radia TSF

 Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
1/13
ĆWICZENIE 1
Sygnały i systemy dyskretne
1. Cel ćwiczenia
Współcześnie do przenoszenia i przetwarzania informacji używa się głównie sygnałów
dyskretnych, gdyż przetwarzanie sygnałów dyskretnych (z użyciem komputerów, a zwłaszcza
wyspecjalizowanych komputerów jakimi są procesory sygnałowe) jest bardziej efektywne niż
bezpośrednia obróbka sygnałów analogowych. Systemy, w których są przetwarzane sygnały
dyskretne nazywają się systemami dyskretnymi. Niniejsze ćwiczenie jest poświęcone badaniu
podstawowych parametrów sygnałów dyskretnych oraz systemów dyskretnych DLS
(dyskretnych, liniowych, stałych w czasie, tj. opisywanych równaniami różnicowymi
liniowymi o stałych w czasie współczynnikach).
2. Wprowadzenie
Sygnał dyskretny jest zdefiniowany jako ciąg liczb - próbek {x[n]} = {L , x −1 , x 0 , x1 , L} .
Badając systemy dyskretne posługujemy się następującymi testowymi sygnałami
dyskretnymi:
- impuls jednostkowy (delta Kroneckera)
1 , dla n = 0
0 , dla n ≠ 0
δ [n] = 
(1)
- skok jednostkowy
1 , dla n ≥ 0
u[n] = 
0 , dla n < 0
(2)
- funkcja rampy
r [n ] = n ⋅ u[n]
(3)
- impuls prostokątny
 n  1 , dla n ≤ M
rect
=
 2M  0 , dla n > M
(4)
- impuls trójkątny

n
, dla n ≤ M
 n  1 −
tri  =  M
M   0 ,
dla n > M

(5)
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
2/13
Program MATLAB daje bardzo duże możliwości modelowania sygnałów. Sygnał
można przedstawić jako tablicę MATLABa lub funkcję złożoną z funkcji wbudowanych do
MATLABa, na przykład:
a) Ciąg czterech impulsów prostokątnych trwających po trzy próbki zapiszemy jako tablicę
MATLABa: {x[n]} = [1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1] , L = 10 , K = −10 .
b) Skok 100u[n]: 100 * u .
c) Sinus corporal: sinc(0.2 * n) .
d) Sinusoida rzeczywista: 3 ∗ cos(2 ∗ pi ∗ 0.1 ∗ n + pi / 3) ;
przyczynowa: 3 ∗ cos(2 ∗ pi ∗ 0.1 ∗ n + pi / 3). * u .
e) Sinusoida zespolona: 2 ∗ exp( j ∗ (2 ∗ pi ∗ 0.15 ∗ n + pi / 6) ) .
f) Pseudoprzypadkowy szum gaussowski o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej
wariancji: randn (1,2 ∗ L + 1) .
g) Sygnał świergotowy (ang. chirp) z liniowo zmieniającą się częstotliwością jest następującą
funkcją: cos 2πf 0 t + πµt 2 . Wykres tej funkcji jest kosinusoidą o stałej amplitudzie, ale
kosinusoidą coraz „gęstszą” na osi czasu, w miarę jak w funkcji czasu rośnie liniowo
częstotliwość chwilowa f (t ) = f 0 + µt . W przypadku sygnału świergotowego dyskretnego, o
przykładowo częstotliwości chwilowej f [n ] = 0.05 + 0.0005n , będzie to następująca funkcja
MATLABa: cos(2 ∗ pi ∗ 0.05 ∗ n + pi ∗ 0.0005 ∗ n. ∗ n ) . Wykres tego sygnału świergotowego
pokazano na rys. 1. Z wykresu można oszacować częstotliwość chwilową. Na przykład w
chwili czasu t = 0 częstotliwość chwilowa powinna mieć wartość 0.05 = 1 20 . I
rzeczywiście, na wykresie jeden okres przebiegu wokół zera wynosi około 20.
(
)
Rys. 1. Sygnał świergotowy
h) Sygnał z modulacją amplitudy AM ma postać następującej funkcji A[1 + ms(t )]cos(2πf 0 t ) .
Jest to kosinusoidalna fala nośna o częstotliwości f 0 z obwiednią zmieniającą się wokół
amplitudy A w takt sygnału modulującego − 1 ≤ s (t ) ≤ 1 na głębokość równą
współczynnikowi głębokości modulacji 0 < m ≤ 1 (często wyrażanemu w procentach).
