pełny artykuł (full article) - plik PDF

Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier∗
MODELE PROCESU EKSPLOATACJI POJAZDÓW
MECHANICZNYCH
Streszczenie. W pracy przedstawiono modele matematyczne, w których kryterium
oceny efektywności funkcjonowania systemów eksploatacji jest stan techniczny obiektów i koszty eksploatacji. Do opracowania tych modeli wykorzystano procesy Markowa.
Słowa kluczowe: model matematyczny, proces rzeczywisty eksploatacji, obiekt techniczny
WPROWADZENIE
W systemie eksploatacji pojazdów mechanicznych zachodzą róŜnorodne procesy, a
w tym: uŜytkowania, diagnozowania, obsługiwania i zarządzania. Narzędziem doskonalenia funkcjonowania tych systemów są modele procesów eksploatacji, w szczególności
modele matematyczne.
I WERSJA MODELU
Graf procesu eksploatacji
Pojazdy mechaniczne, które zostały poddane diagnozowaniu (stan wα) z prawdopodobieństwami p14 i p15 są kierowane do odpowiednich stanów: zdatności w1 i niezdatności w0. Wszystkie obiekty techniczne – zdatne (p46) i niezdatne (p56) są poddawane ocenie efektywności ich funkcjonowania (stan wε), w aspekcie ekonomicznym (koszty).
Zdatne obiekty techniczne z prawdopodobieństwem p62, które opłaca się uŜytkować są
kierowane do podzbioru stanów Wu uŜytkowania, skąd po wykonaniu zadań są kierowane do stanu diagnozowania z prawdopodobieństwem p21. Niezdatne obiekty techniczne,
które opłaca się obsługiwać (np. naprawiać, regulować) z prawdopodobieństwem p63 są
skierowane do podzbioru stanów Wo obsługiwania, skąd trafiają ponownie do stanu wα
diagnozowania z prawdopodobieństwem p31 [1, 2].
∗ Prof. dr hab. inŜ. Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier , Katedra Eksploatacji Pojazdów i Maszyn, Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie
Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier
198
p*1
0
p1
p1
wα
1
21
p*5
w0
5
w1
4
0
p
p4
p4
6
p2
Wu
2
1
p*4
p*2 p20
, λ3
p 31
,λ
14
15
p 21
,λ
,λ
p 15
p
14
,λ
λ
p 62 ,
p
46
wε
6
p60
p5
56
56
0
p63 ,
62
p6*
,λ
0
p5
p6
λ 63
p*3
p3
p3
Wo
3
Rys. 1. Graf procesu eksploatacji pojazdów mechanicznych, w którym wprowadzono stan oceny
efektywności (koszty) – wersja I: wα, Wu, Wo, w1, w0 i wε – stany: diagnozowania, uŜytkowania,
obsługiwania, zdatności, niezdatności, oceny efektywności; p1*, p10, p1 – prawdopodobieństwa
graniczne przebywania obiektów w wyróŜnionych stanach; p14, p15, ... – prawdopodobieństwa
przejść procesu między wyróŜnionymi stanami
Fig. 1. Graph of mechanical vehicles exploitation process in which the state of effectiveness of
evaluation was introduced (costs) – Version I: wα, Wu, Wo, w1, w0 i wε – states: of diagnosis, of use,
of servicing, of usability and unusability, of effectiveness evaluation;
p1*, p10, p1 – border probabilities of objects staying in the marked objects;
p14, p15, ..., – probabilities of the process passage between the marked states
Model dyskretny w stanach i czasie
Macierz prawdopodobieństw przejść procesu (rys. 1) ma postać:
 0
p
 21
p
PαB =  31
 0
 0

