Ćwiczenie: A4 - CECHY ARTYKULACYJNE DŹWIĘKU

POLITECHNIKA GDAŃSKA
WYDZIAŁ ELEKTRONIKI, TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI
KATEDRA INŻYNIERII DŹWIĘKU
LABORATORIUM: AKUSTYKI MUZYCZNEJ
Ćwiczenie: A4 - CECHY ARTYKULACYJNE
DŹWIĘKU PISZCZAŁEK ORGANOWYCH
Opracowanie:
dr inż. B. Kostek
mgr inż. G. Szwoch
Gdańsk 1997
1. WPROWADZENIE
Traktura właściwa, czyli mechanizm sterowania organami ma decydujący wpływ na
jakość brzmienia organów. Dotyczy to przede wszystkim możliwości indywidualnego
kształtowania dźwięku. Wydaje się nieodzowne w tym miejscu wyjaśnienie pojęcia
artykulacji. W muzyce termin ten stosuje się na określenie wszystkich umownych znaków,
opisujących sposób wydobywania dźwięku lub wielodźwięków w celu uzyskania
zamierzonego efektu akustycznego i uwypuklenia charakteru utworu.
O organach z trakturą mechaniczną mówi się, że jako jedyne umożliwiają osiągnięcie
pełni muzycznego wyrazu, oznacza to m. in. precyzyjna grę pod względem rytmicznym.
Kontakt organisty z piszczałką odbywa się bezpośrednio poprzez naciśnięcie klawisza
w klawiaturze. Możliwość kształtowania stadium nabrzmiewania dźwięku objawia się
w pokonywaniu oporu klawisza połączonego mechanicznie z zaworem wiatrownicy tonowej początkowo większego ze względu na ciśnienie powietrza dociskające wentyl do otworu
wlotowego i późniejszego - złożonego tylko z oporu sprężyny. Ten dwufazowy charakter
oporu pozwala w opinii wielu organistów na świadome i dowolne kształtowanie procesu
narastania dźwięku.
2. MODELOWANIE PROCESÓW NARASTANIA W DŹWIĘKU ORGANOWYM
Przedmiotem niniejszego ćwiczenia będzie zapoznanie się z komputerowym
modelowaniem przebiegów przejściowych w dźwięku organowym opartym o nieliniową
teorię generowania drgań w piszczałce (Fletcher [1]).
Piszczałkę organową można potraktować jako system złożony z dwóch zasadniczych
części. Pierwszym podsystemem jest słup powietrza wewnątrz piszczałki. Jest to układ
w przybliżeniu liniowy i posiada nieskończoną liczbę modów drgań własnych. Drugi
podsystem stanowi strumień powietrza (ang. jet) działający na wargę piszczałki. Jest to
system wysoce nieliniowy. Rozpatrując piszczałkę należy zatem zbadać działanie obu tych
podsystemów oraz mechanizm, który je sprzęga.
Traktowanie piszczałki jako rezonatora jest stosowane w wielu publikacjach
dotyczących akustyki piszczałek organowych. Zakłada się, że piszczałka posiada szereg
modów drgań własnych o pulsacjach ni. Stosunek tych pulsacji jest w przybliżeniu
harmoniczny. Drgania te są tłumione przez opór ośrodka i inne zjawiska. Wychylenie xi dla
i–tego modu drgań można opisać równaniem:
xi´´ + ki xi´ + ni2 xi = λi F(t)
(1)
gdzie: F(t) – siła pobudzająca piszczałkę,
ni
– pulsacja rezonansowa i–tego modu drgań własnych,
ki
– współczynnik tłumienia,
λi
– współczynnik sprzężenia.
Działanie drugiego, nieliniowego podsystemu jest o wiele trudniejsze do opisania.
Strumień powietrza padający na wargę piszczałki jest odchylany na zewnątrz górnej wargi
(w takim przypadku ciśnienie w piszczałce maleje) lub do wnętrza piszczałki (ciśnienie
wzrasta). Przy stałej prędkości v siła wymuszająca F, wytwarzana przez strumień powietrza,
może być zapisana w formie wielomianu:
F = c0 + c1 v + c2 v2 + c3 v3 + ...
(2)
Współczynniki cn są zależne od ciśnienia. Aby uzyskać dostateczne przybliżenie krzywej F(v),
potrzebne są czynniki przynajmniej do trzeciego rzędu włącznie.