Oglądając wykres sygnału AM łatwo można określić wartość współczynnika głębokości
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
3/13
modulacji m dzieląc różnicę maksimum i minimum obwiedni przez 2A. Sygnał AM jest
demodulowany synchronicznie poprzez pomnożenie przez falę nośną
A[1 + ms(t )]cos(2πf 0 ) ⋅ cos(2πf 0 ) =
A
[1 + ms(t ) + ms(t ) cos(2π ⋅ 2 f 0 ) + cos(2π ⋅ 2 f 0 )]
2
(6)
i odfiltrowanie składowej 0.5 Ams(t ) . Przykładem sygnału dyskretnego AM, jest następujący
sygnał przedstawiony jako funkcja MATLABa: (1 + 0.75 ∗ cos(0.1 ∗ n )). ∗ cos(0.5 ∗ n ) .
Sygnałem modulującym jest kosinusoida o częstotliwości znacznie mniejszej niż
częstotliwość fali nośnej, a głębokość modulacji wynosi 75 %. Na rys. 2 pokazano sygnał z
modulacją AM i postać sygnału w demodulatorze synchronicznym.
Rys. 2. Modulacja AM: a) sygnał z modulacją AM; b) sygnał w demodulatorze
h) Sygnał z modulacją częstotliwości FM ma postać następującej funkcji
cos 2πf 0 t + 2π∆f ∫ s (t )dt . Jest to kosinusoida o stałej amplitudzie i częstotliwości chwilowej
[
]
f (t ) = f 0 + ∆f ⋅ s(t ) zmieniającej się wokół częstotliwości fali nośnej f 0 z dewiacją
częstotliwości ∆f w takt sygnału modulującego − 1 ≤ s (t ) ≤ 1 . Jeżeli sygnał modulujący jest
kosinusoidalny s (t ) = cos(2πf m t ) z f m << f 0 , to sygnał FM ma postać następującą
cos[2πf 0 t + β sin (2πf m t )] , gdzie parametr β = ∆f f m nazywa się indeksem modulacji FM.
Sygnał FM jest demodulowany poprzez różniczkowanie (dla sygnału dyskretnego
odpowiednikiem różniczkowania będzie różnica wsteczna)
[
]
[
d
cos 2πf 0 t + 2π∆f ∫ s (t )dt = −2πf (t )sin 2πf 0 t + 2π∆f ∫ s (t )dt
dt
]
(7)
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
4/13
które doprowadza do powstania sygnału AM-FM z obwiednią zmieniającą się w takt sygnału
modulującego f (t ) = f 0 + ∆f ⋅ s (t ) . Z tego sygnału AM-FM można odzyskać sygnał
modulujący s (t ) w taki sam sposób, jak to miało miejsce powyżej dla sygnału AM.
Przykładem sygnału dyskretnego FM, jest następujący sygnał przedstawiony jako funkcja
MATLABa: cos(0.4 ∗ n + 2 * sin(0.1 * n)) ) . Sygnałem modulującym jest kosinusoida
cos(0.1 * n) , a indeks modulacji ma wartość β = 2 . Wykres sygnału FM i sygnału AM-FM w
demodulatorze pokazano na rys. 3 (zamiast funkcji diff bierzemy w interfejsie graficznym
różnicę wsteczną).
Rys. 3. Modulacja FM: a) sygnał FM; b) sygnał AM-FM w demodulatorze
Sygnały dyskretne będziemy badali posługując się interfejsem graficznym sygndys.
Okno tego interfejsu pokazano na rys. 4. Badany sygnał dyskretny wybieramy z
zagłębionego (rozwijanego) menu, gdzie mamy do wyboru takie sygnały jak: delta
Kroneckera, skok jednostkowy, rampa, prostokąt, trójkąt, MATLAB. W przypadku wybrania
sygnału MATLAB automatycznie otwiera się pole edycyjne. W polu edycyjnym można
wpisać tablicę MATLABa lub funkcję MATLABa , w której może wystąpić nazwa n
(zmienna n = − L : 1 : L ), nazwa L (zakres zmienności), nazwa u (skok jednostkowy u[n] ). Dla
zaakceptowanego przyciskiem Enter sygnału są obliczane takie jego parametry jak: suma,
suma bezwzględna, energia. Długość sygnału można regulować zmieniając suwakiem
zmienną L = 1 − 100 , lub wpisując wartość L w polu edycyjnym obok suwaka. Można
dokonać zawinięcia i (lub) sprzężenia sygnału. Na sześciu wykresach zostają wykreślone:
sygnał x[n] (część rzeczywista sygnału, to niebieskie „o”, a część urojona, to czerwone „x”),
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
5/13
część parzysta sygnału xe [n] , część nieparzysta sygnału xo [n], różnica wsteczna D[n] ,
akumulata S [n ] , autokorelacja rxx [l ] .