 0
Z macierzy (1) wynika, Ŝe:
0
0
p14
p15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p62
0
p63
0
0
0
0
0 
0 
0 

p 46 
p56 

0 
(1)
MODELE PROCESU EKSPLOATACJI POJAZDÓW MECHANICZNYCH
199
p14 + p15 = 1
p21 = 1
p31 = 1
(2)
p46 = 1
p56 = 1
p62 + p63 = 1
Równania stanów granicznych mają postać:
p1* = p21 p2* + p31 p3*
p3* = p63 p6*
p2* = p62 p6*
p4* = p14 p1*
p5* = p15 p1*
p6* = p46 p4* + p56 p5*
p1* + p 2* + p 3* + p 4* + p5* + p 6* = 1
(3)
(4)
Macierzowy układ równań:
0   p1*  0
 −1 1 1 0 0
 0 − 1 0 0 0 p   *  0
62   p 2 
 

0
0 − 1 0 0 p63   p3*  0

⋅  =  
0   p4*  0
 p14 0 0 − 1 0
 p15 0 0 0 − 1 0   p5*  0

    
1 1 1 1
1   p6*  1
 1
AC ⋅ PC = BC
(5)
(6)
Rozwiązanie równań (6) określa wzór:
−1
PC = A C ⋅ BC
(7)
Prawdopodobieństwa graniczne stanów są następujące:
1
3
p 63
*
p3 =
3
p15
*
p5 =
3
p1* =
p62
3
p14
*
p4 =
3
1
*
p6 =
3
p 2* =
(8)
Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier
200
Model dyskretny w stanach i ciągły w czasie
Układ równań opisujących proces eksploatacji obiektów technicznych (rys. 1), w
którym ruch obiektów między stanami jest scharakteryzowany intensywnością przejść
λij(t) ma postać:
− λ14 p10 − λ15 p10 + λ21 p20 + λ31 p30 = 0
− λ21 p20 + λ62 p60 = 0
− λ31 p30 + λ63 p60 = 0
− λ 46 p40 + λ14 p10 = 0
(9)
− λ56 p50 + λ15 p10 = 0
− λ62 p60 − λ63 p60 + λ46 p40 + λ56 p50 = 0
p10 + p20 + p30 + p40 + p50 + p60 = 1
W zapisie macierzowym układ równań (9) ma postać:
− λ14 − λ15

