A4: Filtry aktywne rzędu II i IV

A4: Filtry aktywne rzędu II i IV
Jacek Grela, Radosław Strzałka
3 maja 2009
1
Wstęp
1.1
Wzory
Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, których używaliśmy w obliczeniach:
1. Związek między stałą czasową a częstością i częstotliwością graniczną dla filtrów
1
= 2πfg
τ
ωg =
(1)
Na podstawie tych wzorów obliczymy stałe czasowe i częstotliwości dla poszczególnych filtrów.
2. Czas narastania w funkcji stałej czasowej
tr = 2.2τ
(2)
3. Wzmocnienie wzmacniacza operacyjnego µA741 (element czynny układów)
k =1+
R2
R1
(3)
4. Wzmocnienie filtru dolnoprzepustowego 2-biegunowego
K(s) = s
ωgd
2
k
+ (3 − k)
s
ωgd
+1
k
|K(ω)| = s
(3 − k)
ω
ωgd
2
2 2
+ 1 − ωωd
(4)
g
5. Wzmocnienie filtru górnoprzepustowego 2-biegunowego
K(s) = ωgu
s
2
k
+ (3 − k)
ωgu
s
+1
k
|K(ω)| = s
(3 − k)
ωgu
ω
2
+ 1−
ωgu
ω
2 2
(5)
ωgu - Częstotliwość graniczna filtru górnoprzepustowego
ωgd - Częstotliwość graniczna filtru dolnoprzepustowego
6. Częstotliwości graniczne w funkcji parametrów obwodu
1
RC
ωg =
(6)
7. Wzmocnienie filtru dolnoprzepustowego Butterwortha IV rzędu
k1 k2
8
1 − ωωd
|K(ω)| = r
(7)
g
8. Wzmocnienie filtru pasmowoprzepustowego Butterwortha IV rzędu
|K(ω)| = s
1−
1
ω
ωgd
k12 k22
8 1−
ωgu
ω
8 (8)
2
Wyniki pomiarów i opracowanie
W trakcie ćwiczenia zbadaliśmy następujące układy:
ˆ filtr dolnoprzepustowy II rzędu o tłumieniu krytycznym
ˆ filtr dolnoprzepustowy Butterwortha IV rzędu
ˆ filtr pasmowoprzepustowy
Podstawowym elementem aktywnym wykorzystanym w ćwiczeniu był wzmacniacz operacyjny µA741.
2.1
Filtr dolnoprzepustowy II rzędu
Filtr dolnoprzepustowy składa się z dwóch układów RC oraz wtórnika o k = 1. Na wejściu podajemy sygnał o
amplitudzie 2V P P . W oparciu o wartości RC liczymy teoretyczną częstotliwość graniczną (ze wzoru (6) i (1)),
która wynosi fgd = 995 [Hz].
k [dB]
2.1.1
Charakterystyka częstotliwościowa
0
Dopasowanie k(f), fg = 1012.6 +/- 1.6 [Hz]
(-37.61 +/- 0.49) [dB/dec]
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
100
1000
10000
f [Hz]
Wyk.1 Charakterystyka częstotliwościowa dla filtru dolnoprzepustowego II rzędu.
Na podstawie Wyk.1 wyznaczamy fg = (1012.6 ± 1.6) [Hz] oraz nachylenie asymptotyczne które wynosi (−37.61 ±
0.49) [dB/dec]. Pomiary zgadzają się z oczekiwanymi wartościami przewidzianymi dla filtra II rzędu (błąd względny
dla częstotliwości wynosi 1.8%).
2
2.1.2
Odpowiedź filtru na skok napięcia
Na wejście podawaliśmy sygnał prostokątny o amplitudzie 2V P P i częstotliwości f = 100 [Hz], czyli znacznie
poniżej granicznej - układ nie całkuje jeszcze ściśle matematycznie. Odpowiedź prezentuje poniższy rysunek:
Wyk.2 Odpowiedź na skok napięcia.
Na podstawie Wyk.2 wyznaczamy czas narastania i opadania impulsu - jest on w obu przypadkach taki sam i wynosi
tr = 520 [µs].
2.2
Filtr dolnoprzepustowy Butterwortha IV rzędu
2.2.1
Charakterystykaiczęstotliwościowe
k [dB]
Układ IV rzędu składa się z dwóch filtrów dolnoprzepustowych II rzędu połączonych szeregowo, przy czym element
aktywny ma różne, specjalnie dobrane wzmocnienia. Pierwszy stopień wzmacniający ma k1 = 2.235 a drugi k2 =
1.152. Wartości te są dobrane tak, aby charakterystyka częstotliwościowa była płaska maksymalnie długo i powyżej
częstotliwości granicznej skutecznie obcinała sygnał.
Na wejściu podawaliśmy napięcie o amplitudzie 1.5V P P . Sygnał badaliśmy w dwóch punktach - po pierwszym
członie wzmacniającym oraz na końcu układu. W związku z tym będziemy dysponować trzema charakterystykami,
które później przedyskutujemy.
10
(-44.29 +/- 0.40) [dB/dec]
k(f), fg = (1020.5 +/- 3.7) [Hz]
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
10
100
1000
10000
f [Hz]
Wyk.3 Charakterystyka pierwszego członu wzmacniającego.
3
k [dB]
(-33.04 +/- 0.45) [dB/dec]
Dopasowanie k(f), fg = (995 +/- 17) [Hz]
0
-5
-10
-15
-20
-25
100
1000
f [Hz]
Wyk.4 Charakterystyka drugiego członu wzmacniającego.
Powyższe wykresy są charakterystykami pierwszego i drugiego członu wzmacniającego, czyli filtru dolnoprzepustowego II rzędu. Ze znajomości k1 oraz k2 dla obu stopni dopasowujemy zależność |K(ω)| na podstawie wzoru (4).
