Dobre i złe intuicje matematyczne

Transkrypt

Dobre i zªe intuicje matematyczne
Jerzy Pogonowski
Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM
[email protected]
KFNMFF 2016
Jerzy Pogonowski (MEG )
KFNMFF 2016
1 / 24
Wst¦p
Plan
Plan na dzi±
Kontekst odkrycia. Obejmuje intuicje profesjonalnych matematyków.
Kontekst uzasadnienia. Dedukcja i obliczenia.
Kontekst przekazu. Odnosi si¦ do procesów przekazywania i
nabywania wiedzy matematycznej.
Przykªady obja±nie« intuicyjnych. Opinie matematyków, lozofów,
intuicji matematycznych.
Dobre intuicje matematyczne ksztaªtujemy poprzez odwoªanie si¦:
dydaktyków na temat
b¡d¹ do modeli zycznych b¡d¹ do wcze±niej przyswojonych poj¦¢
matematycznych.
Zªe intuicje matematyczne tworz¡ si¦ na podstawie
pochopnych analogii oraz uogólnie«, my±lenia na skróty,
niewªa±ciwego korzystania z semantyki terminów, nieszcz¦snych
(nietrafnych) metafor. Model zyczny nie mo»e chyba generowa¢
zªych intuicji, wszystko co zªe bierze si¦ z nieuzasadnionej wiary.
KFNMFF 2016
2 / 24
Wst¦p
Projekt badawczy
Projekt badawczy NCN
Odczyt zostaª przygotowany w ramach projektu badawczego NCN
2015/17/B/HS1/02232:
Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne.
Projekt jest realizowany w Zakªadzie Logiki i Kognitywistyki UAM
(20162018).
Strona projektu: http://logic.amu.edu.pl/index.php/Ncn2015jp
W ramach projektu przewiduje si¦ dwa skromne stypendia dla
doktorantów, ewentualnie zainteresowanych wspóªprac¡.
Konkurs zostanie ogªoszony pod koniec 2016 roku.
KFNMFF 2016
3 / 24
Wst¦p
Poincaré:
Science and Method
Wyja±nianie w matematyce
We are in a class of the fourth grade. The teacher is dictating: `A circle is
the position of the points in a plane which are at the same distance from
an interior point called the centre.' The good pupil writes this phrase in his
copy-book and the bad pupil draws faces, but neither of them understands.
Then the teacher takes the chalk and draws a circle on the board. `Ah',
think the pupils, `why didn't he say at once, a circle is a round, and we
should have understood.'
Understanding in Mathematics, str.
Cytat za: Sierpi«ska 1994 (
1).
Ka»dy rozdziaª tej ksi¡»ki rozpoczyna si¦ cytatem z prac Poincaré'go.
Uj¦cie rozumienia w matematyce proponowane przez Sierpi«sk¡ bazuje
na ideach Ajdukiewicza z
Logiki pragmatycznej.
KFNMFF 2016
4 / 24
Wst¦p
Sierpi«ska:
Wyja±nianie w matematyce
Understanding in Mathematics
The quest for an explanation in mathematics cannot be a quest for
proof, but it may be an attempt to nd a rationale of a choice of
axioms, denitions, methods of constructing of a theory. A rationale
does not reduce to logical premisses. An explanation in mathematics
can reach for historical, philosophical, pragmatic arguments. In
explaining something in mathematics, we speak
about mathematics:
our discourse becomes more metamathematical than mathematical
(76).
Explanation of an abstract mathematical theory may consist in a
construction of its model, in which the variables, rules and axioms of
the theory are interpreted and acquire meaning. The model becomes a
certain `reality', ruled by its own `laws'. In explaining a theory, we
deduce its rules, axioms, denitions, and theorems from the `laws' of
the model (77).
KFNMFF 2016
5 / 24
Wst¦p
Hipotezy
Kªopoty z intuicj¡ matematyczn¡
Znaczenia poj¦¢ matematycznych s¡ okre±lone w samej teorii. S¡
podobne chimerom.
Obja±nienia intuicyjne (w procesie dydaktycznym)
nie s¡ raz na zawsze ustalone. Czynimy co w naszej mocy, aby
oswaja¢ chimery.
Obja±nienie intuicyjne jest poj¦ciem relacyjnym.
Rozumiemy je tutaj w
sensie pragmatycznym (rozja±nienie idei, metody heurystyczne,