0


0

 λ14
 λ15

1

λ21
− λ21
0
0
0
1
λ31
0
0
0
0
0
− λ31
0
0
− λ46
0
0
1
1
0
0
− λ56
1
0   p10  0
 
λ62   p20  0
λ63   p30  0
⋅  =  
− λ46   p40  0
0   p50  0
    
1   p50  1
(10)
Rozwiązanie układu równań (10) określa wartości prawdopodobieństw granicznych
stanów:
−1
PD = A D ⋅ BD
−1
PD = A D ⋅ BD
Model semi-Markowa
Wartości prawdopodobieństw stanów granicznych opisują wzory:
(11)
MODELE PROCESU EKSPLOATACJI POJAZDÓW MECHANICZNYCH
p1 =
201
E (T1 )
E (T1 ) + p62 E (T2 ) + p63 E (T3 ) + p14 E (T4 ) + p15 E (T5 ) + E (T6 )
p62 E (T2 )
Aα
p63 E (T3 )
p3 =
Aα
p14 E (T4 )
p4 =
Aα
p E (T5 )
p5 = 15
Aα
p2 =
p6 =
(12)
E (T6 )
Aα
gdzie:
Aα = E (T1 ) + p62 E (T2 ) + p63 E (T3 ) + p14 E (T4 ) + p15 E (T5 ) + E (T6 )
E(T1), E(T2),..., E(T6) – wartości oczekiwane czasów przebywania obiektów w wyróŜnionych stanach.
Prawdopodobieństwa graniczne (12) mają następującą interpretację:
p1 – współczynnik określający zbiór diagnozowanych obiektów technicznych;
p2 – współczynnik określający zbiór zdatnych obiektów technicznych, które opłaca się
uŜytkować;
p3 – współczynnik charakteryzujący frakcję niezdatnych obiektów, które opłaca się
obsługiwać;
p4 – współczynnik oczekiwania uŜytkowania charakteryzujący zbiór zdatnych obiektów,
oczekujących na ocenę efektywności funkcjonowania;
p5 – współczynnik oczekiwania obsługiwania charakteryzujący zbiór niezdatnych
obiektów, oczekujących na ocenę efektywności obsługiwania;
p6 – współczynnik charakteryzujący zbiór ocenianych pod względem efektywności
obiektów technicznych.
Z grafu 1 i opisu interpretacji prawdopodobieństw granicznych wynika, Ŝe nie
uwzględniono zdatnych obiektów technicznych i niezdatnych obiektów technicznych,
których nie opłaca się eksploatować i naleŜy wyprowadzić je z systemu eksploatacji, co
przedstawiono na rys. 2. Podkreślić naleŜy, Ŝe dla grafu z rys. 1, p2 + p4 ≠ Kgt (współczynnik gotowości technicznej obiektów), poniewaŜ nie uwzględniono zdatnych obiektów, których nie opłaca się uŜytkować w danym systemie eksploatacji.
II WERSJA MODELU
Graf procesu eksploatacji
Graf procesu eksploatacji przedstawiono na rys. 2. W grafie stan wε oceny efektywności rozdzielono na dwa stany: wε1 – stan oceny jakości funkcjonowania zdatnych po-
Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier
202
jazdów mechanicznych i stan wε2 – oceny efektywności obsługiwania pojazdów niezdatnych.
0
p 1* p 1 p 1
*
p 14
,n
61
,λ
6
,λ
46
,n
62
,λ
2
w
5
p7
p
,λ
p 57
57
p
p5
0
w ε2
7
0
7
p7
3
p6
*
31
0
5
, n7
p2
p5
15
73
p 20
Wu
2
p6
p 6*
p 60
,λ
,λ
p 73
62
wε1
6
p 2*
, n 71
p4
1
*
1
w
4
1
,λ
, λ7
p4
p15
p 71
p 40
, λ 14
61
p4
p3
wα
1
21
p 61
p
,λ
21
p 3*
Wo
3
p3
p 30
Rys. 2. Graf II wersji procesu eksploatacji pojazdów mechanicznych, (oznaczenia w tekście)
Fig. 2. Graph of mechanical vehicles exploitation process Version II (symbols as in Fig. 1.)
Obiekty techniczne, które zostały poddane diagnozowaniu (stan wε) z prawdopodobieństwem p14 i p15 są kierowane do stanu w1 zdatności i stanu w0 niezdatności. Jest to
pierwsza selekcja obiektów, w której kryterium oceny efektywności funkcjonowania jest
ich stan techniczny.
Zdatne pojazdy mechaniczne ze stanu w1 przechodzą do stanu wε1, w którym podlegają drugiej selekcji, której kryterium jest efektywność (koszty) ich funkcjonowania.
Obiekty te dzielone są na dwa strumienie. Pierwszy strumień z prawdopodobieństwem
p62 jest kierowany do zbioru stanów Wu uŜytkowania. Zatem są to zdatne obiekty techniczne, które opłaca się uŜytkować. Po zrealizowaniu zadań obiekty z prawdopodobieństwem p21 są kierowane do stanu wα ich diagnozowania. Drugi strumień obiektów z
podobieństwem p61 płynie do stanu wα. W strumieniu tym znajdują się zdatne obiekty
techniczne, które nie opłaca się uŜytkować i naleŜy wyprowadzić je z podsystemu eksploatacji w danym systemie gospodarczym.
Niezdatne obiekty techniczne z prawdopodobieństwem p57 są kierowane do stanu
wε2 oceny efektywności ich obsługiwania (np. naprawy), w którym równieŜ są rozdzielone na dwa strumienie.
Pierwszy strumień obiektów z prawdopodobieństwem p72 jest kierowany do stanów
Wo obsługiwania. W strumieniu tym znajdują się niezdatne obiekty techniczne, które
opłaca się obsługiwać. Drugi strumień dotyczy obiektów niezdatnych, których nie opłaca
się obsługiwać. Obiekty te z prawdopodobieństwem p71 są kierowane do stanu wα, skąd
są odprowadzone poza system eksploatacji obiektów.
Z przedstawionego opisu wynika jednoznaczność ruchu obiektów technicznych w
grafie, na podstawie którego powinien funkcjonować system ich eksploatacji. Z liczby
MODELE PROCESU EKSPLOATACJI POJAZDÓW MECHANICZNYCH
203
N = n62 + n61 + n72 + n71 obiektów znajdujących się w systemie, n62 jest zdatnych i uŜytkowanych, n61 zdatnych urządzeń nie opłaca się uŜytkować, n72 niezdatnych urządzeń
podlega obsługiwaniu, natomiast n71 niezdatnych urządzeń nie opłaca się obsługiwać.
Poza system eksploatacji naleŜy wyprowadzić nw = n61 + n71 obiektów technicznych i
uzupełnić nowymi obiektami [1, 2].
Model dyskretny w stanach i czasie
Macierz prawdopodobieństw przejść procesu eksploatacji obiektów technicznych
ma postać (rys. 2):
 0
p
 21
 p31

