Dyskretna teoria Morse`a

Dyskretna teoria Morse’a
Toruńska Letnia Szkoła Matematyki 2011
Michał Kukieła
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
θR θ
⌣
Klasyczna teoria Morse’a
M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu,
f : M n → R - funkcja gładka.
Klasyczna teoria Morse’a
M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu,
f : M n → R - funkcja gładka.
Punkt x ∈ M n nazwiemy krytycznym, o ile
i = 1, . . . , n.
∂f
∂xi (x)
= 0 dla
Klasyczna teoria Morse’a
M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu,
f : M n → R - funkcja gładka.
Punkt x ∈ M n nazwiemy krytycznym, o ile
i = 1, . . . , n.
∂f
∂xi (x)
= 0 dla
Punkt krytyczny x ∈ M n jest niezdegenerowany, o ile
macierz Hessego
2
∂ f
(x)
∂xi ∂xj
i,j=1,...,n
jest nieosobliwa.
Klasyczna teoria Morse’a
M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu,
f : M n → R - funkcja gładka.
Punkt x ∈ M n nazwiemy krytycznym, o ile
i = 1, . . . , n.
∂f
∂xi (x)
= 0 dla
Punkt krytyczny x ∈ M n jest niezdegenerowany, o ile
macierz Hessego
2
∂ f
(x)
∂xi ∂xj
i,j=1,...,n
jest nieosobliwa.
Funkcje˛ f nazywamy funkcja˛ Morse’a, o ile wszystkie jej
punkty krytyczne sa˛ niezdegenerowane.
Klasyczna teoria Morse’a
Oznaczmy: Ma = {x ∈ M n : f (x) 6 a} dla a ∈ R.
Klasyczna teoria Morse’a
Oznaczmy: Ma = {x ∈ M n : f (x) 6 a} dla a ∈ R.
Klasyczna teoria Morse’a
Twierdzenie: Niech f −1 ([a, b]) nie zawiera punktów
krytycznych. Wówczas:
Ma jest dyfeomorficzne z Mb (oraz Ma jest retraktem
deformacyjnym Mb ),
f −1 (a) jest dyfeomorficzne z f −1 (b),
f −1 ([a, b]) jest dyfeomorficzne z f −1 (a) × [a, b].
Klasyczna teoria Morse’a
Twierdzenie: Niech f −1 ([a, b]) nie zawiera punktów
krytycznych. Wówczas:
Ma jest dyfeomorficzne z Mb (oraz Ma jest retraktem
deformacyjnym Mb ),
f −1 (a) jest dyfeomorficzne z f −1 (b),
f −1 ([a, b]) jest dyfeomorficzne z f −1 (a) × [a, b].
Klasyczna teoria Morse’a
Indeksem punktu x ∈ M krytycznego funkcji f nazywamy
maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma
kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest
ujemnie określona.
Klasyczna teoria Morse’a
Indeksem punktu x ∈ M krytycznego funkcji f nazywamy
maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma
kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest
ujemnie określona.
Twierdzenie: Niech x bedzie
˛
jedynym punktem krytycznym
funkcji f należacym
˛
do f −1 ([a, b]), gdzie a = f (x) − ǫ,
b = f (x) + ǫ.
Wówczas przestrzeń Mb jest homotopijnie równoważna
przestrzeni Ma ∪g Di , gdzie g : ∂Di → Ma , zaś i oznacza
indeks punktu x.
Klasyczna teoria Morse’a
Indeksem punktu x ∈ M krytycznego funkcji f nazywamy
maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma
kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest
ujemnie określona.
Twierdzenie: Niech x bedzie
˛
jedynym punktem krytycznym
funkcji f należacym
˛
do f −1 ([a, b]), gdzie a = f (x) − ǫ,
b = f (x) + ǫ.
Wówczas przestrzeń Mb jest homotopijnie równoważna
przestrzeni Ma ∪g Di , gdzie g : ∂Di → Ma , zaś i oznacza
indeks punktu x.
Klasyczna teoria Morse’a
Indeksem punktu x ∈ M krytycznego funkcji f nazywamy
maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma
kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest
ujemnie określona.
Twierdzenie: Niech x bedzie
˛
jedynym punktem krytycznym
funkcji f należacym
˛
do f −1 ([a, b]), gdzie a = f (x) − ǫ,
b = f (x) + ǫ.