wskazówki uªatwiaj¡ce rozumienie), nie odwoªuj¡c si¦ do ogólnej
metodologii nauk.
Kontekst przekazu: caªo±¢ procesu dydaktycznego.
Cel obja±nie« intuicyjnych: wspomaganie rozumienia.
U»ywane ±rodki: parafraza, przekªad, metafora, analogia, budowanie
modeli, itd.
KFNMFF 2016
6 / 24
Wst¦p
Przykªady wyj±ciowe
Wzorcowe przykªady
Euklides:
powierzchnia sfery deniowana jako wynik
obrotu póªokr¦gu
wzgl¦dem ±rednicy.
Archimedes:
sfera, sto»ek i walec; argumentacja mechaniczna oraz
dowód matematyczny metod¡ wyczerpywania.
Hilbert i Gödel:
aksjomat zupeªno±ci w teorii mnogo±ci; pragmatyczne
uzasadnienie.
Cohen:
budowa modeli teorii mnogo±ci metod¡ wymuszania; intuicyjne
analogie z rozszerzeniami ciaª o elementy przest¦pne.
n
P
n n−k k
b
k a
Wzór dwumianowy:
(a + b )n =
Pochodna iloczynu:
(f (x ) · g (x ))(n) =
k =0
n
P
k =0
n (n−k )
(x )g (k ) (x )
k f
KFNMFF 2016
7 / 24
Kontekst przekazu
Klasycy o edukacji matematycznej
Przegl¡d opinii
Piaget: fazy rozwoju intelektualnego.
Wygotski: wy»sze funkcje poznawcze wyªaniaj¡ si¦ poprzez praktyk¦
spoªeczn¡.
Polya: strategie rozwi¡zywania problemów.
Fischbein: intuicja jako analogon percepcji na poziomie symbolicznym.
Schoenfeld: tworzenie sensu oraz samokontrola poznawcza.
Tall: trzy ±wiaty matematyki.
Sierpi«ska: rozumienie poj¦¢, twierdze«, dowodów, konstrukcji, itd.
Sierpi«ska:
epistemological obstacles.
KFNMFF 2016
8 / 24
Kontekst przekazu
David Tall
David Tall: trzy ±wiaty matematyki
KFNMFF 2016
9 / 24
Przykªady
Obja±nienia j¦zykowe
J¦zyk matematyki i j¦zyk naturalny
Zbiory: paradoksy, zbiory rozmyte, kªopoty z niesko«czono±ci¡,
deniowalne versus opisywalne.
Granice: uwaga na metafory!
Ci¡gªo±¢: obja±nianie wªasno±ci przekraczaj¡cej g¦sto±¢.
Rachunek ró»niczkowy: logiczna zªo»ono±¢
ε-δ -sformuªowa«.
Remedium: analiza niestandardowa (trudno±¢ dydaktyczna:
konstrukcja liczb hiperrzeczywistych).
Notacja: ikoniczna notacja Le±niewskiego.
Do jakiego stopnia j¦zyk naturalny jest niezb¦dny w dydaktyce
matematyki?
Jakie s¡ granice obja±nie« lingwistycznych?
KFNMFF 2016
10 / 24
Przykªady
Percepcja
Do±wiadczenie zmysªowe
Rysunki, diagramy, schematy: pot¦ga reprezentacji wizualnych i
niebezpiecze«stwo sugestii. mieszna sprzeczka dot. diagramów
Venna.
Modele 3D: pomoce dydaktyczne Istvána Lénárta.
Filmy: przenicowanie sfery, wi¡zka Hopfa, podró» w wy»sze wymiary,
itd.
Piosenki matematyczne: ±rodki mnemotechniczne.
Kolory w reprezentacjach gracznych funkcji zespolonych.
Szacowanie wielko±ci w poziomie i w pionie.
Lego audio video erro ergo disco.
KFNMFF 2016
11 / 24
Przykªady
Percepcja
Sfery Istvána Lénárta
i jego sfery
István Lénárt
www.gombigeometria.eoldal.hu
KFNMFF 2016
12 / 24
Przykªady
Fizyka
Inspiracje z Natury
Archimedes: obliczanie powierzchni i obj¦to±ci przy u»yciu mechaniki.
Robert Ghrist: linkages i rozmaito±ci. Any smooth compact manifold
is dieomorphic to the conguration space of some planar linkage
Mark Levi: The Mathematical Mechanic.
Analogie kinematyczne: geometria.
Pola elektromagnetyczne: Poincaré o dowodzie Kleina.
Przepªywy cieczy i ciepªa: analiza zespolona.
Problemy wariacyjne: m¡dro±¢ Natury.
Eksperymenty probabilistyczne: igªa Buona, paradoks Bertranda.
Fizyka i niesko«czono±¢: czy
supertasks s¡ mo»liwe?
KFNMFF 2016
13 / 24
Przykªady
Do±wiadczenie potoczne
Potoczno±¢
Topologia: gumowate obiekty i operacje na nich.
Geometryczne reprezentacje liczb naturalnych (trójk¡tne, itd.).
Liczby ujemne: dªugi, temperatura, pi¦tra, skacz¡ce »aby.
Narz¦dzia: linijka, cyrkiel, pantograf,
Peaucellier-Lipkin linkage, itp.
Gry: gry Ehrenfeuchta, aksjomat determinacji.
Komputery: programy, eksperymenty, metafory.
