+ 2

Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
1
Ruch falowy
Falą nazywa się kaŜde rozprzestrzenianie się zaburzenia w przestrzeni.
Najcześciej rozpatruje się fale harmoniczne opisane funkcjami harmonicznymi ale ogólnie fala moŜe
być opisana
r r
f (r ± v t )
gdzie f jest dowolną funkcją, a wektory r i v to połoŜenie i prędkość fali. Znak przy prędkości określa
kierunek ruchu fali.
Fale mechaniczne mogą rozprzestrzeniać się w ośrodkach ciągłych
jak woda, powietrze, metal, drewno
lub teŜ ośrodkach dyskretnych
jak układ sprzęŜonych oscylatorów (np. wahadeł)
Fala poprzeczna:
drgania ośrodka zachodzą prostopadle do kierunku propagacji fali;
takie fale są odkształceniami postaci ⇒ zachodzą tylko w ośrodkach stałych ale teŜ fale
elektromagnetyczne są falami poprzecznymi
Fala podłuŜna
drgania zachodzą w kierunku równoległym do propagacji;
rozchodzą się odkształcenia objętości - przykład: fale akustyczne
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
Rozpatrzmy falownicę pionową sk»adajca si“ z N sprz“óonych wahade»
torsyjnych.
Równanie ruchu pojedy½czego wahad»a torsyjnego:
2
2 d ϕ
2ml
= - κ ϕ ≡ - κ ( ϕ -ϕ0 )
2
dt
przy czym ν0 = 0.
Dla n-tego wahad»a falownicy
2
2 d ϕ
2ml
= - κ ( ϕ n - ϕ n +1 ) - κ ( ϕ n - ϕ n - 1 )
2
dt
2
κ
d ϕ
=
( ϕ n - 1 - 2 ϕ n + ϕ n +1 )
2
2
2ml
dt
2
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
Rozpatrzmy falownicę poziomą sk»adajc si“ z N sprz“óonych
wahade» matematycznych.
Równanie ruchu dla n-tego wahad»a tej falownicy:
d ϕ
ml
= - m g l ϕ n - κ ( ϕ n - ϕ n +1 ) - κ ( ϕ n - ϕ n - 1 )
2
dt
2
κ
d ϕ
2
=
+
( ϕ n - 1 - 2 ϕ n + ϕ n +1 )
ϕ
ω0 n
2
2
ml
dt
g
2
≡
ω0
l
2
2
3
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
4
Model mechanicznego oÑÑrodka cig»»ego:
Gdy wahade» jest bardzo wiele (lub teó obserwujemy nasz uk»ad z duóej odleg»oÑci) mas“ skupion mozna
zastpiƒ
m→ρ ∆
gdzie
ρ jest g“stoÑci masy
∆ jest odleg»oÑci pomi“dzy wahad»ami
Model oÑrodka cig»ego otrzymuje si“ w granicy ∆ → 0 .
Na marginesie: przejÑcie do granicy naleóy tak wykonaƒ aby ca»kowita masa uk»adu pozosta»a nie
zmieniona.
Wtedy dla falownicy pionowej otrzymuje si“
2
2
∂ ϕ 2∂ ϕ
-c
=0
2
2
∂t
∂x
które w elektrodynamice najcz“Ñciej pisze si“ w postaci
2
2
∂ ϕ - 1 ∂ ϕ =0
∂ x2 c 2 ∂ t 2
Jest to równanie falowe.
Dla falownicy poziomej, po przejÑciu do granicy, otrzymuje si“ równanie
2
2
∂ ϕ 2∂ ϕ
2
=
ϕ
c
ω
0
2
2
∂t
∂x
które jest znane jako równanie Kleina-Gordona.
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
5
Oba równania maj rozwizania w postaci fali:
ϕ ( x, t ) = f ( x ± c t )
przy czym funkcja f(x,t) musi byƒ cig»a wraz z drugimi pochodnymi obydwu argumentów
- a poza tym jest dowolna.
W szczególnoÑci rozwizaniami tych równa½ s
fale harmoniczne:
ϕ ( x, c t ) = A sin ( k x ± ω t +ψ )
2π
2π
ω
gdzie k ≡
; ω ≡ 2π ν =
; c =ν λ =
λ
T
k
Zwizek dyspersyjny
Dla ustalenia uwagi:
rozwaómy opisan“ powyóej falownic“ poziom.