Wówczas przestrzeń Mb jest homotopijnie równoważna
przestrzeni Ma ∪g Di , gdzie g : ∂Di → Ma , zaś i oznacza
indeks punktu x.
Klasyczna teoria Morse’a
Dowolna˛ funkcje˛ Morse’a można zaburzyć tak, aby na
zbiorze punktów krytycznych była różnowartościowa. Mamy
zatem:
Twierdzenie: Jeśli funkcja Morse’a f na rozmaitości M n
posiada ci punktów krytycznych indeksu i, to M n jest
homotopijnie równoważna CW-kompleksowi
posiadajacemu
˛
dokładnie ci komórek wymiaru i.
Klasyczna teoria Morse’a
Dowolna˛ funkcje˛ Morse’a można zaburzyć tak, aby na
zbiorze punktów krytycznych była różnowartościowa. Mamy
zatem:
Twierdzenie: Jeśli funkcja Morse’a f na rozmaitości M n
posiada ci punktów krytycznych indeksu i, to M n jest
homotopijnie równoważna CW-kompleksowi
posiadajacemu
˛
dokładnie ci komórek wymiaru i.
Wniosek (Nierówności Morse’a): Niech bi oznacza i-ta˛
liczbe˛ Bettiego M n , zaś ci liczbe˛ punktów krytycznych
indeksu i. Wówczas:
ck − ck−1 + ck−2 − . . . ± c0 > ck − ck−1 + ck−2 − . . . ± c0 dla
wszystkich k ∈ N;
ci > bi dla wszystkich i ∈ N;
P
P
i
n
χ(M ) = i∈N (−1) bi = i∈N (−1)i ci .
Dyskretne funkcje Morse’a
Niech X bedzie
˛
regularnym CW-kompleksem. Funkcje˛
f : X → R ze zbioru komórek X w R nazywamy dyskretna˛
funkcja˛ Morse’a na X , o ile dla każdej komórki σ ∈ X
zbiory
uf (σ) = {τ > σ : dim(τ ) = dim(σ) + 1, f (τ ) ≤ f (σ)}
df (σ) = {µ < σ : dim(µ) = dim(σ) − 1, f (µ) ≥ f (σ)}
maja˛ co najwyżej po jednym elemencie.
Dyskretne funkcje Morse’a
Niech X bedzie
˛
regularnym CW-kompleksem. Funkcje˛
f : X → R ze zbioru komórek X w R nazywamy dyskretna˛
funkcja˛ Morse’a na X , o ile dla każdej komórki σ ∈ X
zbiory
uf (σ) = {τ > σ : dim(τ ) = dim(σ) + 1, f (τ ) ≤ f (σ)}
df (σ) = {µ < σ : dim(µ) = dim(σ) − 1, f (µ) ≥ f (σ)}
maja˛ co najwyżej po jednym elemencie.
Komórk˛e σ ∈ X nazywamy krytyczna,
˛ o ile uf (σ) = ∅,
df (σ) = ∅. Indeks komórki krytycznej σ jest równy dim(σ).
Dyskretne funkcje Morse’a
Niech X bedzie
˛
regularnym CW-kompleksem. Funkcje˛
f : X → R ze zbioru komórek X w R nazywamy dyskretna˛
funkcja˛ Morse’a na X , o ile dla każdej komórki σ ∈ X
zbiory
uf (σ) = {τ > σ : dim(τ ) = dim(σ) + 1, f (τ ) ≤ f (σ)}
df (σ) = {µ < σ : dim(µ) = dim(σ) − 1, f (µ) ≥ f (σ)}
maja˛ co najwyżej po jednym elemencie.
Komórk˛e σ ∈ X nazywamy krytyczna,
˛ o ile uf (σ) = ∅,
df (σ) = ∅. Indeks komórki krytycznej σ jest równy dim(σ).
Dyskretna teoria Morse’a
Oznaczmy: Xa =
S
f (σ)6a
S
τ ≤σ
τ dla a ∈ R.
Dyskretna teoria Morse’a
Oznaczmy: Xa =
S
f (σ)6a
S
τ ≤σ
τ dla a ∈ R.
Jeśli σ, τ ∈ X sa˛ komórkami takimi, że σ < τ oraz σ 6< δ dla
każdej komórki δ 6= τ , to X r {τ, σ} jest retraktem
deformacyjnym X . Mamy wówczas zgniecenie
elementarne X ցe X r {τ, σ}. Ciag
˛ zgnieceń
elementarnych X ցe X1 ցe X2 . . . ցe Xn nazywamy
zgnieceniem i piszemy X ց Xn .