Filtry i ideaªy: du»e i maªe obiekty.
Prawie wsz¦dzie: dziedziny sko«czone i niesko«czone.
Model thinks: mowa guratywna.
KFNMFF 2016
14 / 24
Przykªady
Obja±nienia intuicyjne wewn¡trz matematyki
Spójno±¢ matematyki
Euklides: teoria proporcji w systemie geometrii.
Descartes: powstanie geometrii analitycznej.
Wspóªcze±nie: np. topologia algebraiczna, gaª¦zie teorii liczb.
Logika algebraiczna: matematyczna reprezentacja semantyki.
Programy unikacji: Weierstrass & Co., Hilbert, Thurston, Laglands.
Uogólnienia operacji i relacji arytmetycznych na abstrakcyjne dziedziny.
Wymuszanie w teorii mnogo±ci a rozszerzenia ciaª.
Aksjomat zupeªno±ci w teorii mnogo±ci: uzasadnienie pragmatyczne.
KFNMFF 2016
15 / 24
Granice intuicji
Horyzont wyobra¹ni
Liczby ujemne: kilkaset lat oswajania; obecnie akceptowalne przez
wi¦kszo±¢ populacji.
Liczby zespolone: kilkaset lat oswajania; obecnie standardowe obiekty
w badaniach matematycznych, jednak stale trudne do poj¦cia przez
ogóª obywateli.
Wy»sze wymiary: szybkie oswojenie (przez profesjonalistów); dla
wi¦kszo±ci populacji wci¡» iluzoryczne.
Niesko«czenie wymiarowe przestrzenie liniowe: zaªamanie intuicji
potocznych.
Dzikie struktury topologiczne w niskich wymiarach.
Struktury egzotyczne.
Nasza w¦drówka trwa, dopóki czynny jest horyzont.
KFNMFF 2016
16 / 24
Kontekst odkrycia
Matematycy o intuicji
Kto wie lepiej?
Poincaré: wiele rodzajów intuicji matematycznej.
Hadamard: etapy odkrycia matematycznego.
Gödel: bezkompromisowy Platonizm.
Lakatos: quasi-empirycyzm w matematyce.
Davis, Hersh: intuicja wyªaniaj¡ca si¦ z praktyki.
Thurston: wy»sze poziomy mentalne odkrycia matematycznego.
Tao: trzy etapy rozumienia; dobre i zªe intuicje.
Problem badawczy:
jak rekonstruowa¢ intuicje profesjonalnych
matematyków z tekstów ¹ródªowych?
KFNMFF 2016
17 / 24
Kontekst odkrycia
Filozofowie o intuicji
Stanowiska w lozoi matematyki
Starali±my si¦ unika¢ odwoªa« do rozwi¡za« proponowanych przez lozofów
(uwagi na ten temat zawiera tekst odczytu przygotowywany do druku).
Descartes: rozumienie dowodów.
Kant: zdania syntetyczne a priori.
Parsons: intuition
of and intuition that.
Tieszen: podej±cie fenomenologiczne.
Byers: rola antynomii i paradoksów.
Creation or Discovery in Mathematics jest problemem
lozocznym i jest niezale»ny od praktyki badawczej matematyków.
Dylemat:
KFNMFF 2016
18 / 24
Kontekst uzasadnienia
Dowód
Drogi prowadz¡ce do dowodów
Styl Gaussa i styl Eulera w publikowaniu wyników.
Dowody
wyja±niaj¡ce:
istotne wªasno±ci obiektów, jednolita
perspektywa.
Dowody matematyczne: pogl¡dy ortodoksyjne oraz innowacje (dowody
kolektywne, dowody komputerowe).
J¦zyk prywatny w matematyce: przypadki Erd®sa i Ramanujana.
Wyobra¹nia: rola my±lenia kontrfaktycznego.
Wgl¡d: czy intuicja jest wynikiem operowania na reprezentacjach
mentalnych obiektów matematycznych?
Uogólnianie i abstrahowanie: tworzenie nowych kontekstów,
poszerzanie perspektywy.
Analogia: podobie«stwo strukturalne.
Indukcja: od obserwowanych regularno±ci do hipotez.
KFNMFF 2016
19 / 24
Uwagi ko«cowe
Dwie perspektywy
Nauczyciele i uczniowie
Nauczyciele: potrzeba bycia przekonuj¡cym.
Nauczyciele i podr¦czniki.
Nauczanie jako negocjacja.
Dramat stale zmieniaj¡cych si¦ zalece« stylów nauczania.
Cele i ±rodki nauczania w konfrontacji z wiedz¡ nauczyciela i jego
wizj¡ matematyki.
Uczniowie: potrzeba rozumienia.
Od idiosynkrazji do unikacji intuicji.
Kreatywno±¢ uczniów a rygor szkoªy.
Rozwój intelektualny, emocje, umiej¦tno±ci spoªeczne.
KFNMFF 2016
20 / 24
Uwagi ko«cowe
Nauczanie i terapia
Problem skuteczno±ci
Do±wiadczenie dydaktyczne autora, cho¢ do±¢ dªugie, jest jednak
ograniczone do specycznego audytorium: dorosªych studentów