PC =  0
 0

 p61
p
 71
0
0
0
0
p14
0
p15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p46
0
p62
0
0
0
p73
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
0 
0 

0 
p57 

0 
0 
(13)
Z macierzy (13) wynika, Ŝe:
p14 + p15 = 0
p21 = 1
p31 = 1
p46 = 1
(14)
p57 = 1
p61 + p62 = 1
p71 + p73 = 1
Graf (rys. 2) moŜna opisać układem równań:
p1* = p21 p2* + p31 p3* + p61 p6* + p71 p7*
p2* = p62 p6*
p3* = p73 p7*
p4* =
p5* =
p6* =
p7* =
p14 p1*
p15 p1*
p46 p4*
p57 p5*
p1* + p2* + p3* + p4* + p5* + p6* + p7* = 1
Macierzowy układ równań:
(15)
Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier
204
 − 1 1 1 0 0 p61
 0 −1 0 0 0 p
62

 0
0 −1 0 0
0

0
 p14 0 0 − 1 0
 p15 0 0 0 − 1 0

0 0 1 0 −1
 0
 1
1 1 1 1
1

p71   p1*  0
 
0   p 2*  0
p73   p3*  0
    
0  ⋅  p 4*  = 0
0   p5*  0
    
0   p6*  0
1   p7*  1
AF ⋅ PF = B F
(16)
(17)
Rozwiązanie równań (17) określa wzór (18), z którego uzyskuje się wartość prawdopodobieństw p1* , p 2* ,..., p7* granicznych wyróŜnionych stanów:
−1
PF = A F ⋅ BF
(18)
Model dyskretny w stanach i ciągły w czasie
Układ równań stanowiących model, w którym przejścia obiektów charakteryzują
intensywności przejść λij(t) ma postać:
− λ14 p10 − λ15 p10 + λ21 p20 + λ31 p30 + λ61 p60 + λ71 p70 = 0
− λ21 p20 + λ62 p60 = 0
− λ31 p30 + λ73 p70 = 0
− λ46 p40 + λ14 p10 = 0
(19)
− λ57 p50 + λ15 p10 = 0
− λ62 p60 + λ46 p40 = 0
− λ73 p70 + λ57 p50 = 0
p10 + p20 + p30 + p40 + p50 + p60 + p70 = 1
W zapisie macierzowym układ równań (19) ma postać:
− λ14 − λ15

0


0

λ
14

 λ15

0


1

λ21
− λ21
λ31
0
0
0
0
− λ31
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
− λ46
0
0
1
1
λ61
λ62
0
0
0
λ46
− λ57
0
− λ62
1
1
1
λ71   p10  0
 
