Kolokwium I
Transkrypt
Kolokwium I
Matematyka dla Biologów Warszawa, 11 grudnia 2010. Imi¦ i nazwisko: .................................. nr indeksu:................. Kolokwium I GRUPA A Przy ka»dym z podpunktów wpisz, czy jest on prawdziwy (TAK) czy faªszywy (NIE). 1. Czy poni»sze zdania logiczne s¡ tautologiami: (a) (p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q) ∨ (p =⇒ r); (b) (p =⇒ g) ∧ r ⇐⇒ (¬p ∨ q) ∧ r ; (c) (p ∨ q) ∧ (p =⇒ q). 2. Dane s¡ zdania A, B i C. Czy z tego, »e prawdziwe s¡ A i B wynika prawdziwo±¢ C: (a) A. Wszyscy mieszka«cy ulicy Miªej maj¡ biaªe koty B. Arek ma biaªego kota C. Arek mieszka na Miªej; (b) A. Mieszkaniec Woli jest Warszawiakiem B. Jacek jest Warszawiakiem C. Jacek mieszka na Woli; (c) 3, 2% tªuszczu tªuszczu 3, 21% A. Mleko tªuste zawiera co najmniej B. Ola pije mleko o zawarto±ci C. Ola pije tªuste mleko. 3. Czy pary poni»szych zda« s¡ swoimi zaprzeczeniami: (a) ¬(∀x, y ∈ X x 6= y) ∃x, y ∈ X x = y ; (b) ¬(∀x ∈ X ∃y ∈ Y x = 5y) oraz ∃x ∈ X ∀y ∈ Y x > 5y ∨ x < 5y ; (c) oraz Wszyscy grzybiarze zbieraj¡ grzyby na jesieni oraz Niektórzy grzybiarze zbieraj¡ grzyby w lecie. 4. Dany jest wykres funkcji. Czy poni»sze stwierdzenia s¡ prawdziwe: (a) a > 1, »e jest to wykres funkcji y = 2x we wspóªrz¦dnych póªlogarytmicznych (x, Y ), Y = loga y ; (b) Dla dowolnego a > 0, a 6= 1, jest to wykres funkcji y = x2 we wspóªrz¦dnych podwójnie logarytmicznych (X, Y ), X = loga x, Y = loga y ; (c) Dla pewnego a > 1 jest to wykres funkcji y = x2 we wspóªrz¦dnych podwójnie logarytmicznych (X, Y ), X = loga x, Y = loga y . Istnieje takie 1 5. Czy prawdziwe s¡ poni»sze nierówno±ci: (a) ln 5 + ln 7 < 2 ln 6; 1 ; 2 (b) log 1 2 < log2 2 (c) log 1 16 + log 1 8 ¬ log 1 4 6. e 2 5 e . Czy podane wielko±ci s¡ jednakowe: (a) Odlegªo±¢ w terenie, która na mapie w skali 1:50000 wynosi terenie, która na mapie w skali 1:20000 wynosi (b) (c) 7. 30 ms Pr¦dko±¢ K¡t 150o oraz pr¦dko±¢ 2cm oraz odlegªo±¢ w 5cm; 100 km ; h 5 π rad. 6 oraz k¡t Czy poni»sze równo±ci s¡ prawdziwe: (a) 3, 9999(9) = 3, 999999; (b) 1, 99(9) = 2; (c) 8. 95 90 = 1, 0(5). Czy prawd¡ jest, »e: (a) Cz¦±¢ rzeczywista liczby (b) Moduª liczby (c) Argument π ?. 2 1√ 1 równa si¦ ? ; 4 1+ 3i √ 1 + 3i równa si¦ 2?; 3 3 liczby z = z1 z2 , gdzie z1 = 2(cos π + i sin π) i z2 = cos π + i sin π 2 2 równa si¦ 9. Czy prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce stwierdzenia: (a) Moc zbioru liczb parzystych i moc zbioru liczb wymiernych jest jednakowa; (b) Moc zbioru (c) A = {n ∈ N : {o, 4, ∨, ∇, ∗, o, 4, ∧, ∇, ∗} ; n < 10} jest taka sama, jak moc zbioru Moc zbioru liczb nieparzystych jest taka sama, jak moc zbioru liczb postaci B = C = {n3 : n ∈ N }. " 10. Dana jest macierz (a) A= 1 1 0 1 # B, »e istnieje taka macierz " (b) macierz A3 = AAA = . Czy prawd¡ jest, »e: C = AB 3 3 0 3 jest macierz¡ o 3 wierszach i 2 kolumnach?; # ; " (c) 11. istnieje taka liczba a∈R i macierz B= 1 1 a 1 # , »e " AB = 3 2 2 1 # . Dla danego równania kwadratowego czy prawd¡ jest, »e: (a) x2 + 1 = 0 ma dwa pierwiastki urojone x1 = i oraz x2 = −i; (b) Równanie x2 + 2xi − 1 = 0 ma jeden pierwiastek podwójny, który ma niezerow¡ Równanie rzeczywist¡; (c) Liczby +i oraz −2i s¡ pierwiastkami równania 2 x2 − ix − 2 = 0. cz¦±¢ 12. Na pªaszczy¹nie R2 mierzymy odlegªo±¢ mi¦dzy punktami x = (1, 2), y = (2, 1) ró»nych metryk. Czy odlegªo±¢ miedzy nimi w danej metryce jest równa: (a) %sup (x, y) = 2, %sup to metryka supremum ; (b) %m (x, y) = 2, gdzie %m to metryka miejska; √ (c) %kol (x, y) = 2 5, gdzie %kol to metryka kolejowa. 13. gdzie Dany jest wykres funkcji f (x) Czy jest to wykres: (a) f (x) = 3 sin(3x); (b) f (x) = 2 cos x 3 − π ; 2 (c) f (x) = ln(x2 ). 3 za pomoc¡ 14. Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji f (x) w dziedzinie [−4, 4]. Z wykresu mo- »emy wywnioskowa¢, »e (a) funkcja f jest bijekcj¡ z odcinka [2, 3] w [10, 36]; (b) f jest surjekcj¡ z (0, 3) na (−20, 36); (c) funkcja f jest injekcj¡ z (1, 3] w [0, 36]. 15. funkcja W przypadku relacji zdeniowanych za pomoc¡ poni»szych grafów okre±li¢, czy maj¡ one dan¡ wªasno±¢: (a) (b) (c) O±wiadczam, »e powy»szy test rozwi¡zaªam/rozwi¡zaªem w peªni samodzielnie, w szczególno±ci nie ±ci¡gaªam/±ci¡gaªem od kole»anek, kolegów i nie korzystaªam/korzystaªem ze ±ci¡g. ........................... (podpis) 4 Odpowiedzi Grupa A 1. (a) TAK; (b) TAK; (c) NIE; 2. (a) NIE; (b) NIE; (c) TAK; 3. (a) TAK; (b) TAK; (c) NIE; 4. (a) TAK; (b) TAK; (c) TAK; 5. (a) TAK; (b) NIE; (c) TAK; 6. (a) TAK; (b) NIE; (c) TAK; 7. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK; 8. (a) TAK; (b) TAK; (c) TAK; 9. (a) TAK; (b) NIE; (c) TAK; 10. (a) NIE; (b) NIE; (c) TAK; 11. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 12. (a) Nie; (b) TAK; (c) TAK; 13. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK; 14. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 15. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 5