Dana jest fala harmoniczna w postaci:
ϕ n = A cos ( ω t - k z +ψ ) ; z = n ∆
ϕ n +1 + ϕ n - 1 = 2 ϕ n cos (k ∆ )
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
6
JeÑli wstawiƒ te wyraóenia do równania ruchu (równania Kleina-Gordona) i podzieliƒ obie strony przez
cos ( ω t - k z +ψ ) otrzymuje si“
g 2κ
2
ω = + 2 [ 1 - cos ( k ∆ ) ]
l ml
g 4κ
2
2
ω = + 2 sin ( k ∆ )
l ml
Jest to Relacji dyspersji:
Zaleónoу cz“stoÑci fali harmonicznejω od liczby falowej k (czyli od d»ugoÑci fali)
Dla falownicy poziomej (równanie Kleina-Gordona) okazuje si“, óe fale harmoniczne maj ograniczony
zakres cz“stoÑci:
ω ∈ [ ω min , ω max ]
g
l
4κ
2 = 2=
ω min
ω0
g
l m l2
Natomiast dla falownicy pionowej (równanie falowe) jest inaczej:
ω min = 0
Tak wi“c falownica pozioma jest filtrem mechanicznym dla fal harmonicznym - filtrem
Ñrodkowoprzepustowym.
2 = +
ω max
Natomiast falownica pionowa jest filtrem dolnoprzepustowym.
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
7
Pytanie:
A co b“dzie jeÑli wymusimy cz“stoÑci z poza przedzia»u dost“pnego dla fal harmonicznych ?
Wtedy fale harmoniczne nie b“d si“ rozchodziƒ:
powstanie drganie gasnące z odległością od krańca ośrodka
wnika ono do wnętrz ośrodka tylko na pewną głębokość.
Przyk»ad Jonosfera jest filtrem dla fal harmonicznych:
2
2
2
2
Dla ω > ω p
ω =ωp+c k
i dla tego zakresu cz“stoÑci rozchodz si“ fale harmoniczne.
Dla cz“stoÑci mniejszych fale harmoniczne s t»umione w jonosferze.
Pr““dkoÑу fazowa fal harmonicznych:
Dana jest fala o postaci
faza tej fali Ψ ( z , t ) = ω t - k z
ϕ ( z, t ) = A cos ( ω t - k z)
dΨ ( z, t ) =
∂Ψ
∂Ψ
d t+
d z=ω d t - k d z
∂t
∂z
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
8
Fala harmoniczna ma postaƒ niezmienn w czasie (wynik obserwacji)
a wi“c wymagamy d Ψ ( z, t ) = 0
tak b“dzie gdy
dz
ω
≡ vf =
dt
k
gdzie v f jest prędkością fazową fali harmonicznej.
Pr““dkoÑу grupowa fal harmonicznych
Fale harmoniczne ÑciÑle monochromatyczne wyst“puj rzadko.
Zazwyczaj mamy do czynienia ze ïród»em fal harmonicznych z pewnego (wskiego) zakresu cz“stoÑci a
ponadto fala jest ograniczona w czasie.
Tworzy si“ wtedy tzw. grupa fala (paczka fal), która formalnie moóe zostaƒ przedstawiona jako
superpozycja fal harmonicznych o odpowiednich fazach i cz“stoÑciach.
Przykład: tworzenie paczki fal {HYPERLINK: http://phys.educ.ksu.edu/vqm/html/wpe.html}
Przyk»ad:
Fale na powierzchni wody powstajce gdy wrzucimy kamie½ do wody.
Przykład: propagacja prostej paczki fal
}
{HYPERLINK: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Wave_packet_%28no_dispersion%29.gif
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
9
Maksimum paczki fal porusza si“ z pr““dkoÑÑci grupow
dω
vg =
dk
Definicja ta bierze si“ z tego (i ma wtedy sens), óe z tak pr“dkoÑci porusza si“ grupa fal o postaci
ϕ ( z, t ) =
k 0 + ∆k
∫
A(k) cos( ωt - kz)dk przy czym
k 0 - ∆k
zakres wektora falowego ∆k jest ma»y
a ponadto
zaleónoу dyspersyjn ω(k) moóna rozwinƒ w szereg Taylora ograniczajc si“ do pierwszego
wyrazu (przyblióenie liniowe)
A(k) jest dane przez funkcj“ Gaussa
Dyspersja fal harmonicznych
Naleóy odróóniaƒ zaleónoу dyspersyjn
od
zjawiska dyspersji fal.
Dyspersja fal: Gdy pr“dkoу fazowa vf ≠ vg to poszczególne fale tworzce paczk“ fal b“d poruszaƒ si“ z
pr“dkoÑciami fazowymi innymi nió maksimum paczki. Prowadzi to do zmiany jej kszta»tu (“rozmycia”).
ºatwo sprawdziƒ kiedy tak b“dzie - wszystko zaleóy od w»asnoÑci oÑrodka w wi“c od postaci zaleónoÑci
dyspersyjnej ω(k).