kierunków humanistycznych.
Jest zatem mo»liwe, »e nasze uwagi oraz reeksje maj¡ niewielkie
znaczenie dla edukacji matematycznej.
Niebezpiecze«stwo uproszcze« oraz bª¦dnego rozumienia, powodowane
przez obja±nienia intuicyjne.
Podej±cie empiryczne: eksperymenty dydaktyczne oraz ich ocena.
KFNMFF 2016
21 / 24
Uwagi ko«cowe
Poincaré:
Science and Method
Cytat ko«cowy
How is it that there are so many minds that are incapable of understanding
mathematics? Is there not something paradoxical in this? Here is a science
which appeals only to the fundamental principles of logic, to the principle
of contradiction, for instance, to what forms, so to speak, the skeleton of
our understanding, to what we could not be deprived of without ceasing to
think, and yet there are people who nd it obscure, and actually are the
majority. That they should be incapable of discovery we can understand,
but that they should fail to understand the demonstrations expounded to
them, that they should remain blind when they are shown a light that
seems to us to shine with a pure brilliance, it is altogether miraculous.
And yet one need have no great experience of examinations to know that
these blind people are by no means exceptional beings. We have here a
problem that is not easy of solution, but yet must engage the attention of
all who wish to devote themselves to education.
Cytat za: Sierpi«ska 1994, 112.
KFNMFF 2016
22 / 24
Wybrane pozycje bibliograczne
Davis, P.J., Hersh, R. 1981.
Mathematical experience.
Birkhäuser,
Boston.
Intuition in Science and Mathematics: An
Educational Approach. Kluwer Academic Publishers, New York /
Fischbein, H. 1987.
Boston / Dordrecht / London / Moscow.
Ghrist, R. 2014.
Elementary Applied Topology.
Createspace, ISBN
978-1502880857.
Hanna, G., Jahnke, H.N., Pulte, H. (Eds.) 2010. Explanation and
Proof in Mathematics. Philosophical and Educational Perspectives.
Springer, New York Dordrecht Heidelberg London.
Lange, M. 2014. Depth and Explanation in Mathematics.
Mathematica.
Philosophia
Advance Access published September 12, 2014.
The Mathematical Mechanic. Using Physical
Reasoning to Solve Problems. Princeton University Press, Princeton
Levi, M. 2009.
and Oxford.
Needham, T. 1997.
Visual complex analysis.
Clarendon Press, Oxford.
KFNMFF 2016
23 / 24
Wybrane pozycje bibliograczne
Mathematical Discovery on Understanding, Learning,
and Teaching Problem Solving. Ishi Press International, New York,
Polya, G. 2009.
Tokyo.
Mathematics and Plausible Reasoning. Vol.I:
Induction and Analogy in Mathematics, Vol. II: Patterns of Plausible
Inference. Martino Publishing, Manseld Centre, CT.
Prasolov, V.V. 2011. Intuitive topology. American Mathematical
Polya, G. 2014.
Society.
Schoenfeld, A. H. 1985.
Mathematical Problem Solving .
Academic
Press, Inc., Orlando.
Sierpi«ska, A. 1994.
Understanding in Mathematics.
The Falmer
Press, London.
How Humans Learn to Think Mathematically.
Exploring the Three Worlds of Mathematics. Cambridge University
Tall, D. 2013.
Press, Cambridge.
Thurston, W. 1994. On proof and progress in mathematics.
of the American Mathematical Society 30 (2), 161177.
Bulletin
KFNMFF 2016
24 / 24

Dobre i złe intuicje matematyczne

Transkrypt

Podobne dokumenty

Światy matematyki. Tworzenie czy odkrywanie?

Intuicje a nabywanie wiedzy matematycznej

Naukoznawstwo (zadania) - Zakład Logiki Stosowanej

Poznanie matematyczne

„Ci bezwzględni barbarzyńcy!” Jakie mamy prawo by potępiać

Skojarzenia matematyczne

EduROM gry edukacyjne to seria niezwykłych przygód

Intuicja Matematyczna - Zakład Logiki Stosowanej

instrukcje dla gry działania matematyczne #47