Rys. 4. Okno interfejsu graficznego sygndys
Przykład 1. Informatycy mają najczęściej do czynienia z gotowymi sygnałami dyskretnymi
(taką postać mają dane w dziedzinie ekonomii, bankowości, statystyki). Dla informatyka
sygnał jest wektorem lub macierzą. Z takim sygnałem będziemy mieli do czynienia w tym
przykładzie.
Zamodelujemy przepływ towaru w sztukach przez magazyn w ciągu 6 dni. Przy
zerowym stanie początkowym do magazynu wpłynęło na początek 100 sztuk, w następnych
dwóch dniach ubyło 28 sztuk i 32 sztuki, w następnym dniu wpłynęło 100 sztuk, w
następnych dwóch dniach ubyło 53 sztuki i 7 sztuk. Informacja o przepływie towaru jest
zawarta w sygnale {x[n]} = {100, − 28, − 32, 100, − 53, − 7}n =0,1, 2,3, 4,5 , który w interfejsie
graficznym sygndys zostanie wpisany jako tablica MATLABa: 100, -28, -32,100,-53,-7 ;
L = 5 (tak jak to pokazano na rys. 4). Stan końcowy magazynu to suma próbek równa 80 .
Liczba sztuk towaru, która przeszła przez magazyn świadczy o wielkości obciążenia pracą
personelu i równa się sumie bezwzględnej próbek wynoszącej tutaj 320. Zmiany stanu
magazynu
w
kolejnych
dniach
oddaje
wykres
akumulaty
{S [n]} = {100, 72, 40, 140, 87, 80}n=0,1, 2,3, 4,5 , a szybkość zmian stanu magazynu oddaje wykres
różnicy wstecznej
{D[n]} = {100, − 128, − 4, 132, − 153, 46}n=0,1, 2,3, 4,5
. Akumulata nie może
tutaj przyjąć wartości ujemnej, gdyż oznaczałoby to pobranie z magazynu towaru, którego
tam nie było. Ostatnia próbka akumulaty ma wartość równą sumie próbek sygnału.
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
6/13
Składowa parzysta i nieparzysta sygnału x[n] = xe [n] + xo [n] oraz autokorelacja rxx [l ] ,
to odpowiednio:
{xe [n]} = {− 3.5, − 26.5, 50, − 16, − 14, 100, − 14, − 16, 50, − 26.5, − 3.5}
{xo [n]} = {3.5, 26.5, − 50, 16, 14, 0, − 14, − 16, 50, − 26.5, − 3.5}
{rxx [l ]} = {− 700,−5104,−5004,11708,−10033,24666,−10033,−5004,11708,−5104,−700}
Te wyniki nie mają jednak swojej praktycznej interpretacji w tym przykładzie. Podobnie nie
ma w tym przykładzie interpretacji energia sygnału równa tutaj E x = 24666 , chociaż warto
zauważyć, że zgodnie z teorią równa się ona wartości funkcji autokorelacji w zerze
E x = rxx [0] . Obliczając ręcznie autokorelację najwygodniej jest posłużyć się mnożeniem w
„słupku” współczynników xi i współczynników xi∗ zapisanych w odwrotnej kolejności.
„
Przykład 2.
Zbadamy
właściwości
dyskretnego
sygnału
sinusoidalnego
x[n] = sin (2 * pi * 0.05 * n ) . Przy długości L = 30 , wyniki obliczeń uzyskane przy pomocy
interfejsu graficznego sygndys są takie jak na rys. 5.