Dyskretna teoria Morse’a
Oznaczmy: Xa =
S
f (σ)6a
S
τ ≤σ
τ dla a ∈ R.
Jeśli σ, τ ∈ X sa˛ komórkami takimi, że σ < τ oraz σ 6< δ dla
każdej komórki δ 6= τ , to X r {τ, σ} jest retraktem
deformacyjnym X . Mamy wówczas zgniecenie
elementarne X ցe X r {τ, σ}. Ciag
˛ zgnieceń
elementarnych X ցe X1 ցe X2 . . . ցe Xn nazywamy
zgnieceniem i piszemy X ց Xn .
Twierdzenie: Jeśli f −1 ([a, b]) nie zawiera komórek
krytycznych, to CW kompleksy Xa i Xb sa˛ homotopijnie
równoważne. Co wiecej,
˛
Xb zgniata sie˛ do Xa .
Dyskretna teoria Morse’a
Oznaczmy: Xa =
S
f (σ)6a
S
τ ≤σ
τ dla a ∈ R.
Jeśli σ, τ ∈ X sa˛ komórkami takimi, że σ < τ oraz σ 6< δ dla
każdej komórki δ 6= τ , to X r {τ, σ} jest retraktem
deformacyjnym X . Mamy wówczas zgniecenie
elementarne X ցe X r {τ, σ}. Ciag
˛ zgnieceń
elementarnych X ցe X1 ցe X2 . . . ցe Xn nazywamy
zgnieceniem i piszemy X ց Xn .
Twierdzenie: Jeśli f −1 ([a, b]) nie zawiera komórek
krytycznych, to CW kompleksy Xa i Xb sa˛ homotopijnie
równoważne. Co wiecej,
˛
Xb zgniata sie˛ do Xa .
Twierdzenie: Jeśli σ jest jedyna˛ komórka˛ krytyczna˛
należac
˛ a˛ do f −1 ([a, b]), to CW kompleks Xb jest
homotopijnie równoważny CW kompleksowi powstałemu
z Xa poprzez doklejenie komórki wymiaru dim(σ).
Dyskretna teoria Morse’a
Twierdzenie: Regularny CW kompleks X z dyskretna˛
funkcja˛ Morse’a f jest homotopijnie równoważny CW
kompleksowi posiadajacemu
˛
po jednej komórce
i-wymiarowej na każda˛ komórk˛e krytyczna˛ o indeksie i.
Dyskretna teoria Morse’a
Twierdzenie: Regularny CW kompleks X z dyskretna˛
funkcja˛ Morse’a f jest homotopijnie równoważny CW
kompleksowi posiadajacemu
˛
po jednej komórce
i-wymiarowej na każda˛ komórk˛e krytyczna˛ o indeksie i.
Wniosek (Nierówności Morse’a): Niech bi oznacza i-ta˛
liczbe˛ Bettiego X , zaś ci liczbe˛ komórek krytycznych
indeksu i. Wówczas:
ck − ck−1 + ck−2 − . . . ± c0 > ck − ck−1 + ck−2 − . . . ± c0 dla
wszystkich k ∈ N;
ci > bi dla wszystkich i ∈ N;
P
P
i
χ(X) = i∈N (−1) bi = i∈N (−1)i ci .
Skojarzenia Morse’a
Skojarzenia Morse’a
Skojarzenia Morse’a
Skojarzenia Morse’a
Twierdzenie: Skojarzenie na diagramie Hassego
cz˛eściowego porzadku
˛
zawierania ścian CW kompleksu X
odpowiada pewnej dyskretnej funkcji Morse’a na X wtedy i
tylko wtedy, gdy digraf uzyskany przez odwórcenie strzałek
należacych
˛
do tego skojarzenia nie zawiera cykli.
Przykład - zgniatalność
Przypuśćmy, że X ց Y , tzn. mamy ciag:
˛
X = X0 ցe X1 . . . ցe Xn = Y , gdzie Xi+1 = Xi r {σi < τi }.
Przykład - zgniatalność
Przypuśćmy, że X ց Y , tzn. mamy ciag:
˛
X = X0 ցe X1 . . . ցe Xn = Y , gdzie Xi+1 = Xi r {σi < τi }.
W diagramie Hassego X odwracamy strzałki prowadzace
˛ z
σi do τi (tworza˛ one skojarzenie). Nietrudno zauważyć, że
jest to skojarzenie acykliczne.
