KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2011/2012
KONKURS MATEMATYCZNY
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
Klucz odpowiedzi do ETAPU REJONOWEGO
Zadania zamknięte:
Nr zadania
Poprawna odpowiedź
Ilość punktów
1
B
1
2
B
1
3
D
1
4
B
1
5
a)P
b)F
c)F
d)P
4
6
C
7
D
1
1
8
B
1
9
10
a)NIE
b)TAK A
c)NIE
3
1
11
12
C
D
1
1
Uwaga!
W zadaniach 5 i 9 przyznajemy po 1 punkcie za każdą poprawną odpowiedź w
każdym podpunkcie.
Zadania otwarte:
1. Zadania należy ocenić według zamieszczonego poniżej klucza
odpowiedzi.
2. Jeżeli uczeń poprawnie rozwiązał zadanie inną metodą (jeśli żadna nie
była wskazana w tekście zadania) niż podana w kluczu, otrzymuje
maksymalną liczbę punktów za to zadanie.
Strona 1 z 4
Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2011/2012
Zad.
Odpowiedzi
g - cena czekolady gorzkiej
m - cena czekolady mlecznej
d - cena czekolady deserowej
2g  m  d

2m  g  2d
 m  2g  d  2

2m  g  2d
 2m  4g  2d

2m  g  2d
stąd
13
Liczba pkt.
- wprowadzenie oznaczeń
1
i zapisanie układu równań
- wyznaczenie zależności
pomiędzy g i d
1
- wyznaczenie zależności
pomiędzy m i d
1
- ustalenie relacji pomiędzy
cenami czekolad i podanie
odpowiedzi
1
3g  4d
4
g d
3
m  2g  d
5
m d
3
dgm
Odp. Najdroższa jest czekolada
mleczna.
Razem:
Dla n > 1; n - 1, n, n + 1 są kolejnymi
liczbami naturalnymi
4 pkt.
- sformułowanie założeń
1
- zapisanie nierówności
1
- rozwiązanie nierówności
1
Z warunków zadania wynika że:
n  12 : n  1  6  n
14
Po pomnożeniu obu stron nierówności
przez n - 1 mamy:
n 2  2n  1  6n  6  n 2  n
stąd
Strona 2 z 4
Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2011/2012
7  3n
7
n
3
Ponieważ 1  n 
7
więc n = 2, a
3
szukanymi liczbami naturalnymi są
- sformułowanie wniosków
końcowych
1
1, 2 i 3
Razem:
x - liczba uczniów nieobecnych
6x - liczba uczniów obecnych
Gdy 1 uczeń wyszedł:
x+1 - liczba uczniów nieobecnych
6x - 1 - liczba uczniów obecnych
15
6x  1  5x  1
x=6
Odp. Było 6 uczniów nieobecnych, a 36
obecnych. Klasa liczyła 42 osoby.
- analiza zadania
1
- zapisanie równania
1
- rozwiązanie równania
1
i sformułowanie odpowiedzi
Razem:
|AC| = |AD|
4 pkt.
3 pkt.
- wykonanie rysunku,
wprowadzenie oznaczeń,
zapisanie warunków
początkowych
1
- przeprowadzenie analizy i
zaznaczenie kątów na rysunku
1
- wyznaczenie miar kątów
wewnętrznych trójkąta ABC
1
|BC| = |BE|
∆DAC oraz ∆BEC są równoramienne
więc
16
|∢CDA| = |∢ACD| = α
|∢BEC| = |∢ECB| = β
|∢CAB| = 2α
|∢ABC| = 2β
Strona 3 z 4
Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2011/2012
2α + 2β = 90o
α + β = 45o
- obliczenie miary szukanego kąta
|∢DCE| = 90o + 45o = 135o
i podanie odpowiedzi
1
Odp. Miara kąta DCE wynosi 135o.
Razem:
- wykonanie rysunku,
wprowadzenie oznaczeń (lub
zauważenie, że karton ma
kształt prostopadłościanu)
4 pkt.
1
Załóżmy, że a, b, c to wymiary
kartonika, więc
17
V = a b c = 1000cm2
Vs = 8 a b
Vs =4 a c
Vs =2 b c
Po wymnożeniu równań stronami
mamy:
Vs3 = 64 a2 b2 c2
- przedstawienie objętości soku
w trzech sytuacjach
1
1
Vs 3 = 64 (a b c)2
1
Vs 3 =64 · 10002
Stąd Vs = 400
3
Odp. Kartonik zawiera 400cm soku
- wyznaczenie objętości soku i
podanie odpowiedzi
Razem:
1
5 pkt.
Strona 4 z 4