Rys. 5. Wyniki obliczeń dla sygnału sinusoidalnego
Wartość średnia sygnału równa się sumie wartości próbek podzielonej przez liczbę
próbek. Dla sinusoidy powinna to być wartość 0. W tym przykładzie uzyskano wartość
− 7.6695e − 17 81 ≈ 0 . Wartość średnią obliczono dla wycinka sinusoidy składającego się z
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
7/13
trzech okresów, ale pozostaje ona słuszna dla pełnej sinusoidy, gdyż pełna sinusoida powstaje
poprzez okresowe powtarzanie wycinka sinusoidy.
Energia sygnału podzielona przez czas trwania sygnału (liczba próbek minus jeden),
(
)
2
daje wartość skuteczną sinusoidy podniesioną do kwadratu 30 60 = 1 2 . Wartość
skuteczną obliczono dla wycinka sinusoidy wybranego tak, że pełna sinusoida powstaje
poprzez okresowe powtarzanie wycinka sinusoidy (najkrótszy wycinek sinusoidy jaki można
było tutaj wybrać, to pół okresu sinusoidy).
Sinusoida jest funkcją nieparzystą, a więc jej część parzysta oczywiście równa się zeru
(rozkład sygnału parzystego lub nieparzystego na część parzystą i nieparzystą nie ma sensu).
Pierwsza
pochodna
sygnału
sinusoidalnego
jest
kosinusoidą
d [sin (2π 0.05n )] dn = 0.1π cos(2π 0.05n) i taką właśnie postać ma różnica wsteczna D[n]
pokazana na rys. 5.
Całka sygnału sinusoidalnego równa się kosinusoidzie wziętej ze znakiem minus
1
∫ sin (2π 0.05n)dn = − 0.1π cos(2π 0.05n) + C i taką właśnie postać ma akumulata S [n] (ze
stałą C = 0 ).
Funkcja autokorelacji ma w zerze wartość równą energii sygnału E x = rxx [0] = 30 .
Autokorelacja rxx [l ] jest miarą podobieństwa sygnału x[n] do siebie samego przy
przesunięciu o l. Oczywiście najbardziej są podobne do siebie sygnał i sygnał przesunięty
przy zerowym przesunięciu l = 0 (są wtedy identyczne) i parzysta funkcja autokorelacji
osiąga w zerze maksimum. Jeżeli jednak sygnał x[n] jest okresowy z okresem T0 , to maksima
funkcji autokorelacji będą się także powtarzały z okresem T0 . W naszym przykładzie
sinusoida ma okres T0 = 1 f 0 = 20 i z takim też okresem powtarzają się maksima funkcji
autokorelacji. Maksima mają malejące wartości, gdyż nie jest badana pełna sinusoida, ale
sinusoida obcięta do trzech okresów.
„
Sygnały dyskretne są przetwarzane w systemach dyskretnych. Najłatwiej jest opisać
system dyskretny podając jego równanie różnicowe. System dyskretny, liniowy, stały w
czasie (DLS) z sygnałem wejściowym x[n] i sygnałem wyjściowym y[n] ma równanie
różnicowe liniowe, ze stałymi współczynnikami o następującej postaci (opartej na różnicach
wstecznych)
a 0 y[n] + a1 y[n − 1] + K + a N y[n − N ] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + K + bM x[n − M ] , a 0 ≠ 0
(8)
Równanie
to
rozwiązuje
się
przy
zadanych
warunkach
początkowych
y[− 1], y[− 2] , K , y[− N ] , np. metodą rekurencyjną dla n = 0, 1, 2, K . Parametr N jest rzędem
równania różnicowego. Metoda rekurencyjna rozwiązania równania różnicowego (8) polega
na rekurencyjnym wyznaczaniu kolejnych wartości próbek y[n] z poniższej zależności
y[n ] = −
b
a
b
b
a1
y[n − 1] + K − N y[n − N ] + 0 x[n ] + 1 x[n − 1] + K + M x[n − M ] , n = 0, 1, 2, K
a0
a0
a0
a0
a0
(9)
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
8/13
W trakcie obliczeń indeksy rosną od 0 w górę, czyli n = 0, 1, 2, K , gdyż z założenia system
jest systemem przyczynowym. W przypadku systemu nieprzyczynowego należałoby jeszcze
wykonać obliczenia dla indeksów ujemnych w porządku malejącym n = 0, − 1, − 2, K .
