Tabele syntetyczne

Transkrypt

Tabele syntetyczne

Metody dowodzenia twierdzeń
i automatyzacja rozumowań
Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Mariusz Urbański
Instytut Psychologii UAM
[email protected]
Metoda tabel syntetycznych (MTS)
MTS to semantycznie motywowana metoda dowodowa, którą od
większości podobnych narzędzi (tabel semantycznych Betha, metody
Hintikki czy tabel analitycznych) odróżnia to, że MTS jest metodą wprost.
Dowód w formie tabeli analitycznej dla formuły A opiera się na jej
konstrukcji, opartej na zbiorach składników bazowych A (w przypadku
KRZ – zmiennych zdaniowych i ich negacji). Jeśli derywacje, oparte na
wszystkich możliwych zbiorach takich składników (interpretowanych są
jako podstawowe „założenia dowodu”) prowadzą do A, formułę tę uznaje
się za udowodnioną (rzecz jasna owe zbiory muszą charakteryzować się
pewnymi szczególnymi własnościami – w przypadku KRZ muszą być np.
niesprzeczne).
amu
kognitywistyka, rok V (IP UAM)
MDTiAR
2 / 15
Metoda tabel syntetycznych (MTS)
W odróżnieniu od tabeli analitycznej, tabela syntetyczna definiowana jest
nie jako jedno, rozgałęziające się drzewo, lecz jako zbiór ciągów –
syntetycznych inferencji – pozostających w określonych relacjach
strukturalnych, dobrze reprezentowanych za pomocą drzewopodobnej
budowy.
MTS została zdefiniowana jako metoda dowodowa oraz jako metoda
poszukiwania modeli dla zbiorów formuł dla KRZ, Ł3 (i innych
ekstensjonalnych logik skończenie wielowartościowych) i pewnych logik
parakonsystentnych.
amu
MDTiAR
3 / 15
Preliminaria
Rozważać będziemy KRZ z negacją, alternatywą, koniunkcją i
implikacją jako spójnikami pierwotnymi. Mówiąc o formułach i
zbiorach formuł będziemy mieć na myśli formuły i zbiory formuł
języka KRZ.
Symbolem Sub(A) oznaczać będziemy zbiór podformuł formuły A.
Symbolem Sub(X ) oznaczać będziemy zbiór podformuł wszystkich
formuł, należących do zbioru X
Literałami nazywać będziemy zmienne zdaniowe i negacje zmiennych
zdaniowych. Literały pi i ¬pi nazywać będziemy komplementarnymi.
amu
MDTiAR
4 / 15
Syntetyczne inferencje
Skończony ciąg formuł s = s1 , . . . , sn nazywamy syntetyczną inferencją
zbioru formuł zdaniowych X = {A1 , . . . , Ak } wtedy i tylko wtedy, gdy
spełnione są następujące warunki:
1
warunek podformuły: dla każdego wyrazu si ciągu s, si jest
elementem zbioru Sub(X ) lub negacją elementu zbioru Sub(X );
2
warunek startowy: s1 jest literałem;
dla każdego wyrazu sg ciągu s:
3
1
2
4
wprowadzanie literałów: sg jest literałem, a literał komplementarny
do sg nie występuje w ciągu s albo
wprowadzanie formuł złożonych: sg jest wyprowadzalny z takiego
zbioru formuł, że wszystkie jego elementy poprzedzają sg w ciągu s;
spełniony jest jeden z następujących warunków zamykających:
1
2
wszystkie spośród formuł A1 , . . . , Ak są wyrazami ciągu s albo
istnieje co najmniej jedna formuła Ai ∈ X , taka że ¬Ai jest wyrazem
ciągu s.
amu
MDTiAR
5 / 15
Sukcesy i porażki
O syntetycznej inferencji zbioru formuł zdaniowych X powiemy, że jest
sukcesem wtw spełnia ona warunek 4.a powyższej definicji, czyli gdy jej
wyrazami są wszystkie elementy zbioru X . O syntetycznej inferencji
zbioru formuł zdaniowych X powiemy natomiast, że jest porażką wtw