Przykład - zgniatalność
Przypuśćmy, że X ց Y , tzn. mamy ciag:
˛
X = X0 ցe X1 . . . ցe Xn = Y , gdzie Xi+1 = Xi r {σi < τi }.
W diagramie Hassego X odwracamy strzałki prowadzace
˛ z
σi do τi (tworza˛ one skojarzenie). Nietrudno zauważyć, że
jest to skojarzenie acykliczne.
Wniosek: Jeśli X ց Y , to na X istnieje dyskretna funkcja
Morse’a, której zbiorem komórek krytycznych jest Y .
Uogólnienia
Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i
przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse’a,
optymalizacja dyskretnych funkcji Morse’a, kompleksy
dyskretnych funkcji Morse’a...
Uogólnienia:
szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne,
cz˛eściowe porzadki),
˛
Uogólnienia
Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i
przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse’a,
optymalizacja dyskretnych funkcji Morse’a, kompleksy
dyskretnych funkcji Morse’a...
Uogólnienia:
szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne,
cz˛eściowe porzadki),
˛
wersje algebraiczne,
Uogólnienia
Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i
przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse’a,
optymalizacja dyskretnych funkcji Morse’a, kompleksy
dyskretnych funkcji Morse’a...
Uogólnienia:
szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne,
cz˛eściowe porzadki),
˛
wersje algebraiczne,
wersja ekwiwariantna,
Uogólnienia
Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i
przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse’a,
optymalizacja dyskretnych funkcji Morse’a, kompleksy
dyskretnych funkcji Morse’a...
Uogólnienia:
szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne,
cz˛eściowe porzadki),
˛
wersje algebraiczne,
wersja ekwiwariantna,
dyskretna teoria Morse’a na kompleksach
nieskończonych,
Uogólnienia
Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i
przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse’a,
optymalizacja dyskretnych funkcji Morse’a, kompleksy
dyskretnych funkcji Morse’a...
Uogólnienia:
szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne,
cz˛eściowe porzadki),
˛
wersje algebraiczne,
wersja ekwiwariantna,
dyskretna teoria Morse’a na kompleksach
nieskończonych,
dyskretna teoria Morse’a-Wittena, Morse’a-Novikova,
Uogólnienia
Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i
przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse’a,
optymalizacja dyskretnych funkcji Morse’a, kompleksy
dyskretnych funkcji Morse’a...
Uogólnienia:
szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne,
cz˛eściowe porzadki),
˛
wersje algebraiczne,
wersja ekwiwariantna,
dyskretna teoria Morse’a na kompleksach
nieskończonych,
dyskretna teoria Morse’a-Wittena, Morse’a-Novikova,
ogólniej: dyskretna geometria różniczkowa.
Zastosowania
Zastosowania:
kombinatoryka topologiczna,
Zastosowania
Zastosowania:
kombinatoryka topologiczna,
topologia kombinatoryczna,
Zastosowania
Zastosowania:
kombinatoryka topologiczna,
topologia kombinatoryczna,
analiza obrazów,
Zastosowania
Zastosowania:
kombinatoryka topologiczna,
topologia kombinatoryczna,
analiza obrazów,
fizyka,
Zastosowania
Zastosowania:
kombinatoryka topologiczna,
topologia kombinatoryczna,
analiza obrazów,
fizyka,
matematyka „ciagła”?
˛
Która teoria jest „lepsza”?
Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza˛ liczbe˛ komórek.
Przypuśćmy, że mamy dana˛ rozmaitość gładka˛ i jej
triangulacje.
˛ Która teoria da „mniejszy” rozkład na komórki?
Która teoria jest „lepsza”?
Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza˛ liczbe˛ komórek.
Przypuśćmy, że mamy dana˛ rozmaitość gładka˛ i jej
triangulacje.
˛ Która teoria da „mniejszy” rozkład na komórki?
Funkcja Morse’a (dyskretna lub gładka) jest perfekcyjna, o
ile ci = bi dla wszystkich i ∈ N.
Która teoria jest „lepsza”?
Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza˛ liczbe˛ komórek.
Przypuśćmy, że mamy dana˛ rozmaitość gładka˛ i jej
triangulacje.
˛ Która teoria da „mniejszy” rozkład na komórki?
Funkcja Morse’a (dyskretna lub gładka) jest perfekcyjna, o
ile ci = bi dla wszystkich i ∈ N.