W badaniach systemów DLS wykorzystamy interfejs graficzny systdys. Wygląd okna
tego interfejsu pokazano na rys. 6. Przyczynowe pobudzenie x[n] wybieramy z zagłębionego
menu: delta, skok, rampa, prostokąt, trójkąt, MATLAB. Po wybraniu opcji MATLAB
pojawia się pole edycyjne, w którym można wpisać tablicę MATLABa lub funkcję
MATLABa, w której może wystąpić nazwa zmiennej n ( − N ≤ n ≤ L ), nazwa L
( 1 ≤ L ≤ 100 ), nazwa u (skok jednostkowy u[n] ). Długość sygnału jest zmieniana suwakiem
w zakresie L = 1 − 100 lub wpisywana w pole edycyjne. System opisujemy wpisując w trzech
polach edycyjnych odpowiednio: współczynniki a 0 , a1 , K , a N równania różnicowego
(współczynnik a 0 musi być różny od zera), współczynniki b0 , b1 , K , bM równania
różnicowego, warunki początkowe y[− 1], y[− 2], L , y[− N ] (jeżeli wpisano zbyt mało
warunków początkowych, to zostaną one automatycznie uzupełnione zerami, a jeżeli wpisano
zbyt dużo warunków początkowych, to nadmiarowe zostaną odrzucone). Na czterech
wykresach zostają wykreślone kolejno: pobudzenie x[n] (część rzeczywista sygnału jest
wykreślona niebieskimi symbolami „o”, a część urojona sygnału jest wykreślona czerwonymi
symbolami „x”), odpowiedź całkowita y[n] = y w [n] + y s [n] , odpowiedź wymuszona y w [n] ,
odpowiedź swobodna y s [n] . Aby otrzymać odpowiedź impulsową h[n] , należy zadać
pobudzenie „delta” przy zerowych warunkach początkowych. Aby otrzymać odpowiedź
skokową g [n] , należy zadać pobudzenie „skok” przy zerowych warunkach początkowych.
Rys. 6. Okno interfejsu graficznego systdys
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
9/13
Przykład 3. Jest dany system DLS rzędu N = 2 opisany równaniem różnicowym (z
zadanymi, różnymi od zera warunkami początkowymi)
y[n] − 0.25 y[n − 2] = x[n] + 1.5 x[n − 1] ,
y[− 1] = 1 ,
y[− 2] = 2
(10)
pobudzony sygnałem {x[n]} = {1, 0, − 1}n =0,1, 2 .
Obliczona rekurencyjnie z równania różnicowego odpowiedź całkowita systemu jest
następująca
{y[n]} =  3 , 7 , − 5 , − 17 , −
2 4
8
16
5
17

, − , K
32 64
 n =0,1, 2,K
(11)
Obliczone rekurencyjnie odpowiedź wymuszona i swobodna to odpowiednio
{y w [n]} = 1, 3 , − 3 , − 9 , −
 2
4
8
3
9

, − ,K 
16 32
 n =0,1, 2,K
1 1 1

, , , L
 n =0,1, 2,K
 2 4 8 16 32 64
{y s [n]} =  1 , 1 , 1 ,
(12)
(13)
Jak widać, zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi odpowiedź całkowita równa się sumie
odpowiedzi własnej i swobodnej.
Obliczone rekurencyjnie odpowiedzi impulsowa i skokowa to odpowiednio
1 3

, , K
 n =0,1, 2,K
 2 4 8 16 32
{h[n]} = 1, 3 , 1 , 3 ,
{g [n]} = 1, 5 , 11 , 25 , 51 , 105 , K
 2 4
8 16 32
 n =0,1, 2,K
(14)
(15)
Widzimy, że zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi odpowiedź impulsowa równa się
różnicy wstecznej odpowiedzi skokowej, odpowiedź skokowa równa się akumulacie
odpowiedzi impulsowej, a próbki o indeksie 0 są sobie równe h[0] = g [0] = 1 . System jest
BIBO stabilny, gdyż jego odpowiedź impulsowa zmierza wykładniczo do zera, a więc w
przypadku systemu DLS jest bezwzględnie sumowalna.
Wyniki obliczeń komputerowych (rys. 6) potwierdzają poprawność obliczeń ręcznych.
Wyniki te uzyskano wprowadzając do interfejsu graficznego systdys pobudzenie MATLAB
1,0,-1 , L = 8 , współczynniki równania różnicowego A=1,0,-0.25 , współczynniki równania
różnicowego B=1,1.5 , warunki początkowe 1,2 .
