PORADNIK odc. 6

kore
petycje
odc. 6
PORADNIK
„czego nie pisać na egzaminie gimnazjalnym?”
Małgorzata Kołakowska
Bryły w zadaniach
W
tym odcinku chcia³abym Wam przedstawiæ zadania zwi¹zane z geometri¹, a dok³adnie z bry³ami obrotowymi, jak i wieloœcianami. W tego typu
zadaniach przydaje siê znajomoœæ kszta³tu poszczególnych bry³ oraz ich ró¿norodnych przekrojów, które prowadz¹ nas do zadañ z figurami p³askimi najczêœciej
trójk¹tami. Przypomnê Wam tak¿e dwa twierdzenia
zwi¹zane z figurami p³askimi, choæ nie tylko. S¹ to:
twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa. Zadania z geometrii wymagaj¹ od Nas wyobraŸni przestrzennej, ale nie martwcie siê, jak jej nie posiadacie. Im
wiêcej tego typu zadañ zrobicie to ³atwiej Wam bêdzie
wyobraziæ sobie kszta³ty danych figur i ich przekroje.
Dziêki temu szybko znajdziecie prawid³owe rozwi¹zanie. Zatem do dzie³a! Pamiêtajcie o uwa¿nym czytaniu
treœci zadañ!!!
Zadanie 21.
Tomek ogl¹da zdjêcie, które przedstawia piramidê
Cheopsa. Piramida Cheopsa ma kszta³t
A. prostopad³oœcianu.
B. graniastos³upa o podstawie kwadratu.
C. ostros³upa o podstawie kwadratu.
D. sto¿ka.
Aby prawid³owo rozpoznaæ kszta³t piramidy Cheopsa
trzeba wiedzieæ jak ka¿da z proponowanych figur wygl¹da. Pokrótce Wam je przedstawiê:
To jest prostopad³oœcian – graniastos³up prosty,
w którym krawêdzie boczne s¹ prostopad³e do podstaw, jego podstaw¹ jest prostok¹t. Na zdjêciu widzimy krawêdzie boczne zbiegaj¹ce siê ku wierzcho³kowi,
zatem odpowiedŸ A. nie jest prawid³owa.
Graniastos³up prosty o podstawie kwadratu to szczególny przypadek prostopad³oœcianu, który zamiast
prostok¹ta w podstawie ma kwadrat, zatem to nie jest
odpowiedŸ B.
To jest ostros³up o podstawie kwadratu, posiada krawêdzie boczne zbiegaj¹ce siê ku wierzcho³kowi, tak
samo jak piramida Cheopsa, zatem nasz¹ odpowiedzi¹
jest C.
1
kore
petycje
gdzie:
Pb – pole powierzchni bocznej i jest to suma powierzchni ka¿dej œciany bocznej ostros³upa, œciana boczna
ostros³upa zawsze jest trójk¹tem.
Pole trójk¹ta to:
∆ = 1/2 · a · l;
P∆
l – to wysokoœæ trójk¹ta, który tworzy œcianê boczn¹
ostros³upa; a – to d³ugoœæ boku, na który pada wysokoœæ. Spójrzcie na rysunek pod spodem.
To jest sto¿ek, którego podstaw¹ jest ko³o, nie posiada
on krawêdzi bocznych, za to posiada wierzcho³ek, wiêc
to nie jest odpowiedŸ D.
Po przeanalizowaniu czterech przypadków ró¿nych figur nasza odpowiedŸ brzmi: Piramida Cheopsa ma
kszta³t ostros³upa o podstawie kwadratu, zatem zaznaczamy odpowiedŸ C.
Zadanie 34.
(0-4)
Piramida ma kszta³t ostros³upa prawid³owego czworok¹tnego. Ile cm2 papieru potrzeba na wykonanie
modelu tej piramidy (wraz z podstaw¹), w którym
krawêdzie podstawy maj¹ d³ugoœæ 10 cm a wysokoœæ
12 cm? Ze wzglêdu na zak³adki zu¿ycie papieru jest
wiêksze o 5%. Zapisz obliczenia.