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
Przyk»ad:
Dla falownicy pionowej
1
2
ω=
ϖ/ϖmax
0.6
0.4
vf =
0.2
ω
k
4κ
2 k∆
( )
sin
m l2
2
4κ
k∆
(
)
sin
2
ml
2
ω=
0.8
10
=
4κ
m l2
k∆
)
Gdy ω(k) jest liniowe to vf = vg
2
k
sin(
0
-1.5
-1.25
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
(k∆)/2
Gdy ω(k) jest jakkolwiek nieliniową funkcj oÑrodek jest dyspersyjny.
Zjawisko dyspersji na ogó» zaleóy od d»ugoÑci fali.
Jak widaƒ w poblióu k∆ → 0 tzn dla λ→
→∞ (d»»ugie fale)
4κ ∆
→
vf
m l2 2
W tym zakresie d»ugoÑci fale pr“dkoу grupowa b“dzie równa pr“dkoÑci fazowej i oÑrodek nie jest
dyspersyjny.
Natomiast dla |
k∆
π
|→
dyspersja zachodzi.
2
2
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
11
Solitony:
W niektórych ośrodkach nieliniowych – opisanych nieliniowymi równaniami falowymi – dyspersja
ośrodka jest kompensowana przez nieliniowość ośrodka.
Ośrodki takie nazywamy solitonowymi a fale w nich powstające nazywamy solitonami.
∂ ϕ - c 2 ∂ ϕ + ω 2 sin ϕ = 0 równanie sinusowe Gordona
Przykład równania solitonowego:
∂t2
∂ x2
2
2
0
Solitony są zlokalizowanymi falami podobnie jak paczka fal
ale – na skutek braku dyspersji – zachowują swój kształt.
Mają zastosowanie w telekomunikacji światłowodowej i optyce zintegrowanej.
Przykładem solitonu jest teŜ fala tsunami. {hyperlink: http://www.geophys.washington.edu/tsunami/movies/globe.mov }
W trakcie zderzenia dwóch solitonów nast“puje szereg gwa»townych efektów ale typowe nieliniowe
efekty jak mieszanie cz“stoÑci itp nie zachodz. Jedynie po zderzeniu solitony wyst“puj w nieco innych
miejscach (przesuni“cie fazy) nió gdyby zderzenia nie by»o.
Jest to nieoczekiwane gdyó
oÑrodki te s nieliniowe i zasada superpozycji nie powinna w nich obowizywaƒ. Paczk“ fale tworzy
si“ w»aÑnie w oparciu o ni (synteza fourierowska).
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
12
oÑrodki te s dyspersyjne. O tym przekonaliÑmy si“ analizujc równanie Kleina-Gordona - liniow
postaƒ równania sinusowego Gordona. W oÑrodkach dyspersyjnych paczka fal ulega rozmyciu na
skutek niezgodnoÑci pr“dkoÑci grupowej z pr“dkoÑci fazow poszczególnych fal harmonicznych
tworzcych ni. JednakŜe w ośrodku solitonowym dyspersja jest kompensowana przez nieliniowość
ośrodka.
Soliton (skrót od ang. solitary wave) jest w»aÑciwie modelem matematycznym o bardzo wskim zakresie
stosowania:
uk»ad musi byƒ jednowymiarowy
ÑciÑle zachowawczy (bez t»umienia czyli strat)
Pomimo tego moóna go stosowaƒ w wielu bardzo technicznie i poznawczo ciekawych sytuacjach.
• Wiele modeli da si“ sprowadziƒ do postaci jednowymiarowej (np. przez wyporzystanie symetrii
obrotowej)
• W wielu sytuacjach stacjonarnych straty w oÑroku s kompensowane przez sta»y dop»yw energii do
oÑrodka. Wtedy nie moóna juó rozwizaƒ równa½ analitycznie (nie znamy odpowiednich metod) ale
za to numerycznie moóna pokazaƒ, óe oÑrodek zachowuje w»asnoÑci solitonowe.
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
Pos»ugujc si“ modelem solitonowym analizuje si“ obecnie wiele waónych problemów:
fale morskie wywo»ane trz“sieniami ziemi (tsunami)
modele zjawisk w plazmie gazowej (fale uderzeniowe)
zjawiska w optyce (Ñwiat»owody, wymuszona przeïroczystoу oÑrodków)
zjawiska w nadprzewodzcych z»czach Josephsona
klasyczne (nie kwantowe) modele czstek elementarnych
modele zjawisk meteorologicznych
13
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
14
Efekt Dopplera
Zjawisko to występuje w ruchu falowym w ogóle, nie tylko w akustyce.