„
Przykład 4. W tym przykładzie przeanalizujemy system dyskretny, bankowy. Klient ma
konto bankowe o bieżącym stanie y[n] z miesięczną stopą procentową 1% ( r = 0.01 ) , na
które wpłaca co miesiąc depozyt lub wybiera pieniądze (przykładowo wpłaca co miesiąc
200 zł z wyjątkiem czwartego miesiąca, kiedy zamiast wpłaty wypłacono 500 zł). Schemat
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
10/13
blokowy systemu oszczędzania i jego równanie różnicowe pokazano na rys. 7. Wyniki
obliczeń komputerowych uzyskane z użyciem interfejsu graficznego systdys są takie jak na
rys. 8. Należy zwrócić uwagę, że system jest niestabilny (przy n → ∞ oszczędności rosną
liniowo do nieskończoności, nie wykreślona tutaj odpowiedź impulsowa nie jest
bezwzględnie sumowalna). Trzeba jednak pamiętać, że system modeluje tylko nominalną
wartość oszczędności. Aby modelować wartość realną oszczędności, należałoby rozbudować
model systemu i uwzględnić w nim wszystkie mechanizmy rządzące rynkiem, jak inflacja,
dewaluacja, itp.
x [n ] = 200 u [n ] − 700δ [n − 3]
y [n ] = x [n ] + (1 + r ) y [n − 1]
1+ r
y [n − 1]
Opóźnie nie
T=1 miesiąc
Rys. 7. Schemat blokowy systemu gromadzenia oszczędności
Rys. 8. Wyniki obliczeń dla systemu gromadzenia oszczędności
„
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 1
11/13
3. Wykonanie ćwiczenia
1. Zamodeluj dowolny praktyczny sygnał niosący informację dyskretną. Może to być sygnał
podobny do sygnału w przykładzie 1 z przepływem towaru przez magazyn. Inny przykład, to
modelowanie przepływu pieniędzy na koncie bankowym w kolejnych miesiącach. Przy
zerowym początkowym stanie konta na początku wpłynęło 500 zł, w następnych dwóch
miesiącach wpłynęło po 300 zł, w kolejnych dwóch miesiącach wypłacono 200 zł i 700 zł, a
w następnych trzech miesiącach wpłynęło 400 zł, 100 zł i 200zł. Zastosuj interfejs graficzny
sygndys. Odrysuj sygnał. Przepisz te wartości parametrów i przerysuj te wyniki operacji na
sygnale, którym jesteś w stanie nadać praktyczną interpretację.
2. Wybierz dowolny sygnał dyskretny, którego próbki nie muszą mieć praktycznego
znaczenia, ale dla którego jesteś w stanie zinterpretować dostatecznie wiele parametrów i
wyników operacji na sygnale (jak w przykładzie 2). Zastosuj interfejs graficzny sygndys.
Odrysuj sygnał. Przepisz te wartości parametrów i przerysuj te wyniki operacji na sygnale,
które jesteś w stanie zinterpretować.
3. Wybierz sygnał świergotowy lub sygnał z modulacją AM lub sygnał z modulacją FM.
Zamodeluj sygnał w interfejsie graficznym sygndys. Przerysuj sygnał. Przepisz te wartości
parametrów i przerysuj te wyniki operacji na sygnale, które jesteś w stanie zinterpretować
(m.in. oszacuj wartości średnią i skuteczną sygnału). W przypadku sygnału świergotowego
oszacuj częstotliwość chwilową na początku i końcu sygnału (licząc próbki od jednego
przejścia sygnału przez zero do drugiego przejścia przez zero) i porównaj z teoretycznymi
wartościami częstotliwości chwilowych f (t ) = f 0 + µt . W przypadku sygnału AM lub FM
przeprowadź demodulację.
4. Wybierz dowolne równanie różnicowe systemu DLS z przyczynowym pobudzeniem
(podobne do tego z przykładu 3, może to być np. równanie z zadania egzaminacyjnego).
Przeanalizuj system za pomocą interfejsu graficznego systdys. Pokaż, że wyniki obliczeń
komputerowych są takie same jak obliczeń ręcznych.
