an ∞ X jest zbie»ny warunkowo, gdy jest zbie»ny, ale nie jest zbie»ny bezwzgl¦d- n=1 nie. Twierdzenie Szereg zbie»ny bezwzgl¦dnie jest zbie»ny. Uwagi 1. Je»eli szereg badany przy pomocy kryterium d'Alemberta lub Cauchy'ego jest zbie»ny, to kryteria te gwarantuj¡ jednocze±nie jego zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡. 2. Szereg zbie»ny bezwzgl¦dnie jest zbie»ny do tej samej sumy przy dowolnym przestawieniu kolejno±ci wyrazów. Twierdzenie Leibniza o szeregu naprzemiennym Je±li ci¡g {bn }n∈N jest nierosn¡cy od pewnego ∞ X oraz lim bn = 0, n→∞ (−1)n+1 bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . . n=1 jest zbie»ny. n0 ∈ N to szereg naprzemienny Ponadto, dla ka»dego n ≥ n0 prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu n X |Rn | = |S − Sn | = S − (−1)k+1 bk ≤ bn+1 , k=1 gdzie S oznacza sum¦ tego szeregu. Przykªad miennych: Korzystaj¡c z twierdzenia Leibniza, uzasadni¢ zbie»no±¢ podanych szeregów naprze- ∞ X π 1. (−1) tg , n n=4 n 2. ∞ X n=1 (−1)n p n2 + 1 − n .