zajęcia 12. przedziały liczbowe - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona

ZAJĘCIA 12.
PRZEDZIAŁY LICZBOWE
W matematyce często stosujemy tak zwane przedziały liczbowe. Określają one zakres liczb,
które nas interesują. Jest to bardzo wygodny sposób zapisu podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.
JeŜeli interesuje nas zakres liczb od 0 do 1 włącznie, moŜemy to zapisać za pomocą przedziału
domkniętego <0;1>. JeŜeli chcielibyśmy zapisać zbiór liczb większych od 0 i mniejszych od
1 moŜemy uŜyć przedziału otwartego (0;1). A oto bardziej ścisłe określenie pojęcia przedziałów:
Nazwa przedziału
Oznaczenie
Definicja
przedział (obustronnie) otwarty
(a;b)
x
(a;b)
przedział (obustronnie) zamknięty (domknięty)
<a;b>
x
<a;b >
przedział lewostronnie zamknięty (domknięty)
<a;b)
x
<a;b)
przedział prawostronnie zamknięty (domknięty) (a;b>
x
(a;b>
x
(-∞;a)
x<a
x
(a; ∞)
x>a
przedziały nieograniczone (nieskończone)
(-∞;a)
(a; ∞)
a<x<b
a≤x≤b
a≤x<b
a≤x≤b
Przedziały mają swoją interpretację geometryczną. PoniŜszy rysunek ilustruje przedział domknięty
<a;b> i otwarty (a;b):
PoniŜej znajduje się interpretacja geometryczna przedziałów jednostronnie domkniętych.
PowyŜszy sposób graficznego przedstawiania przedziałów jest dobry, ale stwarza trudności
podczas zaznaczania na osi wielu róŜnych przedziałów liczbowych. Stosujemy wówczas nieco inną,
bardziej praktyczną metodę (jak na poniŜszym rysunku)
Na poniŜszym rysunku zilustrowano dwa przedziały liczbowe na jednej osi. Poprzez kreskowanie
pól moŜemy łatwo wyznaczyć na przykład iloczyn (część wspólną) dwóch przedziałów.
W poniŜszym przykładzie od razu widać, Ŝe częścią wspólną przedziałów (a;b> i (c;d) jest przedział
(c;b>
Pamiętajmy, Ŝe przedziały to zbiory liczb, więc stosujemy tutaj zasady działań na zbiorach
(przypomnij sobie informacje na temat: sumy, róŜnicy oraz iloczynu zbiorów). Szczególnie często
będziesz korzystał z sumy i iloczynu przedziałów liczbowych przy okazji rozwiązywania układów
równań i nierówności. PoniŜej zamieszczono kilka przykładów działań na przedziałach.
PRZYKŁAD
Suma przedziałów
(-2;2>
(0;4) = (-2;4)
Iloczyn przedziałów
(-2;2>
(0;4) = (0;2>
RóŜnica przedziałów
(-2;2> \ (0;4) = (-2;0>
- zero naleŜy do przedziału (-2;2>, ale nie naleŜy do przedziału (0;4), więc naleŜy do róŜnicy tych
przedziałów w myśl definicji, Ŝe element naleŜy do róŜnicy zbiorów, jeŜeli naleŜy do pierwszego
zbioru i nie naleŜy do zbioru drugiego
(0;4) \ (-2;2> = (2;4)
liczba 2 naleŜy do przedziału (-2;2>, a więc nie moŜe naleŜeć do rozpatrywanej róŜnicy
przedziałów
W przypadku wyznaczania róŜnicy przedziałów zmienia się w niektórych przypadkach rodzaj
przedziału z domkniętego na otwarty i odwrotnie.
PRZYKŁAD
Suma przedziałów
<-2;0)
<0;∞) = < -2;∞)
Iloczyn przedziałów
< -2;0)
< 0;∞) = {0}
RóŜnica przedziałów
<-2;0) \ < 0;∞) = <-2;0)
<0;∞) \ < -2;0) = <0;
PRZYKŁAD
Suma przedziałów
<-2;4)
(0;2> = <-2;4)
Iloczyn przedziałów
<-2;4)
(0;2> = (0;2>
RóŜnica przedziałów
<-2;4) \ (0;2> = <-2;0>
2;4)
(0;2> \ < -2;4) = Ø (zbiór pusty)
<-2;0) \ < 0;∞) = <-2;0)
<0;∞) \ < -2;0) = <0;