0   p 20  0
λ73   p30  0
    
0  ⋅  p 40  = 0
0   p50  0
    
0   p60  0
1   p70  1 
(20)
MODELE PROCESU EKSPLOATACJI POJAZDÓW MECHANICZNYCH
Rozwiązanie układu równań (20) określa
p10 , p20 ,..., p70 granicznych wyróŜnionych stanów:
wartość
205
prawdopodobieństw
−1
PG = A G ⋅ BG
(21)
Model semi-Markowa
Wartości prawdopodobieństw stanów granicznych wynoszą:
p1* E (T1 )
Aβ
p3* E (T3 )
p3 =
Aβ
p5* E (T5 )
p5 =
Aβ
p7* E (T7 )
p7 =
Aβ
p1 =
p2* E (T2 )
Aβ
p4* E (T4 )
p4 =
Aβ
p6* E (T6 )
p6 =
Aβ
p2 =
(22)
gdzie:
E(T1), E(T2),... – wartości oczekiwane czasów przebywania obiektów w wyróŜnionych stanach;
Aβ = p1* E (T1 ) + p2* E (T2 ) + p3* E (T3 ) + p 4* E (T4 ) + p5* E (T5 ) + p6* E (T6 ) + p7* E (T7 ) .
Prawdopodobieństwa graniczne (22) mają interpretację:
p1 – współczynnik określający zbiór diagnozowanych obiektów technicznych;
p2 – współczynnik określający zbiór zdatnych obiektów technicznych, które opłaca się
uŜytkować;
p3 – współczynnik charakteryzujący frakcję niezdatnych obiektów technicznych, które
opłaca się obsługiwać;
p4 – współczynnik oczekiwania uŜytkowania charakteryzujący zbiór zdatnych obiektów
technicznych, oczekujących na ocenę efektywności funkcjonowania;
p5 – współczynnik oczekiwania obsługiwania, charakteryzujący zbiór niezdatnych
obiektów technicznych, oczekujących na ocenę efektywności obsługiwania;
p6 – współczynnik charakteryzujący zbiór zdatnych obiektów technicznych ocenianych
pod względem opłacalności uŜytkowania;
p7 – współczynnik charakteryzujący zbiór niezdatnych obiektów technicznych
ocenianych w aspekcie opłacalności obsługiwania.
Współczynnik gotowości technicznej obiektów jest opisany wyraŜeniem:
Kgt = p2 + p4 +p6.
Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier
206
III WERSJA MODELU
Graf procesu eksploatacji
Do grafu procesu eksploatacji pojazdów mechanicznych przedstawionego na rys. 2
wprowadzono dwie zmiany – rys. 3. Pierwsza zmiana dotyczy przejścia obiektów ze
stanu 4 do stanu 2 z prawdopodobieństwem p42. Uzasadnienie częściowego ruchu obiektów technicznych tą drogą jest następujące. Efektywność ekonomiczna systemu eksploatacji obiektów technicznych zaleŜy od jakości funkcjonowania wszystkich urządzeń
technicznych. Niektóre obiekty techniczne nie mogą funkcjonować ekonomicznie, tzn.
przynosić dochodu, jednak ich obecność jest niezbędna do zapewnienia prawidłowego
działania systemu eksploatacji jako całości. W związku z tym część zdatnych obiektów
pomija stan 6 oceny opłacalności ich uŜytkowania i bezpośrednio przechodzi do realizacji zadań w stanie 2.
Druga zmiana dotyczy przejścia obiektów ze stanu 5 do stanu 3, z pominięciem stanu 7 oceny opłacalności obsługiwania, z prawdopodobieństwem p53. Jest to uzasadnione
tym, Ŝe niektóre urządzenia techniczne, których nie opłaca się obsługiwać, muszą być
obsłuŜone, poniewaŜ ich obecność gwarantuje ciągłości funkcjonowania systemu. Podkreślić naleŜy, Ŝe system eksploatacji pojazdów mechanicznych jako całość nie moŜe
generować strat [1, 2].
0
p 1* p 1 p 1
61
,n
61
,λ
6
,λ
46
2
p6
p7
,λ
p 57
57
w ε2
7
p 70
p7
3
p2
*
p5
w0
5
, n7
p 20
Wu
2
p6
p 6*
p 60
p
31
0
5
73
,λ
62
,n
62
p42 , λ 42
wε1
6
p5
15
,λ
p 73
p 2*
, n 71
p4
,λ
1
*
1
p4
1
,λ
, λ7
w
4
p15
p 71
p 40
p1
14
p53 , λ 53
p 4*
,λ
4
p3
wα
1
21
p 61
p2
,λ
1
p 3*
Wo
3
p3
p 30
Rys. 3. Graf III wersji procesu eksploatacji pojazdów mechanicznych [1]
Fig. 2. Graph of mechanical vehicles exploitation process Version III (symbols as in Fig. 1.)
Model dyskretny w stanach i czasie
Macierz prawdopodobieństwa przejść procesu eksploatacji obiektów technicznych
ma postać (rys. 3):
MODELE PROCESU EKSPLOATACJI POJAZDÓW MECHANICZNYCH
 0
p
 21
 p31