2
Ostros³upem prawid³owym nazywamy ostros³up,
którego podstaw¹ jest wielok¹t foremny (wielok¹t foremny to wielok¹t wypuk³y, który ma równej d³ugoœci boki i k¹ty), a jego œciany boczne s¹ przystaj¹cymi
trójk¹tami równoramiennymi. W tym zadaniu mamy
do czynienia z ostros³upem prawid³owym czworok¹tnym, a przyk³adem czworok¹ta foremnego jest np.
kwadrat.
Przeczytajcie uwa¿nie treœæ zadania: „Ile cm2 papieru
potrzeba na wykonanie modelu tej piramidy (wraz
z podstaw¹), w którym krawêdzie podstawy maj¹
d³ugoœæ 10 cm a wysokoœæ 12 cm?” . Pytanie dotyczy
„cm2”, mo¿emy wyznaczyæ pole powierzchni tego ostros³upa lub jego objêtoœæ. Przypomnê Wam wzory:
Pole powierzchni ca³kowitej ostros³upa:
Pc = Pb + Pp
W zale¿noœci od podstawy ostros³upa mamy tyle trójk¹tów ile boków ma podstawa. W naszym przypadku mamy w podstawie czworok¹t foremny, zatem mamy cztery takie same trójk¹ty w powierzchni bocznej. Dlatego
Pb w naszym zadaniu wynosi:
Pb = 4 · 1/2 · a · l;
A pole powierzchni podstawy w naszym zadaniu
kwadratu wynosi:
Pp = a2;
Czyli Pc wynosi:
Pc = Pb + Pp = 4 · 1/2 · a · l + a2 = 2 · a · l + a2
Nasze dane:
a = 10 cm;
h = 12 cm;
Tylko nie mamy podanej l, dlatego musimy j¹ obliczyæ.
W naszym ostros³upie l jest wysokoœci¹ œciany bocznej
(œciana boczna jest trójk¹tem równoramiennym) i dzieli
ona bok a na po³owê. Teraz spróbujmy przekroiæ nasz
ostros³up po l z jednej i przeciwnej strony i taki otrzymamy przekrój:
Otrzymaliœmy trójk¹t prostok¹tny, zatem mo¿emy wyznaczyæ l korzystaj¹c z twierdzenia Pitagorasa, które
brzmi: „W trójk¹cie prostok¹tnym kwadrat d³ugoœci
przeciwprostok¹tnej jest równy sumie kwadratów
obu przyprostok¹tnych”. W naszym zadaniu:
h i (1/2 a) – to przyprostok¹tne;
l – przeciwprostok¹tna;
l2 = h2 + (1/2 a)2
l2 = 122 + (1/2 · 10)2 = 144 + 52 = 144 + 25 = 169
l = 169 = 13 cm
l wstawiamy do wzoru na Pb:
Pb = 4 · 1/2 · a · l = 2 · 10 cm · 13 cm = 260 cm2
A teraz obliczmy Pc:
Pc = Pb + Pp = 260 cm2 + a2 = 260 cm2 + (10 cm)2 =
260 cm2 + 100 cm2 = 360 cm2;
Pole powierzchni otrzymaliœmy w cm2, czyli to jest
w³aœnie to o co pytaj¹ Nas w tym zadaniu.
Ale przeanalizujmy jeszcze objêtoœæ.
Wzór na objêtoœæ ostros³upa wygl¹da tak:
V = 1/3 · Pp · h = 1/3 · a2 · h = 1/3 · (10 cm)2 · 12 cm
= 1/3 · 100 cm2 · 12 cm = 400 cm3;
Tutaj otrzymaliœmy wynik w „cm3” , dlatego nie szukamy objêtoœci.
