Wykład 7

Wykład 7
3.2.1
3.2.2
3.3
3.4
3.5
3.5.1
04-10-26
III zasada dynamiki Newtona, Zasada akcji i reakcji
Masa i ciężar
Pęd oraz popęd siły
Ruch swobodny i nieswobodny
Przykłady rozwiązywania równań ruchu
Siła sprężysta
Reinhard Kulessa
1
3.2.1 III zasada dynamiki Newtona, Zasada akcji i reakcji
Rozpatrzmy następującą sytuację.
winowajca
Widzimy, że mimo, że na kolumnę najechał ostatni
samochód, wszystkie auta uległy wzajemnemu uszkodzeniu.
04-10-26
Reinhard Kulessa
2
Eksperyment ten możemy zobaczyć tutaj na Sali
wykładowej. (doświadczenie z zegarkiem,dwa
dynamometry,)
04-10-26
Reinhard Kulessa
3
Jeśli mamy dwa ciała o masach m1 i m2 i założymy, że ciała
te między sobą siła tak, że ciało 1 działa siłą F21 na ciało 2, i
odwrotnie ciało 2 działa na ciało 1 siłą F12, to zgodnie z
zasadą akcji i reakcji, czyli zgodnie z III zasada dynamiki
Newtona,
G
G
G
G
F12 = − F21 ⇒ F12 + F21 = 0 .
(3.3a)
Jeśli mamy większe zbiorowisko ciał i każde ciało
oddziaływuje z każdym, to
G
∑ Fik = 0
i , k =1
i≠k
Wiemy również, że
oddziaływuje.
04-10-26
G
Fii = 0
.
, czyli że ciało ze sobą nie
Reinhard Kulessa
4
3.2.2 Masa i ciężar
Masa ciała i jego ciężar są zupełnie różnymi własnościami
fizycznymi ciała. Masa ciała jest skalarem, a jej jednostką w
układzie SI jest kilogram [kg]. Masę ciała można określić
przez porównanie jej do wzorca masy – 1 kilograma
m1
m2
F1
F2
Masa jest wewnętrzną
własnością każdego ciała. Jest
ona taka sama na powierzchni
Ziemi, na Księżycu, satelicie, czy
też w przestrzeni
międzygwiezdnej.
Masa ciała może zostać
wyznaczona przez porównanie
ze standardem masy.
Zaznaczone na rysunku siły są siłami grawitacji działającymi na masy m1
G
G
G
i m2 . Możemy je łatwo policzyć; F = m ⋅ gG
F = m ⋅g .
1
04-10-26
Reinhard Kulessa
1
2
2
5
Jeśli przyśpieszenie ziemskie w obszarze wagi jest stałe, do dla równowagi
wagi m1 = m2. Wyznaczyliśmy przy pomocy wagi względne masy dwóch
ciał, przez porównanie ich ciężarów.
Do wyznaczenia ciężaru ciała posłużymy się sprężyną.
Wydłużenie sprężyny jest wprost proporcjonalne do
przyłożonego ciężaru. W ogólnym przypadku skala sprężyny
jest wycechowana i mierzy masę ciała.
Należy zaznaczyć, że masę ciała otrzymujemy ze
zmierzonego ciężaru, przy założeniu, że
przyśpieszenie ziemskie jest równe 9.8 m/s2. Skala
sprężyny pokaże więc prawidłową masę tylko w
miejscu, w którym przyśpieszenie ziemskie jest
równe temu przyśpieszeniu, przy którym
wycechowano sprężynę. Wycechowana sprężyna
pokaże nieprawidłową masę np. na księżycu lub
w przyspieszającej windzie.
