M - Politechnika Krakowska

Leszek MIKULSKI
Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych,
Instytut Mechaniki Budowli, Politechnika Krakowska
e–mail: [email protected]
Optymalizacja belki wspornikowej
1. Wprowadzenie
RozwaŜamy zadanie optymalnego kształtowania belki wspornikowej obciąŜonej znanym
obciąŜeniem zewnętrznym w postaci siły skupionej przyłoŜonej na końcu wspornika. Przekrój
poprzeczny belki załoŜono jako prostokątny o stałej wysokości h0 i zmiennej szerokości b
(Rys. 1).
z
z
P
y
y
h0
x
l
b
Rys. 1. Schemat podparcia i obciąŜenia belki. Przekrój poprzeczny belki.
Ugięcie belki wspornikowej o zmiennym przekroju poprzecznym opisuje następujące
równanie róŜniczkowe:
(EI y w′′)″ = −q
(1)
gdzie:
w – przemieszczenie w kierunku osi z,
E – moduł Younga,
q – obciąŜenie ciągłe,
I y – moment bezwładności względem osi y:
3
bh
I y = 0 [m 4 ]
(2)
12
Uwzględniając znane zaleŜności pomiędzy ugięciem a siłami przekrojowymi, równanie
opisane wzorem (1) zapiszemy w postaci:
(EI y w′′) = M , gdzie: M ″ = −q
(3)
Wykorzystując dalej zaleŜności:
w′ = ϕ , M ′ = Q
(4)
gdzie:
ϕ – kąt ugięcia,
Q – siła poprzeczna,
M – moment zginający,
związek (3) zapiszemy jako układ czterech równań róŜniczkowych pierwszego rzędu:
w′ = ϕ
ϕ′ =
M
E⋅Iy
M '= Q
Q ′ = −q
(5)
Dodatkowo wprowadzimy jeszcze kolejne, piąte równanie opisujące objętość rozwaŜanej
belki oraz załoŜymy, Ŝe nie uwzględniamy w obliczeniach cięŜaru własnego belki ani
obciąŜenia ciągłego. Ostatecznie, moŜemy przedstawić komplet równań róŜniczkowych
opisujących rozwaŜany problem:
w′ = ϕ
ϕ′ =
12M
3
Ebh0
M '= Q
Q′ = 0
(6)
′
V = bh0
Układowi równań róŜniczkowych (6) towarzyszą warunki brzegowe, które dla wspornika na
lewym końcu utwierdzonego a na prawym swobodnego, przy zadanej wartości ugięcia na
końcu swobodnym, przybierają postać:
w(0) = 0
w(l ) = w0
ϕ (0) = 0
(7)
M (l ) = 0
Q(l ) = P
Równanie (6) nazywane jest równaniem stanu, a występujące zmienne o znanym sensie
fizycznym ( w, ϕ , M , Q, V ) są zmiennymi stanu. Prawe strony równań stanu zaleŜą od
zmiennych stanu i wymiarów przekroju porzecznego, a takŜe od stałych materiałowych (E ) .
Kluczowe znaczenie w tym sformułowaniu posiadają warunki brzegowe, które są
sformułowane w punkcie początkowym ( x = 0) i punkcie końcowym ( x = l ) . Równanie (6)
z warunkami (7) jest nazywane dwupunktowym problemem brzegowym, którego rozwiązanie
numeryczne sprawia na ogół wiele kłopotów.
Procedury numeryczne słuŜące do rozwiązania równania róŜniczkowego wymagają
znajomości wszystkich zmiennych stanu w punkcie początkowym ( x = 0).
2. Optymalne kształtowanie
Zadanie optymalnego kształtowania polega na takim doborze szerokości b przekroju
poprzecznego, zmiennego wzdłuŜ osi belki, która minimalizuje wybraną funkcję celu i spełnia
jednocześnie równania stanu (6) oraz wszystkie dodatkowe ograniczenia.
