Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki. Zestaw
Transkrypt
Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki. Zestaw
Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki. Zestaw 7 • Zadania związane z liczeniem rzędu macierzy oraz z rozwiązywaniem układów równań. 1. Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi: (a) f : R → R, f (x) = 3x + 2, (b) f : R → R, f (x) = 2x, (c) f : R2 → R, f (x1 , x2 ) = 4x1 + 2x22 , (d) f : R → R2 , f (x) = (2x, −x), (e) f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , 2x3 , x2 − x1 ). 2. (a) Podaj przykład funkcji f : R2 → R takiej, że f (av) = af (v) dla a ∈ R oraz v ∈ R2 , ale f nie jest funkcją liniową. (b) Podaj przykład funkcji z jednej przestrzeni liniowej w drugą, która jest addytywna, ale nie jest liniowa. 3. Niech g : R3 → R3 będzie odwzorowaniem zadanym następująco: g(x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 − x3 , x2 − x1 + 3x3 , x1 − 2x2 + 3x3 ). Pokazać, że odwzorowanie g jest liniowe, wyznaczyć bazę dla ker g oraz im g. Obliczyć rząd przekształcenia g. 4. Czy jest możliwe, by jądrem pewnego odwzorowania liniowego f : R2 → R2 był zbiór: (a) {(x1 , x2 ) ∈ R2 ; x1 = 0 ∨ x2 = 0}, (b) {(x1 , x2 ) ∈ R2 ; x1 + x2 = 0} (c) {(0, 1)}? 5. Niech V będzie przestrzenią liniową nad R, a b ustalonym wektorem. Niech ϕ : R2 → V będzie przekształceniem liniowym zadanym następująco: ϕ(e1 ) = 2b, ϕ(e2 ) = −3b. Wyznaczyć ker ϕ i jego wymiar w zależności od wektora b. 6. Podaj przykład przekształcenia liniowego g : R[x]3 → R[x]3 (wyrażonego konkretnym wzorem) spełniającego warunek: ker g = h{1, x, x2 }i oraz im g = h{x2 }i. Czy g jest wyznaczone jednoznacznie? 7. Pokaż, że dowolne przekształcenie liniowe ϕ jednowymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem K ma postać ϕ(v) = λv, dla każdego v ∈ V oraz pewnego λ ∈ K. 8. Niech ϕ będzie przekształceniem liniowym przestrzeni R[x]n przeprowadzającym każdą funkcję wielomianową w jej pochodną. Pokaż, że ϕn+1 = 0. 9. Niech ϕ będzie przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V w siebie takim, że ϕ2 = ϕ. Udowodnić, że wówczas przestrzeń V jest sumą prostą jądra oraz obrazu przekształcenia ϕ. 4 10. Znajdź macierz przekształcenia liniowego 4 → R w bazach 0 ϕ : R[x] (f − f )(1) (f 0 + f )(1) standardowych zadanego wzorem ϕ(f ) = (f 0 + f )(−1) , dla f ∈ R[x]4 . (f 0 − f )(−1) 7 −3 11. Znajdź macierz przekształcenia liniowego T x = Ax, A = , 10 −4 1 3 w bazie f1 = , f2 = . 2 5 12. Znajdź macierz operatora różniczkowania d : V → V , gdzie V = h{f1 , f2 }i < F(R, R); f1 (x) = cos x, f2 (x) = sin x, w bazie (f1 , f2 ). 13. Znajdź macierz operatora różniczkowania d : K[x]3 → K[x]3 , (d(xn ) = nx ) w bazie: (a) 1, x, x2 , x3 nad K = Z3 , (b) 1, x − a, (x − a)2 , (x − a)3 nad K = Q, gdzie a jest ustaloną liczbą wymierną. n−1 2 2 14. Niech przekształcenie liniowe f : R → R będzie reprezentowane −1 1 przez macierz A = . Wyznaczyć wszystkie bazy, przy których ob2 0 razem wektora (2, 0) będzie wektor (0, −3). 15. Niech macierzą przekształcenia liniowego przy pewnej bazie będzie 1 1 A= . Wykazać, że nie istnieje baza, przy której to przekształcenie 0 1 1 1 reprezentowane jest przez macierz B = . 1 1