04-10-26
Reinhard Kulessa
m
F=mg
6
3.3 Pęd oraz popęd siły
Załóżmy, że masa bezwładna cząstki jest wielkością stałą,
czyli m = const. Możemy wtedy zgodnie z wzorem (3.4)
napisać:
G
G
G G
G
d r (t )
d v (t ) d
dp
m
=m
= ( mv (t )) =
=F ,
2
dt
dt
dt
dt
2
gdzie wektor
G
G G
G
dr (t ) ,
p = p (t ) = mv (t ) = m
dt
(3.5)
nazywamy pędem cząstki. Jednostką pędu jest[kg·m/s].
Równanie ruchu możemy więc napisać jako:
04-10-26
Reinhard Kulessa
7
G
G G
dp
= ma = F .
dt
(3.6)
Ostatnie równanie jest ogólniejsze niż równanie (3.4), gdyż
pozwala opisać ruch ciała o zmiennej masie.
Szybkość zmian pędu ciała jest równa sile zewnętrznej
działającej na cząstkę.
Całkując równanie (3.6) w przedziale ∆t = t –t0 ,
G
otrzymujemy:
t
t G
dp
∫ ⋅ dt = ∫ F ⋅ dt czyli
t0
dt
t0
t G
G
G G
G
∆p = p (t ) − p (t 0 ) = ∫ F dt = I .
(3.8)
t0
04-10-26
Reinhard Kulessa
8
I nazywamy popędem siły.
Tą samą zmianę pędu możemy uzyskać w różny sposób.
Równanie (3.7) możemy przekształcić następująco:
G
G
G
mv (t ) − mv (t0 ) = I
.
G
G
1 G
v (t ) = v (t0 ) + I
m
(3.8)
Całkując to równanie w przedziale ∆t = t –t0 , otrzymujemy:
t
G
G
1 G
∫t dr = t∫ [v (t0 ) + m I ] dt
0
0
t
, czyli
G
G
G
1 G
r (t ) = r (t 0 ) + v (t 0 ) ∆ t + ∫ I dt .
m t0
t
04-10-26
Reinhard Kulessa
(3.9)
9
Równanie (3.6) da się rozwiązać jedynie, gdy I jest explicite
funkcją czasu.
3.4 Ruch swobodny i nieswobodny
Dotychczas rozważaliśmy cząstkę, która mogła w
inercjalnym układzie współrzędnych wykonywać dowolne
ruchy pod wpływem przyłożonej siły F. Cząstkę taką
nazywamy swobodną i mówimy, że posiada ona trzy stopnie
swobody – czyli że do określenia jej położenia trzeba podać
trzy liczby – np. współrzędne w układzie kartezjańskim lub
innym układzie określającym jednoznacznie położenia ciała.
Jeżeli cząstka podczas ruchu pozostaje stale na określonej
powierzchni danej równaniem:
04-10-26
Reinhard Kulessa
10
f ( x, y , z , t ) = 0
.
(3.10)
Liczba stopni swobody takiej cząstki wynosi f = 2.
Jeżeli cząstka porusza się na krzywej danej przez
przecięcie się dwóch powierzchni jej liczba stopni swobody
f = 1. Wspomniana krzywa dana jest równaniami;
f1 ( x , y , z , t ) = 0
f 2 ( x, y, z, t ) = 0
.
(3.11)
Przyczyny ograniczające ruch cząstki nazywamy więzami.
Cząstkę poruszającą się zgodnie z tymi więzami nazywamy
cząstką nieswobodną.
Równania (3.10) i (3.11) nazywamy równaniami więzów.
04-10-26
Reinhard Kulessa
11
Jeżeli powierzchnia lub krzywa więzów zmienia się w czasie,
więzy nazywamy reonomicznymi, czyli niestacjonarnymi.
Jeżeli więzy nie zmieniają się w czasie, więzy nazywamy
skleronomicznymi, czyli stacjonarnymi.