PαD =  0
 0

 p61
p
 71
0
0
p14
p15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p42
0
0
p53
0
0
0
0
p46
0
p62
0
0
0
0
0
p73
0
0
0
0 
0 
0 

0 
p57 

0 
0 
207
(23)
Z macierzy (23) wynika, Ŝe:
p14 + p15 = 1
p21 = 1
p31 = 1
p42 + p46 = 1
p53 + p57 = 1
p61 + p62 = 1
p71 + p73 = 1
(24)
Równania stanów granicznych mają postać:
p1* = p 21 p2* + p31 p3* + p61 p6* + p71 p7*
p 2* = p42 p 4* + p62 p6*
p3* = p53 p5* + p73 p7*
p4* = p14 p1*
(25)
p5* = p15 p1*
p6* = p 46 p4*
p7* = p57 p5*
p1* + p2* + p3* + p4* + p5* + p6* + p7* = 1
Macierzowy układ równań:
0
 −1 1 1
 0 −1 0 p
42

 0
0 −1 0

 p14 0 0 − 1
 p15 0 0
0

0
0
0
p

46
 1
1
1
1

0
p61
0
p53
0
−1
0
1
p62
0
0
0
−1
1
p71   p1*  0
 
0   p 2*  0
p73   p3*  0
    
0  ⋅  p 4*  = 0
0   p5*  0
    
0   p6*  0
1   p7*  1
(26)
Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier
208
AH ⋅ PH = BH
(27)
Ze wzoru
−1
PH = A H ⋅ BH
(28)
p1* , p 2* ,..., p7* prawdopodobieństw granicznych stanów.
otrzymujemy wartości
Model dyskretny w stanach i ciągły w czasie
Układ równań (rys. 3) ma postać:
− λ14 p10 − λ15 p10 + λ21 p20 + λ31 p30 + λ61 p60 + λ71 p70 = 0
− λ21 p20 + λ42 p40 + λ62 p60 = 0
− λ31 p30 + λ53 p50 + λ73 p70 = 0
(29)
− λ42 p40 − λ46 p40 + λ14 p10 = 0
− λ53 p50 − λ57 p50 + λ15 p10 = 0
− λ61 p60 − λ62 p60 + λ46 p40 = 0
− λ71 p70 − λ73 p70 + λ57 p50 = 0
p + p20 + p30 + p40 + p50 + p60 + p70 = 1
0
1
W zapisie macierzowym układ równań (29) ma postać:
− λ14 − λ15

0


0

λ
14

 λ15

0


1

λ21
− λ21
λ31
0
0
0
λ42
0
λ61
λ62
0
− λ31
0
λ53
0
0
0
− λ42 − λ46
0
0
0
0
0
− λ53 − λ57
0
0
0
λ46
0
− λ61 − λ62
1
1
1
1
1
λ71   p10  0
 
0   p20  0
λ73   p30  0 (30)
    
