Rachunek Matematyka , Lista 5
Transkrypt
Rachunek Matematyka , Lista 5
Rachunek Matematyka , Lista 5 Zad.51. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, o których wiemy, że E(X) = 1, E(Y ) = 2, V ar(X) = 1, V ar(Y ) = 16. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej: a) (X + Y + 1)2 , b) X 2 + 2Y 2 − XY + 4X − Y + 3. Zad.52. Wykaż, że jeśli V ar(X) < ∞, V ar(Y ) < ∞, to: a) E(XY ) istnieje, tzn. jest skończona; def b) Cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(XY ) − E(X)E(Y ); c) (E(XY ) − E(X)E(Y ))2 ¬ V ar(X)V ar(Y ), zatem ρXY ∈ [−1, 1]. Wskazówka: Przypomnij sobie nierówność Schwarza dla całek i skorzystaj z niej. Zad.53. Dana jest funkcja 0 F (x) = ax2 + bx 1 dla x ¬ 0, dla 0 < x ¬ 1, dla x > 1. Znajdź wszystkie pary liczb rzeczywistych a, b, dla których F jest dystrybuantą. Dla jakich par jest to dystrybuanta rozkładu absolutnie ciągłego? Zad.54. Punkt w ∈ R nazywamy punktem wzrostu dystrybuanty F , jeśli dla każdego ε > 0 zachodzi nierówność F (w + ε) − F (w − ε) > 0. Podaj przykład rozkładu dyskretnego, dla którego każdy punkt prostej rzeczywistej jest punktem wzrostu jego dystrybuanty. Zad.55. (dystrybuanta Cantora) Zbiór Cantora C to zbiór wszystkich liczb t postaci (∗) t = t2 t3 tn t1 + 2 + 3 + ... + n + ..., 3 3 3 3 gdzie tn przybiera jedną z dwóch wartości: 0 lub 2. Są to zatem te liczby z przedziału [0, 1], które można zapisać w systemie trójkowym bez użycia cyfry 1. a) Podaj przykład takiej liczby z [0, 1], która ma dwa różne zapisy w systemie trójkowym (wskazówka: w dziesiętnym 1=0,9999...) i opisz zbiór liczb z [0, 1] z niejednoznacznym zapisem trójkowym. b) Zauważ, że każda liczba ze zbioru C ma jednoznaczny zapis w systemie trójkowym (dlaczego?). Określmy funkcję schodkową, przekształcającą zbiór Cantora na odcinek [0, 1], kładąc dla liczb zapisanych w postaci (∗) t2 t3 tn 1 t1 + 2 + 3 + ... + n + ... φ(t) = 2 2 2 2 2 Poza zbiorem Cantora kładziemy odpowiednie stałe tak, aby funkcja o dziedzinie rozszerzonej z C do [0, 1] była niemalejąca. c) Zrób szkic wykresu tak określonej funkcji. d) Wykaż, że jest to dystrybuanta ciągła ale nie absolutnie ciągła. e) Czy potrafisz obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej o tej dystrybuancie? Zad.56. Niech FX będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Załóżmy, że FX jest ciągła i ściśle rosnąca. a) Znajdź dystrybuantę zmiennej losowej FX (X). b) Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = FX−1 na przestrzeni probabilistycznej ([0, 1], B[0, ∞] , dx). c)♥ Gdy dystrybuanta F nie jest ściśle rosnąca, to nie ma funkcji odwrotnej. Można jednak wówczas określić pewną funkcję G, kładąc G(t) = inf{s : F (s) > t}. Spróbuj znaleźć G, gdy F (t) = 0 dla t ¬ 0 i F (t) = 1 dla t > 0 oraz dla dystrybuanty o dwóch skokach. Znajdź G, gdy F jest dystrybuantą i F (t) = t dla 0 ¬ t ¬ 1. Jak wygląda G, gdy F jest funkcją Cantora? d)♥ Czy dla każdego rozkładu niejednopunktowego można określić zmienną o takim właśnie rozkładzie, ale w pewien sposób regularną, np. monotoniczną?