Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Wykład 3
1. Chcemy uogólnić pojęcie długości odcinka na większą klasę zbiorów. Łatwo przenieść
pojęcie na sumy rozłączne odcinków, ale dalej? Postulaty dla funkcji zbioru µ:
1. µ(A) jest zdefiniowana dla każdego A ⊂ R
2. dla odcinków µ(I) o długość odcinka I
3. przeliczalna addytywność (czyli sensowne zachowanie przy operacji sumy)
4. niezmienniczość na przesunięcia, tzn. µ(x + A) = µ(A).
Okazuje się, że to się nie uda! Zrezygnujemy z pierwszego postulatu i będziemy konstruować
miary tylko na wybranych rodzinach zbiorów – na σ-algebrach.
2. Skąd problemy ze spełnieniem wszystkich postulatów? Miara Jordana jest sensowną
próbą przeniesienia definicji pola znanych figur płaskich na dowolne podzbiory R2 . Licząc
miarę Jordana przybliżamy zbiór od dołu i od góry prostokątami. Jeśli biorąc coraz lepsze
przybliżenia od wewnątrz i od zewnątrz uzyskamy te same liczby, określiliśmy miarę Jordana. Łatwo skonstruować zbiory niemierzalne: zbiór liczb wymiernych (zawarty w kwadracie
[0, 1] × [0, 1]), „kwadrat z dziurami”.
3. Formalna definicja miary i własności.
Definicja 1 Miara na σ-algebrze F to nieujemna funkcja zbioru µ : F → R̄, która jest
przeliczalnie addytywna i spełnia µ(∅) = 0.
Zbiory z σ-algebry będziemy nazywać mierzalnymi względem F. Parę (X, F) nazwiemy
przestrzenią mierzalną, a trójkę (X, F, µ) przestrzenią miarową lub przestrzenią z miarą.
Fakt 1 Miara jest subtraktywna, tzn. A ⊂ B pociąga µ(B \ A) = µ(B) − µ(A), gdy µ(A) <
∞.
Dowód
µ(B \ A) + µ(A) = µ(B)
Teraz wystarczy przenieść µ(A) na prawą stronę. Fakt 2 µ(A) + µ(B) = µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B)
Dowód
µ(A) + µ(B) = µ(A ∩ B) + µ(A \ B) + µ(B)
|
{z
µ(A∪B)
}
Fakt 3 Miara jest monotoniczna, tzn. A ⊂ B pociąga µ(A) ¬ µ(B).
Dowód Wynika z faktu 2. Fakt 4 Miara jest przeliczalnie podaddytywna, tzn. µ(
S∞
n=1 An )
¬
P∞
n=1 µ(An ).
Dowód Urozłączniamy zbiory An :
µ(
∞
[
n=1

An ) = µ 


∞
[
n=1
An \ (A1 ∪ ... ∪ An−1 ) =

}
{z
|
Bn
∞
X
n=1
µ(Bn ) ¬
∞
X
µ(An )
n=1
Fakt 5 Miara jest „ciągła w górę”, tzn. jeśli A1 ⊂ A2 ⊂ ... dla A1 , A2 ... ∈ F ,to
[
lim µ(An ) = µ(
n→∞
An ).
n
Jeśli µ(X) < ∞), to miara jest też „ciągła w dół”, tzn. jeśli A1 ⊃ A2 ⊃ ... dla
T
A1 , A2 ... ∈ F ,to limn→∞ µ(An ) = µ( n An ).
Dowód Na ćwiczeniach. 4. Przykłady:
(
1. miara licząca: n(A) =
n
dla A n-elementowego
,
+∞ dla A nieskończonego
(
2. miara Diraca: δx (A) =
1 gdy x ∈ A
,
0 gdy x ∈
6 A
3. miara o skończonym nośniku:
µ(A) =
N
X
an · δxn (A)
n=1
dla pewnego zbioru {x1 , ..., xN } ⊂ X oraz zbioru liczb dodatnich {a1 , ..., aN },
4. Niech f (x) będzie funkcją całkowalną. Określmy
Z 1
µ(A) =
0
f (x)1A (x) dx
Uwaga: tu czai się drobne oszustwo, bo musimy mieć gwarancje, ze funkcja f · 1A
musi dać się scałkować.
Definicja 2 Miarę µ : F → R̄ nazywamy:
• skończoną, gdy µ(X) < ∞,
• σ-skończoną, gdy istnieje ciąg zbiorów X1 , X2 , ... ∈ F taki, że X = ∞
n=1 Xn i
µ(Xn ) < ∞ dla każdego n (można dodatkowo zażądać by Xn były parami rozłączne).
S