2
W rozpatrywanym przypadku należy wziąć pod uwagę, że przepływ powietrza o
prędkości v wpływa na strumień powietrza opuszczający szczelinę, natomiast odpowiedź
w postaci ciśnienia pojawia się z pewnym opóźnieniem δ. Jest to czas potrzebny na
przemieszczenie się wychylenia pomiędzy dolną a górną wargą. Na skutek zjawisk
dyspersyjnych δ może zależeć od częstotliwości oraz może wystąpić dodatkowe przesunięcie
fazy ∆. Jeżeli przez ω€i oznaczymy pulsację drgań i–tego modu drgań o pulsacji
rezonansowej ni , można uogólnić równanie (2) zapisując je w postaci:
∞ 
∆ 
F(t) = ∑ cm ∑ xi′ t − δi − ι  
ωι  
m =0
 i =1 
∞
m
(3)
Zachowanie się sprzężonego nieliniowego systemu piszczałka–strumień powietrza
zostało zatem opisane za pomocą układu równań (1) i (3), który można zapisać
w równoważnej formie:
xi´´ + ni2 xi = fi (xj´)
(4)
fi (xj) ≡ - ki xi´ + λi F (x1´, x2´, ...)
(5)
gdzie:
Należy zatem rozwiązać powyższy układ równań. Jednak rozwiązanie tego układu
metodami algebraicznymi nie jest możliwe, z uwagi na znaczny stopień skomplikowania
problemu. Fletcher proponuje zastosowanie metody małych parametrów [1]. Metoda ta jest
słuszna w przypadku, gdy kształt oscylacji nie zmienia się znacząco z cyklu na cykl. Warunek
ten jest w przypadku omawianego problemu spełniony. Rozwiązanie układu równań ma
postać:
xi = ai sin (ωi t + βi )
(6)
gdzie ωi ≅ ni oraz zarówno ai jak i βi wolno zmieniają się w czasie. Po odpowiednich
przekształceniach uzyskuje się:
ni 2 − ω i 2
1
'
βi = −
f ( x ) sin (ω i t + βi ) +
sin 2 (ω i t + β i )
αiωi i j
ωi
'
ai (ni 2 − ω i 2 )
1
ai =
f ( x ) cos(ω i t + β i ) −
sin (ω i t + β i ) cos (ω i t + β i )
ωi i j
ωi
'
(7)
(8)
Układ równań różniczkowych opisany wzorami (7) i (8) dla i–tych modów drgań
nadaje się już do rozwiązania metodami numerycznymi. Ponieważ jednak prawe strony tych
równań mają bardzo skomplikowaną formę (funkcja fi zawiera dużą liczbę czynników), czas
obliczeń może być bardzo długi, a rozwiązanie może nie zostać znalezione. Dlatego też
należy wprowadzić pewne uproszczenia, które nie będą miały istotnego wpływu na
dokładność wyników. Pochodne znajdujące się w równaniach (7) i (8) zostaną zastąpione
wartościami średnimi, znalezionymi przez scałkowanie równań po okresie drgań. Oznaczając
wartość średnią przez 〈 〉, można zapisać:
βi ' = −
n 2 − ωi 2
1
f i ( x j ' ) sin (ω i t + β i ) + i
ai ω i
2ω i
3
(9)
ai ' = −
1
f ( x ' ) cos (ω i t + βi )
ωi i j
(10)
W obliczeniach przyjęto wartości parametrów, otrzymane przez Fletchera
metodą pomiarów. Przyjęto konwencję wyrażania ciśnienia powietrza w milibarach
(1 mbar = 100 Pa). Prędkość fazowa zaburzeń poprzecznych dla strumienia powietrza
o średnicy od 1 do 2 mm wynosi α€≅ 0,2 prędkości strumienia. Opóźnienie propagacji δ dla
strumienia o długości l cm wynosi:
δ = 8 × 10− 4
l
α p
s
(11)
Pomija się tutaj zjawiska dyspersyjne i zakłada, że opóźnienie to nie zależy od częstotliwości.
Przyjmuje się także wartość przesunięcia fazowego:
∆≅π
(12)
Również w tym przypadku pomija się zależność od częstotliwości.
Następnie przyjmuje się wartości związane z wymiarami piszczałki:
– przekrój strumienia powietrza
3 cm × 0,1 cm
– przesunięcie strumienia powietrza 0,01 cm
– przekrój piszczałki
10 cm2
– wymiar wargi piszczałki
1 cm
Współczynniki opisujące siłę pobudzającą piszczałkę do drgań dane są wzorami:
c0 = 30 p
c1 = 0,4 γ p1/2
c2 = – 4 × 10-4 γ 2
c3 = – 7 × 10-7 γ 3 p -1/2
(13)
W powyższych wzorach p oznacza ciśnienie. Parametr γ opisuje czułość prędkości
poprzecznej strumienia powietrza na działanie prędkości akustycznej na wardze piszczałki.
Pomija się tutaj wiele zjawisk fizycznych zachodzących w strumieniu powietrza
wychodzącym ze szczeliny.
Pozostaje jeszcze opisanie ciśnienia działającego na wargę piszczałki. Jest to bardzo
istotne, ponieważ zmiany tego ciśnienia w czasie wpływają na postać transjentu
początkowego dźwięku piszczałki.
Fletcher przeprowadził pomiary wpływu ciśnienia na brzmienie dźwięku za pomocą
piszczałki ustawionej na symulowanej wiatrownicy z mechanicznie otwieranym zaworem.