Zatem nasz¹ odpowiedzi¹ jest obliczenie Pc. Tylko
w treœci zadania jest: „Ze wzglêdu na zak³adki zu¿ycie papieru jest wiêksze o 5%.”, zatem do Pc dodamy
5% i otrzymamy:
360 cm2 + 5% · 360 cm2 = 360 cm2 + 1/20 · 360 cm2
= 360 cm2 + 18 cm2 = 378 cm2;
Nasza odpowiedŸ brzmi: „Na wykonanie modelu piramidy wraz z podstaw¹ potrzeba 378 cm2 papieru.”
kszta³t ma piramida, omówi³am w zadaniu poprzednim.
Dlatego korzystaj¹c z tego wzór na powierzchniê boczn¹ piramidy wygl¹da tak:
Pb = 4 · 1/2 · a · l;
gdzie:
l – to wysokoœæ trójk¹ta, który tworzy œcianê boczn¹
ostros³upa;
a – to d³ugoœæ krawêdzi podstawy (w podstawie mamy
kwadrat)
W naszym zadaniu nie mamy podane l, dlatego musimy je wyznaczyæ. W naszym ostros³upie l jest wysokoœci¹ œciany bocznej (œciana boczna jest trójk¹tem równoramiennym) i dzieli ona bok a na po³owê. Teraz spróbujmy przekroiæ nasz ostros³up po l z jednej i przeciwnej strony i taki otrzymamy przekrój:
(0-4)
Na dziedziñcu przed Luwrem zbudowano szklan¹ piramidê. Piramida ta ma kszta³t ostros³upa prawid³owego czworok¹tnego o wysokoœci oko³o 20 metrów
i krawêdzi podstawy 30 metrów. Wykonaj rysunek
pomocniczy wraz z oznaczeniami i oblicz powierzchniê œcian bocznych szklanej piramidy. Zapisz obliczenia.
Tak wygl¹da piramida:
Otrzymaliœmy trójk¹t prostok¹tny, zatem mo¿emy
wyznaczyæ l korzystaj¹c z twierdzenia Pitagorasa:
h i (1/2 a) – to przyprostok¹tne;
l – przeciwprostok¹tna;
l2 = h2 + (1/2 a)2
l2 = (20 m)2 + (1/2 · 30 m)2 = 400 m2 + (15 m)2 =
400 m2 + 225 m2 = 625 m2
l = 625 = 25 m
Podstawiamy do wzoru na powierzchniê boczn¹:
Pb = 4 · 1/2 · a · l = 2 · 30 m · 25 m = 1500 m2
To jest nasza odpowiedŸ: „Powierzchnia boczna piramidy szklanej wynosi 1500 m2”.
gdzie:
h = 20 m;
a = 30 m;
Mamy obliczyæ powierzchniê œcian bocznych szklanej
piramidy. Ostros³up prawid³owy czworok¹tny, bo taki
(0-2)
W czasie prac wykopaliskowych wydobyto 45 m3 ziemi, z której usypano kopiec w kszta³cie sto¿ka. Jego
pole podstawy jest równe 54 m2. Oblicz wysokoœæ
kopca, pamiêtaj¹c, ¿e objêtoœæ sto¿ka jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokoœci. Zapisz obliczenia.
Przeczytajcie uwa¿nie treœæ zadania: „W czasie prac
wykopaliskowych wydobyto 45 m3 ziemi, z której
usypano kopiec w kszta³cie sto¿ka. Jego pole podstawy jest równe 54 m2.” Mamy podane, ¿e wykopano
45 m3 ziemi, czyli mamy ju¿ podan¹ objêtoœæ naszego
sto¿ka, gdy¿ z tej iloœci ziemi usypano ten sto¿ek. Pole
podstawy naszego sto¿ka te¿ ju¿ mamy podane i wynosi ono 54 m2. Dalej nasze zadanie brzmi: „Oblicz wysokoœæ kopca, pamiêtaj¹c, ¿e objêtoœæ sto¿ka jest
równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokoœci.” Tutaj mamy ju¿ podany wzór na objêtoœæ sto¿ka, który wygl¹da tak:
Zadanie 26.
Zadanie 34.