Występujące w mianownikach wyrażenie 3 − k w obu przypadkach jest mniejsze niż 4, co powoduje, że mianownik
ma zespolone bieguny. Ten fakt zobrazowany jest występowaniem przerzutów na wykresach charakterystyk. Z tym,
że dla k1 zespolony wyróżnik kwadratowy ma wartość stosunkowo dużą, stąd urojona część bieguna ma wyraźnie
dużą wartość - przerzut jest wyraźnie widoczny na Wyk.3. Z kolei, w przypadku k2 urojona część bieguna jest
nieduża stąd na Wyk.4 przerzut nie występuje.
Na podstawie dyskutowanego dopasowania wyznaczamy wartości częstotliwości granicznej, które zgadzają się z
wartością teoretyczną oraz doświadczalną przedstawioną w 2.1.1.
Wyznaczamy też asymptotyczne nachylenia charakterystyk w zakresie wysokich częstotliwości. Wiemy, że dla filtrów
II rzędu powinny one wynosić −40 [dB/dec]. Wyk.3 przedstawia nachylenie (−44.29 ± 0.40) [dB/dec], natomiast
Wyk.4 - (−33.04 ± 0.45) [dB/dec]. Obie wartości są akceptowalne jako nachylenia charakterystyk II rzędu.
4
k [dB]
10
(-77.93 +/- 0.74) [dB/dec]
k(f), fg = 1009.5 +/- 6.3 [Hz]
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
10
100
1000
f [Hz]
Wyk.5 Charakterystyka całego filtru IV rzędu.
Układ filtrujący Butterwortha IV rzędu jest opisany transmitancją, której mianownik jest maksymalnie uproszczony
- zawiera tylko wyraz najwyższego rzędu. Wszystkie wyrazy niższego rzędu nie występują, co uzyskujemy przez
odpowiedni dobór wzmocnienia k1 oraz k2 . Przemnożenie przez siebie zależności ze wzoru (4) oraz podstawienie
k1 i k2 daje prosty wzór (7). Tę zależność dopasowaliśmy do punktów pomiarowych. To dopasowanie ma pełną
zgodność, co widać na Wyk.5.
Częstotliwość graniczna filtru zgadza się z wartością teoretyczną oraz pomiarami wcześniejszymi. Ten parametr nie
powinien zależeć od elementów aktywnych, a tylko od wartości rezystancji i pojemności.
Nachylenie charakterystyki w zakresie wysokich częstotliwości wynosi (−77.93 ± 0.74) [dB/dec]. Filtr IV rzędu
powinien mieć nachylenie −80 [dB/dec] więc nasz wynik jest bardzo zadowalający.
2.2.2
Odpowiedź na skok napięcia
Wyk.6 Odpowiedź filtru IV rzędu na skok napięcia.
Na powyższym rysunku odtwarzamy kształt odpowiedzi układu IV rzędu na skok napięcia. Kształt jest zniekształcony, ma wyraźne fluktuacje - nie przypomina całkowania obserwowanego w przypadku 2.1.2. Taka jest właściwość
filtru Butterwortha, który ma bardzo dobrą charakterystykę, ale gorzej zachowuje się w przypadku odpowiedzi na
skok. Czas narastania obliczony w oparciu o Wyk.6 wynosi 410 [µs].
5
2.3
Filtr pasmowoprzepustowy
Filtr pasmowy zrealizowaliśmy łącząc szeregowo 2-stopniowe układy: całkujący i różniczkujący. W obu przypadkach
kolejne stopnie mają wzmocnienia k1 i k2 o wartościach takich jak poprzednio. Wartości elementów pasywnych w
układach dobrane są tak, aby częstotliwości graniczne, wyliczone w oparciu o wzór (6) wynosiły: ok. 99.5 [Hz] i
995 [Hz]. Na wejściu podajemy sygnał sinusoidalny o amplitudzie 1.5V P P .
Charakterystyka częstotliwościowa
k [dB]
2.3.1
Dopasowanie k(f)
(78.56 +/- 0.47) [dB/dec]
(-80.29 +/- 0.35) [dB/dec]
fg1 = 94.8 +/- 0.4
10
fg2 = 980 +/- 4
0
-10
-20
-30
-40
100
1000
f [Hz]
Wyk.7 Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa filtru pasmowego.
Wzór (8) przedstawia wzmocnienie amplitudowe filtru pasmowego, obliczone analogicznie do dyskusji w 2.2.2 Tę zależność dopasowujemy do naszych punktów pomiarowych, co pozwala znaleźć częstotliwości graniczne. Eksperymentalne wartości częstotliwości granicznych wynoszą: (94, 8±0.4) [Hz] dla filtru górnoprzepustowego oraz (980±4) [Hz]
dla filtru dolnoprzepustowego. Pamiętamy, że wartości te powinny być ok. 100 i 1000. Nasze wyniki są więc dobre.
Błędy względne: :4% oraz :1.5%. Pasmo przenoszenia sygnału jest bardzo płaskie, w całym zakresie częstotliwości
sygnał jest przenoszony bezstratnie z tym samym wzmocnieniem. Nachylenia charakterystyk z obu stron są z dużą
dokładnością bliskie nachyleniu ±80 [dB/dec], odpowiadającemu filtrom IV rzędu.
2.4
Wnioski
Układy przez nas analizowane w tym ćwiczeniu (czyli głównie filtry Butterwortha) wykazały dużą zgodność w
zachowaniu charakterystyk z przewidywaniami teoretycznymi. Wyznaczone analityczne formuły na wzmocnienie
(wzory 7 i 8) niemal doskonale odwzorowują punkty pomiarowe.
6