0  ⋅  p40  = 0
0   p50  0
    
0   p60  0
1   p70  1
Prawdopodobieństwa graniczne wyróŜnionych stanów obliczamy ze wzoru:
−1
PI = A I ⋅ BI
−1
PI = A I ⋅ BI
(31)
MODELE PROCESU EKSPLOATACJI POJAZDÓW MECHANICZNYCH
209
Model semi-Markowa
Model ten jest opisany układem równań (22), z tym, Ŝe wartości prawdopodobieństw granicznych włoŜonego procesu Markowa obliczamy z wzoru (28).
Prawdopodobieństwa graniczne wyróŜnionych stanów mają taką samą interpretację
jak w wersji II modelu, z tym Ŝe przyjmują inne wartości.
MODEL Z ZAKŁÓCENIAMI
Graf procesu
W przypadkach szczególnych istnieje konieczność wykorzystania częściowo niezdatnych obiektów technicznych do realizacji zadań. Dotyczyć to moŜe sytuacji, w których zagroŜone jest bezpieczeństwo ludzi, na przykład w czasie klęsk Ŝywiołowych
(powódź, wichury, opady śnieŜne). W związku z tym do grafu procesu eksploatacji
obiektów technicznych przedstawionym na rys. 3 wprowadzono następujące zmiany –
rys. 4. Istnieje moŜliwość przejścia obiektów technicznych ze stanu 1 bezpośrednio do
stanu 2, a takŜe częściowo niezdatnych obiektów technicznych ze stanu 3 do stanu 2 [1,
2].
0
p 1* p 1 p 1
61
,n
61
,λ
p 61
,λ
46
81
62
,n
62
2
p6
p2
,λ
p 57
57
w ε2
7
p 70
p7
p
p5
w0
5
3
p 20
Wu
2
p7
31
0
5
, n7
p 2*
*
,λ
73
,λ
p6
p5
15
,λ
p 73
p42 , λ 42
wε1
6
p 6*
p 60
,λ
6
, n 71
p4
1
*
1
p4
1
,λ
, λ7
w
4
p15
p 71
p 40
p1
14
p53 , λ 53
p 4*
,λ
4
p3
wα
1
21
1
,λ
p8
p
21
p 32 , λ 32
p 3*
Wo
3
p3
p 30
Rys. 4. Graf procesu eksploatacji obiektów technicznych z zakłóceniami
Fig. 4. Graph of exploitation process of technical objects with interferences
Model dyskretny w stanach i czasie
Macierz prawdopodobieństw przejść procesu eksploatacji obiektów technicznych
ma postać (rys. 4):
210
Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier
 0
p
 21
 p31

PαE =  0
 0

 p61
p
 71
p12
0
p14
p15
0
0
p32
0
0
0
0
0
0
0
0
p42
0
0
p53
0
0
0
0
p 46
0
p62
0
0
p73
0
0
0
0
0
0
0 
0 
0 

0 
p57 

0 
0 
(32)
Z macierzy (32) wynika, Ŝe:
p12 + p14 + p15 = 1
p21 = 1
p31 + p32 = 1
p42 + p46 = 1
(33)
p53 + p57 = 1
p61 + p 62 = 1
p71 + p73 = 1
Biorąc pod uwagę graf (rys. 4), równania stanów granicznych mają postać:
p1* = p21 p2* + p31 p3* + p61 p6* + p71 p7*
p2* = p12 p1* + p32 p3* + p42 p4* + p62 p6*
p3* = p53 p5* + p73 p7*
p4* = p14 p1*
p5* = p15 p1*
p6* = p46 p4*
p7* = p57 p5*
p10 + p20 + p30 + p40 + p50 + p60 + p70 = 1
Równania stanów granicznych w układzie macierzowym mają postać:
(34)
MODELE PROCESU EKSPLOATACJI POJAZDÓW MECHANICZNYCH
 − 1 1 p31
p
 12 − 1 p32
 0
0 −1