3
kore
petycje
V = 1/3 · Pp · h
gdzie:
Pp – to pole podstawy (w podstawie mamy ko³o, gdy¿
to jest sto¿ek)
h – to wysokoœæ sto¿ka;
Pp = 54 m2
V = 45 m3
h = ? mo¿emy h wyznaczyæ przekszta³caj¹c wzór na
objêtoœæ V:
h = V/(1/3 · Pp) = 3V/ Pp = 3 · 45 m3 / 54 m2 = 2,5 m
OdpowiedŸ brzmi: „Wysokoœæ kopca wynosi 2,5 m”.
Zadanie 34.
(0-5)
Dziecko nasypuje piasek do foremek w kszta³cie
sto¿ka o promieniu podstawy 5 cm i tworz¹cej 13
cm. Nastêpnie przesypuje go do wiaderka w kszta³cie
walca o wysokoœci 36 cm i promieniu dwa razy wiêkszym ni¿ promieñ foremki. Jak¹ czêœæ wiaderka wype³ni³o dziecko, wsypuj¹c 6 foremek piasku? Zapisz
obliczenia.
Tak wygl¹da sto¿ek:
A tak wygl¹da walec:
M £ODY TECHNIK
4
Przeczytajcie dok³adnie treœæ zadania i wypiszcie dane:
r – promieñ sto¿ka
l – tworz¹ca sto¿ka
h – wysokoœæ sto¿ka
r = 5 cm
l = 13 cm
R – promieñ walca
H РwysokoϾ walca
H = 36 cm
R = 2r; poniewa¿: „Nastêpnie przesypuje go do wiaderka w kszta³cie walca o wysokoœci 36 cm i promieniu dwa razy wiêkszym ni¿ promieñ foremki.”
W zadaniu mamy obliczyæ: „Jak¹ czêœæ wiaderka wype³ni³o dziecko, wsypuj¹c 6 foremek piasku?”. W tym
celu musimy obliczyæ objêtoœæ sto¿ka i walca, poniewa¿ wype³niamy te foremki piaskiem, a nie np. obklejamy papierem.
Na pocz¹tku wyznaczmy objêtoœæ sto¿ka. Wzór wygl¹da tak;
Vsto¿ka = 1/3 · π · r 2 · h
W naszym zadaniu nie ma podanej wysokoœci h, za to
jest podana tworz¹ca sto¿ka l. By wyznaczyæ h narysujmy sto¿ek.
Tak wygl¹da nasz sto¿ek. Zauwa¿cie, ¿e w przekroju
otrzymujemy trójk¹t równoramienny i jak poprowadzimy wysokoœæ sto¿ka, to otrzymamy trójk¹t prostok¹tny,
gdzie h i r to przyprostok¹tne, a l to przeciwprostok¹tna. Nie mamy h, dlatego mo¿emy wyznaczyæ
h korzystaj¹c z twierdzenia Pitagorasa:
r2 + h2 = l2
h2 = l2 – r2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144
h = 144 = 12 cm
Wstawiamy h do wzoru i otrzymujemy:
Vsto¿ka = 1/3 · π · r2 · h = 1/3 · π · (5 cm)2 · 12 cm =
1/3 · π · 25 cm2 · 12 cm = 100ππ cm3
Teraz obliczmy objêtoœæ walca:
Vwalca = π · R2 · H
Mamy wszystkie dane, by wyznaczyæ objêtoœæ, zatem:
R = 2r = 2 · 5 cm = 10 cm
Vwalca = π · R2 · H = π · (10 cm)2 · 36 cm = 3600ππ cm3
Teraz obliczmy jak¹ objêtoœæ piasku wsypa³o dziecko
do wiaderka, je¿eli wsypa³o 6 foremek.
6 · Vsto¿ka = 6 · 100π cm3 = 600π cm3 tyle piasku wsypa³o dziecko
Ca³e wiaderko wype³nia 3600π cm3 piasku, a 600π cm3
piasku wsypa³o dziecko. By odpowiedzieæ na pytanie
zawarte w zadaniu: „Jak¹ czêœæ wiaderka wype³ni³o
dziecko, wsypuj¹c 6 foremek piasku?”. Wystarczy
600π cm3 podzieliæ przez 3600π cm3:
600π cm3 / 3600π cm3 = 1/6
OdpowiedŸ: 1/6 wiaderka wype³ni³o dziecko wsypuj¹c do niego 6 foremek piasku.
