Lista 2 ze Logiki i Struktur Formalnych do wykładu dra Sz

Lista 2 ze Logiki i Struktur Formalnych
do wykładu dra Sz. Żeberskiego
1. Czy dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwe są następujące równości:
a)
b)
c)
d)
e)
A ∩ A = A,
(A ∪ B) ∩ B = (A ∩ B) ∪ B,
A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C,
f)
g)
h)
i)
j)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
(A \ B) \ C = A \ (B \ C),
(A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B ∪ C),
(A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C).
2. Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C i D prawdziwe są następujące zdania:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A ⊆ A,
A ∪ B ⊆ A,
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) → A ⊆ C,
A ⊆ A ∪ B,
A ⊆ A ∩ B,
A ∩ B ⊆ A.
g)
h)
i)
j)
k)
l)
(A ⊆ C) ∨ (B ⊆ C) → A ∪ B ⊆ C,
(A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C) → A ∪ B ⊆ C,
(A ⊆ B) ∧ (A ⊆ C) → A ⊆ B ∩ C,
(A ⊆ B) ∨ (C ⊆ D) → A ∪ C ⊆ B ∪ D,
(A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D) → A ∪ C ⊆ B ∪ D,
(A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D) → A ∩ C ⊆ B ∩ D.
3. Niech A i B będą podzbiorami ustalonej przestrzeni Ω. Pokaż, że
a)
b)
c)
d)
(Ac )c = A,
A \ B = A ∩ Bc,
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c ,
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c ,
e) ∅c = Ω,
f) Ωc = ∅,
g) A ⊆ B → B c ⊆ Ac .
4. Pokaż, że A ∪ B jest najmniejszym (w sensie inkluzji) zbiorem zawierającym jednocześnie A
i B. Sformułuj i udowodnij analogiczny fakt dla przekroju dwóch zbiorów.
5. Pokaż, że (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C) oraz A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C) dla dowolnych
zbiorów A, B i C.
6. Pokaż, że A \ (A \ (A \ B)) = A \ B dla dowolnych zbiorów A, B.
7. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów A i B prawdziwa jest równoważność A = B ↔ A\B = B \A.
8. Udowodnij, że zbiory ∅, {∅}, {{∅}}, . . . są parami różne.
9. Wyznacz zbiory P (∅), P (P (∅)), P ({P (∅)}), P ({a, b}), P ({a, b, c}).
10. Niech S(x) = x ∪ {x}. Niech x0 = ∅ oraz xn+1 = S(xn ) dla wszystkich n ∈ N. Wyznacz xn
dla wszystkich n ≤ 5. Pokaż, że jeśli n < m to xn ∈ xm .
11. Czy istnieją zbiory A, B, C czyniące zadość koniunkcji warunków A ∈ B ∈ C oraz A ⊆
B ⊆ C?
12. Dla zadanych zbiorów A, B znajdź zbiór C.
a) A = {1, 2}, B = {3},
C = P (A × B),
b) A = {1, 2}, B = {3},
C = P (A) × P (B),
c) A = {1}, B = {2},
C = ((A × B) × B) \ (A × (B × B)),
d) A = {1}, B = {2},
C = P ((A × B) × B) \ P (A × (B × B)),
e) A = ∅, B = ∅,
C = P (P (P (A)) × P (B)) × P (A),
f) A = ∅, B = ∅,
C = (P (P (P (A)) × P (B)) × P (A)) × (P (P (P (A))) × B).
13. Czy iloczyn kartezjański jest operacją łączną? Czy jest przemienny?
14. Czy dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwe są następujące równości:
a) (A × B) × C = (A × C) × (B × C),
b) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C),
c) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C),
d) (A ∩ B) × C = (A ∩ C) × (B ∩ C).
15. Pokaż, że A × B = B × A wtedy i tylko wtedy, gdy A = B ∨ A = ∅ ∨ B = ∅.
16. Pokaż, że A ⊆ B wtedy i tylko wtedy, gdy P (A) ⊆ P (B). Czy dla dowolnych A, B mamy
P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B) i P (A) ∪ P (B) = P (A ∪ B)?
17. Niech A, B ⊆ Ω. Opisz rodzinę zbiorów, które można zdefiniować za pomocą operacji sumy,
przekroju i dopełnienia ze zbiorów A, B.
18. Niech A = {1, 2, 6, 7, 8}, B = {2, 3, 4, 7, 8} i C = {4, 5, 6, 7, 8}. Ile różnych zbiorów możesz
zbudować za pomoc¡ operacji ∪, ∩,c ze zbiorów A, BiC? Czy zbiór {8} należy do tej rodziny
zbiorów?
19. Pokaż, że z następującego zbioru zdań
1. wszyscy moi synowie są szczupli,
2. wszystkie moje zdrowe dzieci uprawiają sport,
3. żadne moje dziecko które jest łakomczuchem nie jest szczupłe,
4. żadna moja córka nie uprawia sportu
wynika, że żadne moje zdrowe dziecko nie jest łakomczuchem.
20. Zapisz w postaci nawiasowej wyrażenia ABC ∪ ∪, AB ∪ C∪ oraz AB ∪ CDE ∪ ∪∩.
21. Pokaż, że z Aksjomatu Ekstensjonalości wynika, że operacja sumy jest poprawnie określona.
To znaczy, że jeśli A i B są dowolnymi zbiorami, to istnieje tylko jeden zbiór C taki, że x ∈
C ↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B). To samo pokaż dla iloczynu i różnicy zbiorów.
22. Niech ϕ(x) i φ(x) będą funkcjami zdaniowymi określonymi dla elementów przestrzeni Ω.
Pokaż, że
a) {x ∈ Ω : ϕ(x)}c = {x ∈ Ω : ¬ϕ(x)},
b) {x ∈ Ω : ϕ(x) ∧ φ(x)} = {x ∈ Ω : ϕ(x)} ∩ {x ∈ Ω : φ(x)},
c) {x ∈ Ω : ϕ(x) ∨ φ(x)} = {x ∈ Ω : ϕ(x)} ∪ {x ∈ Ω : φ(x)}.
23. Pokaż, że dla każdego zbioru A zachodzi nierówność A 6= P (A).
24. Pokaż, że nie istnieje taki zbiór Ω, że A ⊆ Ω dla dowolnego zbioru A.