Kolorowanie wierzchołkowe Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji
Transkrypt
Kolorowanie wierzchołkowe Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji
Kolorowanie wierzchołkowe Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji Kolorowanie wierzchołkowe DEFINICJA Kolorowaniem wierzchołkowym grafu G = (V, E) nazywamy dowolną funkcję c określoną na zbiorze wierzchołków V o wartościach w zbiorze kolorów C. Mówimy, że graf jest pokolorowany elementami ze zbioru C. DEFINICJA Kolorowanie wierzchołkowe grafu G = (V, E) nazywamy właściwym wtedy i tylko wtedy, gdy c(u) 6= c(v) dla uv ∈ E. Mówimy, że graf jest pokolorowany właściwie. Grafy k-kolorowalne, liczba chromatyczna DEFINICJA Mówimy, że graf G jest k-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy można go pokolorować właściwie przy użyciu k kolorów. DEFINICJA Liczbę k taką, że graf G jest k-kolorowalny, ale nie jest (k − 1)-kolorowalny nazywamy liczbą chromatyczną i oznaczamy χ(G). DEFINICJA Mówimy, że graf G jest k-chromatyczny wtedy i tylko wtedy, gdy χ(G) = k Liczba chromatyczna a maksymalny stopień TWIERDZENIE Dla dowolnego grafu G prawdziwa jest nierówność χ(G) 6 ∆(G) + 1. Twierdzenie Brooksa 1941 TWIERDZENIE Jeśli graf spójny nie jest ani grafem pełnym, ani cyklem o nieparzystej długości, to χ(G) 6 ∆(G). Twierdzenie o pięciu kolorach TWIERDZENIE Każdy graf planarny G jest 5-kolorowalny. Twierdzenie o czterech kolorach TWIERDZENIE[Appel, Haken 1977; Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997] Każdy graf planarny G jest 4-kolorowalny. 1