Zadanie 1.
Tomek stan¹³ przed lustrem w nowej bluzie. Wska¿
figurê, która znajduje siê na przodzie bluzy Tomka.
Wypiszmy dane:
Od = 80 cm = 0,8 m – obwód du¿ego ko³a;
Om = 40 cm = 0,4 m – obwód ma³ego ko³a;
0,5 km = 500 m – d³ugoœæ odcinka drogi;
Musimy wyznaczyæ ile obrotów wykona du¿e i ma³e ko³o na pó³kilometrowym odcinku drogi, nale¿y w tym celu d³ugoœæ odcinka drogi podzieliæ przez obwód ko³a.
500 m / 0,8 m = 625 – tyle obrotów wykona du¿e ko³o rowerka;
500 m / 0,4 m = 1250 – tyle obrotów wykona ma³e
ko³o rowerka.
¯eby odpowiedzieæ na pytanie: „O ile obrotów wiêcej
wykona ma³e ko³o rowerka ni¿ du¿e na pó³kilometrowym odcinku drogi?”, wystarczy od iloœci obrotów
wykonanych przez ma³e ko³o odj¹æ iloœæ obrotów wykonanych przez du¿e ko³o.
1250 – 625 = 625 – o tyle obrotów wiêcej wykona ma³e ko³o rowerka w porównaniu z du¿ym ko³em. I to
jest nasza odpowiedŸ.
Zadanie 5. (0-1)
Figurê znajduj¹c¹ siê na przodzie bluzy Tomka widzimy
w odbiciu w lustrze, wiêc na pewno nie jest ona identyczna jak widzimy w lustrze, dlatego odrzucamy odpowiedŸ A. Odbicie lustrzane powoduje, ¿e to co by³o po
prawej stronie, w lustrze widzimy po lewej stronie i odwrotnie, ale to co by³o na górze nadal jest na górze,
a to co na dole jest na dole. Zatem odrzucamy C. i D.
Poprawn¹ odpowiedzi¹ jest B.
Po opuszczeniu schroniska turysta przeszed³ 9 km
w kierunku wschodnim. Nastêpne 12 km szed³ w kierunku pó³nocnym. W jakiej odleg³oœci od schroniska
znalaz³ siê turysta po przejœciu tej trasy?
A. 3 km
B. 10,5 km
C. 15 km
D. 21 km
Spróbujmy narysowaæ trasê naszego turysty:
Zadanie 23.
Zadanie 20.
(0-1)
Podczas spaceru brat Zosi jedzie czteroko³owym rowerkiem. Obwód du¿ego ko³a wynosi 80 cm, a ma³ego 40 cm. O ile obrotów wiêcej wykona ma³e ko³o rowerka ni¿ du¿e na pó³kilometrowym odcinku drogi?
A. 2500
B. 1250
C. 625
D. 400
x – w takiej odleg³oœci od schroniska znajduje siê turysta;
Jak narysowaliœmy trasê turysty to otrzymaliœmy trójk¹t prostok¹tny, zatem x mo¿emy obliczyæ z twierdzenia Pitagorasa, gdzie 9 km i 12 km to przyprostok¹tne,
a x to przeciwprostok¹tna.
92 + 122 = x2
x2 = 81 +144 = 225
x = 225 = 15 km
Mamy tak¹ odpowiedŸ jest to C. i j¹ zaznaczamy.
Zadanie 33.
(0-2)
Stalowe liny AC i BD przymocowano do ustawionych
równolegle betonowych s³upów AB i CD, AB = CD .
Jak¹ miarê ma k¹t x? Zapisz obliczenia.