spełnia ona warunek 4.b, czyli wśród jej wyrazów znajduje się negacja
przynajmniej jednego elementu zbioru X .
Syntetyczną inferencję zbioru {A} nazwiemy syntetyczną inferencją
formuły A.
amu
MDTiAR
6 / 15
Reguły
¬A
A→B
B
A→B
A, ¬B
¬(A → B)
A
A∨B
B
A∨B
¬A, ¬B
¬(A ∨ B)
¬A
¬(A ∧ B)
¬B
¬(A ∧ B)
A, B
A∧B
A
¬¬A
Na przykład: będąca porażką syntetyczna inferencja s zbioru formuł
X = {p → (q ∧ r ), (p → q) ∨ (p → r )}:
s = p, ¬q, ¬(q ∧ r ), r , p → r , (p → q) ∨ (p → r ), ¬(p → (q ∧ r ))
MDTiAR
amu
7 / 15
Reguły
¬A
A→B
B
A→B
A, ¬B
¬(A → B)
A
A∨B
B
A∨B
¬A, ¬B
¬(A ∨ B)
¬A
¬(A ∧ B)
¬B
¬(A ∧ B)
A, B
A∧B
A
¬¬A
Na przykład: będąca porażką syntetyczna inferencja s zbioru formuł
X = {p → (q ∧ r ), (p → q) ∨ (p → r )}:
s = p, ¬q, ¬(q ∧ r ), r , p → r , (p → q) ∨ (p → r ), ¬(p → (q ∧ r ))
MDTiAR
amu
7 / 15
Syntetyczną inferencję s zbioru formuł X interpretować można jako próbę
znalezienia modelu dla X .
Ponieważ w przypadku KRZ wszystkie formuły złożone występujące w s
wyprowadzane są z formuł poprzedzających, więc ostatecznie wszystkie
one są wyprowadzalne z literałów, które z kolei są jedynymi formułami
wprowadzanymi do tabeli bez inferencyjnego uzasadnienia (tzn. nie są
wyprowadzane z żadnych formuł wcześniejszych). Literały stanowią zatem
w gruncie rzeczy przesłanki rozumowania zakładane na danej ścieżce.
Warunek podformuły ogranicza zbiór formuł, które mogą pojawić się w s,
co jest istotne z punktu widzenia tak złożoności obliczeniowej MTS, jak i
możliwości algorytmizacji metody. Warunki zamykające umożliwiają
określenie, czy rozważana inferencja charakteryzuje model zbioru X , czy
też nie.
Zauważmy, że z uwagi na przyjęte reguły inferencyjne oraz warunek
wprowadzania literałów zbiór wyrazów inferencji s zawsze jest
semantycznie niesprzeczny.
MDTiAR
amu
8 / 15
Tabele syntetyczne
Rodzinę Ω skończonych ciągów formuł zdaniowych nazywamy tabelą
syntetyczną dla zbioru formuł X = {A1 , . . . , Ak } wtedy i tylko wtedy, gdy
każdy element Ω jest syntetyczną inferencją zbioru X (będziemy je
nazywać ścieżkami tabeli Ω) oraz gdy spełnione są następujące warunki:
1
warunek jednolitego startu: istnieje taka zmienna zdaniowa pi , że
pierwszym wyrazem każdej syntetycznej inferencji należącej do Ω
jest literał bazujący na pi ;
2
dla każdego ciągu należącego do Ω zachodzi:
jeżeli si jest literałem, to:
1
2
warunek semantycznej poprawności rozgałęzień: do Ω należy
syntetyczna inferencja s0 , taka że s i s0 nie różnią się na miejscach
o wskaźnikach mniejszych od i oraz si0 jest literałem komplementarnym
do si ;
warunek binarnych rozgałęzień: jeżeli i > 1, to dla każdej
syntetycznej inferencji s0 , takiej że s i s0 nie różnią się na miejscach o
wskaźnikach mniejszych od i: albo si0 = si , albo si0 jest literałem
amu
komplementarnym do si .
MDTiAR
9 / 15
Przykład
Tabela syntetyczna Ω dla zbioru formuł X = {p → (q ∧ r ),
(p → q) ∨ (p → r )}:
p
q
p→q
(p → q) ∨ (p → r )
r
q∧r
p → (q ∧ r )
¬q
¬(p → q)
¬(q ∧ r )
¬(p → (q ∧ r ))
¬p
p → (q ∧ r )
p→q
(p → q) ∨ (p → r )
¬r
¬(q ∧ r )
¬(p → (q ∧ r ))
Podkreśleniem zaznaczono ostatnie formuły ścieżek będących porażkami.
amu
MDTiAR
10 / 15
Tabele syntetyczne
Tabela syntetyczna dla zbioru formuł X jest zatem rodziną syntetycznych
inferencji zbioru X , powiązanych ze sobą w sposób określony warunkami