Jeżeli zawór został otwarty nagle, to ciśnienie w piszczałce narastało szybko, osiągając po
ok. 0,01 s wartość szczytową, a następnie zanikało ze stałą czasową rzędu 0,1 s aż do
osiągnięcia stanu ustalonego. Wartość szczytowa ciśnienia była w tym przypadku zwykle
kilka razy większa niż wartość ciśnienia w stanie ustalonym (która jest mniejsza niż ciśnienie
statyczne w wiatrownicy). Wolniejsze otwieranie zaworu zmniejszało wartość szczytową
ciśnienia. Bardzo wolne otwieranie zaworu pozwalało ciśnieniu w piszczałce wzrastać powoli
aż do osiągnięcia stanu ustalonego.
Wszystkie opisane powyżej rodzaje transjentów ciśnienia można z wystarczającą
dokładnością opisać za pomocą następującego wyrażenia:
 t
p(t ) = p0 + ( p1 − p0 ) exp  − 
(14)
 τ
4
gdzie p1 oznacza początkową wartość ciśnienia (dla t = 0), p0 – ciśnienie w stanie ustalonym,
τ – stałą czasowa, określającą szybkość narastania ciśnienia. Można rozważyć trzy przypadki.
Jeżeli p1 jest większe niż p0, początkowy wzrost ciśnienia jest znaczny i można transjent tego
typu nazwać wybuchowym (ang. plosive), poprzez analogię do terminu fonetycznego. Gdy
p1 = p0, stan ustalony jest osiągany natychmiast, a taki transjent nazywa się ostrym (ang.
abrupt). Jeżeli p1 jest mniejsze niż p0, transjent jest wolny (ang. slow).
Wyrażenie (14) może być wstawione bezpośrednio do obliczanych równań.
Dodatkowo potrzebne są początkowe wartości amplitud ai i faz βi . Można je obliczyć na
podstawie wzorów:
ai0 = 0,5 p1 /i ni
βi 0 = - π / 2
ωi = ni
(15)
Wyrażenie (14) można powiązać ze sposobem otwierania dopływu powietrza do piszczałki.
Gdy p1 >> p0 , to można przyjąć że otwarcie zaworu nastąpiło w sposób gwałtowny. W
przypadku, gdy p1 = p0 , dźwięk narasta szybko, osiągając stan ustalony natychmiast, zaś w
trzecim przypadku p1 << p0 narastanie transjentu jest wolne.
3. SYSTEM MATHEMATICA
System Mathematica służy do przeprowadzania różnorodnych obliczeń
matematycznych. Dokument systemu Mathematica ma postać skryptu, składającego się z
komend systemu. Poszczególne komendy grupowane są w komórki (ang. cell). Wszystkie
komendy zawarte w jednej komórce wykonywane są wspólnie w jednym cyklu obliczeń.
Dokument systemu Mathematica otwiera się przy pomocy opcji Notebook / Open.
Komendy wypisywane są w kolejnych wierszach. Komendy w obrębie jednej komórki
oznaczone są klamrą na prawym marginesie. Wykonanie komend w komórce polega na
zaznaczeniu komórki przez kliknięcie myszą na klamrze oraz jednoczesnym naciśnięciu
klawiszy Shift i Enter (lub samego klawisza Enter na klawiaturze numerycznej). Komórka
zawierająca wykonane komendy jest oznaczana przez komunikat In[n], gdzie n jest numerem
wykonanej komórki, a wyniki działania komend oznaczane są odpowiednio przez komunikat
Out[n]. Wybranie opcji Evaluate / Notebook umożliwia przeliczenie całego dokumentu, od
pierwszej do ostatniej komórki.
4. ZADANIA
4.1.
Za pomocą programu Mathematica przeprowadzić modelowanie przebiegów
przejściowych dla zadanych wartości współczynników i ciśnień p0 i p1 .
Wartości parametrów ciśnienia przyjąć następująco:
p0,
p1
2mb, 6mb
2mb, 2mb
2mb, 0.5mb
5mb, 5mb
10mb, 10mb
Wartości pozostałych parametrów są wyznaczone eksperymentalnie i dotyczą
piszczałki o ustalonych wymiarach. Ponieważ w programie nie można zmieniać
menzury piszczałki wskazane jest zachowanie wartości tych parametrów.
5
5. OPRACOWANIE
5.1.
Porównać wyniki symulacji uzyskane dla różnych wartości parametrów p1 i p0.
Zwrócić szczególną uwagę na postać transjentów oraz występowanie przedęcia.
Opisać różnice w brzmieniu poszczególnych dźwięków. Omówić wpływ postaci
transjentu na brzmienie dźwięku.
LITERATURA
[1]. N. H. Fletcher, Transients in the Speech of Organ Flue Pipes - A Theoretical Study,
Acustica, vol. 34, 1976.
6