5. Wybierz dowolny praktyczny system DLS (podobnie jak w przykładzie 4). Przykładem
takiego systemu dyskretnego jest system sprzedaży skryptu. Uczelnia przyjmuje każdego roku
1000 studentów na I rok studiów. Każdy student musi mieć skrypt z matematyki. Studenci ci
rocznie kupują y[n] nowych skryptów oraz odkupują część używanych skryptów od
starszych kolegów. Średnio jedna czwarta studentów odsprzedaje używane skrypty na koniec
roku. Trwałość skryptu jest taka, że może on być używany tylko trzykrotnie (może być
odsprzedany dwukrotnie). Schemat blokowy systemu sprzedaży skryptu i jego równanie
różnicowe pokazano na rys. 9. Ten system jest systemem stabilnym i nakład skryptu
stabilizuje się na określonym poziomie ok. 762, która to wartość będzie jednym z wyników
analizy.
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
y [n ] = −
1
−1
1
y [n − 1] −
12/13
1
y [n − 2 ] + x [n ]
4
16
Opóźnie nie y [n − 1]
O późn ie n ie y [n − 2 ]
T=1 rok
T=1 rok
x [n ] = 1000 u [n ]
−1
Ćwiczenie 1
4
1
16
Rys. 9. Schemat blokowy systemu sprzedaży skryptu
Przeanalizuj system za pomocą interfejsu graficznego systdys. Pokaż, że wyniki
obliczeń komputerowych są takie same jak obliczeń ręcznych.
4. Zadania testowe na wejściówki i sprawdziany
1. Kasjerka rozpoczyna pracę mając w kasie x[0] = 1000 zł. Kolejni klienci wpłacają lub
pobierają pieniądze: x[1] = 200 zł, x[2] = −500 zł, x[3] = −300 zł, x[4] = 100 zł (dalej zera,
przerwa śniadaniowa).
a) Wykreśl część parzystą i nieparzystą sygnału przesuniętego y[n ] = x[n + 1] . Czy
y e [n] + y o [n] = y[n] ? Czy jest prawdą, że y[− n] = y e [n] − y o [n] ?
b) Wykreśl różnicę wsteczną D[n] i akumulatę S [n ] sygnału x[n] . Zinterpretuj wykresy.
Kiedy w kasie było najwięcej, a kiedy najmniej pieniędzy?
c) Oblicz sumę, sumę bezwzględną, energię sygnału x[n] . Ile ostatecznie było pieniędzy w
kasie i ile pieniędzy przeszło przez ręce kasjerki?
d) Wykreśl funkcję autokorelacji rxx [l ] . Jakie są właściwości tej funkcji? Jakie jest r yy [l ] ?
2. Wykreśl sygnał nieprzyczynowy {x[n]} = {1 + j , 2 + 2j, 3 + 3 j , 4 + 4 j} . Oblicz i wykreśl:
część symetryczną i antysymetryczną sprzężoną sygnału, różnicę wsteczną, akumulatę,
funkcję autokorelacji. Oblicz sumę, sumę bezwzględną, energię, wartość średnią, wartość
skuteczną sygnału przedłużonego okresowo.
3. Jest dany przyczynowy system DLS rzędu N = 2 opisany równaniem różnicowym (z
zadanymi, różnymi od zera warunkami początkowymi)
y[n] − 0,5 y[n − 2] = x[n] ,
y[− 1] = −2 ,
y[− 2] = 2
z pobudzeniem {x[n]} = {1, 2}n =0,1 . Oblicz rekurencyjnie i narysuj odpowiedzi: wymuszoną,
swobodną, całkowitą, impulsową, skokową. Narysuj schemat blokowy systemu.
4. Pracownik pobiera w fabryce części do zmontowania 100 odbiorników radiowych dziennie.
Po dwóch dniach kontrola techniczna zwraca mu do ponownego zmontowania 10%
odbiorników radiowych, a i spośród tych naprawionych odbiorników następnego dnia wraca
do poprawki 5% odbiorników radiowych. Na jakim poziomie ustabilizuje się liczba
odbiorników radiowych przechodzących dziennie przez ręce pracownika?
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
y [n ] =
x [n ] = 100 u [n ]
1
10
y [n − 2 ] +
1
20
Opóźnienie
T = 2 dni
Ćwiczenie 1
13/13
y [n − 3 ] + x [n ]
y [n − 2 ]
Opóźnienie
T = 1 dzień
1
10
1
Rys. 10. Schemat blokowy systemu montażu odbiorników radiowych
20
y [n − 3 ]