jednolitego startu, binarnych rozgałęzień i semantycznej poprawności
rozgałęznień.
Warunek jednolitego startu łącznie z warunkiem binarnych rozgałęzień
gwarantuje, że tabela rozgałęzia się jedynie na literałach.
Warunek semantycznej poprawności rozgałęzień gwarantuje natomiast, że
konstrukcja tabeli jest poprawna z uwagi na zakładaną semantykę:
wprowadzenie na dowolnej ścieżce literału wymusza, zgodnie z tym
warunkiem, rozgałęzienie owej ścieżki i wprowadzenie na powstałej w ten
sposób ścieżce „równoległej” literału komplementarnego.
amu
MDTiAR
11 / 15
Różne ważne twierdzenia
Dla każdego zbioru formuł X istnieje tabela syntetyczna dla X (w
dowodzie tego twierdzenia wprowadza się algorytm konstrukcji tzw.
tabel syntetycznych o postaci kanonicznej).
Zbiór wyrazów syntetycznej inferencji s zbioru X jest semantycznie
niesprzeczny.
Zbiór formuł zdaniowych X jest spełnialny wtw istnieje tabela
syntetyczna Ω dla X , taka że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest
sukcesem.
Jeśli istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru formuł zdaniowych X
taka, że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem, to każda
tabela syntetyczna dla X zawiera przynajmniej jedną ścieżkę będącą
sukcesem.
amu
MDTiAR
12 / 15
niesprzeczny.
sukcesem.
sukcesem.
amu
MDTiAR
12 / 15
niesprzeczny.
sukcesem.
sukcesem.
amu
MDTiAR
12 / 15
niesprzeczny.
sukcesem.
sukcesem.
amu
MDTiAR
12 / 15
niesprzeczny.
sukcesem.
sukcesem.
amu
MDTiAR
12 / 15
Wynikanie logiczne, tautologiczność
Formuła B wynika logicznie ze zbioru formuł Y (symbolicznie:
Y B) wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru Y ∪ {B}, taka
że dla każdej ścieżki s tabeli Ω spełniony jest co najmniej jeden z
następujących warunków:
1
2
istnieje co najmniej jedna formuła D ∈ Y , taka że ¬D jest wyrazem
ścieżki s;
formuła B jest wyrazem ścieżki s.
Formuła B jest tautologią (symbolicznie: B) wtw istnieje tabela
syntetyczna Ω dla zbioru {B}, taka że formuła B jest wyrazem
każdej ścieżki tabeli Ω.
amu
MDTiAR
13 / 15
1
2
ścieżki s;
amu
MDTiAR
13 / 15
1
2
ścieżki s;
amu
MDTiAR
13 / 15
Zagadnienia
KRP?
Logiki intensjonalne? (pewne wyniki w przypadku logik
temporalnych)
Złożoność obliczeniowa:
optymalizacja algorytmu?
heurystyki?
amu
MDTiAR
14 / 15
Literatura
Urbański, M. [w druku]. Rozumowania abdukcyjne, Wydawnictwo
Naukowe UAM, Poznań.
Urbański, M. [2004]. How to Synthesize a Paraconsistent Negation.
The Case of CluN, Logique et Analyse, 185-188, s. 319-333.
Urbański, M. [2002]. Tabele syntetyczne a logika pytań,
Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin.
Urbański, M. [2002]. Synthetic Tableaux for Łukasiewicz’s Calculus
Ł3, Logique et Analyse, 177-178, s. 155-173.
Urbański, M. [2001]. Synthetic Tableaux and Erotetic Search
Scenarios: Extension and Extraction, Logique et Analyse,
173-174-175, s. 69-91.
amu
MDTiAR
15 / 15

Tabele syntetyczne

Transkrypt

Podobne dokumenty

Plik PDF - Venezia

Analiza rynku podstawowym narzędziem wsparcia procesu

Szkoła Językowa UAM informuje, że w sesji zimowej roku

Język w regionie – region w języku II - Instytut Filologii Polskiej

Pracownia komunikacji medialnej w Kaliszu Wydziału Filologii

coolway s2 - Eko-oil

Regulamin konkursu 1. Organizator Szkoła językowa UAM u. 28