Na sferze S n istnieje perfekcyjna gładka funkcja Morse’a.
Jednak dla wszystkich n ≥ 3 i k ≥ 0 istnieje triangulacja S n ,
na której każda dyskretna funkcja Morse’a ma co najmniej k
krytycznych komórek 1-wymiarowych.
Która teoria jest „lepsza”?
Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza˛ liczbe˛ komórek.
Przypuśćmy, że mamy dana˛ rozmaitość gładka˛ i jej
triangulacje.
˛ Która teoria da „mniejszy” rozkład na komórki?
Funkcja Morse’a (dyskretna lub gładka) jest perfekcyjna, o
ile ci = bi dla wszystkich i ∈ N.
Na sferze S n istnieje perfekcyjna gładka funkcja Morse’a.
Jednak dla wszystkich n ≥ 3 i k ≥ 0 istnieje triangulacja S n ,
na której każda dyskretna funkcja Morse’a ma co najmniej k
krytycznych komórek 1-wymiarowych.
Teoria dyskretna wypada blado. Co gdy pozwolimy na
dowolność w wyborze triangulacji?
Która teoria jest „lepsza”?
Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n bedzie
˛
rozmaitościa˛ z ustalona˛ PL triangulacja˛ oraz funkcja˛
Morse’a posiadajaca
˛ ci punktów krytycznych indeksu i.
Wówczas istnieje k takie, że na k -tym podziale
barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja
Morse’a o ci komórkach krytycznych wymiaru i.
Która teoria jest „lepsza”?
Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n bedzie
˛
rozmaitościa˛ z ustalona˛ PL triangulacja˛ oraz funkcja˛
Morse’a posiadajaca
˛ ci punktów krytycznych indeksu i.
Wówczas istnieje k takie, że na k -tym podziale
barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja
Morse’a o ci komórkach krytycznych wymiaru i.
Twierdzenie(J.H.C. Whitehead, 1939): Jeśli pewna PL
triangulacja M n jest zgniatalna do punktu, to M n jest
homeomorficzna z kula.
˛
Która teoria jest „lepsza”?
Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n bedzie
˛
rozmaitościa˛ z ustalona˛ PL triangulacja˛ oraz funkcja˛
Morse’a posiadajaca
˛ ci punktów krytycznych indeksu i.
Wówczas istnieje k takie, że na k -tym podziale
barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja
Morse’a o ci komórkach krytycznych wymiaru i.
Twierdzenie(J.H.C. Whitehead, 1939): Jeśli pewna PL
triangulacja M n jest zgniatalna do punktu, to M n jest
homeomorficzna z kula.
˛
Twierdzenie(K. Adiprasito, B. Benedetti, 2011): Dla
każdego n > 5 istnieje rozmaitość M n , która nie jest
homeomorficzna z kula,
˛ ale posiada triangulacje˛ zgniatalna˛
do punktu. (Oczywiście, triangulacja ta nie jest PL).
Która teoria jest „lepsza”?
Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n bedzie
˛
rozmaitościa˛ z ustalona˛ PL triangulacja˛ oraz funkcja˛
Morse’a posiadajaca
˛ ci punktów krytycznych indeksu i.
Wówczas istnieje k takie, że na k -tym podziale
barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja
Morse’a o ci komórkach krytycznych wymiaru i.
Twierdzenie(J.H.C. Whitehead, 1939): Jeśli pewna PL
triangulacja M n jest zgniatalna do punktu, to M n jest
homeomorficzna z kula.
˛
Twierdzenie(K. Adiprasito, B. Benedetti, 2011): Dla
każdego n > 5 istnieje rozmaitość M n , która nie jest
homeomorficzna z kula,
˛ ale posiada triangulacje˛ zgniatalna˛
do punktu. (Oczywiście, triangulacja ta nie jest PL).
Wniosek: Teoria dyskretna jest „lepsza”!
Bibliografia
K. Adiprasito, B. Benedetti, Metric geometry and
collapsibility, arXiv:1107.5789v1 .
B. Benedetti, Discrete Morse theory is as perfect as
Morse theory, arXiv:1010.05482v2 .
J. Milnor, Morse Theory, Princeton University Press,
1963.
R. Forman, Morse theory for cell complexes, Advances in
Mathematics 134 (1998), 90-145.
V. Prasolov, Elements of combinatorial and differential
topology, Graduate Studies in Mathematics 74, 2006.
http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_theory