Jako funkcję celu przyjęto cięŜar belki (objętość):
l
G = ∫ γ bh0 dx
0
(8)
Dodatkowymi ograniczeniami w zadaniu optymalnego kształtowania są warunki poboczne
wynikające z przesłanek fizycznych:
b1 ≥ b ≥ b0
(9)
Ostatecznie w zadaniu optymalnego kształtowania minimalizacji podlega funkcja celu G przy
warunkach (6), (7), (9).
Metoda rozwiązania
Stosując formalizm zasady maksimum zestawimy warunki konieczne, które pozwolą nam
wyznaczyć rozwiązanie optymalne [1].
Definiujemy funkcję Hamiltona, która dla rozwaŜanego przypadku ma postać:
12 M
H = λ1ϕ + λ2
+ λ3Q + λ5bh0
(10)
3
Ebh0
gdzie:
λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 są funkcjami sprzęŜonymi spełniającymi układ równań róŜniczkowych:
∂H
=0
∂w
∂H
λ2 ′ = −
= −λ1
∂ϕ
12λ2
∂H
′
λ3 = −
=−
3
∂M
Ebh0
λ1′ = −
λ4 ′ = −
∂H
= −λ3
∂Q
(11)
λ5 ′ = 0
Rozwiązanie optymalne wynika z konieczności spełnienia związku:
∂H
=0
∂b
12λ2 M
λ 12M
− 2 3 2 + λ5 h0 = 0 ⇒ b 2 =
4
Eh0 b
Eh0 λ5
(12)
Stąd rozwiązanie optymalne:
b( x ) =
12λ2 M
4
Eh0 λ5
b1 ≥ b ≥ b0
Warunki brzegowe dla funkcji λi (0) ,
(13)
λi (l ) wynikają z odpowiednich warunków
transwersalności. Zestawiając macierz stanu w punkcie x = 0 :
yi ( w(0),ϕ (0), M (0), Q(0),V (0))
yi ( 0 , 0 , M 0 , Q0 , 0 )
z warunku λi (0) ⋅ yi (0) = 0 otrzymujemy:
λ3 (0) = 0, λ4 (0) = 0
(14)
Podobnie moŜemy zestawić macierz stanu w punkcie x = l :
yi ( w(l ),ϕ (l ), M (l ), Q(l ),V (l ))
yi ( w0 , ϕ , 0 , P , V )
z warunku transwersalności otrzymujemy:
λ2 (l ) = 0
w0 ⋅ λ1 (l ) + P ⋅ λ4 (l ) = 0
(15)
(16)
Minimalizujemy objętość V : min V ; modyfikacji podlega końcowy warunek na λ5 (l ) który
b
ma postać: λ5 (l ) = 1 .
Ostatecznie zadanie optymalnego kształtowania opisane jest równaniami (6), (11)
z warunkami brzegowymi (7), (14), (15), (16) i warunkiem ograniczającymi (9).
MoŜna zauwaŜyć, Ŝe dla x → l :
lim b = 0
x →l
(17)
Widać więc, Ŝe warunek b ≥ b0 wynika z przesłanek fizycznych. MoŜna zatem przewidzieć
strukturę rozwiązania optymalnego:
b( x) x ∈ (0, x2 )
b( x ) = 
(18)
x ∈ ( x2 , l )
b0
RozwaŜając ograniczenia b1 ≥ b ≥ b0 nie moŜna wykluczyć rozwiązania o następującej
strukturze:
x ∈ (0, x1 )
b1

b( x) = b( x) x ∈ ( x1 , x2 )
b
x ∈ ( x2 , l )
 0
Punkty x1 , x2 nie są znane a priori.
(19)
3. Rozwiązanie numeryczne
Do numerycznego rozwiązania rozwaŜanego zadania zastosowano program Dircol-2.1
(A Direct Collocation Method for the Numerical Solution of Optimal Problems), którego
autorem jest Prof. Oskar von Stryk z TU Darmstadt [2]. Program ten jest skutecznym
i dobrym narzędziem do rozwiązywania zadań optymalnego sterowania z ograniczeniami.
