Podstawowe funkcje elementarne - Open AGH e

Komentarze

Transkrypt

Podstawowe funkcje elementarne - Open AGH e
Podstawowe funkcje elementarne
Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
DEFINICJA
Definicja 1: Podstawowe funkcje elementarne
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy następujące funkcje: funkcję identycznościową, y = x, funkcję stałą
y = const, funkcję wykładniczą y = ex , funkcję trygonometryczną y = sinx.
DEFINICJA
Definicja 2: Funkcje elementarne
Funkcjami elementarnymi nazywamy wszystkie funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za
pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania i odwracania funkcji.
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Pokażemy, że funkcja f(x) = cos x + log 5 (2x2 + 1) jest funkcją elementarną.
Rozwiązanie
Z funkcji f1 (x) = π2 − x oraz f2 (x) = sin x, poprzez złożenie, otrzymamy funkcję g(x) = cos x. Faktycznie,
(f2 ∘ f1 )(x) = f2 ( π2 − x) = sin( π2 − x) = cos x.
Odwracając funkcję wykładniczą f3 (x) = ex otrzymujemy funkcję logarytmiczną f4 (x) = ln x.
Z funkcji logarytmicznej f4 (x) = ln x oraz funkcji stałej f5 (x) = ln 5, poprzez dzielenie otrzymujemy funkcję
logarytmiczną o podstawie 5, h(x) = log 5 x, gdyż
f4 (x)
f5 (x)
=
ln x
ln 5
= log5 x.
Z identyczności f6 (x) = x i funkcji stałych f7 (x) = 2, f8 (x) = 1 otrzymujemy funkcję kwadratową l(x),
f7 (x) ⋅ [f6 (x)]2 + f8 (x) = 2x2 + 1 = l(x).
Funkcję f można więc przedstawić następująco f = g + h ∘ l czyli f jest funkcją elementarną.
DEFINICJA
Definicja 3: Wielomian
Wielomianem stopnia n nazywamy funkcje W : R → R określoną wzorem W (x) = an xn + an−1 xn−1 + … + a1 x + a0
gdzie n jest liczbą naturalną lub zerem, zaś współczynniki ai dla i = 0, 1, … , n są stałymi, przy czym an ≠ 0.
Przyjmujemy, że funkcja tożsamościowo równa zeru W (x) = 0 jest wielomianem stopnia −∞.
UWAGA
Uwaga 1:
Każdy wielomian możemy otrzymać za pomocą działań arytmetycznych z funkcji stałych i identyczności
DEFINICJA
Definicja 4: Funkcja wymierna
Funkcją wymierną nazywamy funkcję, którą można zapisać za pomocą ilorazu dwóch wielomianów.
UWAGA
Uwaga 2:
Dziedziną naturalną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wykluczeniem miejsc zerowych mianownika.
DEFINICJA
Definicja 5: Funkcja wykładnicza
Niech a > 0 i a ≠ 1. Funkcją wykładniczą o podstawie a nazywamy funkcję f : R → R określoną wzorem f(x) = ax .
Dziedziną funkcji wykładniczej jest R, zbiorem wartości R+ .
Funkcja wykładnicza o podstawie a > 1 jest rosnąca, natomiast o podstawie 0 < a < 1 jest malejąca.
Rysunek 1: Wykresy funkcji wykładniczej
UWAGA
Uwaga 3: O funkcjach wykładniczych
Ponieważ a0 = 1 oraz a1 = a, więc wykres każdej funkcji wykładniczej postaci y = ax przechodzi przez dwa punkty
charakterystyczne (0, 1) oraz (1, a).
Z faktu, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x1 , x2 ∈ R zachodzi ax1 +x2 = ax1 aa2 wynika ważna własność funkcji
wykładniczej: f(x1 + x2 ) = f(x1 ) ⋅ f(x2 ). Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywa funkcja wykładnicza o podstawie e,
n
gdzie e jest liczbą niewymierną w przybliżeniu równą 2.7 , definiowaną poprzez granicę e = lim (1 + n1 ) . Funkcja
f(x) = ex nazywa się funkcją eksponencjalną i jest oznaczaną przez exp, gdzie exp x = ex .
n→∞
Rysunek 2: Wykres funkcji exp x
DEFINICJA
Definicja 6: Funkcja logarytmiczna
Niech a > 0 i a ≠ 1. Funkcją logarytmiczną o podstawie a nazywamy funkcję f : R → R określoną wzorem f(x) = log a x.
Dziedziną funkcji logarytmicznej jest R+ , zbiorem wartości R
Funkcja logarytmiczna o podstawie a > 1 jest rosnąca, natomiast o podstawie 0 < a < 1 jest malejąca.
Rysunek 3: Wykresy funkcji logarytmicznej
UWAGA
Uwaga 4: O funkcjach logarytmicznych
Ponieważ log a 1 = 0 oraz log a a = 1, więc wykres funkcji logarytmicznej y = log a x przechodzi przez dwa punkty
charakterystyczne (1, 0) oraz (a, 1).
Z faktu, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x1 , x2 ∈ R zachodzi log a (x1 ⋅ x2 ) = log a x1 + log a x2 wynika ważna
własność funkcji logarytmicznej: f(x1 ⋅ x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ). Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywa funkcja
logarytmiczna o podstawie e, gdzie e jest stałą Eulera opisaną przy definicji funkcji wykładniczej. Funkcja f(x) = log e x
nazywa się logarytmem naturalnym i jest oznaczana przez ln, czyli ln x = log e x.
Rysunek 4: Wykres funkcji ln x
Funkcję logarytmiczną o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy przez log , czyli log x = log 10 x.
Funkcję logarytmiczna o dowolnej podstawie można zawsze przedstawić jako iloraz funkcji logarytmicznej o podstawie e
przez stałą ln a, bo log a x = ln x .
ln a
Funkcja logarytmiczna o podstawie a jest odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie, skąd można
wyprowadzić wiele własności i związków pomiędzy tymi funkcjami – np. fakt, że wykres funkcji logarytmicznej o podstawie a
jest symetryczny względem diagonali do wykresu funkcji wykładniczej o tej samej podstawie.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2015-11-04 14:24:26
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=c54d7027008095b4b73401d9fbe5471e
Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska