Wstęp do topologii

Wstęp do topologii
Zadania o kulach
W przestrzeni metrycznej (X, d):
• kulą otwartą o środku w punkcie x0 i promienu r nazywamy zbiór
B(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r}
• kulą domkniętą o środku w punkcie x0 i promienu r nazywamy zbiór
B̄(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ¬ r}.
1. Czy suma dwóch kul otwartych o różnych środkach może być kulą otwartą? A gdy
dołożymy założenie rozłączności tych kul? Czy możliwe żeby kula otwarta była równa kuli domknietej? Czy możliwe, by kula otwarta była jednoelementowa, a kula
domknięta o tym samym środku i promieniu była całą przestrzenią?
2. W pewnej przestrzeni wszystkie kule są jednoelementowe. Ile elementów może mieć
ta przestrzeń? A jeśli założymy, że wszystkie skończone kule są jednoelementowe?
3. Udowodnić, że dla dowolnych x i y, x 6= y, w przestrzeni metrycznej (X, d) istnieją
rozłączne kule B1 i B2 takie, że x ∈ B1 i y ∈ B2 .
4. Sprawdzić, że poniższe funkcje są metrykami na R (w ostatnim punkcie na R+ ) i
narysować podane kule
(a)
d(x, y) =

|x| + |y|,
0,
gdy x 6= y
,
gdy x = y
B(−1, 2), B(−1, 1), B(2, 1),
(b)

1 + |x − y|,
d(x, y) = 
0,
gdy x 6= y
,
gdy x = y
B(0, 21 ), B(0, 1), B(0, 2)
(c)
x
d(x, y) = | ln |,
y
B(1, 2).
5. Rozważyć, jak zmieniają się kule w metrykach: mur na R, rzeka i warszawska na R2 ,
w zależności od środka i promienia.
6. Rozpatrzmy przestrzeń metryczną (X, d) oraz zbiór A ⊂ X. Oznaczmy przez dA
obcięcie metryki d do A, tzn. dla x, y ∈ A zachodzi dA (x, y) = d(x, y). Udowodnić,
że kula w (A, dA ), tzn. BA (x, r) = {y ∈ A : dA (x, y) < r} jest równa przekrojowi
A ∩ B(x, r) (x ∈ A).
7. Uzasadnić własności kul:
(a) ∀x, y ∈ X, x 6= y ∃r1 , r2 B(x, r1 ) ∩ B(y, r2 ) = φ,
(b) ∀r ∀y ∈ B(x, r) ∃ > 0 B(y, ) ⊂ B(x, r) ∧ x 6∈ B(y, ),
(c) ∀z ∈ B(x, r1 ) ∩ B(y, r2 ) ∃ > 0 B(z, ) ⊂ B(x, r1 ) ∩ B(y, r2 ).