W programie tym istnieją określone procedury numeryczne, które słuŜą do opisu
sformułowanego zadania. Zasadnicza komunikacja pomiędzy uŜytkownikiem, a blokiem
obliczeniowym jest moŜliwa przez trzy podstawowe podprogramy: user.f, DATDIM
i DATLIM, które muszą być zajęte przez uŜytkownika.
Tab. 1. Podprogramy programu Dircol-2.1 .
Nazwa
podprogramu
Treść
Zbiory wejściowe, niezbędne
Wymiary zadania, dyskretyzacja, Ŝądana dokładność
Warunki brzegowe w punkcie początkowym, końcowym,
wartości ograniczające dla y,U , p, xs
DATDIM
DATLIM
GDATX
GDATU
Zbiory wejściowe, opcjonalne
Zmienne stanu (zbiór wyjściowy programu Dircol)
Sterowanie i parametry sterowania (zbiór wyjściowy programu Dircol)
Zasadnicze procedury (subroutines), za pomocą których opisany jest model matematyczny
optymalizowanej belki zamieszczone są w podprogramie user.f.
Tab. 2. Podprogram user.f
Nazwa procedury
Treść
DIRCOM
USRSTV
USROBJ
USRDEQ
USRNBC
USRNIC
USRNEC
Definiuje dane (common)
Podaje wartości startowe dla y,U , p oraz granice faz
Definiuje funkcję celu
Określa prawe strony równań stanu
Opisuje nieliniowe warunki brzegowe i wewnętrzne warunki punktowe
Nierównościowe warunki ograniczające
Równościowe warunki ograniczające
4. Wyniki
Obliczenia wykonano dla następujących danych:
l = 2m
P = 2kN
E = 205 ⋅ 106 kPa
h0 = 0.1m
b ∈ (0.05, 0.20)
w0 = 0.002m
Na wykresach zostały przedstawione rozwiązania numeryczne – rozkłady zmiennych stanu
( w, ϕ , M , Q, V ) , funkcji sprzęŜonych (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 ) oraz optymalny rozkład szerokości
przekroju prostokątnego belki (b( x) = U ( x)) .
Dla rozwaŜanego zadania następująca struktura sterowania jest optymalna:
0.2m
x ∈ (0, 0.4m)

U ( x) = U opt
x ∈ (0.4m, 1.6m)

x ∈ (1.6m, 2m)
0.05m
Wartość funkcji celu (8) wynosi: V = 0,2418 ⋅10 −1 m3 . Funkcja Hamiltona dla analizowanego
zadania jest stała, co świadczy o poprawności uzyskanych wyników.
Rys. 2. Zmienna stanu w i odpowiadająca jej zmienna sprzęŜona
Rys. 3. Zmienna stanu ϕ i odpowiadająca jej zmienna sprzęŜona
Rys. 4. Zmienna stanu M i odpowiadająca jej zmienna sprzęŜona
Rys. 5. Zmienna stanu Q i odpowiadająca jej zmienna sprzęŜona
Rys. 6. Zmienna stanu V i odpowiadająca jej zmienna sprzęŜona
Rys. 7. Zmienna decyzyjna U 1 = b . Funkcja Hamiltona
Na rysunku 8 przedstawiono optymalną szerokość rozwaŜanej belki wspornikowej, z uwagi
na minimalizację objętości, przy zadanym ugięciu na końcu swobodnym.
y
b0=0,05m
b1=0,2m
x
x 1=0.4m
x 2=1.6m
l=2m
Rys. 8. Optymalna szerokość belki wspornikowej
5. Literatura
1. Mikulski L., Teoria sterowania w problemach optymalizacji konstrukcji i systemów.
Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, ISBN 978-83-7242-440-2, s. 1-194,
Kraków 2007.
2. von Stryk O., User’s Guide for Dircol. A Direct Collocation Method for the Numerical
Solution of Optimal Control Problems, Technische Universität Darmstadt 2002.