0
 p14 0
 p15 0
0

0
0
 0
 1
1
1

0
0
p61
p42
0
p62
0
p53
0
−1
0
0
−1
0
0
p46
0
−1
1
1
1
p71   p1*  0
 
0   p2*  0
p73   p3*  0
    
0  ⋅  p4*  = 0
0   p5*  0
    
0   p6*  0
1   p7*  1
AJ = PJ ⋅ BJ
Wartości prawdopodobieństw
211
(35)
(36)
p1* , p 2* ,..., p7* otrzymujemy z równania:
−1
PJ = A J ⋅ BJ
(37)
Model dyskretny w stanach i ciągły w czasie
Układ równań (rys. 4) ma postać:
(− λ12 − λ14 − λ14 ) p10 + λ21 p20 + λ31 p30 + λ61 p60 + λ71 p70 = 0
− λ21 p20 + λ12 p10 + λ32 p30 + λ42 p40 + λ62 p60 = 0
(− λ31 − λ32 ) p30 + λ53 p30 + λ73 p70 = 0
(− λ42 − λ46 ) p40 + λ14 p10 = 0
(− λ53 − λ57 ) p50 + λ15 p10 = 0
(− λ61 − λ62 ) p60 + λ46 p40 = 0
(− λ71 − λ73 ) p70 + λ57 p50 = 0
(38)
p10 + p20 + p30 + p40 + p50 + p60 + p70 = 1
W zapisie macierzowym układ równań (38) ma postać:
− λ12 − λ14 − λ15

λ12


0

λ
14


λ15

0


1

λ21
λ31
− λ21
λ32
− λ31 − λ32 0
0
0
λ42
0
λ61
λ62
0
λ53
0
0
0
0
0
− λ42 − λ46
0
0
− λ53 − λ57
0
0
0
0
λ46
0
− λ61 − λ62
1
1
1
1
1
λ71   p10  0
 
0   p20  0
λ73   p30  0 (39)
    
0  ⋅  p40  = 0
0   p50  0
    
0   p60  0
1   p70  1
Prawdopodobieństwa graniczne wyróŜnionych stanów obliczamy z wzoru:
−1
PJ = A J ⋅ BJ
(40)
Stanisław Niziński, Krzysztof Ligier
212
Model semi-Markowa
Model jest opisany układem równań (22), z tym, Ŝe wartości prawdopodobieństw
granicznych włoŜonego łańcucha Markowa obliczamy ze wzoru (37). Prawdopodobieństwa graniczne wyróŜnionych stanów mają taka samą interpretację jak w punkcie II
wersji modelu z wyjątkiem prawdopodobieństwa p2, które oznacza współczynnik uŜytkowania zdatnych i częściowo niezdatnych obiektów technicznych.
PODSUMOWANIE
–
–
–
Reasumując rozwaŜania dotyczące modeli matematycznych moŜna stwierdzić:
pierwszym modelem matematycznym uwzględniającym stan oceny efektywności
jest model, w którym kryterium tej oceny jest stan techniczny pojazdów mechanicznych;
lepiej odzwierciedlającym rzeczywisty proces eksploatacji obiektów technicznych
jest model, w którym kryterium oceny efektywności jest stan techniczny i koszty –
wersja I, a w szczególności wersja II, a takŜe wersja III;
w szczególnych przypadkach, np. klęsk Ŝywiołowych, procesy eksploatacji pojazdów mechanicznych mogą być opisane modelami matematycznymi z zakłóceniami.
PIŚMIENNICTWO
1.
2.
Niziński S., 2002: Eksploatacja obiektów technicznych. ITE, Radom.
Niziński S., śółtowski B., 2002: Modelowanie procesów eksploatacji maszyn. MAKAR Bś.
Bydgoszcz-Sulejówek.
MODELS OF WEHICLE OPERATING PROCESS
Summary. Mathematical models of vehicle operating processes has been shown, in which the
technical state of objects and operating costs were used as effectiveness evaluation criterion of
costs of operating systems of machines. The Markov's chain method was used in developing the
models.
Keywords: mathematical model, real exploitation process, technical object.
Recenzent: Prof. dr hab. Zbigniew Burski