M £ODY TECHNIK
(0-1)
Na lekcji jazdy konnej dzieci dosiada³y konia prowadzonego po okrêgu na napiêtej uwiêzi o d³ugoœci 5
metrów. Jak¹ drogê pokona³ koñ, je¿eli ³¹cznie przeby³ 40 okr¹¿eñ? Wynik zaokr¹glij do 0,1 km.
A. Oko³o 1,3 km
B. Oko³o 1 km
C. Oko³o 0,2 km
D. Oko³o 12,6 km.
Przeczytajcie uwa¿nie treœæ zadania i wypiszcie dane:
40 – tyle okr¹¿eñ pokona³ koñ;
r = 5 m – tak¹ d³ugoœæ ma uwiêŸ konia, która jest jednoczeœnie promieniem okrêgu;
π = 22/7 tak¹ wartoœæ pi przyjmujê w przybli¿eniu;
Obwód okrêgu (okr¹¿enie) wynosi:
O = 2ππ · r = 2ππ · 5 m = 10 · 22/7 = 220/7 m
40 · O = 40 · 220/7 = 1257 m
1 km = 1000 m
~ 1,3 km
40 · O = 1,257 km ~
Mamy tak¹ odpowiedŸ, jest to A. i j¹ zaznaczamy.
5
kore
petycje
Uzyskane przez gimnazjalistów pomiary to:
d³ugoœæ cienia drzewa – 5,6 m,
d³ugoœæ cienia Basi – 1,4 m,
wzrost Basi – 1,7 m.
Oznaczenia:
x РwysokoϾ drzewa
w – wzrost cz³owieka
c – d³ugoœæ cienia cz³owieka
d – d³ugoœæ cienia drzewa.
Punkt przeciêcia siê stalowych lin nazwijmy O.
Mo¿emy stwierdziæ, ¿e skoro k¹t BOC wynosi 110° to
tyle samo wynosi k¹t AOD, poniewa¿ AB = CD. ¯eby
wyznaczyæ k¹t AOB nale¿y:
360° – 2 · 110° = 360° – 220° = 140° tyle wynosi suma
k¹tów AOB i DOC, te k¹ty s¹ takie same, dlatego 140°/
2 = 70°. K¹t AOB wynosi 70°.
Trójk¹t AOB jest trójk¹tem równoramiennym, dlatego
k¹t BAO i k¹t ABO jest taki sam. Suma k¹tów w trójk¹cie wynosi 180°, zatem od 180° – 70° (k¹t AOB) = 110°
110°/2 = 55° tyle wynosi k¹t x, czyli k¹t BAO.
Zadanie 35.
(0-3)
Przy drodze, któr¹ wêdrowali, ros³o samotne drzewo.
Aby poznaæ jego wysokoœæ, uczniowie dokonali odpowiednich pomiarów. Nastêpnie, korzystaj¹c ze schematu, obliczyli jego wysokoœæ. Przedstaw ich obliczenia.
M £ODY TECHNIK
6
k i l to proste równoleg³e
c = 1,4 m
w = 1,7 m
d = 5,6 m
x=?
Skoro k i l s¹ prostymi równoleg³ymi, x mo¿emy
wyznaczyæ z twierdzenia Talesa, które brzmi: „Je¿eli
ramiona k¹ta przetniemy dwoma prostymi równoleg³ymi, to d³ugoœci odcinków wyznaczonych przez te
proste na jednym ramieniu k¹ta s¹ proporcjonalne do
d³ugoœci odcinków wyznaczonych przez te proste na
drugim ramieniu”.
Mo¿emy wypisaæ takie proporcje:
w/c = (x – w)/(d – c)
w/(x – w) = c/(d – c)
w/x =c/d
w/x = c/d = k/l
To s¹ wszystkie mo¿liwe proporcje jakie mo¿emy
wyznaczyæ korzystaj¹c z twierdzenia Talesa. A my
wybierzmy najprostsz¹, która pozwoli nam wyznaczyæ x.
w/x = c/d
w = c · x/d
c·x=w·d
x = w · d/c = 1,7 · 5,6 / 1,4 = 6,8 m
To jest nasza odpowiedŸ. Wysokoœæ drzewa wynosi 6,8 m.