Przykładem więzów skleronomicznych jest np. wymóg, aby
kulka poruszała się po okręgu o promieniu l na poziomym
stole. Przyjmując, że środek okręgu znajduje się w
początku układu współrzędnych równanie więzów będzie
miało postać;
l 2 − x2 − y2 − z 2 = 0
.
z=0
Doświadczenie uczy nas, że istnienie więzów zmusza nas do
wprowadzenia w równaniach ruchu oprócz siły zewnętrznej
będącej przyczyną ruchu dodatkowej siły, którą więzy
działają na poruszającą się cząstkę nieswobodną.
04-10-26
Reinhard Kulessa
12
Siłę tą nazywamy również reakcją więzów.
Równanie ruchu cząstki poddanej więzom zapiszemy
następująco:
G
G
d r (t ) G G G
m
= F ( r , v , t ) + FR .
2
dt
2
(3.12)
Z doświadczenia wiemy, że siły reakcji mają kierunek
prostopadły do krzywej lub powierzchni definiującej więzy.
Musimy w tym miejscu przypomnieć sobie III zasadę
dynamiki Newtona.
W przypadku równowagi ciała w układzie inercjalnym suma
wszystkich sił działających na ciało jest równa zeru.
G G
F + FR = 0
04-10-26
Reinhard Kulessa
.
13
3.5 Przykłady rozwiązywania równań ruchu
3.5.1 Siła sprężysta
Rozważmy siłę sprężystą w oparciu o poniższy rysunek.
stan równowagi
Przyczepiona do sprężyny masa m zostaje odsunięta od
położenia równowagi o odcinek x. Prowadzi to (zakładając,
że nie ma oporów) do periodycznego drgania masy m.
Rozciągnięcie sprężyny powoduje pojawienie się siły powrotnej
G
F = − k x iˆx ⇒ Fx = − k x
04-10-26
Reinhard Kulessa
14
Ciało wykonujące ruchy pod wpływem siły proporcjonalnej
do wychylenia nazywamy oscylatorem harmonicznym.
Dla swobodnego oscylatora harmonicznego
przestrzennego przedstawionego obok,
równanie ruchu będzie miało postać:
G
G
F = −k r
Widać z tego, że każdemu punktowi przestrzeni opisanemu
przez wektor r możemy przypisać siłę F. Mamy więc do
czynienia z polem siły sprężystej. Taką siłę nazywamy siłą
centralną, a początek układu, z którego wychodzi wektor r
nazywamy centrum siły.
04-10-26
Reinhard Kulessa
15
Wróćmy do przypadku swobodnego oscylatora przestrzennego i
zastanówmy się nad jego ruchem. Załóżmy, że oscylator jest izotropowy.
Oznacza to, że
ωx = ωy = ωz = ω .
G
G
mr = −kr
Równanie ruchu ma postać;
G
2G
mr = −ω r
lub
,
przy czym
,
(3.13)
k .
ω =
m
2
Dla oscylatora harmonicznego izotropowego mamy:
x = A cos( ω t + ϕ ) = A(cos ω t cos ϕ − sin ω t sin ϕ )
= A1 cos ω t + A2 sin ω t
gdzie
A1 = A cos ϕ
A2 = − A sin ϕ .
Podobnie otrzymujemy dla pozostałych składowych,
04-10-26
Reinhard Kulessa
16
y = B1 cos ω t + B2 sin ω t
z = C1 cos ω t + C 2 sin ω t
Po paru przekształceniach możemy możemy znaleźć tor jaki zakreśla ciało
drgające ruchem izotropowego oscylatora przestrzennego. Otrzymujemy
jako rozwiązanie
z = D1 x + D2 y ⇒ z − D1 x − D2 y = 0 .
Współczynniki D1 i D2 są funkcjami współczynników A1,A2,B1,B2,C1,C2.
Ostatnie równanie jest równaniem płaszczyzny przechodzącej przez
początek układu współrzędnych, będącego centrum siły harmonicznej .
Mamy więc do czynienia z ruchem płaskim.
04-10-26
Reinhard Kulessa
17