Lista nr 2

Kierunek Zarządzanie, W08, I rok
Statystyka opisowa
Lista 2.
Elementy rachunku prawdopodobieństwa.
1. Wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, medianę i modalną zmiennej losowej X, która jest
zdefiniowana jako wypłata w pewnej grze hazardowej. Gra bazuje na dwukrotnym rzucie kostką do gry, w przypadku sumy
oczek podzielnej przez 4 tracimy 5 zł, w przypadku sumy podzielnej przez 5 wygrywamy 5 zł, w przypadku sumy mniejszej
niż 4 tracimy 10 zł, wygrywamy 3 zł w pozostałych przypadkach.
2. Wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, medianę i modalną zmiennej losowej X, której rozkład
prawdopodobieństwa jest określony gęstością
3

x
f ( x)  
2
 0
x  0,1
x  0,1
.
3. Czas pracy baterii produkowanych przez pewną firmę ma rozkład normalny (badania). Przeciętny czas pracy jednej baterii
wynosi 20h natomiast odchylenie standardowe czasu pracy wynosi 5h. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
a) czas pracy losowo wybranej baterii przekracza 21h,
b) czas pracy losowo wybranej baterii nie przekracza 19h,
c) czas pracy losowo wybranej baterii mieści się w zakresie (18h,22h).
4. Załóżmy, że tygodniowe wydatki gospodarstw domowych podlegają rozkładowi normalnemu. Na podstawie 100
elementowej próby losowej gospodarstw domowych otrzymano następujące wyniki x  451 , S  180 . Wyznaczyć
przybliżony odsetek gospodarstw domowych
a) w których tygodniowe wydatki przekraczają 1000 zł,
b) w których tygodniowe wydatki mieszczą się w granicach 400-600 zł.
5. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa
0
1
2
0,3
0,4
0,3
xi
P( X  xi )
zmienna losowa Y ma rozkład prawdopodobieństwa
yi
P(Y  yi )
0
1
2
3
0.1
0.4
0.4
0.1
Znaleźć rozkład następujących zmiennych U=X+Y przy założeniu, że zmienne losowe X, Y są niezależne.
6. Łączny rozkład zmiennych X i Y przedstawia tabelka
Y
-5
3
X
0
0,125
0,125
2
0,5
C
Wyznaczyć stałą c oraz rozkłady brzegowe i warunkowe. Wyznaczyć współczynnik korelacji zmiennych X,Y.
7. Niech X,Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o następujących rozkładach:
P(X=1)=0.5 P(X=2)=P(X=3)=0.25
P(Y=0)=0.5 P(Y=1)=P(Y=2)=0.25
Znaleźć łączny rozkład X i Y.
8. Prawdopodobieństwo uzyskania wygranej w pewnej grze wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciuset
grających osób wygra więcej niż 50 osób? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra mniej niż 25 osób?
9. Wadliwość towaru wynosi przeciętnie 2%. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że przy wnikliwej kontroli wykrytych
zostanie, co najmniej 6 wadliwych sztuk z partii 200 sztuk tego towaru.
10. Ile razy trzeba wziąć udział w grze Duży Lotek, aby z prawdopodobieństwem 50% wygrać „szóstkę”? Przyjąć założenie,
że jedna gra oznacza zakład.