1. Zbadaj zbieżność szeregów: a). ∑ n + 1 n + 3 , b). ∑ n − 1 n3 + 3

1. Zbadaj zbieżność szeregów:
∞
X
n+1
a).
,
n+3
n=1
∞
X
n−1
b).
,
3+3
n
n=1
∞
X
(n − 1)!(n + 3)! · 3n
g).
,
(2n)!
n=1
∞
X
1
√
,
l).
3
n + n2
n=1
∞
X
lnn
c).
,
n
n=1
h).
∞ X
n=1
∞
X
1
1−
n
1
m).
(−1) √ ,
n
n=1
q).
∞
X
n
(−1)n+1
n=1
n).
∞
X
5n
d).
,
(n + 1)!
n=1
n2
,
3π
r
n
n=1
1
,
nn+1
f).
n
∞
X
1 + n1
,
n2 3n
n=1
∞
X
∞
X
n
arctgn
,
k).
,
2
2n + 1
n2 − 2
n=1
n=1
∞ r
∞
X
X
n+1
(−1)n+1
4
o).
,
,
p).
n3 + 2
n2
n=1
n=1
∞
X
n
,
en
n=1
n
∞ X
10
n=1
1
,
2n
i).
e).
∞
X
,
j).
r). z kryterium całkowego
∞
X
1
nlnn
n=1
2. Wyznacz sumę szeregu:
∞
X
2
a).
,
n(n
+ 2)
n=1
∞
X
∞
X
1
b).
,
(2n
−
1)(2n
+ 1)
n=1
1
c).
ln 1 +
n
n=1
.
3. Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz zbadaj jego zbieżność na końcach przedziału zbieżności:
∞
∞
∞
∞
∞ √
∞
X
X
X
X
X
X
n! n
(−2)n xn
en xn
n! n
xn
n n
√ , b).
, c).
, d).
x
,
f).
x ,
x n , e).
a).
n
n
n!
10
(2n)!
n
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
∞
X
(n2 + n)2n n
g).
x ,
33n
n=1
h).
∞ X
n=1
n
3n − 4
2n
xn ,
c).
∞
X
n x n
n+1 2
n=1
4. Wyznacz sumę szeregu:
a).
∞ n
X
x
n=0
3
,
b).
∞
X
(−1)n x2n ,
c).
∞
X
nxn ,
n=0
n=0
d).
∞
X
xn
.
n+1
n=0
5. Napisz szereg Maclaurina dla podanej funkcji, podaj jego przedział zbieżności:
a). f (x) = ex ,
2
b). f (x) = e−x ,
c). f (x) = 2xex ,
6. Wyraź całki za pomocą szeregów:
Z
sin x
a).
dx,
x
Z
b).
d). f (x) = arctgx,
arctgx
dx,
x
1
Z
c).
e). f (x) = ln(1+x), f). f (x) =
1 − cos x
dx,
x2
d).
ex
x2
arctgx
x