Gdy źródło i/lub obserwator poruszają się względem ośrodka to częstość f fali mierzonej przez
obserwatora ulega zmianie według zaleŜnosci:
 v 
 f0
f = 

 v ± vs , r 
gdzie
f0 jest częstością faktycznie emitowana przez źródło,
v jest prędkością fal w ośrodku,
vs,r jest prędkością ruchu źródła w ośrodku w kierunku obserwatora.
Znak ujemny odnosi się do ruchu w kierunku obserwatora.
W wyniku efektu Dopplera zmienia się efektywna długość fali co obserwujemy jako zmianę
v
częstości zgodnie z zaleŜnością λ = .
f
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
Efekt Dopplera ma liczne zastosowania:
w astronomii,
w diagnostyce medycznej
15
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
16
Ruch falowy w 3-ch wymiarach
W jednym wymiarze równanie falowe
2
2
∂ϕ 1∂ϕ
- 2 2 =0
2
∂ x c ∂t
ma rozwizanie w postaci
ϕ( z, t ) = f(x - ct) + g(x + ct)
gdzie funkcje f i g s cig»e wraz z drugimi pochodnymi.
W trzech wymiarach
2
2
2
2
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 1 ∂ϕ
+ 2+
=0
∂ x2 ∂ y ∂ z 2 c2 ∂ t 2
1 ∂2 ϕ
2
∆ ϕ - 2 2 =0
c ∂t
Z rozwizaniem w postaci fale biegncych:
ϕ ( z, t ) = f(l x + m y + n z - c t) + g(l x + m y + n z + c t)
gdy l 2 + m2 + n2 = 1 powstaj fale p»askie.
Ze względu na kształt czoła fali rozróŜnia się fale płaskie, sferyczne i walcowe
{hyperlink: http://www.falstad.com/ripple/}
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
17
Fale stojce
Obserwacja
Drgajc struna da si“ opisaƒ równaniem
ϕ ( z, t ) = A(z) cos( ω t +ψ )
Wstawimy ten wynik obserwacji do równania falowego
∂2ϕ = 2 ∂2ϕ
c
∂ z2
∂ t2
L:
∂ 2 ϕ = - 2 A ( z ) cos( ω t +ψ )
ω
∂t2
P:
∂ 2 ϕ = ∂ 2 A ( z ) cos( ω t +ψ )
∂ z2
∂ z2
d 2 A(z) = - ω 2 A ( z )
d z2
c2
d 2 A(z) + 2 A ( z ) = 0
k
d z2
bo pr“dkoу fazowa c =
ω
k
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
18
OtrzymaliÑmy równanie przestrzennego oscylatora harmonicznego. Jego rozwizaniem jest
A ( z ) = B1 sin(k z) + B 2 cos(k z)
Sta»e w powyószym wyraóeniu wyznaczymy z warunków brzegowych
pe»ni one tu podobn rol“ jak warunki pocztkowe dla oscylatora w dziedzinie czasu
ϕ (z , t) = [ B1 sin(k z) + B 2 cos(k z)] cos( ω t +ψ )
Struna jest unieruchomiona na swoich kra½cach:
ϕ( z, t ) = B1 sin(k z) cos( ω t +ψ )
Dla z = 0 ϕ(0,t) = 0 a wi“c B2 = 0 oraz
Dla z = L ϕ(L,t) = 0 daje
albo B1 = 0 przypadek trywialny
albo
sin(k L) = 0
czyli
2π
λ
= π , 2π ,3 π , ...,
λ = 2L,
2L 2L 2L 2L
, , ,
2 3 4 5
Cz“stoÑci fal stojcych uk»adaj si“ w cig harmoniczny
c
c
=
=
ν min
λ max 2L
ν =ν min , 2ν min , 3ν min ,...
Fizyka Ogólna
Wyk»ad 5
19
Fale stojące powstają na skutek interferencji (nakładania się) fal poruszających się w przeciwnych
kierunkach.
Symulacja fal stojących
{hyperlink: http://www.walter-fendt.de/ph14e/stwaverefl.htm}
WaŜnym elementem zjawiska są warunki brzegowe w punkcie odbicia fali:
Jeśli warunek ten wymusza zero fali nastąpi odbicie bez zmiany fazy fali..
Jeśli natomiast brzegi są swobodne to nastąpi odbicie z przesunięciem fazy o π. W rezultacie węzły
fali stojącej wypadną w innym miejscu.
Fala stojąca jest związana z rezonansem ośrodka przestrzennie rozciągłego w jakim zachodzi.
MoŜliwe jest powstawanie harmonicznego ciągu fal stojących.
Harmoniczne w strunie {hypelink: http://id.mind.net/~zona/mstm/physics/waves/standingWaves/standingWaves1/StandingWaves1.html}
Wzorce Chladni’ego w płycie skrzypiec {hyperlink: http://www.phys.unsw.edu.au/jw/chladni.html}