Kolokwium nr 1 z Matematyki Dyskretnej
Transkrypt
Kolokwium nr 1 z Matematyki Dyskretnej
Kolokwium nr 1 z Matematyki Dyskretnej Informatyka, studia dzienne magisterskie *** E 1. Deniujemy rekurencyjnie ci¡g en wzorami: e0 = e1 = e2 = 1 oraz en = en−1 + en−2 + en−3 dla n > 3. Wyznacz siedem pocz¡tkowych wyrazów tego ci¡gu. Udowodni¢, »e wszystkie wyrazy tego ci¡gu s¡ nieparzyste i dla wszystkich n > 1 zachodzi nierówno±¢ en 6 2n−1 . 2. Grupa 41 studentów zaliczyªa sesj¦ skªadaj¡c¡ si¦ z 3 egzaminów. Mo»liwe oceny: 5, 4, 3. Udowodni¢, »e co najmniej pi¦cioro studentów zaliczyªo sesj¦ z jednakowymi ocenami. 3. Korzystaj¡c z zasady wª¡czania -wyª¡czania obliczy¢ warto±¢ funkcji Eulera dla liczby 1260. 4. Niech en b¦dzie ci¡giem zadanym wzorami: e0 = a oraz en = qen−1 + r dla n > 1. Wyznacz 6 pierwszych wyrazów tego ci¡gu. Stosuj¡c technik¦ funkcji tworz¡cych znajd¹ wzór jawny na n-ty wyraz ci¡gu en . 5. Niech S(n, k) oznacza liczb¦ podziaªów zbioru n-elementowego na k bloków i Bn = S(n, 0) + S(n, 1) + · · · + S(n, n). Oblicz B8 . Uzasadnij zale»no±¢ rekurencyjn¡ S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k). 6. Niech X = {1, 2, 3, . . . , n}. Je»eli A jest niepustym podzbiorem zbioru X , to przez min(A) oznaczymy P najmniejsz¡ liczb¦ nale»¡c¡ do zbioru A. Obliczy¢ n 6 5. ∅6=A⊂X min(A). Rozwa»y¢ przynajmniej przypadek *** F 1. Deniujemy rekurencyjnie ci¡g fn wzorami: f0 = 1, f1 = 3, f2 = 5 oraz fn = 3fn−2 + 2fn−3 dla n > 3. Wyznaczy¢ siedem pocz¡tkowych wyrazów tego ci¡gu. Udowodni¢, »e dla wszystkich n > 1 zachodz¡ nierówno±ci 2n < fn < 2n+1 oraz speªniona jest zale»no±¢ fn = 2fn−1 + (−1)n−1 . 2. Ile jest ró»nych funkcji ze zbioru 7-elementowego w zbiór 3-elementowy, które nie s¡ 'na' ? 3. W ukªadzie wspóªrz¦dnych zaznaczono 5 punktów o wspóªrz¦dnych caªkowitych. Udowodni¢, »e w±ród wszystkich dziesi¦ciu odcinków o ko«cach w zaznaczonych punktach istnieje taki, którego ±rodek jest punktem o wspóªrz¦dnych caªkowitych. 4. Niech en b¦dzie ci¡giem zadanym wzorami: f0 = a oraz fn = qfn−1 + r dla n > 1. Wyznacz 6 pierwszych wyrazów tego ci¡gu. Stosuj¡c technik¦ funkcji tworz¡cych znajd¹ wzór jawny na n-ty wyraz ci¡gu fn . 5. Niech S(n, k) oznacza liczb¦ podziaªów zbioru n-elementowego na k bloków. Oblicz S(12, 3). Niech bn = S(n + 3, 3), dla n > 0. Znajd¹ wzór rekurencyjny na bn . 6. Niech X = {1, 2, 3, . . . , n}. Je»eli A jest niepustym podzbiorem zbioru X , to przez min(A) oznaczymy P najmniejsz¡ liczb¦ nale»¡c¡ do zbioru A. Obliczy¢ n 6 5. ∅6=A⊂X min(A). Rozwa»y¢ przynajmniej przypadek *** G 1. Deniujemy rekurencyjnie ci¡g gn wzorami: g0 = g1 = g2 = 1 oraz gn = gn−1 + gn−3 dla n > 3. Wyznaczy¢ siedem pocz¡tkowych √ wyrazów tego ci¡gu. Udowodni¢, »e dla wszystkich n > 3 zachodz¡ nierówno±ci gn > 2gn−2 i gn > ( 2)n−2 . Rozwi¡zanie Z denicji ci¡gu wynika, »e g3 = g2 + g0 = 2, g4 = g3 + g1 = 3, g5 = g4 + g2 = 4, g6 = g5 + g3 = 6 i g7 = g6 + g4 = 9. Dowodzimy najpierw nierówno±¢ gn > 2gn−2 . Sprawd¹my najpierw jego prawdziwo±¢ dla trzech najmniejszych warto±ci n, poniewa» wzór rekurencyjny na n-ty wyraz ci¡gu odwoªuje si¦ do trzech bezpo±rednio poprzedzaj¡cych wyrazów. Dla n = 3 mamy g3 = 2 > 2·1 = 2g1 . Podobnie dla n = 4, g4 = 3 > 2·1 = 2g2 . Wreszcie dla n = 5 mamy g5 = 4 > 2 · 2 = 2g3 . Zaªó»my prawdziwo±¢ wzoru dla wszystkich k takich, »e k < n, gdzie n > 5. Dowodzimy prawdziwo±ci tego wzoru dla n. Mamy z def. gn = gn−1 + gn−3 z zaª. ind. > z def. 2gn−3 + 2gn−5 = 2(gn−3 + gn−5 ) = 2gn−2 , a to wªa±nie chcieli±my udowodni¢. √ Przejd¹my teraz do nierówno±ci gn > ( 2)n−2 . Znowu sprawd¹my najpierw jego prawdziwo±¢ dla trzech najmniejszych warto±ci n, poniewa» wzór rekurencyjny na n-ty wyraz√ci¡gu odwoªuje √ 3−2 si¦ do trzech bezpo±rednio poprzedzaj¡cych wyrazów. Dla n = 3 mamy g = 2 > 2 > 2 = ( dla 3 √ 2 √ 4−2 √ 2) √ . Podobnie √ 5−2 3 n = 4, g4 = 3 > 2 > ( 2) = ( 2) i wreszcie dla n = 5 mamy g5 = 4 > 3 > 2 2 = ( 2) = ( 2) . Zaªó»my prawdziwo±¢ wzoru dla wszystkich k takich, »e k < n, gdzie n > 5. Dowodzimy prawdziwo±ci tego wzoru dla n. Mamy z def. gn = gn−1 + gn−3 z zaª. ind. > √ √ √ √ ( 2)n−3 + ( 2)n−5 = ( 2)n−5 (( 2)2 + 1) = √ √ √ √ √ √ = ( 2)n−5 · 3 > ( 2)n−5 · (2 2) = ( 2)n−5 · ( 2)3 = ( 2)n−2 co byªo do udowodnienia. 2. Wyznaczy¢ liczb¦ wszystkich rozwi¡za« w liczbach caªkowitych równania x1 + x2 + x3 + x4 = 10, speªniaj¡cych warunki −1 6 xi , i ∈ {1, 2, 3, 4}. Rozwi¡zanie Dla i = 1, 2, 3, 4 wprowad¹my nowe zmienne yi = xi + 1. Wówczas z warunków xi > −1 otrzymujemy, »e yi > 0. Po wstawieniu do równania yi −1 w miejsce xi i przeniesieniu na praw¡ stron¦ wyrazów wolnych otrzymujemy równanie y1 + y2 + y3 + y4 = 14, yi > 0, i = 1, 2, 3, 4. Jak wiadomo liczba rozwi¡za« tego równania w liczbach caªkowitych jest równa ¡17¢ 3 . 3. W kwadracie boku 1 wybrano 51 punktów. Udowodni¢, »e w±ród nich znajd¡ si¦ 3, których wzajemne odlegªo±ci ka»dych dwóch s¡ mniejsze od 27 . Rozwi¡zanie Podzielmy nasz kwadrat na 25 przystaj¡cych kwadratów o boku 15 . Mamy wi¦c 25 kwadratów i wobec tego z 51 punktów umieszczonych w du»ym kwadracie jakie± trzy musz¡ si¦ znale¹¢ w jednym z maªych kwadratów (gdyby w ka»dym z maªych kwadratów byªo co najwy»ej 2 punkty, to ª¡cznie mieliby±my √nie wi¦cej ni» 50 punktów). Odlegªo±ci punktów le»¡cych w maªym kwadracie nie przekraczaj¡ liczby 52 , która z kolei, jak ªatwo sprawdzi¢, jest mniejsza od 2 . 4. Niech an b¦dzie ci¡giem zadanym wzorami: a0 = a oraz an = qan−1 + n dla n > 1. Wyznacz 6 pierwszych wyrazów tego ci¡gu. Stosuj¡c technik¦ funkcji tworz¡cych znajd¹ wzór jawny na n-ty wyraz ci¡gu an . 5. Niech S(n, k) oznacza liczb¦ podziaªów zbioru n-elementowego na k bloków. Oblicz S(12, 3). Niech bn = S(n + 3, 3), dla n > 0. Znajd¹ wzór rekurencyjny na bn . 6. Niech X = {1, 2, 3, . . . , n}. Wyznaczy¢ wzór okre±laj¡cy liczb¦ wszystkich par (A, B) podzbiorów zbioru X takich, »e A ∩ B = ∅. Rozwa»y¢ przynajmniej przypadek n 6 5. *** H 1. Niech hn b¦dzie n-tym wyrazem ci¡gu zdeniowanego wzorem: h0 = 0, h1 = 1, i hn = hn−1 + hn−2 √ dla n > 2. Udowodni¢, »e dla ka»dej liczby naturalnej n zachodzi nierówno±¢ hn 6 τ n−1 , gdzie τ = 1+ 5 2 . 2. Niech n b¦dzie ustalon¡ liczb¡ naturaln¡. Ile jest rozwi¡za« w liczbach caªkowitych równania x1 + x2 + x3 + x4 = n, je±li xi > 3 dla i ∈ {1, 2, 3, 4}. 3. Niech a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 bed¡ dowolnym liczbami caªkowitymi. Udowodni¢, »e liczba Y 6 6 (aj − ai ) 1 i<j 6 dzieli si¦ przez 60. 4. Niech an b¦dzie ci¡giem zadanym wzorami: a0 = a, oraz an = qan−1 − n dla n > 1. Wyznacz 6 pierwszych wyrazów tego ci¡gu. Stosuj¡c technik¦ funkcji tworz¡cych znajd¹ wzór jawny na n-ty wyraz ci¡gu an . 5. Niech P (n, k) oznacza liczb¦ przedstawie« liczby n w postaci n = b1 + b2 + · · · + bk , gdzie bi (i = 1, 2, . . . , k ) s¡ caªkowite i b1 > b2 > . . . > bk > 1. Wyprowad¹ wzór na P (n, n − 4). Rozwa» przynajmniej przypadek n = 10. 6. Niech X = {1, 2, 3, . . . , n}. Wyznaczy¢ wzór okre±laj¡cy liczb¦ wszystkich par (A, B) podzbiorów zbioru X takich, »e A ⊂ B . Rozwa»y¢ przynajmniej przypadek n 6 5.